A matematika néhány kihívása napjainkbanweb.cs.elte.hu/~mrobert/MEAM/03.12.%20-%20A%20...A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA NAPJAINKBAN Simon L. Péter ELTE, Matematikai Intézet

A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA

NAPJAINKBAN

Simon L. Péter

ELTE, Matematikai IntézetAlkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tsz.

1 / 20

MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZO TERÜLETEIN

Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehézelorejelezni az idojárást.

2 / 20



Nagy gráfok felépítése, hogyan lehet az interneten egy reklámothatékonyan terjeszteni, vagy egy fertozo betegség (H1N1) terjedésétmegállítani.

2 / 20




Lineáris egyenlotlenségek megoldása, hogyan tervezzük megoptimálisan egy ügyfélszolgálat muködését.

2 / 20




Lineáris egyenlotlenségek megoldása, hogyan tervezzük megoptimálisan egy ügyfélszolgálat muködését.

Nagy számok prímfelbontása, avagy hogyan biztosítható azinternetes vásárlás biztonsága az RSA algoritmus segítségével.

2 / 20

SOROZATOK

Számtani sorozat: an+1 = an + d

3 / 20

SOROZATOK


Például: an+1 = an + 2, a0 = 0⇒ an a páros számokból álló sorozat.

3 / 20

SOROZATOK


Mértani sorozat: an+1 = qan

3 / 20

SOROZATOK



Például: an+1 = 2an, a0 = 1⇒ an a 2 hatványaiból álló sorozat.

3 / 20

SOROZATOK



an+1 = an2 + 1

an

3 / 20

SOROZATOK



an+1 = an2 + 1

an

a0 = 3.0000, a1 = 1.8333, a2 = 1.4621, a3 = 1.4150, a4 = 1.4142

3 / 20

SOROZATOK



an+1 = an2 + 1

an

Bármely a0 > 0 esetén az an a√

2 közelítését adja.

3 / 20

SOROZATOK



an+1 = an2 + 1

an



xn+1 = axn(1− xn) , a ∈ [0,4] adott szám.

3 / 20

SOROZATOK



an+1 = an2 + 1

an




Ha a = 4, akkor xn kaotikus sorozat.

3 / 20

SOROZATOK



an+1 = an2 + 1

an





Logisztikus leképezés: f (x) = ax(1− x).

3 / 20

SOROZATOK



an+1 = an2 + 1

an





Logisztikus leképezés: f (x) = ax(1− x).

Egyszeru módszer a sorozat viselkedésének tanulmányozására

3 / 20

LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS

Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.

4 / 20


Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.

Ha 1 < a < 3, akkor xn → 1− 1a .

4 / 20


Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.

Ha 1 < a < 3, akkor xn → 1− 1a .

Ha a1 = 3 < a < 1 +√

6 = a2, akkor xn 2-ciklushoz tart.

4 / 20


Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.

Ha 1 < a < 3, akkor xn → 1− 1a .

Ha a1 = 3 < a < 1 +√


Ha a2 < a < a3, akkor xn 4-ciklushoz tart.

4 / 20


Ha 0 < a < 1, akkor xn → 0.

Ha 1 < a < 3, akkor xn → 1− 1a .

Ha a1 = 3 < a < 1 +√


Ha a2 < a < a3, akkor xn 4-ciklushoz tart.

4 / 20


5 / 20


Ha ak < a < ak+1, akkor xn 2k -ciklushoz tart.

5 / 20



Feigenbaum szám δ = 4,669201609102990...

ak − ak−1

ak+1 − ak→ δ.

5 / 20




ak − ak−1

ak+1 − ak→ δ.

Ha a = 4, akkor az xn sorozat kaotikus,

5 / 20




ak − ak−1

ak+1 − ak→ δ.

Ha a = 4, akkor az xn sorozat kaotikus,

a sorozat tagjai különlegesen függenek az elso tagtól.5 / 20

LORENZ-EGYENLET

Valóságos folyamatoknál is elofordul kaotikus viselkedés.

6 / 20

LORENZ-EGYENLET


Rayleigh-Bénard konvekció

6 / 20

LORENZ-EGYENLET


Rayleigh-Bénard konvekció

A folyadékot alulról melegítjük, felülrol hutjük. Ennek hatásáraáramlás indul meg.

