A tr s az id termszete

Stephen Hawking Roger Penrose

A tr s az id termszeteAKKORD KIAD

A m eredeti cme:

Stephen Hawking Roger Penrose

The Nature of Space and Time

Princeton University Press

Isaac Newton Institutes Series of Lectures

Fordtotta:

Both Eld

Szaklektor:

Abonyi Ivn

Fedlterv:

Kllai Nagy Krisztina

Copyright 1996 by Princeton University Press

Hungarian translation Dr. Both Eld, 1999

Minden jog fenntartva. A knyv brmely rszlete csak a kiad elzetes engedlyvel hasznlhat fel.

ISBN 963 9429 41 4

ISSN 1586-8419

Kiadja az Akkord Kiad Kft.

Felels kiad: Fldes Tams

Felels szerkeszt: Vrlaki Tibor

Kszlt a Borsodi Nyomda Kft.-ben

Felels vezet: Ducsai Gyrgy

TARTALOM

ELSZ7

Michael Atiyah

KSZNETNYILVNTS9

Els fejezet

A KLASSZIKUS ELMLET13

Stephen Hawking

Msodik fejezetA TRID SZINGULARITSAINAK SZERKEZETE43

Roger Penrose

Harmadik fejezet

KVANTUMOS FEKETE LYUKAK57

Stephen Hawking

Negyedik fejezet

A KVANTUMMECHANIKA S A TRID87

Roger Penrose

tdik fejezet

KVANTUMKOZMOLGIA103

Stephen Hawking

Hatodik fejezet

A TRID TVISZTOR KPE139

Roger Penrose

Hetedik fejezet

A VITA159

Stephen Hawking s Roger Penrose

IRODALOMJEGYZK181

MAGYAR NYELV IRODALOM184

MUTAT185

ELSZ

A knyvnkben megrktett vita Roger Penrose s Stephen Hawking kztt az 1994-ben a Cambridge Egyetem Isaac Newton Matematikai Tudomnyok Intzetben tartott hat hnapos program cscspontja volt. Bemutatjuk a Vilgegyetem termszetre vonatkoz legalapvetbb elkpzelsek nmelyikrl folytatott mlyensznt elemzst. Mondanunk sem kell, mg korntsem rtnk az t vgre; mg most is tovbbi rvelst ignyl bizonytalansgokkal s ellentmondsokkal tallkozunk.

Mintegy hatvan vvel ezeltt hres s szles kr vita bontakozott ki Niels Bohr s Albert Einstein kztt a kvantummechanika alapjairl. Einstein nem volt hajland elfogadni a kvantummechanikt a termszetet ler vgs elmletknt. Filozfiai szempontbl nem tallta kielgtnek, ezrt kemny csati voltak a Bohr ltal is kpviselt Koppenhgai Iskola ortodox rtelmezse ellen.

Bizonyos rtelemben a Penrose s Hawking kztti vita annak a rgi eszmecsernek a folytatsa, ahol Penrose jtssza Einstein szerept, Hawking pedig Bohrt. Most azonban sokkal bonyolultabb s tfogbb krdsek kerlnek napirendre, de, akrcsak annak idejn, most is egyarnt elfordulnak matematikai, fizikai rvek s filozfiai nzetek.

A kvantummechanika, vagy sokkal bonyolultabb vltozata, a kvantum-trelmlet mra mr kifejldtt, s komoly matematikai sikereket tudhat magnak, mg akkor is, ha akadnak Penrose-hoz hasonlak, akiknek filozfiai szempontbl ktelyeik vannak. Az ltalnos relativitselmlet, azaz Einstein gravitcielmlete ugyancsak killta az id prbjt, mialatt komoly sikereket rt el, br a fekete lyukak szingularitst illeten komoly problmk is felmerlnek.

A Hawking-Penrose-vita lnyegben arrl szl, hogyan lehet ezt a kt sikeres elmletet egyesteni, vagyis megalkotni a kvantumgravitcit. Mly fogalmi s matematikai problmkkal talljuk szembe magunkat, ezek kr csoportosulnak az eladsokban felsorakoztatott rvek.

A felmerlt legalapvetbb krdsek kz tartozik az id irnya, a kezdeti felttelek a Vilgegyetem szletse idejn, valamint az, hogyan kpesek a fekete lyukak informcit elnyelni. Ezekrl s sok ms krdsrl Hawking s Penrose kiss eltr mdon vlekednek. Elbb matematikai s fizikai fogalmak segtsgvel rszletesen bemutatjk rveiket, majd a vita lehetv teszi az eszmecsert s egyms felfogsnak alapos brlatt.

Br az egyes eladsok megrtse alapos matematikai s fizikai ismereteket ignyel, sok rvet magasabb (vagy mlyebb) szinten is elismtelnek, gy az a hallgatsg szlesebb kre szmra is rdekes lehet. Az olvas legalbbis zeltt kap a tmbl, valamint rzkelheti, hogy milyen bonyolult rszletekre kiterjed elkpzelseket vitatnak meg a szerzk, s milyen kihvst jelent, ha olyan egysges lerst akarunk adni a Vilgegyetemrl, amely a gravitcit s a kvantummechanikt egyarnt magban foglalja.

Michael Atiyah

KSZNETNYILVNTS

A szerzk, a kiad

s az Isaac Newton Matematikai Tudomnyok Intzete

hls ksznetket fejezik ki

az albbi szemlyeknek,

akik segtsgkre voltak az elads-sorozat

s a knyv ltrehozsban:

Matthias R. Gaberdiel,

Simon Gill, Jonathan B. Rogers,

Daniel R. D. Scott

s

Paul A. Shah.

A TR S AZ ID

TERMSZETE

ELS FEJEZET

A KLASSZIKUS ELMLET

S. W. Hawking

Elads-sorozatunkban Roger Penrose s jmagam kifejtjk egymsval sszefgg, de meglehetsen eltr llspontunkat a tr s az id termszetrl. Felvltva tartjuk az eladsokat, mindegyiknk hrmat, majd a sorozat zrsaknt vitatkozni fogunk a krdskr ktfle megkzeltsi mdjrl. Szeretnm hangslyozni, hogy tudomnyos eladsokat fogunk tartani. Felttelezzk, hogy hallgatsgunk tisztban van az ltalnos relativitselmlet s a kvantummechanika alapjaival.

Richard Feynman egyik rvid cikkben lerta egy, az ltalnos relativitselmlettel foglalkoz konferencin szerzett tapasztalatait. Szerintem az eset az 1962-es varsi konferencin trtnhetett, ahol meglehetsen eltl megjegyzsek hangzottak el a jelenlvk szakrtelmre s munkjuk jelentsgre vonatkozan. Az, hogy az ltalnos relativitselmlet hamarosan sokkal nagyobb elismerst szerzett magnak, mikzben az irnta tanstott rdeklds is fokozdott, jelents mrtkben Roger munkssgnak tudhat be. Egszen addig az ltalnos relativitselmlet matematikai lersa nem volt ms, mint parcilis differencilegyenletek zavaros rendszere egyetlen koordinta-rendszerben. A kutatkat oly megelgedettsggel tlttte el, ha talltak egy megoldst, hogy azzal sem trdtek, ha a megolds valsznleg semmifle fizikai tartalmat sem hordozott. Roger azonban modern fogalmakat vezetett be, mint pldul a spinorokat, s tfog (globlis) mdszereket alkalmazott. mutatott r els zben arra, hogy a megolds ltalnos tulajdonsgait az egyenletek pontos megoldsa nlkl is feltrhatjuk. Roger els szingularits-ttele vezetett be engem az oksgi szerkezet tanulmnyozsba, s ez sztnzte a szingularitsokra s a fekete lyukakra vonatkoz, klasszikusnak tekinthet munkimat.

Azt hiszem, a klasszikus terleten meglehetsen jl megrtjk egymst Rogerrel. A kvantumgravitci s tulajdonkppen maga a kvantummechanika terletn is azonban eltr a felfogsunk. Br a kvantummechanikai koherencia eltnsre vonatkoz elmletem miatt engem a rszecskefizikusok veszedelmes radiklisnak tartanak, Rogerhez kpest mgis hatrozottan konzervatvnak tnk. Azt a pozitivista nzetet fogadom el, mely szerint valamely fizikai elmlet pusztn csak matematikai modell, ezrt nincs rtelme megkrdezni, megfelel-e a valsgnak. Mindssze arra lehetnk kvncsiak, hogy az elmlet elrejelzsei sszhangban vannak-e a megfigyelsekkel. gy gondolom, Roger a lelke mlyn megrgztt platonista, sajt magrt azonban csakis kezeskedik.

Br elfordultak olyan feltevsek, melyek szerint a trid diszkrt szerkezet lehet, a magam rszrl semmilyen okot nem ltok arra, hogy az oly sikeresnek bizonyult kontinuum-elmleteket el kellene vetnnk. Az ltalnos relativits gynyr elmlet, amely minden eddigi megfigyelssel sszhangban ll. Lehetsges, hogy ha a Planck-skln akarjuk alkalmazni, akkor mdostanunk kell, nem hiszem azonban, hogy emiatt a belle levont kvetkeztetsek kzl tlontl sok ugyancsak megvltozna. Elkpzelhet, hogy az ltalnos relativits egy sokkal alapvetbb elmlet, pldul a hrelmlet kis energikra rvnyes kzeltse, de szerintem a hrelmletet rtkn fell adtk el. Elszr is nem vilgos, hogy a klnbz egyb terletekkel szupergravitcis elmlett egyestett ltalnos relativitselmlet ne tudna ltrehozni egy sszer kvantumelmletet. A szupergravitci hallrl szl beszmolkat tlzsnak tartom. Az egyik vben mindenki keresztet vetett a szupergravitcira. A kvetkez vben ms szelek fjtak, s mindenki azt lltotta, hogy a szupergravitciban divergenciknak kell fellpnik, br tnylegesen mg egyetlenegy ilyent sem talltak. A msodik ok, ami miatt nem trgyalom a hrelmletet, az, hogy az elmletnek nincsenek ellenrizhet jslatai. Az elmlet egyik elrejelzse a kicsiny perturbcik kialakulsa a felfvds idszakban. gy tnik, hogy a mikrohullm httrsugrzs kzelmltban vgzett megfigyelsei megerstik ezt az elrejelzst. Az elmlet msik jslata, mely szerint a fekete lyukaknak termikus sugrzst kell kibocstaniuk, elvben ellenrizhet. Ehhez mindssze tallnunk kell egy si eredet fekete lyukat. Sajnos, gy ltszik, mifelnk nem tl gyakori vendg az ilyen jszg. Ha viszont lennnek ilyenek, akkor mris tudnnk, hogyan kell a gravitcit kvantlni.

Az emltett elrejelzsek mg akkor sem mdosulnnak, ha a hrelmlet lenne a termszet vgs elmlete. A hrelmlet azonban legalbbis a jelenlegi fejlettsgi szintjn teljessggel kptelen az effle elrejelzsekre, kivve azt az egyetlenegyet, mely szerint az ltalnos relativits a termszetet ler elmlet kis energik vilgban mkd specilis esete. Gyantom, mindig ez lehet a helyzet, s a hrelmletbl egyetlen olyan megfigyelssel ellenrizhet elrejelzs sem kvetkezik, amely ne kvetkezne az ltalnos relativitselmletbl vagy a szupergravitcibl is. Ha ez igaz, akkor felmerl a krds, hogy a hrelmlet valdi tudomnyos elmlet-e. Vajon a matematikai szpsg s teljessg elegend akkor is, ha hinyoznak a megfigyelsekkel egyrtelmen ellenrizhet elrejelzsek? Radsul a hrelmlet jelenlegi formjban sem nem szp, sem pedig nem teljes.

Mindezen okok miatt eladsaimban az ltalnos relativitselmletrl fogok beszlni. Elssorban kt olyan terlettel kvnok foglalkozni, ahol a gravitci megnyilvnulsai az egyb trelmletektl teljessggel eltr jelensgekhez vezetnek. Az els az az elkpzels, mely szerint a gravitci lte kvetkeztben a tridnek szksgszeren van kezdete, st, taln mg vge is. A msodik az a felfedezs, melynek rtelmben gy tnik, hogy ltezik az anyag eredend (bels) gravitcis entrpija, amely nem a durva szemcszettsg kvetkezmnye. Egyesek azt lltjk, hogy ezek az elrejelzsek csupn a flklasszikus megkzelts szlemnyei. Szerintk a hrelmlet, a gravitci valdi kvantumelmlete, elkeni a szingularitsokat s korrelcikhoz vezet a fekete lyukak sugrzsban, ezrt az a durva szemcss rtelemben csak kzeltleg lesz termikus. Meglehetsen bosszant lenne, ha valban errl lenne sz. A gravitci ppen olyan lenne, mint brmely ms mez. n azonban azt hiszem, hogy a gravitci alapveten ms, mert maga alaktja ki azt a sznpadot, amelyen fellp, szemben a tbbi mezvel, amelyek a rajtuk kvl meghatrozott tridben mkdnek. Ez vezet el az id kezdetnek lehetsghez. Emiatt vannak a Vilgegyetemnek megfigyelhetetlen tartomnyai, ami viszont elvezet a gravitcis entrpia fogalmhoz, mint a megismerhetetlensg mrtkhez.

1.1. BRA

A p PONT KRONOLOGIKUS JVJE

Ebben az eladsomban ttekintem a klasszikus ltalnos relativitselmlet terletn vgzett, s a szban forg eredmnyekhez vezet kutatsokat. Msodik s harmadik eladsomban (a knyv 3. s 5. fejezetben) bemutatom, hogyan vltozik meg s terjed ki mindez, amikor ttrnk a kvantumgravitcira. Msodik eladsom a fekete lyukakrl fog szlni, a harmadik pedig a kvantumkozmolgirl.

