A Pragmatic Introduction to the Finite Element Method for Thermal and Stress pkrysl/sofea/book-hyper- Pragmatic Introduction to the Finite Element Method for Thermal and Stress Analysis With the Matlab toolbox SOFEA Petr Krysl

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  • A Pragmatic Introduction to the

    Finite Element Method

    for Thermal and Stress Analysis

    With the Matlab toolbox SOFEA

    Petr Krysl

  • 2

    Copyright (c) December 31, 2005 Petr Krysl.

    pkrysl@ucsd.edu

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    To my family.

    Published by the Pressure Cooker Press.

    Library of Congress Cataloging-in-Publication Data

    Krysl, Petr

    A Pragmatic Introduction to the Finite Element Method for Thermal and Stress Analysis.With the Matlab toolbox SOFEA./ Petr KryslIncludes bibliographical references and index.

    Manufactured in the United States of AmericaSan Diego, California

  • Contents

    I Introducing the Galerkin method 1

    1 Model of a Taut Wire 31.1 Deriving the PDE model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Balance equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Boundary conditions (in space) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Initial conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Anything else? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2 The method of Mr. Galerkin 72.1 Residual of the balance equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Integral test of the residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Test function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Trial function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Manipulation of the residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Stiffness and mass matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7 Piecewise linear basis functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8 Numerical quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.9 Putting it together: system of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    3 Introducing the Matlab code 173.1 Statics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Statics: uniform load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Free vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Integration of transient motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3.4.1 Using built-in Matlab solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.2 Using the Trapezoidal integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4 The boundary conditions for the model of a taut wire 254.1 Essential and natural boundary conditions at separate end-points . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Essential boundary conditions only . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Natural boundary conditions only . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Overspecified boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    II Thermal analysis 31

    5 Model of Heat Diffusion 335.1 Balance equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Constitutive equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.4 Initial condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.5 Summary of the PDE model of heat conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    i

  • ii CONTENTS

    6 Galerkin method for the model of heat conduction 396.1 Weighted residual formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2 Reducing the model dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.3 Test and trial functions: basis functions on triangulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.4 Basis functions on the standard triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.5 Discretizing the weighted residual equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.6 Derivatives of the basis functions; Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.7 Numerical integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.8 Conductivity matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.9 Surface heat transfer matrix and load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    7 Steady-state heat diffusion solutions 597.1 Steady-state diffusion equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2 Thick-walled tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3 Orthotropic insert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.4 The T4 NAFEMS Benchmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    8 Transient heat diffusion solutions 678.1 Discretization in time for transient heat diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2 Transient diffusion: The T3 NAFEMS Benchmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.3 Transient cooling in a shrink-fitting application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    9 Expanding the library of element types 759.1 Quadratic triangle T6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.2 Quadratic 1-D element L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779.3 Point element P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779.4 Measuring (integrating) over domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789.5 Tetrahedron T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    9.5.1 Example: helical geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.6 On the simplex elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829.7 Quadrilateral Q4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829.8 Hexahedron H8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839.9 Extracting the mesh boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    10 Convergence and error control 8510.1 Interpolation errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    10.1.1 Interpolation error for temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.1.2 Interpolation error for temperature gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8710.1.3 Controlling the error; Convergence rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    10.2 Richardson extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9010.3 The T4 NAFEMS Benchmark revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9010.4 Shrink fitting revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    III Stress analysis 95

    11 Model of elastodynamics 9711.1 Balance of linear momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9711.2 Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9911.3 Local equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    11.3.1 Change of linear momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10111.3.2 Stress divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10211.3.3 All together now . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    11.4 Strains and displacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10411.5 Constitutive equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

  • CONTENTS iii

    11.6 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10711.6.1 Example: concrete dam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10811.6.2 Example: rigid punch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10811.6.3 Formal definition of boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10911.6.4 Inadmissible concentrated boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10911.6.5 Symmetry and anti-symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11111.6.6 Example: pure-trac