Upload
trinhthuy
View
296
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
a. Persamaan Garis Singgung Dengan Gradien 𝑚 Pada Elips Jika garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 menyinggung parabola !!!
!
!!!+ !!! !
!!!= 1 maka
sesuai yang sudah dipelajari pada sistem persamaan liner dan kuadrat adalah
!!! !
!!!+ !!! !
!!!= 1
!!! !!! !
!!!!!!+ !!! !!! !
!!!!!!= 1
𝑑!! 𝑥 − ℎ ! + 𝑑!
! 𝑦 − 𝑘 ! = 𝑑!!𝑑!
!
𝑑!! 𝑥 − ℎ ! + 𝑑!
! 𝑚𝑥 + 𝑛 − 𝑘 ! = 𝑑!!𝑑!
!
𝑑!! 𝑥! − 2ℎ𝑥 + ℎ! + 𝑑!
! 𝑚𝑥 − 𝑘 + 𝑛 ! = 𝑑!!𝑑!
!
𝑑!! 𝑥! − 2ℎ𝑥 + ℎ! + 𝑑!
! 𝑚𝑥 − 𝑘 ! + 2𝑛 𝑚𝑥 − 𝑘 + 𝑛! = 𝑑!!𝑑!
!
𝑑!! 𝑥! − 2ℎ𝑥 + ℎ! + 𝑑!
! 𝑚!𝑥! − 2𝑚𝑘𝑥 + 𝑘! + 2𝑛 𝑚𝑥 − 𝑘 + 𝑛! = 𝑑!!𝑑!
!
𝑑!! 𝑥! − 2ℎ𝑥 + ℎ! + 𝑑!
! 𝑚!𝑥! − 2𝑚𝑘𝑥 + 𝑘! + 2𝑛𝑚𝑥 − 2𝑛𝑘 + 𝑛! = 𝑑!!𝑑!
!
𝑑!!𝑥! − 2𝑑!
!ℎ𝑥 + 𝑑!!ℎ! + 𝑑!
!𝑚!𝑥! − 2𝑑!!𝑚𝑘𝑥 + 𝑑!
!𝑘! + 2𝑑!!𝑛𝑚𝑥 − 2𝑑!
!𝑛𝑘 + 𝑑!!𝑛! = 𝑑!
!𝑑!!
𝑑!!𝑥! + 𝑑!
!𝑚!𝑥! − 2𝑑!!𝑚𝑘𝑥 + 2𝑑!
!𝑛𝑚𝑥 − 2𝑑!!ℎ𝑥 + 𝑑!
!ℎ! + 𝑑!!𝑘! − 2𝑑!
!𝑛𝑘 + 𝑑!!𝑛! = 𝑑!
!𝑑!!
𝑑!! + 𝑑!
!𝑚! 𝑥! − 2𝑑!!𝑚𝑘 − 2𝑑!
!𝑛𝑚 + 2𝑑!!ℎ 𝑥 + 𝑑!
!ℎ! + 𝑑!! 𝑘! − 2𝑛𝑘 + 𝑛! = 𝑑!
!𝑑!!
𝑑!! + 𝑑!
!𝑚! 𝑥! − 2 𝑑!!𝑚 𝑘 − 𝑛 + 𝑑!
!ℎ 𝑥 + 𝑑!!ℎ! + 𝑑!
! 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!!𝑑!
! = 0
Persamaan di atas adalah persamaan kuadrat dengan
𝑎 = 𝑑!! + 𝑑!
!𝑚! 𝑏 = −2 𝑑!!𝑚 𝑘 − 𝑛 + 𝑑!
!ℎ 𝑐 = 𝑑!!ℎ! + 𝑑!
! 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!!𝑑!
! Agar garis menyinggung elips maka 𝐷 = 0
𝐷 = 0𝑏! − 4𝑎𝑐 = 0−2 𝑑!
!𝑚 𝑘 − 𝑛 + 𝑑!!ℎ
!− 4 𝑑!
! + 𝑑!!𝑚! 𝑑!
!ℎ! + 𝑑!! 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!
!𝑑!! = 0
4 𝑑!!𝑚 𝑘 − 𝑛 + 𝑑!
!ℎ!− 4 𝑑!
! + 𝑑!!𝑚! 𝑑!
!ℎ! + 𝑑!! 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!
!𝑑!! = 0
𝑑!!𝑚 𝑘 − 𝑛 + 𝑑!
!ℎ!− 𝑑!
! + 𝑑!!𝑚! 𝑑!
!ℎ! + 𝑑!! 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!
!𝑑!! = 0
𝑑!
!𝑚 𝑘 − 𝑛 + 𝑑!!ℎ
!= 𝑑!
! + 𝑑!!𝑚! 𝑑!
!ℎ! + 𝑑!! 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!
!𝑑!!
𝑑!!𝑚! 𝑘 − 𝑛 ! + 𝑑!
!ℎ! + 2𝑑!!𝑑!
!𝑚ℎ 𝑘 − 𝑛 = 𝑑!! + 𝑑!
!𝑚! 𝑑!!ℎ! + 𝑑!
! 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!!𝑑!
!
Yang sebelah kanan tanda sama dengan = 𝑑!
! + 𝑑!!𝑚! 𝑑!
!ℎ! + 𝑑!! 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!
!𝑑!!
= 𝑑!! 𝑑!
!ℎ! + 𝑑!! 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!
!𝑑!! + 𝑑!
!𝑚! 𝑑!!ℎ! + 𝑑!
! 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!!𝑑!
!
= 𝑑!!ℎ! + 𝑑!
!𝑑!! 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!
!𝑑!! + 𝑑!
!𝑑!!ℎ!𝑚! + 𝑑!
!𝑚! 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!!𝑑!
!𝑚!
Substitusikan kembali didapatkan 2𝑑!
!𝑑!!𝑚ℎ 𝑘 − 𝑛 = 𝑑!
!𝑑!! 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!
!𝑑!! + 𝑑!
!𝑑!!ℎ!𝑚! − 𝑑!
!𝑑!!𝑚!
2𝑚ℎ 𝑘 − 𝑛 = 𝑘 − 𝑛 ! − 𝑑!! + ℎ!𝑚! − 𝑑!
!𝑚!
𝑑!!𝑚! + 𝑑!
! = 𝑘 − 𝑛 ! − 2𝑚ℎ 𝑘 − 𝑛 + ℎ!𝑚!
𝑑!!𝑚! + 𝑑!
! = 𝑘 − 𝑛 −𝑚ℎ !
± 𝑑!!𝑚! + 𝑑!
! = 𝑘 − 𝑛 −𝑚ℎ
𝑛 = 𝑘 −𝑚ℎ ± 𝑑!!𝑚! + 𝑑!
!
Substitusi balik ke persamaan garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑘 −𝑚ℎ ± 𝑑!!𝑚! + 𝑑!
!
𝑦 − 𝑘 = 𝑚𝑥 −𝑚ℎ ± 𝑑!!𝑚! + 𝑑!
!
𝑦 − 𝑘 = 𝑚 𝑥 − ℎ ± 𝑑!!𝑚! + 𝑑!
!
Persamaan garis yang bergradien 𝑚 pada elips !!!!
!!!+ !!! !
!!!= 1 adalah
𝑦 − 𝑘 = 𝑚 𝑥 − ℎ ± 𝑑!!𝑚! + 𝑑!
!