A szingularitsok s a fekete lyukak vizsglatnak Roger ltal bevezetett s a kzremkdsemmel kifejlesztett dnt fontossg mdszere a trid tfog szerkezetnek tanulmnyozsa. Definiljuk I+(p)-t az M trid mindazon pontjainak sszessgeknt, amelyek p-bl a jv fel irnyul, idszer grbk mentn elrhetk (lsd az 1.1. brt). Az I+(p) gy kpzelhet el, mint mindazon esemnyek halmaza, amelyekre a p-ben bekvetkez trtnsek hatssal lehetnek. Hasonl defincit kapunk, ha a fentiekben a pluszt mnusszal, a jvt pedig a mlttal helyettestjk. A tovbbiakban az ilyen defincikat maguktl rtetdeknek tekintem.

1.2. BRA

A KRONOLGIKUS JV HATRVONALA SEM IDSZER, SEM PEDIG TRSZER NEM LEHET

Tekintsk ezutn az S halmaz jvjnek I+(S) hatrt. Meglehetsen knnyen belthat, hogy ez a hatr nem lehet idszer. Ebben az esetben ugyanis a kzvetlenl a hatr kls oldaln fekv q pont a kzvetlenl a hatr bels oldaln fekv p pont jvje lenne. A hatrfellet azonban trszer sem lehet, kivve magt az S halmazt. Ebben az esetben ugyanis a hatr kzelben fekv brmely q pontbl a mlt fel irnyul grbk tlpnk a hatrt, azaz kilpnnek az S jvjt alkot pontok halmazbl. Ezltal viszont ellentmondsba kerlnnk azzal a feltevsnkkel, hogy a q pont az S halmaz jvjben fekszik (1.2. bra).

1.3. BRA

FENT: A q PONT A JV HATRN FEKSZIK, EZRT VAN A HATRVONALNAK OLYAN FNYVONAL SZAKASZA, AMELY KERESZTLHALAD q-N. LENT: HA EGYNL TBB ILYEN SZAKASZ LTEZIK, AKKOR A q PONT EZEK JVBELI VGPONTJA LESZ

Arra a kvetkeztetsre jutunk teht, hogy a jv hatra fnyszer tvolsgra van magtl az S halmaztl. Pontosabban fogalmazva, amennyiben q a jv hatrn fekszik, de nem az S lezrsban, akkor ltezik egy, a mlt fel tart, q-n keresztlhalad s a hatron fekv fnyszer vagy nulla geodetikus vonal (a tovbbiakban: fnyvonal) (lsd az 1.3. brn). Elfordulhatna, hogy egynl tbb, q-n tmen fnyvonal fekszik a hatron, de ez esetben q a szakaszok jvben elhelyezked vgpontja lenne. Msknt fogalmazva, S jvjnek a hatrvonalt olyan fnyvonalak alkotjk, amelyek jvbeli vgpontja a hatron van, s ha metszenek egy msik alkott, akkor behatolnak a jv belsejbe. Msfell viszont az alkot fnyvonalak mltbeli vgpontja csakis S-ben helyezkedhet el. Az is lehetsges azonban, hogy lteznek olyan tridk, amelyekben lteznek az S halmaz jvjt hatrol olyan alkotk, amelyek soha nem metszik S-et. Ezeknek az alkotknak soha nem lehet mltbeli vgpontjuk.

1.4. BRA

HA EGY SZAKASZT KIVESZNK A MINKOWSKI-TRBL, AKKOR AZ S HALMAZ JVJE HATRVONALNAK LESZ OLYAN ALKOTJA, AMELYNEK NINCS MLTBELI VGPONTJA

Egyszer plda erre egy olyan Minkowski-tr, amelybl elhagyunk egy vzszintes szakaszt. (lsd az 1.4. brt). Ha az S halmaz a vzszintes vonal mltjban tallhat, akkor ez a szakasz mintegy rnykot vet a jvbe, vagyis lesznek a szakasz jvjben olyan pontok, amelyek nem rszei S jvjnek. Ltezni fog viszont S jvje hatrnak egy olyan alkotja, amely visszavezet a vzszintes szakasz vgig. Minthogy azonban a vzszintes szakasz vgpontjt mr kivettk a tridbl, a hatrfellet ezen alkotjnak nem lesz mltbeli vgpontja. Ez a trid teht nem teljes, kijavthatjuk azonban a hibjt, ha a vzszintes szakasz vge kzelben a metrikt megszorozzuk egy megfelel konform tnyezvel. Br az effle terek roppant mesterkltek, mgis fontosak, mert rmutatnak, milyen vatosaknak kell lennnk az oksgi szerkezetek tanulmnyozsa sorn. Valjban Roger Penrose, aki a doktori szigorlatomon az egyik vizsgztatm volt, kimutatta, hogy az ltalam az imnt lerthoz hasonl tr ellenpldul szolglhat a disszertcimban megfogalmazott egyes lltsokra.

Ha ki akarjuk mutatni, hogy a jv hatrfellete minden egyes alkotjnak van a rendszeren bell mltbeli vgpontja, akkor nhny ltalnos, az oksgi szerkezetekre vonatkoz felttelt kell szabnunk. A legersebb s fizikai szempontbl legfontosabb felttel a globlis hiperbolikussg. Valamely u nylt rendszert akkor nevezzk globlisan hiperbolikusnak, ha:

1.Az u rendszerben elfordul minden p, q pontprra igaz az, hogy p jvje s q mltja zrt tartomnyt hatroz meg. Ms szavakkal, a metszet egy krlhatrolt, gymntkristlyra emlkeztet alak tartomny lesz (1.5. bra).

2.u-ban szigor oksg rvnyesl. Ennek megfelelen u-ban nem fordulhatnak el zrt vagy csaknem zrt idszer grbk.

A globlis hiperbolikussg fizikai szempontbl azrt jelents, mert ebbl kvetkezen u-ban ltezik a (t) Cauchy-felletek csaldja (lsd az 1.6. brn).

1.5. BRA

p JVJNEK S q MLTJNAK METSZETE ZRT TARTOMNYT FOG KRL

1.6. BRA

AZ U-RA VONATKOZ CAUCHY-FELLETEK CSALDJAAz u-ra vonatkoz Cauchy-felletnek azokat a trszer vagy null-felleteket nevezzk, amelyek u minden idszer grbjt egyszer s csakis egyszer metszik. Megjsolhatjuk, mi trtnik u-ban az adatokkal a Cauchy-felleten, valamint a globlisan hiperbolikus httren jl viselked kvantum-trelmletet fogalmazhatunk meg. Kevsb egyrtelm, hogy a nem globlisan hiperbolikus httren megfogalmazhat-e egyltaln egy rtelmes kvantum-trelmlet. Eszerint a globlis hiperbolikussg fizikai szksgszersg lehet. llspontom szerint azonban fennllst mgsem ttelezhetjk fel, mert ezltal esetleg kizrnnk valamit, amit a gravitci kzlni prbl velnk. Inkbb ms, fizikailag sszer feltevsekbl arra a kvetkeztetsre kell jutnunk, hogy a trid bizonyos tartomnyai globlisan hiperbolikusak.

A kvetkezkben beltjuk, mirt olyan jelents a globlis hiperbolikussg a szingularitsi elmletek szmra. Legyen u globlisan hiperbolikus, tovbb p s q az u rendszer pontjai, melyeket idszer vagy fnyszer (null) grbe kt ssze. Ebben az esetben ltezik p s q kztt egy olyan idszer vagy geodetikus grbe amely a p s q kztti idszer vagy fnyszer

1.7. BRA

EGY GLOBLISAN HIPERBOLIKUS TRBEN BRMELY KT, IDSZER GRBVEL VAGY FNYVONALLAL SSZEKTHET PONT KZTT LTEZIK EGY MAXIMLIS HOSSZSG GEODETIKUS VONAL

grbk kzl a leghosszabb (1.7. bra). A bizonyts sorn megmutatjuk, hogy a p s q kzti sszes idszer vagy fnyszer grbe tere egy bizonyos topolgia esetn kompakt. Ezutn bebizonytjuk, hogy a grbe hossza ebben a trben fellrl flig folytonos fggvny. Mrpedig ebben az esetben kell maximumnak lennie, s a maximlis hosszsg grbnek geodetikus vonalnak kell lennie, msklnben az tvonal kicsiny megvltoztatsval hosszabb grbt kapnnk.

Ezutn megvizsglhatjuk a geodetikus vonal hossznak msodik varicijt. Kimutathat, hogy varilsval akkor kaphatunk hosszabb grbt, ha ltezik egy ugyancsak p-bl kiindul, msik, az elzvel szomszdos s ahhoz vgtelenl kzeli geodetikus vonal, amely -t mg egyszer metszi, mgpedig a p s q kztt fekv r pontban. Az r pontot p konjugltjnak nevezzk (1.8. bra). Az elrendezst egyszeren szemlltethetjk a Fld felsznn elhelyezked kt, p s q jel ponttal.

1.8. BRA

BALRA: HA VALAMELY GEODETIKUS VONALON FEKV p S q PONTOK KZTT TALLHAT EGY r KONJUGLT PONT, AKKOR EZ A VONAL NEM A MINIMLIS HOSSZSG GEODETIKUS VONAL. JOBBRA: A p S q KZTTI NEM MINIMLIS HOSSZSG GEODETIKUS VONAL A DLI-SARKON KONJUGLT PONTOT TARTALMAZ

Anlkl, hogy a plda ltalnossgt elvesztennk, legyen a p pont az szaki-sarkon. Minthogy a Fld felsznnek metrikja pozitv, nem pedig Lorentz-fle, ezrt nem maximlis, hanem minimlis hosszsg geodetikus vonalnak kell lteznie a felletn. Ez a minimlis geodetikus tvolsg ppen az szaki-sarkot s a q pontot sszekt hosszsgi kr mentn mrhet. Ltezik azonban a fldfelsznen ezen kt pont kztt egy msik geodetikus vonal is, nevezetesen az, amelyik az szaki-sarktl az elzvel ellenttes irnyban indul ki, majd a Dli-sarkon thaladva rkezik el q-ba. Ez a geodetikus vonal tartalmazza p konjugltjt, vagyis a Dli-sarkot, ahol a p-bl kiindul sszes geodetikus vonal metszi egymst. Mindkt, p s q kztti geodetikus vonal hossza a kis varicikkal szemben stacionrius. Most viszont, a pozitv metrika kvetkeztben a konjuglt pontot tartalmaz geodetikus vonal msodik varicija p s q kztt egy rvidebb grbt eredmnyezhet. gy a Fld pldja esetben arra a kvetkeztetsre juthatunk, hogy a Dli-sarkon keresztlhalad geodetikus vonal nem a legrvidebb t p s q kztt. A plda termszetesen teljesen nyilvnval. A trid esetben azonban kimutathat, hogy bizonyos felttelek teljeslse esetn lteznie kell egy globlisan hiperbolikus tartomnynak, amelyben a brmely kt pont kztt fut geodetikus vonalak konjugltjai megtallhatak. Ezzel olyan ellentmondsra jutottunk, amelynek rtelmben hamisnak bizonyult a geodetikus teljessg, vagyis a szingularitsmentes trid defincijaknt vett llts felttelezse.

A tridben azrt fordulhatnak el konjuglt pontok, mert a gravitci vonz klcsnhats. Emiatt a trid grblete olyan, hogy a szomszdos geodetikus vonalak egyms fel grblnek, nem pedig egymstl elfel. Mindez a Raychaudhuri- vagy a Newman-Penrose-egyenletbl lthat, amelyet egyestett formban rok fel.

A Raychaudhuri-Newman-Penrose-egyenlet:

,

aholn=2 a fnyvonal, vagyis a fnyszer geodetikus vonal

n=3 az idszer geodetikus vonal esetn.

A kpletben a hiperfelletre merleges, la rintvektor geodetikus vonal kongruencija mentn vett affin paramter. A mennyisg a geodetikus vonalak tlagos konvergencija (sszetartsnak teme), mg a nyrs mrtke. Az Rablalb kifejezs az anyagnak a geodetikus vonalak konvergencijra gyakorolt gravitcis hatst rja le.

Az Einstein-egyenlet:

.

A gyenge energiafelttel:

brmely a idszer vektorra.

Az Einstein-egyenletek szerint ez a tag egyetlen la nullvektorra sem lesz negatv, feltve, hogy az anyag engedelmeskedik az gynevezett gyenge energiafelttelnek. Eszerint a T00 energiasrsg egyetlen rendszerben sem lesz negatv. A gyenge energiafelttel minden normlis anyag, pldul skalrterek, elektromgneses terek vagy sszer egyenslyi llapotban lv folyadkok s gzok esetben a klasszikus energia-impulzus-tenzornak engedelmeskedik. Loklisan azonban nem elgtheti ki az energia-impulzus-tenzor kvantummechanikailag vrhat rtke. Minderre majd a msodik s harmadik eladsomban (3. s 5. fejezet) lesz szksg.

Ttelezzk fel, hogy fennll a gyenge energiafelttel s a p pontbl kiindul fnyvonalak valahol ismt sszetartakk vlnak, tovbb a pozitv 0 rtket veszi fel. Ebben az esetben a Newman-Penrose-egyenletbl az kvetkezne, hogy a konvergencia sorn a q pontnl az 1/0 affin paramtertvolsgon bell a vgtelenn vlik, ha a fnyvonal egyltaln elr addig a tvolsgig.

Ha = 0-nl = 0, akkor

gy ltezik egy konjuglt pont = 0 + -1 eltt.

