������������ � ��� �����ก������� 2

ขอ คำตอบ ขอ คำตอบ 1 255 16 328 2 60 17 390 3 84 18 106 4 760 19 194 5 7 20 14 6 484 21 98 7 4 22 10 8 50 23 81 9 51 24 19 10 38 25 150 11 23 26 14 12 91 27 582 13 953 28 371 14 334 29 4 15 338 30 110

วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 2 All Star Intelligent Contest

1. คดยอนกลบ ดงตาราง คนยากไร

คนท ลกอมทให (เมด) ลกอมทเหลอ (เมด)

7 2 1 6 4 3 5 8 7 4 16 15 3 32 31 2 64 63 1 128 127

แรกเรม 255

เดมนาตาลมลกอมอย 255 เมด

2. ให □ = ๙BAC จะไดวา ๙BEC = 2 x □

๙ABC + ๙ACB = 2 x (๙EBC + ๙ECB)

� 180o − □ = 2 x (180o – 2 x □)

� □ = 60o

3. ไดโอแฟนทสมชวตอยจนถงอาย x ป จะไดวา

16 x +

112 x +

17 x + 5 +

12 x + 4 = x

คณทงสองขางของสมการดวย 84 จะไดวา 14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x นนคอ 9x = 756 � x = 84

4. ทรงสเหลยมมมฉากเลกยาว

103 เซนตเมตร กวาง 4 เซนตเมตร

และสง 52 เซนตเมตร จงมพนทผว

2 x

10 5 10 5 x 4 4 x x 3 2 3 2

= 1903 ตารางเซนตเมตร

มทรงสเหลยมเลกอย 12 ลก จงมพนทผวรวมกน

12 x 1903 = 760 ตารางเซนตเมตร

5. a =

2+x y

x - y

= x y xy

x y xy

+ +2+ 2-

= 8 + 2 x 38 2 x 3-

= 7

6. AB + BA = (10 x A + B) + (10 x B + A) = 11 x (A + B) เปนจำนวนกำลงสองสมบรณ

เนองจาก 2 A + B 18 จงไดวา A + B = 11 และ AB + BA = 11 x 11 = 121 ซงม (AB, BA) ทงหมด 4 ค ไดแก (29, 92), (38, 83), (47, 74), (56, 65) (สลบลำดบภายในคได) ดงนน ผลรวมของ AB ทงหมด เทากบ 4 x 121 = 484

7. เมอพบรปตามเสนประ จะไดรปเรขาคณตสามมตดงรป ซงประกอบดวยลกบาศกทมดานยาว 1 เซนตเมตร จำนวน 4 ลก จงมปรมาตร 4 ลกบาศกเซนตเมตร

วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 2 All Star Intelligent Contest

8. มนชนะจนทงหมด 15 – a – b ครง จงไดวา 5 x (15 – a – b) + (– 2) x b + 1 x a = 25 � 4a + 7b = 50 9. นบลกบาศกททาสเพยงสองหนาในแตละชน โดยเรมจากชนลางสดกอน ไดดงตาราง

ชนท จำนวน 1 16 2 8 3 5 4 10 5 4 6 8

รวม 51

10. คำนวณเปอรเซนตของพนทในสถานการณตาง ๆ ทมฝนตกและไมตก ไดดงตาราง

ฝนตกวนน ฝนไมตกวนน รวม

ฝนตกพรงน 20% x 30% = 6% 80% x 30% = 24% 30%

ฝนไมตก พรงน

20% x 70% = 14% 80% x 70% = 56% 70%

รวม 20% 80% 100%

ดงนน พนททมฝนตกในวนนหรอวนพรงน เพยงวนใดวนหนง คดเปน 14% + 24% = 38%

11. จำนวนนบทมดชนเปน 3 จะอยในรป 33 x A โดยท A ไมม 3 เปนตวประกอบ ตองการจำนวนนบทมสามหลก จงได 100 33 x A 999 นนคอ 4 A 37 ซงม 34 ตว แตม A = 6, 9, ..., 36 ทม 3 เปนตวประกอบ จงเหลอ A ทตองการเพยง 34 – 11 = 23 ตว

12. เนองจาก 9 x 65

A =

9 x 5 x 13

A

และ 15 x 56

A =

15 x 7 x 8

A

จงไดวา A ตองม 13 และ 7 เปนตวประกอบ ดงนน จำนวนนบ A ทนอยทสด คอ 13 x 7 = 91

13. ให n เปนจำนวนนบทสอดคลองกบเงอนไขทกขอ ในโจทย เนองจาก 2 – 8, 3 – 8, 1 – 8 หารดวย 3, 5, 7 ลงตว ตามลำดบ ฉะนน n – 8 จะหารดวย 3, 5, 7 ลงตว นนคอ n – 8 หารดวย 3 x 5 x 7 = 105 ลงตว ดงนน จำนวนนบทมสามหลกทมากทสด คอ 105 x 9 + 8 = 953

