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A base da geometria
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1. Introdução
Existem indícios de que os primeiros conhecimentos de Geometria
foram desenvolvidos por volta de 2000 a.C. pelos babilônios, e
cerca de 1300 anos a.C. pelos egípcios, na tentativa de resolver
problemas do cotidiano, como a demarcação de terras ou a
construção de edifícios. No entanto, foram os gregos, por volta de
600 a.C., os primeiros a sistematizar e organizar tudo que se
conhecia sobre o assunto até sua época.
O principal trabalho dos gregos foi feito por Euclides, por volta de
300 a.C., que escreveu um tratado de Geometria, chamado
Elementos.
A preocupação central de Euclides em sua obra é a
demonstração de propriedades geométricas com o auxílio da
Lógica.
Da mesma forma que Euclides, iniciamos este livro apresentando
neste capítulo os conceitos primitivos, definições, postulados e
teoremas, que serão básicos para o desenvolvimento da
Geometria, aqui chamada euclidiana, em homenagem ao seu
principal organizador.
2. Conceitos Primitivos, Definições e Notações
Por que nem tudo pode ser definido em uma teoria?
Sempre que definimos algum elemento em uma teoria, usamos,
como ferramenta de linguagem, outros elementos já definidos
anteriormente.
A Base da Geometria
3
Exemplo
“Triângulo é a reunião de três segmentos consecutivos
determinados por três pontos não colineares”.
Essa definição só pode ser apresentada após o conhecimento
dos conceitos de: reunião, segmentos consecutivos e pontos não
colineares; e esses conceitos só podem ser apresentados a partir
de outros, e assim por diante.
Porém, essa seqüência de conceitos previamente apresentados
não pode ser prolongada indefinidamente. É necessário
estabelecer um ponto de partida, isto é, alguns conceitos devem
ser adotados sem definição (conceitos primitivos), para que todos
os demais possam ser apresentados a partir deles.
São conceitos primitivos na Geometria euclidiana:
• Ponto (indicado por letra maiúscula latina)
Exemplos
Reta (indicada por letra minúscula latina).
Exemplos
4
Plano (indicado por letra minúscula grega)
Exemplos
Estar entre: um Conceito Primitivo
A noção de estar entre é um conceito primitivo que obedece às
seguintes condições:
1o) Se P está entre A e B, então A, B e P são distintos dois a dois.
2o) Se P está entre A e B, então A, B e P são colineares (estão na mesma
reta).
3o)Se P está entre A e B então A não está entre B e P, e B não está entre
A e P.
4o) Se A e B são dois pontos distintos, então existe um ponto P que está
entre A e B.
5
Exemplos
Definição de Segmento de Reta
Dados dois pontos distintos, chamamos de segmento de reta a
figura (*) constituída por eles e por todos os pontos que estão
entre eles.
Exemplo
O segmento de reta determinado por A e B é representado por
𝐴𝐵 , dizemos que A e B são suas extremidades, e representamos
por AB a medida de 𝐴𝐵 ,.
𝐴𝐵 = 𝐴, 𝐵 ∪ {𝑃 𝑃 𝑒𝑡á 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝑒 𝐵}
(*) Para apresentarmos a teoria da Geometria de modo mais
sucinto, admitiremos alguns conceitos como conhecidos, como o
de figura (conjunto de pontos não vazio).
6
Segmentos Congruentes
Definição – Dois segmentos de reta são chamados congruentes
quando tiverem a mesma medida, na mesma unidade.
Exemplo
Os segmentos de reta 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 , da figura, têm medida 4 cm,
portanto são congruentes.
Indica-se: 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷
Divisão de Segmento
Definição 1 – Se P é um ponto que está entre A e B, dizemos que P
divide interiormente 𝐴𝐵 numa razão𝑘 =𝑃𝐴
𝑃𝐵.
Exemplo
Na figura abaixo AP = 5 cm e PB = 6 cm, então:
P divide 𝐴𝐵 na razão 𝑘 =𝑃𝐴
𝑃𝐵=
5
6.
7
Observação
No exemplo acima, o ponto P divide o segmento de reta 𝐵𝐴 na
razão 𝑘′ =𝑃𝐵
𝑃𝐴=
6
5.
Definição 2 – Se A é um ponto entre P e B, ou B é um ponto entre
A e P, dizemos que o ponto P divide exteriormente 𝐴𝐵 na razão
𝑘 =𝑃𝐴
𝑃𝐵.
Exemplo
Na figura abaixo PA = 3 cm e AB = 5 cm, então:
P divide 𝐴𝐵 na razão 𝑘 =
𝑃𝐴
𝑃𝐵=
3
8.
Observação
No exemplo acima, o ponto P divide o segmento de reta 𝐵𝐴 na
razão 𝑘′ =𝑃𝐵
𝑃𝐴=
8
3
Ponto Médio de Segmento de Reta
Definição – Ponto médio de um segmento de reta é o ponto que
divide o segmento interiormente na razão 1.
Exemplo
Na figura 𝐴𝑃 ≅ 𝑃𝐵 , então P é o ponto médio de 𝐴𝐵, pois P divide
𝐴𝐵 na razão 𝑘 =𝑃𝐴
𝑃𝐵= 1.
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