A p-bl kiindul, egymshoz infinitezimlisan kzel es fnyvonalak q-ban metszik egymst. Ez azt jelenti, hogy a q pont a p konjugltja lesz, mikzben a kt pontot a fnyvonal kti ssze. A mentn a p konjuglt ponton tl fekv pontokra ltezik olyan varicija, amely p-bl kiindul, idszer grbt eredmnyez. Eszerint nem fekhet p jvjnek hatrain bell a q konjuglt ponton tl. Ezrt -nak, mint p jvje alkotjnak lesz egy jvbeli vgpontja (1.9. bra).

Az idszer geodetikus vonalak esetben hasonl a helyzet, annyi eltrssel, hogy az ers energiafelttel, amire ahhoz van szksgnk, hogy az Rablalb tag ne legyen negatv egyetlen la idszer vektorra sem, amint a neve is mutatja, jval ersebb felttelt jelent. Ez azonban fizikailag mg mindig sszer, legalbbis tlagolt rtelemben, a klasszikus elmlet szerint. Ha az ers energiafelttel fennll, s a p-bl kiindul idszer geodetikus vonalak ismt konverglni kezdenek, akkor lesz majd egy olyan q pont, amely p konjugltja.

Az ers energiafelttel:

.

1.9. BRA

A q PONT A p PONT FNYVONALN FEKV KONJUGLTJA, EZRT A p-T q-VAL SSZEKT FNYVONAL q-BAN ELHAGYJA p JVJNEK HATRTVgezetl szlnunk kell az ltalnos energiafelttelrl. Eszerint elszr is rvnyesnek kell lennie az ers energiafelttelnek. Msodszor, minden idszer geodetikus vonal vagy fnyvonal elr egy olyan pontot, ahol van olyan grblet, amely nem igazodik a geodetikus vonalhoz. Az ltalnos energiafelttelt jnhny ismert, egzakt megolds nem elgti ki. Ezek azonban meglehetsen specilis megoldsok. Arra szmthatunk, hogy egy megfelel rtelemben ltalnosnak tartott megolds viszont kielgti a felttelt. Ha az ltalnos energiafelttel fennll, akkor minden geodetikus vonal elr egy olyan tartomnyba, ahol gravitcis fkuszls mkdik. Ebbl kvetkezen lteznek konjuglt pontprok, ha a geodetikus vonalat minden irnyban kell tvolsgig ki tudjuk terjeszteni.

Az ltalnos energiafelttel:

1.rvnyes az ers energiafelttel.

2.Minden idszer geodetikus vonal vagy fnyvonal tartalmaz egy olyan pontot, ahol

Rendes krlmnyek kztt a trid szingularitsait olyan tartomnyoknak kpzeljk el, amelyeken bell a grblet hatrtalanul naggy vlik. Ha azonban ezt defincinak akarnnk tekinteni, akkor egyszeren kihagyhatjuk a szingulris pontokat, s azt mondhatjuk, hogy a megmarad sokasg alkotja a teljes tridt. Ezrt jobb gy definilni a tridt, mint a legnagyobb olyan sokasgot, amelyen a metrika megfelelen sima. Ezutn a szingularitsok elfordulst a nem teljes, vagyis az affin paramter vgtelen rtkeiig ki nem terjeszthet geodetikus vonalak ltezse alapjn ismerhetjk fel.

A szingularits defincija:

A trid akkor szingulris, ha az idszer geodetikus vonalak vagy a fnyvonalak szempontjbl nem teljes, viszont nem gyazhat be egy nagyobb tridbe.

Ez a definci a szingularitsok legobjektvebb tulajdonsgt tkrzi, nevezetesen azt, hogy ltezhetnek olyan rszecskk, amelyek trtnetnek vges idtartamon bell van kezdete s vge is. Ismernk pldkat a geodetikus vonalak nem teljes voltra olyan esetekben is, amikor a grblet korltos marad, de gy gondoljuk, hogy ltalnossgban a grblet a nem teljes geodetikus vonalak mentn divergens lesz. Mindez akkor fontos, ha kvantummechanikai jelensgekhez folyamodunk a klasszikus relativitselmleten bell a szingularitsokkal kapcsolatban felmerl problmk megoldsa rdekben.

1965 s 1970 kztt Penrose-zal egytt az imnt vzolt mdszert alkalmaztuk szmos szingularits-ttel bizonytsra. Ezen ttelek hromfle felttelre pltek. Elszr is volt valamilyen energiafelttel, pldul a gyenge, az ers vagy az ltalnos. Ezutn szerepelt valamilyen ltalnos felttel az oksgi szerkezetre vonatkozan, pldul az, hogy nem fordulhatnak el zrt, idszer grbk. Vgl volt valamilyen felttel arra vonatkozan, hogy bizonyos tartomnyokban a gravitci olyan ers, hogy onnan semmi sem szkhet meg.

Szingularits-ttelek:

1.Energiafelttel.

2.Felttel az ltalnos szerkezetre.

3.A gravitci elg ers ahhoz, hogy csapdba zrja a tr egy tartomnyt.

Ezt a harmadik felttelt tbbflekppen is megfogalmazhatjuk. Egyrszt kijelenthetjk, hogy a Vilgegyetem trbeli metszete zrt, ezrt nem ltezik olyan kls tartomny, ahov brmi is elmeneklhetne. A msik megfogalmazs szerint lteznek az gynevezett zrt, csapdba ejtett felletek. Ezek olyan zrt, ktdimenzis felletek, amelyeknl a bejv s a kimen, a felletre merleges fnyvonalak egyarnt sszetartak (1.10. bra). Kznsges krlmnyek kztt a Minkowski-trben elhelyezked szferikus, ktdimenzis tr esetben a bejv fnyvonalak sszetartak, a kilpek azonban szttartak. A csillagok sszeomlst kveten azonban a gravitcis tr olyan erss vlik, hogy a fnykpok befel billennek. Ennek kvetkeztben mg a kilp fnyvonalak is sszetartkk vlnak.

1.10. BRA

A KZNSGES, ZRT FELLET ESETBEN A FELLETET ELHAGY FNYVONALAK SZTTARTAK, MG A BEJVK SSZETARTAK. A ZRT CSAPDBA EJTETT FELLETNL A BEJV S A KILP FNYVONALAK EGYARNT SSZETARTAK

A klnfle szingularits-ttelek szerint a hromfle felttel klnbz kombinciinak fennllsa esetn a tridnek idszernek vagy a fnyvonalakat tekintve nem teljesnek kell lennie. A hrom felttel brmelyike gyengthet, ha egyidejleg a msik kettt erstjk. Ezt a Hawking-Penrose-ttellel szeretnm illusztrlni. Ebben fennll az ers energiafelttel, azaz a hrom energiafelttel kzl a legszigorbb. Az ltalnos felttel meglehetsen gyenge, eszerint nem lteznek zrt, idszer grbk.

1.11. BRA

AZ S RENDSZER D+(S) JVBELI CAUCHY-FOLYTATSA S ANNAK JVBELI HATRA, A H+(S) CAUCHY-HORIZONT

Vgl a kiszabadulst lehetetlenn tev felttel a legltalnosabb, ez ugyanis csupn annyit llt, hogy vagy csapdba ejtett felleteknek, vagy pedig zrt, trszer, hromdimenzis felleteknek kell lteznik.

Az egyszersg kedvrt csak a zrt, trszer, hromdimenzis S fellet esetre vonatkoz bizonytst vzolom fel. A D+(S) jvbeli Cauchy-folytatst azon q pontok halmazaknt definilhatjuk, amelyekbl kiindul, a mlt fel irnyul, idszer grbk mindegyike metszi az S felletet (1.11. bra). A Cauchy-folytats a tridnek az a tartomnya, amelyre vonatkozan az S-en tallhat adatokbl kiindulva elrejelzseket tehetnk. Ttelezzk most fel, hogy a jvben fekv Cauchy-folytats kompakt. Ebbl az kvetkezne, hogy a Cauchy-folytatsnak lenne egy jvbeli hatra, a H+(S) Cauchy-horizont. Hasonl rvelssel azt is megllapthatjuk, hogy valamely pont jvjnek hatrvonala esetben a Cauchy-horizontot olyan fnyvonal-szakaszok alkotnk, amelyeknek nincs mltbeli vgpontjuk. Minthogy azonban a Cauchy-folytatst kompaktnak tteleztk fel, ezrt a Cauchy-horizont is kompakt. Ez azt jelenti, hogy az alkot fnyvonalak krbe-krbe futva felcsavarodnak egy kompakt rendszer belsejben. Megkzeltik azt a hatr-fnyvonalat, amelynek a Cauchy-horizonton nincs sem mltbeli, sem pedig jvbeli vgpontja (1.12. bra). Ha viszont geodetikusan teljes lenne, akkor az ltalnos energiafelttelbl az kvetkezne, hogy tartalmaznia kellene a p s q konjuglt pontokat. A -n fekv, p-n s q-n tl elhelyezked pontok sszekthetk egy idszer grbvel. m ez ellentmonds lenne, mert a Cauchy-horizonton nem tallhatunk kt, egymstl idben elklnl pontot. Eszerint teht vagy geodetikusan nem teljes, amivel a ttelnket bebizonytottuk, vagy pedig S jvbeli Cauchy-folytatsa nem kompakt.

1.12. BRA

A CAUCHY-HORIZONTNAK VAN OLYAN HATROL FNYVONALA, MELYNEK NINCS A CAUCHY-HORIZONTON BELL SEM MLTBELI, SEM JVBELI VGPONTJA

Az utbbi esetben kimutathat, hogy ltezik olyan, a jv fel halad, idszer, S-bl kiindul grbe, amely soha nem hagyja el S jvbeli Cauchy-folytatst. Meglehetsen hasonl rvelssel az is kimutathat, hogy meghosszabbthat a mlt irnyban, olyan grbeknt, amely soha nem hagyja el a D-(S) mltbeli Cauchy-folytatst (1.13. bra). Tekintsnk ezutn egy xn pontsorozatot mlt fel tart, s egy yn pontsorozatot a jvbe tart szakaszn.

1.13. BRA

HA A JVBELI (MLTBELI) CAUCHY-FOLYTATS NEM KOMPAKT, AKKOR LTEZIK OLYAN, S-BL KIINDUL S A JV (MLT) FEL TART IDSZER GRBE, AMELY SOHA NEM HAGYJA EL A JVBELI (MLTBELI) CAUCHY-FOLYTATST

Az sszetartoz xn s yn pontokat n brmely rtkre idbeli tvolsg vlasztja el egymstl, mikzben mindkt pont S globlisan hiperbolikus Cauchy-folytatsn fekszik. Ezek szerint xn s yn kztt lteznie kell egy n maximlis hosszsg geodetikus vonalnak. Az sszes n szakasz keresztezi az S kompakt, trszer felletet. Ez azt jelenti, hogy a Cauchy-folytatsban ltezik egy olyan idszer geodetikus vonal, amely a n idszer geodetikus vonalak hatrgrbje (1.14. bra).

1.14. BRA

A n-EK HATRT ALKOT GEODETIKUS VONALNAK TELJESNEK KELL LENNIE, MERT MSKLNBEN KONJUGLT PONTOKAT KELLENE TARTALMAZNIA

Ezek szerint vagy nem teljes, amely esetben ttelnk bizonytottnak tekinthet, vagy pedig az ltalnos energiafelttel miatt konjuglt pontokat tartalmaz. Ebben az esetben viszont n elegenden nagy rtke esetn brmely n tartalmazna konjuglt pontokat. Ez azonban ellentmondst jelentene, mert feltteleztk, hogy a n-ek maximlis hosszsgak. Mindebbl arra a kvetkeztetsre juthatunk, hogy a trid vagy idszer, vagy pedig a fnyvonalak tekintetben nem teljes. Ms szavakkal kifejezve teht szingularitst talltunk.

A ttelek kt esetben jelzik szingularitsok ltezst. Az egyik fajta a csillagok s az egyb nagy tmeg gitestek gravitcis sszeomlsnak jvjben tallhat. Az ilyen tpus szingularits az id vgt jelenti, legalbbis a nem teljes geodetikus vonalakon mozg rszecskk szmra. A msik esetben a szingularits ltezst a mltban ttelezzk fel, nevezetesen a Vilgegyetem jelenleg megfigyelhet tgulsnak kezdetn. Mindennek eredmnyekppen (elssorban az oroszok) felhagytak mindazon prblkozsokkal, amelyek azzal rveltek, hogy a korbban (vagyis az srobbans eltt a fordt megjegyzse) ltezett sszehzd llapot egy nem szingulris visszalkds sorn fordult t tgulsba. Ezzel szemben manapsg csaknem mindenki azt felttelezi, hogy a Vilgegyetem s maga az id is az srobbanssal vette kezdett. Ez a felfedezs sokkal fontosabb holmi instabil elemi rszecskknl, ennek ellenre mind a mai napig nem jutalmaztk Nobel-djjal.

A szingularitsok elrejelzse azt jelenti, hogy a klasszikus ltalnos relativitselmlet nem teljes. Minthogy a szingulris pontokat ki kell rekeszteni a trid sokasgbl, ezrt nem tudjuk a belsejkre rtelmezni a tregyenleteket, s nem tudjuk megjsolni, mi alakul ki a szingularitsbl. gy tnik, hogy a mltbeli szingularits problmjt csakis a kvantumgravitci kpes megfelelen trgyalni. Erre a harmadik eladsomban (5. fejezet) majd visszatrek. Az elrejelzsek szerint a jvben kialakul szingularitsoknak viszont van egy rdekes tulajdonsga, amelyet Penrose kozmikus cenzrnak nevezett el. Az elnevezs azrt tall, mert a jelensg a kls megfigyel ell elrejtve, pldul a fekete lyukakban fordul el. Eszerint az elrejelezhetsg brminem srlse, ami ezen szingularitsokban elfordulhat, nem befolysolja a kls vilg trtnseit legalbbis a klasszikus elmlet szerint.

