A partir de la ecuación de Newton, se puede inferir una funcion potencial. Consecuencias conceptuales y practicas… Hay una función ADITIVA de la velocidad

A partir de la ecuación de Newton, se puede inferir una funcion

potencial. Consecuencias conceptuales y practicas…

222

211 2

1)(

2

1)( mvxUmvxU

•Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la posición (Energía) que permanece constante•La fuerza es menos la derivada espacial de esta función. •La velocidad es una función exclusiva del espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y su energía inicial, para conocer su velocidad.

•Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos al punto original, nada ha cambiado (es decir la velocidad es la misma, la posición la misma, la física (las fuerzas) la misma y por lo tanto todo se repite, resultando en oscilaciones. En particular, no es demasiado difícil oscilar en un mundo no disipativo. Basta volver a pasar en algún momento por el punto de origen.

(x1,v1)

(x2,v2)



222

211 2

1)(

2

1)( mvxUmvxU



(x1,v1)

(x2,v2)dx

xdUxF

)()(



222

211 2

1)(

2

1)( mvxUmvxU



(x1,v1)

(x2,v2)dx

xdUxF

)()(

dx

xdU

dt

dvm

)(

Dos potenciales importantes: Introduciendo el mundo elástico como el

“equilibrio puntual generico” o la resistencia a alejarse.

G(Superf) = -mg U(x)=mgx

Resorte = -kx 2

)(2kx

xU

2

2mvmgxE

22

22 mvkxE

U(x)

U(x)

¿Cuales son los aspectos comunes y las diferencias fundamentales entre estos dos potenciales?

VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA En un punto dado del espacio, una función no puede más que:

• Tener un máximo. (Equlibrio inestable)

• Tener un mínimo (Equlibrio estable)

• Ser constante. (Punto indiferente)

• Crecer o decrecer (Punto de aceleración)






Movimiento genérico en la línea resulta de una yuxtaposición de estos operadores elementales.






A partir de una función potencial uno puede LEER el movimiento y conocer en pleno detalle todos sus aspectos cualitativos. Por lo tanto, el problema del movimiento en una dimensión, con fuerzas conservativas esta, esencialmente, resuelto. En lo que sigue extenderemos este problema a un mundo que será mas complejo por:1) La dimensionalidad del espacio (pasar de la línea al plano) lo cual introduce una relación entre la geometría y la dinámica.2) La introducción de fuerzas no conservativas que, veremos, no permiten utilizar una función temporal.


2)( xbxaxF

¿Como es el movimiento si (a y b > 0), si (a < 0 y b > 0), si (a > 0 y b < 0) si (a < 0 y b < 0)?

La “logica” del movimiento en 1 dimension

en el espacio de las fuerzas.

SISTEMAS DINAMICOS: Formas canonicas de

movimiento. 2)( xbxaxF

b

a

b=0

?

SISTEMAS DINAMICOS: Formas canonicas de


b

a

b=0

SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de


b

a

b=0

?



b

a

b=0



b

a

b=0



b

a

b=0

?



b

a

b=0

x=0



b

a

b=0

x=0x=-a/b



b

a

b=0

x=0x=-a/b

?



b

a

b=0

x=0x=-a/b

x=0



b

a

b=0

x=0x=-a/b

x=0



b

a

b=0

x=0x=-a/b

x=0

?



b

a

b=0

x=0x=-a/b

x=0

x=0



b

a

b=0

x=0x=-a/b

x=0

x=0 x=-a/b



b

a

b=0

x=0x=-a/b

x=0

x=0 x=-a/b

?



b

a

b=0

x=0x=-a/b

x=0

x=0 x=-a/b

x=0


movimiento: Moraleja 1 2)( xbxaxF

b

a

b=0

x=0x=-a/bx=0 x=-a/b

x=0Sistema Lineal, un único

comportamiento: Atractivo (Oscilaciones) o Expulsión

(Divergencia)


movimiento. Moraleja 2 2)( xbxaxF

b

a

b=0

x=0x=-a/b

x=0

x=0 x=-a/b

x=0

La estabilidad (atractivo o repulsivo) esta dado solo por el

termino

lineal (a).