6 / 20

LORENZ-EGYENLET

A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerusített matematikai modellje aLorenz-egyenlet.

7 / 20

LORENZ-EGYENLET


x = σ(y − x)

y = ρx − xz − yz = xy − βz

7 / 20

LORENZ-EGYENLET


x = σ(y − x)


x : a konvekció erossége,y : a felfelé és lefelé áramlás homérsékletének különbsége,z: a függoleges homérsékletváltozás eltérése a lineáristól.

7 / 20

LORENZ-EGYENLET


x = σ(y − x)


x : a konvekció erossége,y : a felfelé és lefelé áramlás homérsékletének különbsége,z: a függoleges homérsékletváltozás eltérése a lineáristól.

A megoldás érzékenyen függ a kezdeti feltételtol.

7 / 20

LORENZ-EGYENLET, PILLANGÓ HATÁS

Az x(t) értéke két különbözo kezdeti feltételbol indulva.

Kék: x(0) = y(0) = z(0) = 1Piros: x(0) = y(0) = 1, z(0) = 1.001

8 / 20

LORENZ-EGYENLET, PILLANGÓ HATÁS

Az x(t) értéke két különbözo kezdeti feltételbol indulva.

Kék: x(0) = y(0) = z(0) = 1Piros: x(0) = y(0) = 1, z(0) = 1.001

σ = 10, β = 8/3, ρ = 25

8 / 20

VALÓDI IDOJÁRÁS MODELLEK

Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a homérsékletre,a nyomásra.

9 / 20



∂tu(t , x , y , z) = D∆u(t , x , y , z)+a∂xu(t , x , y , z)+b∂y u(t , x , y , z)+f (t , x , y , z)

9 / 20




Numerikus nehézség: több millió egyszeru egyenlet megoldásapárhuzamosan.

9 / 20





Mérési nehézség: a légkör állapotát egy adott idopontban, sokhelyen, nagy pontossággal kell ismerni az elorejelzéshez.

9 / 20





Mérési nehézség: a légkör állapotát egy adott idopontban, sokhelyen, nagy pontossággal kell ismerni az elorejelzéshez.

A Lorenz-egyenletnél megfigyelt kaotikus hatások miatt:

Minél hosszabb idore akarunk elorejelezni, annál pontosabban kellismerni a kezdeti feltételeket⇒ pillangóhatás.

9 / 20

SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS

Adott egy N csúcsú gráf

A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertozo I

10 / 20




Átmenetek:

S → I, ráta: kτ , k a szomszédos I csúcsok száma.I → S, ráta: γ

10 / 20




Állapottér

10 / 20




Állapottér

Fertozés: SIS → IISGyógyulás: SIS → SSS

10 / 20


Alapegyenletek (master equations)

XSSS = γ(XSSI + XSIS + XISS),

XSSI = γ(XSII + XISI)− (2τ + γ)XSSI ,

XSIS = γ(XSII + XIIS)− (2τ + γ)XSIS,

XISS = γ(XISI + XIIS)− (2τ + γ)XISS,

XSII = γXIII + τ(XSSI + XSIS)− 2(τ + γ)XSII ,

XISI = γXIII + τ(XSSI + XISS)− 2(τ + γ)XISI ,

XIIS = γXIII + τ(XSIS + XISS)− 2(τ + γ)XIIS,

XIII = −3γXIII + 2τ(XSII + XISI + XIIS),

11 / 20











N csúcsú gráf esetén 2N differenciálegyenlet

11 / 20











A rendszer mérete a gráf automorfizmuscsoportja ismeretébencsökkentheto:

Simon, P.L., Taylor, M., Kiss., I.Z., Exact epidemic models on graphs using graph-automorphism

driven lumping, J. Math. Biol., 62 (2011).

11 / 20

ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL

Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf

12 / 20



Csúcsok állapotainak halmaza {a1,a2, . . .am}.

12 / 20




A gráf összes lehetséges állapotainak halmaza mN elemu

12 / 20




A gráf összes lehetséges állapotainak halmaza mN elemu

Az állapotok változását Poisson-folyamat írja le

∆t ido alatt annak valószínusége, hogy egy ai állapotban levo csúcsaj állapotba kerül:

1− exp(−λij ∆t).