Kozmikus cenzra:

A termszet irtzik a csupasz szingularitstl.

Mindamellett, amint azt majd a kvetkez eladsomban kimutatom, a kvantumelmletben ltezik az elrejelezhetetlensg. Ez azzal a tnnyel ll kapcsolatban, hogy a gravitcis tereknek olyan bels entrpijuk van, amely nem a durva szemcszettsg eredmnye. A gravitcis entrpia, valamint az a tny, hogy az idnek volt kezdete s taln vge is lesz, szerepelni fognak az eladsaimban, mert e kt vonatkozsban a gravitci alapveten klnbzik ms fizikai mezktl.

Elszr a tisztn klasszikus elmlet keretei kzt ismertk fel azt a tnyt, mely szerint a gravitci esetben is megadhat egy az entrpihoz hasonlan viselked fizikai mennyisg. Ez a Penrose-fle kozmikus cenzra sejtsvel fgg ssze. Ezt ugyan mg nem sikerlt bebizonytani, de felttelezzk, hogy kellen ltalnos kiindul adatok s llapotegyenletek esetben igaz. A tovbbiakban a kozmikus cenzra gyenge formjt fogom hasznlni. Kzeltskppen ttelezzk fel, hogy az sszeoml csillagok kztti teret aszimptotikusan simnak tekintjk. Ezutn, amint azt Penrose kimutatta, a trid M sokasga alakhen (konform mdon) begyazhat egy olyan sokasgba, melynek hatra (1.15. bra). A M hatr fnyszer fellet lesz, amely kt rszbl ll, az +-nak s az --nak nevezett jvbeli, illetve mltbeli fnyszer vgtelenbl. Azt lltom, hogy a gyenge kozmikus cenzra fennll, ha az albbi kt felttel teljesl. Elszr is felttelezzk, hogy + fnyvonal alkoti egy bizonyos alakh (konform) metrika szerint teljesek. Ebbl az kvetkezik, hogy az sszeomlstl tvoli megfigyelk hossz ideig lnek, ugyanis nem semmisti meg ket egy, az sszeoml csillag ltal kidobott, villmcsapsszer szingularits. Msodszor, felttelezzk, hogy + mltja globlisan hiperbolikus. Ez azt jelenti, hogy nincsenek nagy tvolsgbl is lthat, csupasz szingularitsok. Penrose a kozmikus cenzra ersebb formjt lltotta fl, amely felttelezi, hogy az egsz trid globlisan hiperbolikus. Az n cljaimra azonban elegend a gyengbb vltozat.

1.15. BRA

AZ SSZEOML CSILLAG ALAKHEN (KONFORM MDON) BEGYAZHAT EGY OLYAN SOKASGBA, AMELYNEK HATRA VAN

Gyenge kozmikus cenzra:

1.Az + s az - teljes.

2.Az I-(+) globlisan hiperbolikus.

Ha fennll a gyenge kozmikus cenzra, akkor +-bl nem lthatak az elrejelzsek szerint a gravitcis sszeomlskor keletkez szingularitsok. Eszerint lteznie kell a trid olyan tartomnynak, amely nem rsze + mltjnak. Ezt a tartomnyt fekete lyuknak nevezzk, mert sem fny, sem brmi ms nem juthat tle vgtelen tvolra. A fekete lyuk krnyezetnek hatrt esemnyhorizontnak nevezzk. Mivel ez egyttal + mltjnak a hatra is, az esemnyhorizontot olyan fnyvonal-szakaszok alkotjk, amelyeknek mltbeli vgpontjuk lehet, jvbeli azonban nem.

1.16. BRA

HA ANYAGOT JUTTATUNK A FEKETE LYUKBA, VAGY MEGENGEDJK, HOGY KT FEKETE LYUK EGYESLJN, AKKOR AZ ESEMNYHORIZONTOK EGYTTES FELLETE SOHA NEM CSKKEN

Emiatt, amennyiben fennll a gyenge energiafelttel, akkor a horizont alkoti nem lehetnek sszetartak. Ha ugyanis azok lennnek, akkor vges tvolsgon bell metszenik kellene egymst.

Ebbl az kvetkezik, hogy az eredmnyhorizont keresztmetszetnek terlete az id mlsval soha nem cskkenhet, st ltalban nvekszik. Tovbb, ha kt fekete lyuk sszetkzik s egybeolvad, akkor a keletkez fekete lyuk keresztmetszetnek terlete nagyobb lesz, mint az eredeti kt fekete lyuk keresztmetszetnek sszege (1.16. bra). Ez a viselkeds felettbb hasonlt az entrpinak a termodinamika msodik fttele szerinti viselkedsre. Az entrpia soha nem cskkenhet, s a teljes rendszer entrpija mindig nagyobb, mint alkotrszei entrpiinak sszege.

A fekete lyukak mechanikjnak msodik fttele:

A termodinamika msodik fttele:

A fekete lyukak mechanikjnak els fttele:

A termodinamika els fttele:

A termodinamikval val hasonlsgot fokozza a fekete lyukak mechanikja els fttelnek is tekinthet sszefggs. Ez kapcsolatot teremt a fekete lyuk tmegnek, esemnyhorizontja felletnek, tovbb a fekete lyuk impulzusmomentumnak s elektromos tltsnek vltozsa kztt. Ezt sszehasonlthatjuk a termodinamika els fttelvel, amely a bels energia megvltozst fejezi az entrpia megvltozsa s a rendszeren vgzett kls munka segtsgvel. Megllapthat, hogy amennyiben az esemnyhorizont fellete analg az entrpival, akkor a hmrskletnek a fekete lyuk felszni gravitcijnak nevezett fizikai mennyisg felel meg. Ez az esemnyhorizonton uralkod gravitcis tr erssgnek mrtke. A termodinamikval vont prhuzam mg tovbb fokozhat, ha felrjuk a fekete lyukak mechanikjnak nulladik fttelt is: az idtl fggetlen fekete lyuk esetn a felszni gravitci az esemnyhorizont mentn mindentt ugyanakkora.

A fekete lyukak mechanikjnak nulladik fttele:

Az idtl fggetlen fekete lyuk esemnyhorizontjn mindentt ugyanakkora.

A termodinamika nulladik fttele:

A termikus egyenslyban lv rendszeren bell T mindentt ugyanakkora.

Ezen hasonlsgokon felbuzdulva Bekenstein (1972) felvetette, hogy az esemnyhorizont terletnek valamilyen tbbszrse tulajdonkppen a fekete lyuk entrpijnak tekinthet. Ezrt a kvetkezkppen fogalmazta meg a msodik fttel ltalnostott alakjt: a fekete lyuk entrpijnak s a fekete lyukon kvl fekv anyag entrpijnak sszege soha nem cskken.

Az ltalnostott msodik fttel:

Ez az elkpzels azonban nem volt kvetkezetes. Ha a fekete lyukaknak az esemnyhorizontjuk felletvel arnyos entrpijuk van, akkor a felszni gravitcijukkal arnyos, nulltl klnbz hmrskletknek is lenni kell. Vegynk szemgyre egy olyan fekete lyukat, amely a sajt hmrskletnl alacsonyabb hmrsklet termikus sugrzssal kerl kapcsolatba (1.17. bra). A fekete lyuk elnyeli a sugrzs egy rszt, azonban semmit sem kpes kisugrozni, hiszen a klasszikus elmlet szerint semmi sem hagyhatja el a fekete lyukat. A h teht az alacsonyabb hmrsklet sugrzs fell a magasabb hmrsklet fekete lyuk irnyba ramlik. Ez viszont megsrti az ltalnostott msodik fttelt, ugyanis a hmrskleti sugrzs entrpiavesztse nagyobb lenne, mint a fekete lyuk entrpijnak nvekedse.

1.17. BRA

A TERMIKUS SUGRZSSAL KAPCSOLATBA KERL FEKETE LYUK A SUGRZS EGY RSZT ELNYELI, A KLASSZIKUS ELMLET SZERINT AZONBAN SEMMIT NEM KPES KISUGROZNI

1.18. BRA

A termszet rendje csak akkor ltszott helyrellni, amikor kiderlt, hogy a fekete lyukakbl is kiindulhat sugrzs, mghozz ppen termikus, amint azt majd a kvetkez eladsomban ltni fogjuk. Ez az eredmny tlsgosan szp ahhoz, hogy vletlen egybeessnek vagy csupn kzelt jellegnek higgyk. gy tnik teht, hogy a fekete lyukaknak tnylegesen van bels gravitcis entrpijuk. Amint azt ki fogom mutatni, mindez a fekete lyuk topolgijnak nemtrivilis jellegvel hozhat sszefggsbe. A bels entrpia azt jelenti, hogy a gravitci a kvantumelmlet ltal lerton fell tovbbi bizonytalansgot hoz a rendszerbe. Einsteinnek teht nem volt igaza, amikor azt rta, hogy Isten nem jtszik kockajtkot. A fekete lyukakra vonatkoz megfontolsaink ugyanis arra engednek kvetkeztetni, hogy Isten igenis szokott kockzni, st nha mg ssze is zavar bennnket, hiszen olyan helyre dobja a kockt, ahol azt nem lthatjuk (1.18. bra).

MSODIK FEJEZET

A TRIDSZINGULARITSAINAKSZERKEZETE

R. Penrose

Az els eladsban Stephen Hawking a szingularits-ttelekkel foglalkozott. E ttelek lnyege az, hogy sszer (ltalnos) fizikai felttelek mellett szingularitsok ltezsre kell szmtanunk. A ttelek semmit sem mondanak a szingularitsok termszetrl, vagy arrl, hol tallhatk a szingularitsok. Msrszt viszont a ttelek nagyon ltalnosak. nknt addik teht a krds, milyen a trid szingularitsainak geometriai szerkezete. Erre vonatkozan rendszerint fel szoktuk ttelezni, hogy grbletk divergens. Magukbl a szingularitsi ttelekbl azonban nem pontosan ez kvetkezik.

A szingularitsok az srobbansban, a fekete lyukakban s a Nagy Reccsben fordulnak el (mely utbbit a fekete lyukak egyeslsnek tekinthetjk). Elvben elfordulhatnak emellett csupasz szingularitsknt is. Ezzel kapcsolatos az gynevezett kozmikus cenzra, nevezetesen az a hipotzis, mely szerint ezek a csupasz szingularitsok mgsem fordulnak el.

A kozmikus cenzra elkpzelsnek kifejtshez engedjk meg, hogy kiss visszanyljak a krdskr trtnetbe. Az Einstein-egyenletek megoldsra az els, egy fekete lyukat ler, explicit pldt Oppenheimer s Snyder (1939) adta, akik egy sszeoml porfelh viselkedst vizsgltk. Ennek belsejben szingularits alakul ki, amely azonban kvlrl nem lthat, mert krlfogja az esemnyhorizont. Az esemnyhorizont az a fellet, amelyen bellrl az esemnyek nem kpesek vgtelen tvolsgba eljut jeleket kibocstani. Csbtnak tnt az a felttelezs, hogy ez a kp teljesen ltalnos, azaz a gravitcis sszeomls ltalnos lerst adja. Az O-S-modell azonban specilis szimmetrit tartalmaz (nevezetesen a kp gmbszimmetrikus), ezrt korntsem nyilvnval, hogy ms esetek lersra is alkalmas.

Minthogy az Einstein-egyenleteket ltalnos esetben nehz megoldani, ezrt clszerbb olyan ltalnos tulajdonsgokat keresni, amelyekbl a szingularitsok ltezsre kvetkeztethetnk.

2.1. BRA

AZ OPPENHEIMER-SNYDER-FLE SSZEOML PORFELH, A CSAPDBA ESETT FELLET ILLUSZTRCIJA

Az O-S-modell pldul csapdba ejtett felletet tartalmaz, melynek fontos tulajdonsga, hogy a r eredetileg merleges fnysugarak mentn cskken a kiterjedse (2.1. bra).

Megprblhatjuk kimutatni, hogy a csapdba esett fellet ltezsbl kvetkezik a szingularits jelenlte. (Ez volt az els szingularits-ttel, amelyet egy sszer oksgi feltevs alapjn fel tudtam lltani, anlkl hogy fel kellett volna tteleznem a gmbszimmetrit; lsd Penrose 1965.) Hasonl eredmnyeket vezethetnk le egy sszetart fnykp ltezsnek felttelezsbl kiindulva is (Hawking s Penrose 1970; ez akkor kvetkezik be, amikor valamely pontbl klnbz irnyba kibocstott fnysugarak bizonyos id elteltvel egyms fel kezdenek kzeledni).

Stephen Hawking (1965) nagyon hamar szrevette, hogy kozmolgiai skln az eredeti rvelsem a feje tetejre fordthat, vagyis az id irnynak megfordulsakor elll helyzetre is alkalmazni lehet. A visszjra fordtott csapdba esett felletbl az kvetkezik, hogy (megfelel oksgi felttelek alkalmazsa esetn) a mltban lteznie kellett egy szingularitsnak. Ebben az esetben a (megfordtott irny idnl) a csapdba esett fellet roppant nagy kiterjeds a kozmolgiai skln.

Most azonban a fekete lyukakkal kapcsolatos helyzet elemzse a legfontosabb feladatunk. Tudjuk, hogy valahol ltezik egy szingularits, de ahhoz, hogy tnyleges fekete lyukat kapjunk, be kell bizonytanunk, hogy valban ltezik krltte az esemnyhorizont. A kozmikus cenzra hipotzise pontosan ezt lltja, teht lnyegben azt, hogy magt a szingularitst kvlrl nem lehet ltni. Nevezetesen, a hipotzisbl az kvetkezik, hogy ltezik egy olyan tartomny, amelyen bellrl nem juthatnak ki jelek kvlre s vgtelen tvolra. Ennek a tartomnynak a hatra az esemnyhorizont. Erre a hatrfelletre azt a Stephen legutbbi eladsban elhangzott ttelt is alkalmazhatjuk, mely szerint az esemnyhorizont a jvbeli fnyszer vgtelen mltjnak hatra. gy teht tudjuk, hogy ez a hatrfellet

fnyszer fellet ott, ahol sima, s fnyvonalak alkotjk,

minden egyes nem sima pontjbl kiindulva tartalmaz egy jvben vg nlkli fnyvonalat,

tovbb

trbeli keresztmetszete az id mlsval soha nem cskkenhet.

