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FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Definição informal de função Uma função f é uma “regra” que a cada elemento de um dado conjunto A associa um e um só elemento de um outro conjunto B.
)(:
xfxBAf
�
→
Simbolicamente, bafBbAa =∈∃∈∀ )(:1 .
• A – domínio, conjunto de originais ou conjunto de
partida. • B – conjunto de chegada ou conjunto das imagens. Chama-se contradomínio de f ao conjunto definido por
( ) { } BAxxfAf ⊂∈= :)( . As funções cujo domínio e o conjunto de chegada são subconjuntos de IR são chamadas funções reais de variável real (f.r.v.r.). Nesta disciplina iremos estudar apenas f.r.v.r. .
2
Gráfico Seja f uma função de domínio A e conjunto de chegada B . Chama-se gráfico de f ao subconjunto do produto cartesiano de A por B , BA× , definido por
{ } { }AxxfxxfyBAyxfgraf ∈==×∈= :))(,()(:),( . Chama-se representação gráfica de f , a qualquer representação geométrica adequada aos pontos do gráfico de f .
y
O x x
f (x) ( x , f (x))
3
É fácil ver geometricamente quando uma figura pode ou não ser representação gráfica de alguma função. Cada recta vertical ax = só pode intersectar a figura uma única vez. Exemplo: A figura não é representação gráfica de nenhuma função. A representação gráfica pode variar se, por exemplo, fizermos variar as unidades no eixo dos XX ou no dos YY.
y
O x a
y1
y2
x = a
4
Exemplo:
admite, entre outras, as duas representações gráficas seguintes
Figura 1 Figura 2
Além disso a mesma figura pode ser a representação gráfica de funções diferentes. Exemplo:
A figura seguinte é uma representação gráfica das funções (entre outras) ou da função
2:
xx
f
�
IRIR →
2:
xx
f
�
IRIR →2
:xx
f
�
+→ 0IRIR
5
Considerando, neste último caso, que as unidades no eixo dos XX valem o dobro das anteriores.
Figura 3
Funções injectivas Uma função de domínio A diz-se injectiva se a pontos diferentes do domínio correspondem imagens diferentes no conjunto de chegada. Simbolicamente,
)()(,, bfafbaAba ≠�≠∈∀ ou
babfafAba =�=∈∀ )()(,, .
Graficamente, qualquer recta horizontal só poderá intersectar o gráfico de f uma vez.
2
41
:
xx
f
�
IRIR →
6
Exemplo:
,)()(e bfafba =≠ logo f não é injectiva.
Funções sobrejectivas Uma função de domínio A diz-se sobrejectiva se qualquer ponto do conjunto de chegada B pertencer ao contradomínio, ou seja, se o conjunto de chegada B coincidir com o contradomínio )(Af . Simbolicamente,
bafAaBb =∈∃∈∀ )(: .
Observação: Em termos gráficos, não se pode ver se uma função é sobrejectiva pois a representação gráfica apenas dá o contradomínio.
y
O x b a
k y = k
f (x)
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Funções bijectivas Uma função injectiva e sobrejectiva diz-se bijectiva ou uma bijecção. Simbolicamente,
bafAaBb =∈∃∈∀ )(:1 . Funções monótonas: Seja f uma função de domínio ] [ba , :
• f é monótona crescente ou simplesmente crescente se
] [ )()(,,, yfxfyxbayx ≤�<∈∀ .
• f é monótona decrescente ou simplesmente decrescente se
] [ )()(,,, yfxfyxbayx ≥�<∈∀ .
• f é estritamente crescente se
] [ )()(,,, yfxfyxbayx <�<∈∀ .
• f é estritamente decrescente se
] [ )()(,,, yfxfyxbayx >�<∈∀ .
8
Funções limitadas:
Seja f uma f.r.v.r. de domínio D. Diz-se que f é limitada se e só se o conjunto dos valores que a função assume for um conjunto limitado, isto é, se existir um número real M (positivo) tal que para todo o
x do domínio de f se tiver
Mxf ≤)( .
Graficamente, O gráfico da função encontra-se compreendido entre as rectas de equação My −= e My = .
y
O x
y = M
y = - M
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Exemplo: Depois de as esboçar graficamente, verifique se são ou não limitadas as seguintes funções:
xxf sen−=1)()1 ; xxxg sen=)()2 ;x
xh1
)()3 = ;
x
x
x
x
x
x
xi
<≤≤
<
���
���
�
−
−=
10100
0
101
2)2(
)()4sesesesen
.
Figura 4 Figura 5
Figura 6 Figura 7
10
Funções pares e ímpares:
Seja f uma f.r.v.r. de domínio IR. Diz-se que f é par (respectivamente ímpar) se e só se para todos os números reais x se tem )()( xfxf =− ( respectivamente )()( xfxf −=− ). Graficamente, • Uma função par tem o gráfico simétrico em relação ao
eixo dos YY. • Uma função ímpar tem o gráfico simétrico em relação à
origem dos eixos coordenados. Representações gráficas de algumas funções pares e ímpares:
Figura 8 Figura 9
11
Figura 10 Figura 11
Funções periódicas:
Seja f uma f.r.v.r. de domínio IR. Diz-se que f é periódica se existir algum real α (não nulo) tal que para todo o x real se tenha )()( xfxf =+α . Simbolicamente,
)()(:0 xfxfIRx =+∈∀≠∃ αα . Ao real α chama-se período da função f . Se α é um período positivo de f e é inferior a todos os outros períodos positivos de f , então a α chama-se
período fundamental ou período positivo mínimo de f .
12
Representações gráficas de algumas funções periódicas:
Figura 12 Figura 13
Figura 14
13
Composição de funções Sendo BAf →: e DCg →: duas funções, a composta de
f e g , designada por gf � , é a função cujo domínio é o conjunto
{ }AxgCxIRxD fog ∈∧∈∈= )(: tal que ))(()()( xgfxgf =� . Função Restrição Sejam BAf →: e AC ⊂ . A restrição de f a C, designada
por Cf | , é a função de domínio C e conjunto de chegada B tal que )()(| xfxf C = para cada e Cx ∈ . Função Inversa Sendo BAf →: injectiva chama-se a AAff →− )(:1 a
função inversa de f .
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Algumas classes de funções
i) Funções Polinomiais
Sejam , nanaaa ,1,1,0 −�� números reais
f: A IR x nn
nn axaxaxaxf ++++= −−
11
10 ��)(
Casos Particulares: Função Constante: naxf =)( Função Linear: xaxf n 1−=)( Função Afim: nn axaxf += −1)(
Função Quadrática: nnn axaxaxf ++= −− 12
2)(
ii) Funções Racionais Sejam )( e )( xQxP polinómios
f: A IR
x )()()(
xQxP
xf =
{ }0: ≠∈= )(IR xQxD f
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iii) Funções Irracionais Seja )(xP um polinómio
f: A IR
x ( ) [ ]pq xPxf )(=
IR=fD se q for ímpar
{ }0: ≥∈= )(IR xPxD f se q for par