b

a

b=0

x=0x=-a/b

x=0

x=0 x=-a/b

x=0

El comportamiento asintotico depende del termino con

mayor exponente

(b) (en este caso 2) Si

este es par, no todas las soluciones

no son

acotadas.



b

a

b=0

-5 0 5-40

-30

-20

-10

0

10

-5 0 5-10

0

10

20

30

40

-5 0 5-40

-30

-20

-10

0

10

-5 0 5-10

0

10

20

30

40

F=0

Formas canónicas de movimiento: Una representación correcta y adecuada (entendiendo todo en un “golpe de

ojo”)

2)( xbxaxF

b

a

b=0

-5 0 5-20

0

20

40

-5 0 5-20

0

20

40

-5 0 5-40

-20

0

20

-5 0 5-40

-20

0

20

)1(

1)(*9*850037)(

2532

x

xsenxxxxxF

¿Como es el movimiento en este campo de fuerzas?



¿El movimiento es acotado?

)100(

1)(*9*850037)( 532

x

xsenxxxxxF




)arctan()cos(5

9

4

8

3

500

2

37)( 6432 xxxxxxxF

)1(

1)(*9*850037)(

2532

x

xsenxxxxxF



-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

)cos()()( xxxsenxF




¿Existen distintos estados “cualitativos” de movimiento?

)cos()()( xxxsenxF




¿Existen distintos estados “cualitativos” de movimiento?

)()( xsenxxU

)cos()()( xxxsenxF



)()( xsenxxU

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

-1

0

1

2

3

4

5

¿Problema resuelto? ¿Encontramos todos los puntos de equlibrio?

)cos()()( xxxsenxF



)()( xsenxxU

De hecho este potencial tiene infinitos mínimos (con sus correspondientes barreras)

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

)cos()()( xxxsenxF



)()( xsenxxU

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

-1

0

1

2

3

4

5

¿Que soluciones existen en este rango?

)cos()()( xxxsenxF



)()( xsenxxU

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

-1

0

1

2

3

4

5


Energía menor que la barrera

Energía mayor que la barrera

)cos()()( xxxsenxF



)()( xsenxxU

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

-1

0

1

2

3

4

5


Si esta es la posición

inicial, que sabemos de la

energía

)cos()()( xxxsenxF



)()( xsenxxU

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

-1

0

1

2

3

4

5


La energía es mayor o igual

que el valor de U en xo.

Esto se debe al hecho de que T

nunca es negativa

U(x)

E=U(x)+T > U(x)

)cos()()( xxxsenxF



)()( xsenxxU

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

-1

0

1

2

3

4

5

Cuales son las trayectorias cualitativas de estas dos masas?

UNA VEZ MAS VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA En un punto dado del espacio, una función no puede más que:





A partir de una función potencial uno puede LEER el movimiento y conocer en pleno detalle todos sus aspectos cualitativos. Por lo tanto, el problema del movimiento en una dimensión, con fuerzas conservativas esta, esencialmente, resuelto. En lo que sigue extenderemos este problema a un mundo que será mas complejo por:1) La dimensionalidad del espacio (pasar de la línea al plano) lo cual introduce una relación entre la geometría y la dinámica.2) La introducción de fuerzas no conservativas que, veremos, no permiten utilizar una función temporal.


Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo de su dirección.