Vgeredmnyben azt is sikerlt kimutatni (Israel 1967, Carter 1971, Robinson 1975, Hawking 1972), hogy az ilyen trid jvbeli aszimptotikus hatra nem ms, mint a Kerr-fle trid. Ez az eredmny roppant figyelemremlt, mert a Kerr-fle metrika az Einstein-fle vkuumegyenletek nagyon szp, egzakt megoldsa. Ez az rvels a fekete lyukak entrpijra is vonatkoztathat, ezrt kvetkez eladsomban (4. fejezet) lnyegben majd visszatrek r.

Ennek megfelelen mg az O-S-megolds kvalitatv hasonl voltval is tudunk valamit kezdeni. Van ugyan nhny eltrs nevezetesen, mi nem a Schwarzschild-, hanem a Kerr-fle megoldshoz rkeznk , m ezek viszonylag jelentktelenek. A kp lnyege meglehetsen hasonl.

A pontos rvels a kozmikus cenzra hipotzisn alapul. Tulajdonkppen a kozmikus cenzra nagyon fontos, mivel ezen alapul az egsz elmlet, s nlkle a fekete lyuk helyett borzalmas dolgokra bukkannnk. Ezrt valban fel kell tennnk magunknak a krdst, hogy mindez igaz-e. Rgen azt gondoltam, hogy a hipotzis hibs lehet, ezrt megprblkoztam klnfle ellenpldk konstrulsval. (Stephen Hawking egy zben azt a tnyt nevezte a kozmikus cenzra legmeggyzbb igazolsnak, hogy sikertelenl prbltam meg bebizonytani a feltevs hibs voltt szerintem azonban ez meglehetsen gyenge rv!)

A kozmikus cenzrt a trid idelis pontjaira vonatkoz elkpzelsekkel sszefggsben kvnom bemutatni. (Ezek Seifert 1971, valamint Geroch, Kronheimer s Penrose 1972 elkpzelsei.)

2.2. BRA

MLTBELI RENDSZEREK, IFMR-EK S VFMR-EK (IGAZI, ILLETVE VGS FMR-EK)

Az alaptlet szerint a tridhz hozzadhatak tnyleges szingulris pontok s vgtelenben lv pontok, vagyis az gynevezett idelis pontok. Vezessk be mindenekeltt az FMR-t, vagyis a felbonthatatlan mltbeli rendszer fogalmt. Ebben az esetben mltbeli rendszernek azt a rendszert nevezzk, amely tartalmazza sajt mltjt, mg a felbonthatatlan azt jelenti, hogy nem bonthat fel kt olyan mltbeli rendszerre, amelyek egyike sem tartalmazza a msikat. Ltezik egy ttel, mely szerint brmely FMR lerhat valamilyen idbeli grbe mltjaknt (2.2. bra).

Az FMR-ek kt csoportja ltezik, nevezetesen az IFMR-ek s a VFMR-ek. Az IFMR az igazi FMR, azaz valamely tridbeli pont mltja. A VFMR, vagyis vgs FMR ezzel szemben nem mltja a trid egyetlen tnyleges pontjnak sem. A VFMR-ek a jv idelis pontjait definiljk. A tovbbiakban megklnbztethetjk a VFMR-eket aszerint is, hogy ezek az idelis pontok a vgtelenben fekszenek-e (amely esetben ltezik egy olyan idszer grbe, amelyik vgtelen sajthosszsg FMR-t alkot) ezek a -VFMR-ek , vagy pedig szingularitsok (amely esetben minden azt alkot idszer grbnek vges hosszsga van) ezek a szingulris VFMR-ek. Nyilvnvalan mindezen fogalmak a fentiekhez hasonlan nemcsak a mltbeli, hanem a jvbeli rendszerekre is alkalmazhatak. Ebben az esetben FJR-ekkel (felbonthatatlan jvbeli rendszerekkel) van dolgunk, melyek IFJR-ekre s VFJR-ekre oszthatk, mg az utbbiak ismt kt csoportra szakadnak, a -VFJR-ekre s a szingulris VFJR-ekre. Meg kvnom jegyezni, hogy mindezen fejtegetseinkhez fel kell tteleznnk, hogy nem lteznek zrt, idszer grbk. Tulajdonkppen megelgsznk azonban azzal a valamivel gyengbb felttellel is, mely szerint nem tallhat kt olyan pont, melyeknek azonos lenne a mltja vagy a jvje.

Miknt rhatjuk le ebben a rendszerben a csupasz szingularitsokat s a kozmikus cenzra hipotzist? Mindenekeltt a kozmikus cenzra hipotzisnek rvnyessgi krbl ki kell zrnunk az srobbanst (ellenkez esetben ugyanis a kozmolgusok meglehetsen nagy bajba jutnnak). Ezzel elrjk, hogy a dolgok mindig az srobbansbl erednek s soha nem oda tartanak. Ezek utn megprblhatjuk a csupasz szingularitst olyasvalamiknt definilni, mint amelybe az idszer grbk nemcsak belphetnek, hanem el is hagyhatjk azt. Ezzel egy csapsra kezelni tudtuk az srobbans problmjt is, hiszen azt a szingularitst nem tekintjk csupasznak. Rendszernkben azt a VFMR-t tekintjk csupasz VFMR-nek, amelyet egy IFMR tartalmaz. Ez a meghatrozs alapveten helyi jelleg, azaz nincs szksgnk arra, hogy a megfigyel a vgtelenben legyen. Kiderl (Penrose 1979), hogy a csupasz VFMR-ek kizrsnak felttele ugyangy rvnyes a tridben akkor is, ha defincinkban a mltat a jvvel helyettestjk (vagyis a csupasz VFJR-eket zrjuk ki. Azt a hipotzist, mely szerint az ilyen csupasz VFMR-ek (vagy az ennek megfelel csupasz VFJR-ek) nem fordulnak el az ltalnos tridben, az ers kozmikus cenzra hipotzisnek nevezzk. Ennek az a lnyege, hogy egy szingulris pont (vagy vgtelen pont) a szban forg VFMR egyszeren nem tud gy megjelenni a trid kells kzepn, hogy valamely vges pontbl a szban forg IFMR tetpontjbl lthat legyen. rzkelhet, hogy a megfigyelnek nem kell a vgtelenben lennie, minthogy egy adott tridben nem tudhatjuk, hogy valahol ppen a vgtelenben vagyunk-e. Tovbb, ha az ers kozmikus cenzra megsrlne, akkor valamely vges idpontban megfigyelhetnnk egy rszecskt, amint ppen belehullik egy szingularitsba, ahol a fizika trvnyszersgei rvnyket vesztik (vagy amint ppen elri a vgtelent, ami majdnem ugyanaz). A fenti fogalmakat hasznlva a gyenge kozmikus cenzra hipotzist is megfogalmazhatjuk, ehhez elg, ha az IFMR-et -VFMR-rel helyettestjk.

Az ers kozmikus cenzra hipotzisbl kvetkezen az anyagot tartalmaz ltalnos trid, amely sszer llapotegyenleteknek engedelmeskedik (pldul a vkuumnak), kiterjeszthet olyann, amely nem tartalmaz csupasz szingularitsokat (csupasz szingulris VFMR-eket). Kimutathat (Penrose 1979), hogy a csupasz VFMR-ek kirekesztse pontosan megfelel az ltalnos hiperbolikussgnak, avagy annak az lltsnak, hogy a trid valamely Cauchy-fellet teljes fggsgi tartomnya (Geroch 1970). Megjegyezzk, hogy az ers kozmikus cenzra ezen megfogalmazsa nyilvnvalan idben szimmetrikus, vagyis a mltat s a jvt felcserlhetjk, ha egyttal az FMR-eket s a FJR-eket is felcserljk.

ltalnossgban tovbbi feltevseket kell tennnk az gynevezett villmcsapsok kizrsa rdekben. Villmcsapsnak azokat a szingularitsokat nevezzk, amelyek elrik a fnyszer vgtelent, miltal tnkreteszik a trid menett (Penrose 1978, 7. bra). Ehhez nem kell megsrteni a kozmikus cenzra korbban kifejtett formjt. Lteznek ugyanis a kozmikus cenzrnak szigorbb vltozatai is, amelyek figyelembe veszik ezt a problmt (v. Penrose 1978, CC4 felttel).

Trjnk ezutn vissza arra a krdsre, hogy mirt igaz a kozmikus cenzra. Mindenekeltt vegyk szre, hogy a kvantumgravitci keretein bell valsznleg nem rvnyes. Nevezetesen, a felrobban fekete lyukak (amelyekrl Stephen Hawking majd rszletesen fog beszlni) olyan helyzetet teremtenek, ahol a kozmikus cenzra megsrlni ltszik.

A klasszikus ltalnos relativitselmletben mindkt tekintetben szmos eredmny szletett. A kozmikus cenzra megcfolsra tett prblkozsaim egyikben levezettem olyan egyenltlensgeket, amelyek akkor llnnak fenn, ha a kozmikus cenzra hipotzise igaz lenne (Penrose 1973). Az egyenltlensgekrl kiderlt, hogy valban fennllnak (Gibbons 1972) ez amellett szl, hogy fenn kell llnia valamilyen, a kozmikus cenzrhoz hasonl elgondolsnak. Az ellenrvek kztt nhny specilis pldt tallhatunk (amelyek viszont megsrtik az ltalnossgi felttelt). Ismernk tovbb nhny vzlatosan kidolgozott numerikus ellenrvet is, ezeket azonban klnbz szempontok miatt vitatjk. Vannak ezenkvl olyan figyelmeztet jelek is, amelyekrl csak a kzelmltban szereztem tudomst egszen pontosan Gary Horowitz tegnap hvta fel rjuk a figyelmemet. Ezek szerint a korbban emltett egyenltlensgek nmelyike nem ll fenn, ha a kozmolgiai lland pozitv. A magam rszrl mindig is azon a vlemnyen voltam, hogy a kozmolgiai llandnak nullnak kell lennie, az azonban felettbb rdekes lenne, ha kiderlne, hogy a kozmikus cenzra rvnyessgnek mondjuk az a felttele, hogy a kozmolgiai lland ne legyen pozitv. Nevezetesen, ltezhet valamifle klnleges kapcsolat a szingularitsok termszete s a vgtelen termszete kztt. A vgtelen trszer, amennyiben a kozmolgiai lland pozitv, de fnyszer, ha a kozmolgiai lland rtke zrus. Ennek megfelelen a szingularitsok nha idszereknek bizonyulhatnak (vagyis csupaszok, azaz megsrtik a kozmikus cenzrt) ha a kozmolgiai lland pozitv, de taln a szingularitsok nem lehetnek idszerek (vagyis a kozmikus cenzrt kielgtek) ha a kozmolgiai lland nulla.

A szingularitsok idbeli vagy trbeli termszetnek rszletesebb trgyalshoz el kvnom magyarzni az FMR-ek kztti oksgi kapcsolatokat. A kt pont kztti oksgi kapcsolat fogalmt ltalnostva kijelenthetjk, hogy az A jel FMR oksgi szempontbl megelzi a B jel FMR-t, ha A B; valamint A idbelileg (kronologikusan) megelzi B-t, ha ltezik olyan P jel IFMR, amelyre A P B. Az A s B pontokat trszeren elklnlteknek nevezzk, ha oksgi szempontbl egyik sem elzi meg a msikat (2.3. bra).

2.3. BRA

OKSGI KAPCSOLATOK AZ FMR-EK KZTT:

(i) A OKSGI SZEMPONTBL MEGELZI B-T;

(ii) A IDBELILEG (KRONOLGIKUSAN) MEGELZI B-T;

(iii) A S B TRSZEREN ELKLNLNEK

Az ers kozmikus cenzra hipotzisnek msik lehetsges megfogalmazsa szerint az ltalnos szingularitsok soha nem idszerek. A trszer (vagy fnyszer, null-) szingularitsok vagy mltbeli, vagy pedig jvbeli tpusak. Eszerint teht, ha az ers kozmikus cenzra fennll, akkor a szingularitsok kt csoport valamelyikbe tartoznak:

(M)Mltbeli tpusak, melyeket a VFMR-ek hatroznak meg.

(J)Jvbeli tpusak, melyeket a VFJR-ek hatroznak meg.

A csupasz szingularitsok ezt a kt tpust egyestik magukban, azok ugyanis egyidejleg lennnek VFMR-ek s VFJR-ek. Ezrt valban a kozmikus cenzra kvetkezmnye, hogy ez a kt osztly elklnl egymstl. A (J) tpus szingularits jellemz pldi a fekete lyukak s a Nagy Reccs (ha egyltaln ltezik). Az (M) tpusba az srobbanson kvl a fehr lyukak tartozhatnak (ha lteznek ilyenek). Tulajdonkppen nem tartom valsznnek, hogy a Nagy Reccs egyltaln bekvetkezzk (elvi okokbl, melyekre az utols eladsban kvnok visszatrni). A fehr lyukak ugyancsak felettbb valszntlenek, ezek ugyanis nem engedelmeskednnek a termodinamika msodik fttelnek.