12 / 20

PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA

SIS járványterjedés

13 / 20



A csúcsok állapotainak halmaza: {S, I}.

13 / 20



A csúcsok állapotainak halmaza: {S, I}.

Átmenetek és rátáik

S → I, λ = kτ , k a szomszédos I csúcsok száma.I → S, λ = γ

13 / 20


SIR járványterjedés

14 / 20



A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I,R}.

14 / 20





S → I, λ = kτ , k a szomszédos I csúcsok száma.I → R, λ = γ

14 / 20





S → I, λ = kτ , k a szomszédos I csúcsok száma.I → R, λ = γ

Körmentes gráf esetén egzakt, nemlineáris, O(N) méretu rendszeradható meg.

14 / 20


Híresztelés terjedése

15 / 20



A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {X ,Y ,Z} (tájékozatlan,terjeszto, akadályozó).

15 / 20



A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {X ,Y ,Z} (tájékozatlan,terjeszto, akadályozó).


X → Y , λ = kτ , k a szomszédos Y csúcsok száma.Y → Z , λ = γ + jp, j a szomszédos Y és Z csúcsok együttesszáma.

15 / 20


Aktivitás terjedése neuron hálózatban

16 / 20



A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E+,E−, I+, I−}(gerjesztheto aktív és inaktív, gátló aktív és inaktív).

16 / 20





E+ → E−, λ = α.E− → E+, λ = th(iwE − jwI + hE ), i , j a szomszédos E+, és I+csúcsok száma.I+ → I−, λ = α.I− → I+, λ = th(iwE − jwI + hI), i , j a szomszédos E+, és I+csúcsok száma.

16 / 20





E+ → E−, λ = α.E− → E+, λ = th(iwE − jwI + hE ), i , j a szomszédos E+, és I+csúcsok száma.I+ → I−, λ = α.I− → I+, λ = th(iwE − jwI + hI), i , j a szomszédos E+, és I+csúcsok száma.

Taylor, T.J., Hartley, C., Simon, P.L., Kiss., I.Z., Berthouze, L., Identification of criticality in neuronal

avalanches: I. A theoretical investigation of the non-driven case, J. Math. Neuroscience, 2013

16 / 20


Cégek csodbemenetele

17 / 20



A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: muködo (M),csodbement (C).

17 / 20



A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: muködo (M),csodbement (C).


M → C, λ = c + kw , k a szomszédos C csúcsok száma, c aspontán csodbemenetel rátája.

17 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:

18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:

Erdos-Rényi véletlen gráf

18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:


18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:


Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal

18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:



18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:



Barabási-Albert véletlen gráf, skálafüggetlen fokszámeloszlás

18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:




18 / 20

GRÁF TÍPUSOK

Véletlen gráfok:




Kutatás célja:

Különbözo típusú gráfokon, különbözo dinamikához megfeleloközelíto (esetleg egzakt) differenciálegyenletek levezetése.

18 / 20

ÖSSZEFOGLALÁS

xn+1 = 4xn(1− xn), a sorozat tagjai erosen függenek az elso tagtól.

19 / 20

ÖSSZEFOGLALÁS


Miért nem lehet hosszú távra elorejelezni az idojárást: pillangóeffektus.Kaotikus rendszer megoldása erosen függ a kiindulási feltételektol.

19 / 20

ÖSSZEFOGLALÁS



Egy nagy gráfon végbemeno folyamat modellezése kezelhetetlenülsok egyenletre vezet.

19 / 20

ÖSSZEFOGLALÁS




A valóságos folyamatok modellezése nehéz matematikát igényel.

19 / 20

ÖSSZEFOGLALÁS




A valóságos folyamatok modellezése nehéz matematikát igényel.

Az igazi kihívás olyan matematikai kérdés kituzése és megoldása,ami nem reménytelenül nehéz, de azért mond valamit a világról.

19 / 20

Köszönöm a figyelmet!

20 / 20

Documents

A matematika néhány kihívása napjainkbanweb.cs.elte.hu/~mrobert/MEAM/03.12.%20-%20A%20...A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA NAPJAINKBAN Simon L. Péter ELTE, Matematikai Intézet