222

2

1

2 yx vmvmmv

T


222

2

1

2 yx vmvmmv

T

dt

vdm

dt

vdmdt

vdm

dt

dT yx)()(

2

1

2

)(22

2


222

2

1

2 yx vmvmmv

T

dt

vdm

dt

vdmdt

vdm

dt

dT yx)()(

2

1

2

)(22

2

yyxxy

yx

x vFvFdt

dvvm

dt

dvvm

dt

dT


222

2

1

2 yx vmvmmv

T

dt

vdm

dt

vdmdt

vdm

dt

dT yx)()(

2

1

2

)(22

2

yyxxy

yx

x vFvFdt

dvvm

dt

dvvm

dt

dT

xdFdyFdxFdtvFdtvFdT yxyyxx


222

2

1

2 yx vmvmmv

T

dt

vdm

dt

vdmdt

vdm

dt

dT yx)()(

2

1

2

)(22

2

yyxxy

yx

x vFvFdt

dvvm

dt

dvvm

dt

dT


dvvmdxxF )(O aun reordenando términos:

Diferencial de Trabajo(por definición) y aquí se

adivina la relevancia de esta cantidad.

Diferencial de Energía Cinetica

dvmvvm

d )2( 2


xdF

F


ydF

En general se puede resolver el problema en la dirección de movimiento. Esto es trivial (ha de hacerse una sola vez) cuando el movimiento es rectilíneo, independientemente de la dirección de la fuerzs. Cuando el movimiento es curvo el problema es iterativo porque para hacer esta proyección hace falta conocer la trayectoria para la cual hace falta conocer las fuerzas y así siguiendo…

La proyección de la fuerza que contribuye al trabajo (y de hecho, en este caso, al movimiento) porque el plano ejerce una fuerza igual y contraria con lo que todas la fuerzas resultante son paralelas a la dirección de movimiento.En un caso genérico, fuerzas transversales pueden contribuir al movimiento (modificando la dirección, sin realizar trabajo)

Primer manifestación de la direccionalidad: El signo


Un “campo” de fuerzas constante

(x1,v1)

(x2,v2)

Trayectoria forzada en un campo constante¿Cuál es el trabajo de esta fuerza?

Primer manifestación de la direccionalidad: El signo


Un “campo” de fuerzas constante

(x1,v1)

(x2,v2)

Trayectoria forzada en un campo constante¿Cuál es el trabajo de esta fuerza?

9.0)cos(ˆˆ FsdFFsdF

6.0)cos(ˆˆ FsdFFsdF 8.0)cos(ˆˆ FsdFFsdF

Mapas Escalares: La anatomía de la función abs(xy)

-50 0 50-50

0

50

-50 0 500

1000

2000

3000

-50 0 500

100

200

300

400

-500

50

-500

500

2000

4000

-50 0 50-50

0

50

-50 0 50

-50

0

50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

1

2

3

4

5

6

Imagenes del mapa A lo largo de curvas En coordenadas polares

Gradiente, la dirección (y cantidad de cambio, de una función escalar)

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2-0.5

0

0.5

Mapas Escalares: La anatomía de la función x*exp(r2)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Dos representaciones equivalentes de las “ternas” (x,y,f(x,y))

Las curvas de nivel, o las direcciones a lo largo de las cuales una función no cambia y aquellas, ortogonales, de máximo cambio.

Inferir la tendencia al cambio a partir de una función potencial

Inferir la tendencia al cambio a partir de una función potencial

Función Potencial y campo gradiente, dos conceptos hermanaos. El gradiente es el vector formado por el valor de cambio (con signo) en cada dirección. Apunta entonces en la dirección donde la función mas crece. La fuerza es inversa al gradiente y cambia el momento (alterando la tendencia a mantener la velocidad constante). Nótese que el momento evoluciona en dirección de los pozos de potencial. Nótese también que el movimiento no converge a los pozos (es decir, no se estaciona en un mínimo) porque la partícula tiene inercia. Un pozo suficientemente profundo “atrapa una particula” que oscila en este pozo.

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A partir de la ecuación de Newton, se puede inferir una funcion potencial. Consecuencias conceptuales y practicas… Hay una función ADITIVA de la velocidad