Taln a szingularitsok kt tpusa alapveten klnbz trvnyeket elgt ki. Lehetsges, hogy a rjuk vonatkoz kvantumgravitcis trvnyek valban egszen msok. Felttelezem, hogy Stephen Hawking ebben nem rt egyet velem (Hawking kzbevetse: gy van!), de a magam rszrl az albbiakat tartom a fenti javaslat mellett szl bizonytkoknak:

(1)A termodinamika msodik fttele.

(2)A Vilgegyetem korai llapotra vonatkoz megfigyelsek (pldul COBE mhold), melyek szerint az rendkvl homogn volt.

(3)A fekete lyukak ltezse (gyakorlatilag megfigyeltk).

Az srobbans szingularitsrl (1) s (2) alapjn kijelenthetjk, hogy az rendkvl homogn volt, tovbb (1) szerint nem lehettek benne fehr lyukak (minthogy ez utbbiak nem engedelmeskednek a termodinamika msodik fttelnek). gy teht a fekete lyukak szingularitsaira (3) ettl nagyon eltr trvnyeknek kell rvnyeseknek lennik. Ennek pontosabb lersa rdekben emlkeztetnk arra, hogy a trid grblett az Rabcd Riemann-tenzor rja le, amely kt tag sszege. Egyrszt az els rendben trfogatvltozst nem okoz raply torzulsokat ler Cabcd Weyl-tenzor, msrszt a trfogatcskkent torzulsokat ler Rab Ricci-tenzorral egyenrtk tag (szorozva a megfelel index gcd metrikval) (2.4. bra).

A standard (szabvnyos) kozmolgiai modellekben (Friedmann, Lematre, Robertson s Walker szerint, lsd pldul Rindler 1977) az srobbans Weyl-tenzora eltnik. (Ltezik ennek az R. P. A. C. Newman ltal bebizonytott megfordtsa is, mely szerint az alakhen [konform mdon] szablyos tpus kezdeti szingularitsbl kiindul, eltn Weyl-tenzor vilgegyetemnek a megfelel llapotegyenletek fennllsa esetn FLRW-vilgegyetemnek [Friedmann, Lemitre, Robertson s Walker-fle] kell lennie; lsd Newman 1993.)

2.4. BRA

A TRID GRBLETNEK GYORSULSI HATSAI:

(i) A WEYL-GRBLET KVETKEZTBEN FELLP RAPLY-TORZULS;

(ii) A RICCI-GRBLET TRFOGATOT CSKKENT HATSA

Msrszt viszont a fekete/fehr lyukak szingularitsainak Weyl-tenzora (az ltalnos esetben) divergens. Ebbl az albbiak kvetkeznek:

A Weyl-grblet hipotzise

A kezdeti tpus (M) szingularitsok Weyl-tenzora szksgszeren zrus.

A vgs tpus (J) szingularitsokra nem vonatkoznak knyszerek.

Mindez nagyon j sszhangban ll a megfigyelseinkkel. Ha a Vilgegyetem zrt, akkor a vgs szingularits (a Nagy Reccs) Weyl-tenzora divergens, mg egy nylt vilgegyetemben a keletkez fekete lyukak Weyl-tenzora ugyancsak divergens (lsd a 2.5. brt).

2.5. BRA

A WEYL-GRBLET HIPOTZISE: A KEZDETI SZINGULARITS (AZ SROBBANS) WEYL-GRBLETNEK EL KELL TNNIE, MG A VGS SZINGULARITSOK ESETBEN ARRA SZMTUNK, HOGY A WEYL-GRBLET SZTTART LESZ

A hipotzist ezen tlmenen az a tny is altmasztja, mely szerint az a knyszer, hogy a korai Vilgegyetem meglehetsen sima s fehr lyukaktl mentes volt, a korai Vilgegyetemben legalbb egy

-szoros

tnyezvel reduklja a fzisteret. (Ez a szm a fekete lyukak entrpijt ler Bekenstein-Hawking-formula rtelmben egy 1080 bariont tartalmaz fekete lyuk szmra megengedhet fzistr trfogata Bekenstein, 1972 s Hawking, 1975 , mrpedig a Vilgegyetem legalbb ennyi anyagot tartalmaz.) Eszerint lteznie kell egy olyan trvnynek, amely kiknyszerti ennek a meglehetsen valszntlen eredmnynek a bekvetkeztt! A Weyl-grblet hipotzise pontosan egy ilyenfajta trvnyt jelentene.

KRDSEK S VLASZOK:

Krds: Vlemnye szerint a kvantumgravitci eltnteti a szingularitsokat?

Vlasz: Nem hiszem, hogy gy lenne. Ebben az esetben az srobbansnak egy korbbi, sszeoml szakaszbl kellett volna ltrejnnie. Fel kell tennnk a krdst, hogy lehetett ennek a korbbi szakasznak ilyen kis entrpija. Ez az elkpzels felldozn a msodik fttel magyarzatra rendelkezsnkre ll legjobb lehetsget. St, az sszeoml s tgul vilgegyetemek szingularitsainak valamifle kapcsolatban kellene llniuk egymssal, holott geometrijuk nagyon klnbznek tnik. A szingularits tridejre vonatkoz jelenlegi kpnket egy valdi kvantumgravitcis elmletre kellene felcserlni. Ennek egyrtelm lerst kellene adnia arra, amit a klasszikus elmletben szingularitsnak neveznk. Ez nem lehet egyszeren egy nemszingulris trid, hanem valami drasztikusan klnbzre lenne szksgnk.

HARMADIK FEJEZET

KVANTUMOSFEKETE LYUKAK

S. W. Hawking

Msodik eladsomban a fekete lyukak kvantumelmletrl fogok beszlni. gy tnik, hogy ez a kvantummechanikban megszokott bizonytalansgon tl s afltt az elrejelezhetetlensg j szintjt vezeti be a fizikban. Ez azrt van gy, mert gy ltszik, hogy a fekete lyukaknak bels entrpijuk van, s ltaluk informci vsz el a Vilgegyetem bennnket krlvev tartomnybl. Szerintem ezek az lltsok ellentmondsosak. A kvantumgravitcin dolgoz kutatk kzl sokan, kztk a rszecskefizika terletrl idevndoroltak csaknem mindegyike sztnsen elutastan azt az elkpzelst, mely szerint egy rendszer kvantumllapotra vonatkoz informci elveszhet. Ugyanakkor viszont alig-alig sikerl megfejtenik, miknt juthat ki informci egy fekete lyukbl. Vgs soron azt hiszem, mgiscsak knytelenek lesznek elfogadni azon vlekedsemet, hogy igenis elveszhet az informci, ppgy, ahogyan azt is el kellett fogadniuk, hogy minden elzetes, ellenkez felttelezsk ellenre a fekete lyukak mgiscsak sugroznak.

Mindenekeltt emlkeztetni szeretnm nket a fekete lyukak klasszikus elmletre. Az elz eladsban lttuk, hogy a gravitci mindig vonz jelleg klcsnhats, legalbbis a normlis helyzetekben. Ha a gravitci nha vonz, mskor viszont taszt klcsnhats lenne, mint az elektrodinamikai klcsnhats, akkor soha nem figyelhetnnk meg, hiszen mintegy 1040-szer gyengbb annl. Kt makroszkopikus test, pldul a testnket s a Fldet alkot rszecskk kztt csak azrt lp fel rzkelhet nagysg gravitcis er, mert a gravitcinak mindig ugyanolyan az eljele, ezrt a hatsok sszegzdnek.

A gravitci vonz klcsnhats, ez a tny azt jelenti, hogy a Vilgegyetemet alkot anyagot ssze akarja hzni, s abbl gitesteket, pldul csillagokat s galaxisokat hoz ltre. Ezek a tovbbi sszehzdsnak egy ideig nerbl ellenllnak, a csillagok pldul a termikus nyomsnak, a galaxisok pedig a forgsuknak s bels mozgsuknak ksznheten. Vgs soron azonban, ha a h vagy az impulzusmomentum tovatnik, az gitest zsugorodni kezd. Ha a tmeg kisebb a Nap tmegnek mintegy msflszeresnl, akkor az sszehzdst az elektronok vagy a neutronok degenercis nyomsa megllthatja. Az gitest tmegtl fggen fehr trpv vagy neutroncsillagg vlik. Ha viszont tmege meghaladja a fenti hatrt, akkor semmi sem kpes fenntartani s sszehzdst meglltani. Ha egy kritikus hatr al cskkent a mrete, akkor felsznn mr olyan ers lesz a gravitcis tr, hogy a fnykpok befel dlnek, amint az a 3.1. brn lthat. Mindezt szerettem volna ngydimenzis kpen bemutatni nknek. A kltsgvetsnk megnyirblsa miatt azonban a Cambridge Egyetem sajnos csak ktdimenzis kpernyket tudott beszerezni. Ezrt az idt a fggleges tengelyen voltam knytelen brzolni, mg a hrom trbeli dimenzi kzl kettt perspektivikusan brzoltam. Lthat, hogy mg a kilp fnysugarak is egyms fel hajolnak, ezrt sszetartak, nem pedig szttartak. Ez azt jelenti, hogy zrt, csapdba esett fellet jn ltre, ami a Hawking-Penrose-ttel harmadik felttelnek egyik alternatvja.

Ha a kozmikus cenzra feltevse helyes, akkor a csapdba esett fellet s a feltevs ltal elre jelzett szingularits nem lthat nagy tvolsgbl. Ennlfogva lteznie kell a trid egy olyan tartomnynak, amelybl nem lehet eljutni a vgtelenbe. Ezt a tartomnyt nevezzk fekete lyuknak. Hatra az gynevezett esemnyhorizont, ami nem ms, mint azon fnysugarak ltal hatrolt fnyszer fellet, amelyek ppen nem jutottak el a vgtelenbe.

3.1. BRA

EGY CSILLAG FEKETE LYUKK TRTN SSZEOMLSNAK TRIDBELI KPE AZ ESEMNYHORIZONTTAL S A ZRT, CSAPDBA ESETT FELLETEKKEL

Amint a legutbbi eladsban hallhattuk, az esemnyhorizont keresztmetszetnek nagysga soha nem cskkenhet, legalbbis a klasszikus elmlet szerint. Ez a gmbszimmetrikus sszeomlsra vonatkoz perturbciszmtsok eredmnyeivel egytt arra enged kvetkeztetni, hogy a fekete lyukak egy stacionrius llapot fel tartanak.

3.A. BRA

A KOPASZSGI ELV. A STACIONRIUS FEKETE LYUKAKAT M TMEGK, I IMPULZUSMOMENTUMUK S Q ELEKTROMOS TLTSK JELLEMZI. (MS JELLEMZ NINCS, A FEKETE LYUKNAK NINCS HAJA. A LEKTOR MEGJEGYZSE)A kopaszsgi elv, amelyet Israel, Carter, Robinson s jmagam egyttes ervel lltottunk fel, azt mutatja, hogy anyagi terek nlkl a stacionrius fekete lyukak csakis olyanok lehetnek, amelyek megfelelnek a Kerr-fle megoldsoknak. Ezeket kt paramter jellemzi, az M tmeg s az I impulzusmomentum. A kopaszsgi elvet Robinson arra az esetre is kiterjesztette, amikor elektromgneses tr is jelen van. Ekkor be kell vezetni egy harmadik paramtert is, a Q elektromos tltst (lsd a 3.A. keretben). A kopaszsgi elvet mindeddig nem sikerlt a Yang-Mills-tr esetre bebizonytani, de gy tnik, az egyetlen klnbsg az, hogy be kell vezetni egy vagy tbb egsz szmot, amelyek az instabil megoldsok diszkrt csaldjt jellik. Kimutathat, hogy az idfggetlen Einstein-Yang-Mills-fle fekete lyukaknak nincs tbb folytonos szabadsgi fokuk.

A kopaszsgi elvek azt mutatjk, hogy nagy mennyisg informci vsz el, amikor egy test fekete lyukk omlik ssze. Az sszeoml testet ugyanis nagyon sok paramter jellemzi, pldul a benne tallhat anyagok fajti vagy a tmegeloszlst jellemz n. multipl-nyomatkok. Ugyanakkor a ltrejv fekete lyuk teljesen fggetlen az anyagfajtktl s a tmegeloszlst ler tagok is gyorsan elvesznek, csak kett marad meg kzlk, a monoplus momentum, vagyis a tmeg, s a diplmomentum, vagyis az impulzusmomentum.

Ez az informciveszts a klasszikus elmletben valjban nem volt rdekes. Kijelenthetjk, hogy az sszeoml testre vonatkoz minden informci mg mindig benne van a fekete lyuk belsejben. A fekete lyukon kvl elhelyezked megfigyel csak roppant nehezen tudn meghatrozni, milyen volt az sszeoml test. A klasszikus elmlet keretei kztt azonban erre legalbbis elvben lehetsg van. A megfigyel lnyegben soha nem veszten el a szeme ell az sszeoml testet. Ehelyett gy tnne, mintha az az esemnyhorizont fel kzeledve lelassulna s nagyon elhalvnyodna. A megfigyel mg mindig ltn, mibl llt s milyen volt a tmegeloszlsa. A kvantumelmlet azonban ezt az egsz kpet megvltoztatta. Elszr is, az sszeoml test csak korltozott szm fotont bocst ki, mieltt tlpi az esemnyhorizontot. A fotonoknak ez a szma nem elegend ahhoz, hogy az sszeoml testre vonatkoz sszes informcit kivigyk. Eszerint a kvantumelmlet keretei kzt a kls megfigyel szmra nincs md az sszeomlott test llapotnak mrsre. Azt hihetnnk, hogy ez nem tl sokat szmt, mert az informci akkor is ott lenne a fekete lyuk belsejben, ha azt kvlrl nem lennnk kpesek megmrni. Ez azonban az a pont, ahol a fekete lyukak kvantumelmletnek msodik hatsa sznre lp. Amint ki fogom mutatni, a kvantumelmlet kvetkezmnyekppen a fekete lyukak sugroznak s tmeget vesztenek. gy tnik, hogy vgl teljes mrtkben eltnnek, megsemmistve a bennk lv informcit. rveket fogok felsorakoztatni arra vonatkozan, hogy ez az informci valban elvsz s semmilyen formban nem tr vissza. Amint kimutatom, ez az informcivesztesg a kvantummechanikval kapcsolatos bizonytalansgon tl s afltt a bizonytalansg j szintjt vezeti be a fizikban. Sajnos a Heisenberg-fle hatrozatlansgi elvvel ellenttben ezt az j szintet a fekete lyukak esetben meglehetsen nehz ksrletileg igazolni. A harmadik eladsomban (5. fejezet) felsorakoztatand rvek szerint azonban ltezik egy felfogs, amely szerint a mikrohullm httrsugrzs fluktuciinak mrse sorn taln mr meg is figyeltk ezt a bizonytalansgot.