14. d จะหาร 1408 – 1050 = 358 และ 2303 – 1408 = 895 ลงตว เนองจาก ห.ร.ม. ของ 358 กบ 895 คอ 179 จงไดวา d หาร 179 ลงตว แต 179 เปนจำนวนเฉพาะ และ d > 1 จงไดวา d = 179 จาก 1050 = 179 x 5 + 155 จงไดวา r = 155 � d + r = 179 + 155 = 334

วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 2 All Star Intelligent Contest

15. สรางรปสเหลยมจตรส BGED

แลวสรางรปสามเหลยมท

เทากนทกประการกบ �ABD

บนแตละดานของ □BGED ดงรป

เสนตรง AF จะแบง □BGED ออกเปน 2 สวน เทา ๆ กน

� [□CFED] = 12 x [□BGED]

= 12 x 262

= 338 ตารางเซนตเมตร

16. แบงรปทงสองรปดวยเสนประ ดงรป

รป 1 รป 2

จากรป 1: [�ABC] = 2 x 369 = 738 ตารางหนวย

จากรป 2: [□PQRS] = 49 x 738

= 328 ตารางหนวย

17. มบตรทกาไมเหนดวยอย 48% จงมบตรทกาเหนดวยอย (100 – 48)% = 52% บตรทกาเหนดวยมมากกวาบตรทกาไมเหนดวยอย (52 – 48)% = 4% คดเปนจำนวน 30 ใบ

จงมบตรทงหมด 30 ÷ 4

100 = 750 ใบ

และเปนบตรทกาเหนดวย 750 x 52100 = 390 ใบ

18. ชวง 14 : 45 น. ถง 15 : 15 น. เปนระยะเวลา 30 นาท ระดบนำสงขน 70 – 30 = 40 เซนตเมตร ชวง 15 : 15 น. ถง 15 : 42 น. เปนระยะเวลา

27 นาท ระดบนำสงขน 40 x 2730 = 36 เซนตเมตร

เมอเวลา 15 : 42 น. นำจงสงจากกนบอ 70 + 36 = 106 เซนตเมตร 19. ขอมลทมเลขโดด 4 ปรากฏในหลกแรกมอย 9.7%

คดเปนจำนวน 2,000 x 9.7100 = 194 ตว

20. แสดงกรณทเปนไปได ไดดงตาราง

a 1 2 3 4 5 6 b 1, 2, 3, 4, 5, 6 2, 4, 6 3, 6 4 5 6

ซงมทงหมด 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14 กรณ 21. เนองจาก 112 = 16 x 7 ดงนน n = 7 x m2

โดยท m เปนจำนวนนบ ซงจะไดวา 112n

= 4m

จงได m = 1, 2, 3 และ n มผลบวกเทากบ 7 x (12 + 22 + 32) = 98

วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 2 All Star Intelligent Contest

22. พนทของ �OAP ไมขนกบตำแหนง

ของจด P แสดงวา

จด P อยบนเสนตรง

ทขนานกบเสนตรง OA

a = 36 =

12

และเสนตรงนตดแกน y ทจด Q(0, b) ดงรป

[�QOA] = [�POA] = 60 ตารางหนวย

จงไดวา 12 x b x 6 = 60 � b = 20

a x b = 12 x 20 = 10

23.

(6x + 3y) : (7x + 4y) = 4 : 5 5 x (6x + 3y) = 4 x (7x + 4y) 2x = y

ขายขนมปงรวมสองวนได (6x + 3y) + (7x + 4y) = 13x + 7y

= 13x + 7 x 2x = 27x ชน ตองการให 70 27x < 100 � x = 3 ขายขนมปงรวมสองวนได 27 x 3 = 81 ชน

24. แบงกลมตวเลข 1-8 ตามเศษจากการหารดวย 3 แลวสรางจำนวนทมสามหลกทเปนพหคณของ 3 ไดดงน

• สรางจากตวเลขในกลมเศษ 1 เทานน: สรางได 6 จำนวน (จากตวเลข 3 ตวสลบกน) • สรางจากตวเลขในกลมเศษ 2 เทานน: สรางได 6 จำนวน (จากตวเลข 3 ตวสลบกน) • สรางจากตวเลขทง 3 กลมเศษ กลมละ 1 ตว เลอกตวเลขมากลมละ 1 ตว เลอกได 2 x 3 x 3 = 18 ชด แตละชดสลบตวเลข สรางจำนวนได 6 จำนวน จงสรางได 18 x 6 = 108 จำนวน ดงนน มจำนวนทมสามหลกทเปนพหคณของ 3 อยทงหมด 6 + 6 + 108 = 120 จำนวน จำนวนทมสามหลกทสรางไดจากตวเลข 1-8 มทงหมด 8 x 7 x 6 = 336 จำนวน