Azt a tnyt, hogy a kvantum-trelmletben a fekete lyukak sugroznak, akkor fedeztk fel, amikor a gravitcis sszeomls sorn keletkez fekete lyukak viselkedse alapjn akartk a kvantum-trelmletet megalkotni. Ennek mkdst knnyebben megrthetjk, ha segtsgl hvjuk az gynevezett Penrose-diagramokat. Azt hiszem azonban, hogy maga Penrose is egyetrtene azzal, hogy ezeket inkbb Carter-diagramoknak kellene nevezni, hiszen Carter volt az els, aki rendszeresen hasznlta ket. Gmbszimmetrikus sszeomls esetn a trid nem fgg a s szgektl. A rendszer teljes geometrija lerhat az r-t skban. Minthogy brmely ktdimenzis sk alakhen lekpezhet a sk trre, ezrt a tnyleges oksgi szerkezetet olyan diagramon brzolhatjuk, amelyen az r-t sk fnyvonalai 45-os szget zrnak be a fgglegessel.

Induljunk ki a sk Minkowski-trbl, melynek Carter-Penrose-diagramja egy cscsn ll hromszg (3.2. bra). A jobb oldali kt befog a mltbeli s a jvbeli fnyszer vgtelennek felel meg, amint arra els eladsomban is hivatkoztam. Ezek valban a vgtelenben vannak, azonban a tvolsgokat a mltbeli vagy jvbeli fnyszer vgtelen fel kzeledve egy konform (alakh) tnyezvel sszenyomjuk. A hromszg minden egyes pontja megfelel egy r sugar, ktdimenzis gmb pontjainak. A szimmetriatengelyknt szolgl, bal oldali, fggleges vonal az r = 0 esetnek felel meg, mg az r helyzet a diagram jobb szln tallhat.

3.2. BRA

A MINKOWSKI-TR CARTER-PENROSE-DIAGRAMJA

A diagram alapjn knnyen felismerhet, hogy a Minkowski-tr minden pontja a jvbeli + fnyszer vgtelen mltjban fekszik. Ez azt jelenti, hogy nincsenek fekete lyukak s nincs esemnyhorizont. Ha azonban egy gmb alak, sszeoml testet vizsglunk, akkor a diagram meglehetsen eltr (3.3. bra). Ennek mltbeli rsze ugyangy nz ki, mint az elz, a hromszg teteje azonban most le van vgva, s azt egy vzszintes hatrvonal helyettesti. Ez a Hawking-Penrose-elmlet ltal elre jelzett szingularits. Lthat, hogy vannak ezen vzszintes vonal alatt olyan pontok, amelyek nem tartoznak bele a jvbeli + fnyszer vgtelen mltjba. Msknt fogalmazva, ott egy fekete lyuk van. Az esemnyhorizont, vagyis a fekete lyuk hatra egy tls vonal, amely a jobb fels sarokbl kiindulva elri a szimmetria-kzppontnak megfelel fggleges vonalat.

3.3. BRA

FEKETE LYUKK SSZEOML CSILLAG CARTER-PENROSE-DIAGRAMJA

Ezen a httren meghatrozhatunk egy skalrteret. Ha a trid idtl fggetlen lenne, akkor a hullmegyenlet egy olyan megoldsa, amely --on csak pozitv frekvencikat tartalmazott, +-on is pozitv frekvencij lenne. Ez azt jelenten, hogy nem keletkeznnek rszecskk, s ha kezdetben nem voltak skalr rszecskk, akkor nem lennnek +-on kimen rszecskk.

Az sszeomls idejn azonban a metrika idfgg. Ez lehetv teszi, hogy egy --on pozitv frekvencij megolds rszben negatv frekvencij legyen, amikor elri +-t. Ez a kevereds kiszmthat, ha megvizsgljuk egy e-iu idfggs hullm viselkedst I+-on s visszafel trtn terjedst --on. Ha ezt megtesszk, akkor kiderl, hogy a hullmok horizont kzelben halad rsze nagyon ers kkeltoldst mutat. Figyelemre mlt mdon az is kiderl, hogy a kevereds fggetlen az sszeomls rszleteitl, legalbbis annak ksi szakaszban. Ez csupn a felszni gravitcitl fgg, vagyis a gravitcis tr erssgtl a fekete lyuk esemnyhorizontjn. A pozitv s negatv frekvencik keveredse rszecskk keletkezshez vezet.

Amikor 1973-ban elszr tanulmnyoztam ezt a jelensget, arra szmtottam, hogy az sszeomls sorn erteljes emisszis cscsot tallok, amit kveten viszont a rszecskk keletkezse fokozatosan megsznik, mg vgl visszamarad egy valban fekete fekete lyuk. Legnagyobb meglepetsemre, szmtsaim eredmnye szerint az emisszis cscsot kveten is megmaradt egy lland tem rszecske-keletkezs s -kibocsts. St, a rszecske-kibocsts pontosan a /2 hmrskletnek megfelel termikus jelleg volt. Pontosan erre volt szksg azon elkpzels altmasztshoz, mely szerint a fekete lyuknak entrpija van, amely arnyos esemnyhorizontja terletvel. St, rgztette az arnyossgi tnyez rtkeit, ami a G=c==1 sszefggssel definilt Planck-egysgekben egy negyednek bizonyult. Eszerint a terlet egysge 10-66 cm2, vagyis a Nappal azonos tmeg fekete lyuk entrpija 1078 nagysgrend. Ez rzkelteti azt a roppant sokfle lehetsget, ahnyflekppen a fekete lyuk ltrejhet.

A fekete lyuk termikus (hmrskleti) sugrzsa:

Hmrsklet: Entrpia:

Amikor a fekete lyukak sugrzsra vonatkoz eredeti felfedezsemet tettem, csodnak tnt, hogy egy meglehetsen zavaros szmts pontosan termikus (hmrskleti) emisszihoz vezessen. Ksbb azonban Jim Hartle-lal s Gary Gibbons-szal kzsen vgzett munknk sorn feltrultak a mlyebben fekv okok. Ezek magyarzathoz induljunk ki a Schwarzschild-metrika pldjbl.

A Schwarzschild-metrika:

Ez azt a gravitcis teret rja le, amelyet a fekete lyuk akkor hozna ltre, ha nem forogna. A szoksos r s t koordintkban az r = 2M Schwarzschild-sugrnl ltszlagos szingularitst tallunk. Ezt azonban csak a koordinta-rendszer rossz megvlasztsa hozza ltre. Vlaszthatunk ms koordintkat is, amelyek mellett a metrika ott is szablyos.A Carter-Penrose-diagram gymntkristly alak, teteje s alja lapos (3.4. bra). Ezt az a kt fnyszer fellet, amelyeken r = 2M, ngy tartomnyra osztja. A jobb oldali az brn 1-gyel jellt tartomny az az aszimptotikusan sk tr, amelyben felttelezsnk szerint mi is lnk.

3.4. BRA

EGY RKK TART SCHWARZSCHILD-FLE FEKETE LYUK CARTER-PENROSE-DIAGRAMJA

A tartomnyhoz a sk tridhz hasonlan mltbeli s jvbeli fnyszer vgtelenek, - s + tartoznak. Ltezik egy msik aszimptotikusan sk tartomny is () a bal oldalon. Ez ltszlag egy msik vilgegyetemnek felel meg, amely a minkkel csupn egy freglyukon keresztl ll kapcsolatban. Amint azonban ltni fogjuk, ez csak a kpzetes idn keresztl kapcsoldik a mi tartomnyunkhoz. A bal als sarokbl jobbra felfel tart fnyszer fellet annak a tartomnynak a hatra, amelybl jobbra el lehet szkni a vgtelenbe. gy ez a jvbeli esemnyhorizont, amihez a jvbeli dszt jelzt azrt tesszk hozz, hogy megklnbztessk a jobb als sarokbl balra flfel tart, mltbeli esemnyhorizonttl.

Trjnk most vissza az eredeti r s t koordintkban a Schwarzschild-metrikhoz. A t = i vlaszts esetn pozitv definit metrikt kapunk. A tovbbiakban az ilyen pozitv definit metrikt euklideszinek nevezem, akkor is, ha esetleg grblt lehet. Az euklideszi-Schwarzschild-metrikban r = 2M-nl ismt csak ltszlagos szingularitst tallunk. Definilhatunk azonban egy j, x radilis koordintt, legyen ez 4M(1 2Mr-1).

Az euklideszi-Schwarzschild-metrika:

.

Az x- skban a metrika a polrkoordinta-rendszer origjhoz fog hasonltani, feltve, hogy a koordintt 8M peridussal azonostjuk. Hasonlkppen, ms euklideszi tpus fekete lyuk metrikk is nyilvnval szingularitsokat adnak a hatrukon, amelyek ugyancsak eltntethetk, ha a kpzetes idkoordintt a 2/ peridussal azonostjuk (3.5. bra).

3.5. BRA

AZ EUKLIDESZI-SCHWARZSCHILD-MEGOLDS, MELYBEN A -T PERIODIKUSNAK DEFINILTUK

De vajon mi a jelentsge annak, hogy a kpzetes idt valamilyen peridussal azonostjuk? Ennek beltshoz ttelezzk fel, hogy az amplitd egy adott elrendezs mezben 1 a t1 felleten s 2 a t2 felleten. Ezt az mtrixelemek adjk meg. Ezt az amplitdt azonban gy is meghatrozhatjuk, mint a t1 s t2 kztt vett vonalintegrl az sszes olyan tr mentn, amelyek a kt felleten rendre a 1 illetve 2 rtket veszik fel (3.6. bra).

Vlasszuk meg ezutn a kt fellet idbeli (t2 t1) tvolsgt gy, hogy az tisztn kpzetes s nagysg legyen (3.7. bra). Tegyk ezutn egyenlv egymssal a tr 1 kezdeti s 2 vgs rtkt, majd vgezzk el az sszegzst a n llapotok mindegyikn. A bal oldalon e-H minden llapotra sszegzett vrhat rtkt kapjuk. Ez pontosan a T = -1 hmrskletnek megfelel Z termodinamikai Planck-fle llapotsszeg (partcis fggvny).

3.6. BRA

AZ AMPLITD A 1 LLAPOTBELI t1 RTKRL A 2-BEN FELVETT t2-RE VLTOZIK

3.7. BRA

A T HMRSKLETHEZ TARTOZ PLANCK-FLE LLAPOTSSZEGET AZ EUKLIDESZI TRIDBEN LTEZ MINDAZON TEREKRE VETT VONALINTEGRL ADJA, AMELY TEREK PERIDUSA A KPZETES ID IRNYBAN = T-1Az egyenlet jobb oldaln egy vonalintegrlt tallunk. Legyen 1 = 2, s sszegezznk a tr minden lehetsges n konfigurcijra. Ez azt jelenti, hogy tulajdonkppen a trid minden olyan tere mentn elvgezzk a vonalintegrlt, amely a kpzetes id irnyban peridusknt azonosthat. Eszerint a tr T hmrsklet mellett vett Planck-fle llapotsszegt az euklideszi tridben tallhat sszes tr mentn vett vonalintegrl adja meg. Ez a trid a kpzetes idbeli irnyban periodikus, peridusa = T-1.

Ha a peridussal jellemzett, sk tridben elvgezzk a kpzetes id szerint a vonalintegrlst, akkor nem meglep mdon a fekete test sugrzsnak Planck-fle llapotsszegt kapjuk. Az euklideszi-Schwarzschild-megolds azonban, mint korbban mr lttuk, ugyancsak periodikus a 2/ peridus kpzetes idben. Ez azt jelenti, hogy a Schwarzschild-httren vett terek gy viselkednek, mintha /2 hmrsklet termikus egyenslyban lennnek.

A kpzetes id periodicitsa megmagyarzza, mirt eredmnyez a frekvencik keveredsre vonatkoz, hozzvetleges szmts pontosan termikus sugrzst. Ez a levezets azonban elkerli a frekvencik keveredsben rszt vev nagyon nagy frekvencik problmjt. A levezets akkor is alkalmazhat, amikor kt, a httren rtelmezett kvantumtr kztt klcsnhatsok lpnek fel. Minthogy a vonalintegrlst periodikus httren vgezzk, ezrt minden fizikai mennyisg, pldul a vrhat rtkek is termikusak lesznek. Ezt a frekvenciakeveredses megkzelts esetben nagyon nehz lenne megvalstani.