ดงนน โอกาสตามทตองการคอ 120336 =

514

� m + n = 14 + 5 = 19

วน เมอวาน วนน รวมสองวน ขนมปงไสถวแดง (ชน) 6x 3y 6x + 3y ขนมปงไสถวครม (ชน) 7x 4y 7x + 4y

กลมเศษ 0 1 2 ตวเลข 3, 6 1, 4, 7 2, 5, 8

วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 2 All Star Intelligent Contest

25. แผนหนงรป 5 เหลยมสองรปใด ๆ จะไมมดานตอ รวมกนเลย จงนบ n ไดจากจำนวนจดยอดของ รป 5 เหลยมทง 12 แผน � n = 5 x 12 = 60 แผนหนงรป 5 เหลยม 12 แผน มดานทงหมด 5 x 12 = 60 ดาน แผนหนงรป 6 เหลยม 20 แผน มดานทงหมด 6 x 20 = 120 ดาน เสนขอบทแผนหนงมาตอกนจะเกดจากดาน

สองดานเสมอ � m = 12 x (60 + 120) = 90

m + n = 90 + 60 = 150

26. PDAD

= [ ][ ]�

�

PCD

ACD =

□

[ ]1 x [ ]2

�PCD

ABCD

= 2 x 211 =

411

๙ACP = ๙ACB = ๙CAP

� �PAC เปนรปสามเหลยมหนาจว

PC = PA = 711 x AD =

711 x 22

= 14 เซนตเมตร

27. การลงคะแนนรอบแรก: พจารณาสถานการณ ซงมผได 248, 249, 250, 250 คะแนน ดงนน ผทได 248 คะแนน จงยงมนใจไมไดวา จะไดเปนตวแทน ตอไปสมมตวา มผทได 249 คะแนน แตไมไดเปน ตวแทน แสดงวามคนอก 3 คน ทไดคะแนน อยางนอยคนละ 250 คะแนน จงมผลงคะแนน อยางนอย 249 + 250 x 3 = 999 คน ซงเกน 997 คน จงเปนไปไมได ทำใหมนใจไดวาผทไดอยางนอย 249 คะแนน จะไดเปนตวแทน � p = 249 การลงคะแนนรอบท 2: พจารณาสถานการณท ตวแทน 3 คนได 332, 332, 333 คะแนน ดงนน ตวแทนทได 333 คะแนน จงมโอกาสเปน ประธาน ตอไปสมมตวา มตวแทนทได 332 คะแนน และ ไดเปนประธาน แสดงวาตวแทนอก 2 คน ไดคะแนนอยางมาก 331 คะแนน จงมผลงคะแนน อยางมาก 332 + 331 x 2 = 994 คน ซงตำกวา 997 คน จงเปนไปไมได ทำใหตวแทนทได 332 คะแนน ไมมโอกาสเปน ประธาน � q = 333 p + q = 249 + 333 = 582

วชาคณตศาสตร มธยมศกษาปท 2 All Star Intelligent Contest

28. ไลลำดบตวโนต

โด ซอล เรสง เร ลา มสง ม ท

(ในรป เสนทบแสดงเสยงคแปด และเสนประ แสดงเสยงคหา)

สายทใหเสยงทจะยาว

1 x 23 x

23 x 2 x

23 x

23 x 2 x

23 =

128243 หนวย

� = 128, □ = 243

� � + □ = 128 + 243 = 371 29. จะออกแบบใหขอบเขตของชวงชนทตองทดลอง ลดลงทละครงโดยประมาณ ดงน • ทดลองทชน 6 ไมวาผลการทดสอบเปนอยางไร จะเหลอ 5 ชน ใหทดลองในขนตอไป • ใน 5 ชนทเหลอ (สมมตวาเปนชน 1 ถง 5) ใหทดลองทชนกงกลาง (ชน 3) ไมวาผลทดสอบ จะเปนอยางไร จะเหลอ 2 ชน ใหทดลองในขน ตอไป • ทดลองท 2 ชนทเหลอ

ดงนน จงตองออกแบบใหลองปลอยแกวจากชน ตาง ๆ ไมเกน 4 ชน

30. สมมตวาเกดทายชาลถกวาคอ 74 แสดงวาแพรตองทายเกดถกวาคอ 63 และชาลตองทายเกดถกวาคอ 47 ซงเปนไปไมไดทเกดจะมจำนวนนำโชคสองตว ดงนน เกดทายฝนถกวาคอ 47 และทำใหแพร ทายเกดถกวาคอ 63 จำนวนนำโชคของฝนและเกด มผลบวกเปน 47 + 63 = 110

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