A klcsnhatsokat kiterjeszthetjk oly mdon, hogy figyelembe vesszk a magval a gravitcis trrel fellp klcsnhatst is. Kiindulskppen vlasszuk a httr metrikjt g0-nak, pldul a klasszikus tregyenletek megoldst jelent euklideszi-Schwarzschild-metriknak. Ezutn az I hatst a g perturbcik szerint g0 krnykn hatvnysorba fejthetjk, a kvetkezkppen:

A lineris tag eltnik, mert maga a httr megoldsa a tregyenletnek. A ngyzetes tagot gy tekinthetjk, mint amelyik lerja a httren ltez gravitonokat, a kbs s a magasabb rend tagok viszont a gravitonok kztti klcsnhatsokat tartalmazzk. A ngyzetes tagon elvgzett vonalintegrls vges eredmnyt ad. Tiszta gravitci esetn kt hurkon renormlhatatlan divergencik lpnek fel, amelyek viszont a szupergravitcis elmletekben szerepl fermionok segtsgvel eltntethetk. Nem tudjuk, hogy a szupergravitcis elmletekben elfordulnak-e harmad- vagy magasabb rend divergencik, mert eddig mg senki sem volt elg btor vagy vakmer ahhoz, hogy megprblja elvgezni a szksges szmtsokat. Nhny, a kzelmltban elvgzett szmts azt jelzi, hogy ezek minden rendben vgesek lehetnek. De mg ha lteznek is magasabb rend hurokdivergencik, azok hatsa rendkvl csekly lenne, kivve, ha a httr a Planck-hosszsg, azaz 10-33 cm nagysgrendjbe es tvolsgon grblt.

A magasabb rend tagoknl rdekesebb a nulladrend tag, teht a g0 httr metrika hatsa:

A szoksos Einstein-Hilbert-hats az ltalnos relativitselmletben az R skalr grblet trfogati integrlja. Ez a vkuumnak megfelel megoldsokra nulla, ezrt azt gondolhatnnk, hogy az euklideszi-Schwarzschild-megolds hatsa nulla. Szerepel azonban az eljrsban egy felleti tag, amely K integrljval arnyos, ahol K a hatrfellet msodik alapvet formjnak nyoma (spurja). Ha ezt is figyelembe vesszk s kivonjuk a sk trre vonatkoz felleti tagot, akkor azt talljuk, hogy az euklideszi-Schwarzschild-metrika hatsa 2/16, ahol a kpzetes id vgtelenben vett peridusa. Emiatt a vonalintegrl dominns hozzjrulsa a Z Planck-fle llapotsszeghez :

Ha a log Z fggvnyt a peridus szerint differenciljuk, akkor megkapjuk az energia vrhat rtkt, azaz ms szval a tmeget:

Eszerint teht a tmeg M = /8. Ez megersti a tmeg s a peridus, vagyis a hmrsklet inverze kztti kapcsolatot, amelyet mr megismertnk. Most azonban tovbb is mehetnk. Szoksos termodinamikai rvels rtelmben a Planck-fle llapotsszeg logaritmusa egyenl az F szabad energia s a T hmrsklet hnyadosnak mnusz egyszeresvel:

A szabad energia viszont a tmeg (vagy az energia), valamint a hmrsklet s az S entrpia szorzatnak sszege:

Mindezt egybevetve belthat, hogy a fekete lyuk hatsa 4M2 entrpit szolgltat:

Pontosan erre volt szksgnk ahhoz, hogy a fekete lyukak mechanikjnak trvnyei ugyanolyan alakak legyenek, mint a termodinamika fttelei.

Mirt kapjuk meg ezt a bels gravitcis entrpit, amelynek nincs meg a megfelelje az egyb kvantum-trelmletekben? Azrt, mert a gravitci klnbz topolgikat enged meg a tridbeli sokasgok szmra. Az ltalunk trgyalt esetben az euklideszi-Schwarzschild-megoldsnak van a vgtelenben egy olyan hatra, amelynek a topolgija az S2 S1 formulval jellemezhet. Az S2 tag egy nagy, ktdimenzis gmb a vgtelenben, az S1 viszont a periodikuss tett kpzetes id irnynak felel meg (3.8. bra).

3.8. BRA

A HATRFELLET A VGTELENBEN AZ EUKLIDESZI-SCHWARZSCHILD-FLE MEGOLDS ESETBEN

Ehhez a hatrfelttelhez legalbb kt klnbz topolgia segtsgvel rendelhetnk hozz metrikt. Az egyik termszetesen az euklideszi-Schwarzschild-metrika. Ennek topolgija R2 S2, vagyis az euklideszi ktdimenzis sk szorozva egy ktdimenzis gmbbel. A msik megolds kplete R3 S1, ahol az euklideszi sk teret periodikusan azonostjuk a kpzetes id irnyval. E kt topolginak klnbz az Euler-szma. A periodikusan azonostott sk tr Euler-szma nulla, mg az euklideszi-Schwarzschild-megolds esetben kett. Ennek a kvetkez a jelentsge: a periodikusan azonostott sk tr topolgijn tallhat olyan periodikus idfggvny, amelynek gradiense sehol sem nulla, s amely a vgtelenben megegyezik a hatrfelleten vett kpzetes idkoordintval. Ezutn rtkelhetjk hatst a 1 s 2 kt fellete kztti tartomny esetre. A hatshoz kt tnyez jrul hozz, az anyagra vonatkoz Lagrange-fggvny trfogati integrlja s az Einstein-Hilbert-fle Lagrange-fggvny, tovbb egy trfogati tag. Ha a megolds idfggetlen, akkor a = 1-re s a = 2-re vonatkoz kifejezsek kiejtik egymst. Ezrt a felleti tag egyetlen nett hozzjrulst a vgtelenben lv hatrfellet adja. Ez a jrulk a tmeg felnek s a (2-1) idintervallumnak a szorzata. Ha a tmeg nem nulla, akkor lteznie kell egy, a nem nulla tmeget ltrehoz anyagtrnek. Kimutathat, hogy az anyagra vonatkoz Lagrange-fggvny trfogati integrlja s az Einstein-Hilbert-fle Lagrange-fggvny egyarnt M(2-1)-t ad eredmnyl. Eszerint a teljes hats M(2-1) (3.9. bra). Ha ezt a hozzjrulst behelyettestjk a Planck-fle llapotsszeg logaritmusba a termodinamikai formulkban, akkor pontosan akkornak kapjuk az energia vrhat rtkt, vagyis a tmeget, amekkorra szmtottunk.

3.9. BRA

A PERIODIKUSAN AZONOSTOTTEUKLIDESZI SK TR HATSA = M(2-1)

A httr mez hozzjrulsaknt ltrejv entrpia azonban nulla lesz.

Az euklideszi-Schwarzschild-megolds esetben azonban ms a helyzet. Minthogy az Euler-szm ezttal nem nulla, hanem kett, ezrt nem tallunk olyan idfggvnyt, amelynek gradiense mindentt nulltl klnbz. A legjobb amit tehetnk, hogy a Schwarzschild-megoldsban a kpzetes idkoordintt vlasztjuk. Ez egy rgztett, ktdimenzis gmbt ad meg a horizonton, ahol szgkoordintaknt viselkedik. Ha most kiszmtjuk a kt lland rtkhez tartoz fellet kztti hatst, a trfogati integrl eltnik, mert nincs anyagtr s a skalr grblet nulla. A K nyom (spr) felleti tag a vgtelenben ismt az M(2-1) tagot adja eredmnyl. Most azonban a horizonton mg egy felleti tag jelentkezik, ott, ahol a 1 s a 2 felletiek egy cscsban tallkoznak.

3.10. BRA

AZ EUKLIDESZI-SCHWARZSCHILD-MEGOLDS TELJES HATSA = M(2-1), MIVEL NEM VESSZK FIGYELEMBE A CSCS r = 2M-BL ADD HOZZJRULST

Kifejezhetjk ezt a felleti tagot, s megllapthatjuk, hogy ez is M(2-1)-gyel egyenl (3.10. bra). Eszerint teht a 1 s 2 kztti tartomny teljes hatsa M(2-1). Ha ezt a hatst 2-1 = esetre vizsgljuk, akkor azt kapjuk, hogy az entrpia nulla. Ha azonban az euklideszi-Schwarzschild-megolds hatst 3+1 helyett ngydimenzis szempontbl vizsgljuk, akkor nincs okunk figyelembe venni a horizonton a felleti tagot, mert ott a metrika szablyos. Elhagyva a horizonton a felleti tagot a hats a horizont terletnek negyedre redukldik, ami pontosan a fekete lyuk eredend gravitcis entrpija.

Az a tny, hogy a fekete lyukak entrpija egy topologikus invarinssal, nevezetesen az Euler-szmmal ll kapcsolatban, ers rv amellett, hogy az entrpia akkor is megmarad, ha t kell trnnk egy alapvetbb elmletre. Ez az elkpzels a legtbb rszecskefizikus szmra krhozatos dolog, k ugyanis egy felettbb konzervatv trsasg, akik mindent olyann akarnak gyrni, mint a Yang-Mills-elmlet. Egyetrtenek abban, hogy a fekete lyukak sugrzsa termikusnak tnik, tovbb fggetlen attl, hogyan jtt ltre a fekete lyuk, feltve, hogy mrete jval meghaladja a Planck-hosszsgot. Kpesek azonban azt lltani, hogy ha a fekete lyukak tmeget vesztenek s mretk a Planck-mret al cskken, akkor a kvantumos ltalnos relativitselmlet nem mkdik, elbbi kijelentseink pedig rvnyket vesztik. n azonban le fogok rni egy gondolatksrletet a fekete lyukakkal, amelyben gy tnik, hogy az informci elvsz, a horizonton kvli grblet viszont mgis kicsiny marad.

Azt mr egy ideje tudjuk, hogy ers elektromos trben pozitv s negatv tlts rszecske-prok keletkezhetnek. A jelensg egyik lersmdja rtelmben a sk euklideszi trben a q tlts rszecske, pldul egy elektron a H homogn mgneses trben krszer plyn mozog. Ezt a mozgst analitikusan tovbbvihetjk a kpzetes idbl a t vals idbe. Ekkor egy pozitv s egy negatv tlts rszecskbl ll prt kapunk eredmnyl, a kt rszecske a mgneses trrel prhuzamos elektromos tr hatsra gyorsulva tvolodik egymstl (3.11. bra).

3.11. BRA:

AZ EUKLIDESZI TRBEN MGNESES MEZBEN AZ ELEKTRON KR ALAK PLYN MOZOG. A MINKOWSKI-TRBEN KT, ELLENTTES TLTS RSZECSKT KAPUNK, AMELYEK AZ ELEKTROMOS TRREL PRHUZAMOS MGNESES TR HATSRA EGYMSTL TVOLODVA GYORSULNAK

A prkelts folyamatt gy rjuk le, hogy a kt diagramot a t = 0, illetve a = 0 vonalak mentn ktfel vgjuk. Ezutn sszekapcsoljuk a Minkowski-fle trdiagram fels rszt az euklideszi trdiagram als rszvel (3.12. bra). Ebben az brzolsmdban a pozitv s a negatv elektromos tlts rszecske valjban egy s ugyanaz a rszecske.

3.12. BRA

A PRKELTS LERHAT EGY FL EUKLIDESZI DIAGRAM S EGY FL MINKOWSKI-DIAGRAM EGYMSHOZ ILLESZTSVEL

Ez az euklideszi tren, mint valami alagton keresztlhaladva jut el az egyik Minkowski-trbeli vilgvonalrl a msikra. Els kzeltsben a prkelts valsznsge e-I, aholaz euklideszi hats Az ers elektromos trben trtn prkeltst ksrleti ton megfigyeltk, eszerint a rszecskk keletkezsnek gyakorisga megfelel a fenti becslsnek.

A fekete lyukaknak is lehet elektromos tltse, ezrt arra szmthatunk, hogy fekete lyukak is ltrejhetnek prkelts tjn. Keletkezsk teme azonban roppant csekly lenne az elektron-pozitron prok keletkezsi gyakorisghoz kpest, mert a tmeg/tlts arny esetkben 1020-szor nagyobb. Ez azt jelenti, hogy az elektron-pozitron prok keletkezse brmely elektromos teret semlegestene, jval azeltt, hogy szmottev valsznsggel fekete lyukak keletkezhetnnek.

3.13. BRA

MGNESES TRBEN EGYMSTL GYORSULVA TVOLOD, ELLENTTES TLTS FEKETE LYUK PR

Lteznek azonban mgneses trrel br fekete lyukakra vonatkoz megoldsok is. Ezek a fekete lyukak nem jhettek ltre gravitcis sszeomls tjn, ugyanis nem lteznek mgneses tlts elemi rszecskk. Arra azonban szmthatunk, hogy ers mgneses tr jelenltben mgiscsak keletkezhetnek ilyenek. Ebben az esetben a kznsges elemi rszecskk keletkezse nem lehetne versenytrsa ennek a folyamatnak, mert a kznsges rszecskk nem hordoznak mgneses teret. A mgneses tr teht elegenden ers lehet ahhoz, hogy szmottev eslynk legyen mgneses tlts fekete lyuk pr keletkezsre.

1976-ban Ernst tallt egy olyan megoldst, amely szerint kt, mgnesesen tlttt fekete lyuk a mgneses trben egymstl gyorsulva tvolodik (3.13. bra). Ha ezt a megoldst analitikusan tovbbvisszk a kpzetes idbe, akkor az elektron prkeltshez felettbb hasonl kpet kapunk (3.14. bra).

3.14. BRA

AZ EUKLIDESZI TRBEN A TLTTT FEKETE LYUK KR ALAK PLYN MOZOG

A fekete lyuk a grblt euklideszi trben krplyn mozog, csakgy, mint ahogy az elektron tette a sk euklideszi trben. A fekete lyuk esete bizonyos szempontbl bonyolultabb, mert a fekete lyuk esemnyhorizontja krnykn, valamint a fekete lyuk krplyja kzepe tjn a kpzetes idkoordinta periodikus. A fekete lyuk tmeg/tlts arnyt ezrt gy kell belltanunk, hogy ez a kt peridus megegyezzk egymssal. Fizikailag ez azt jelenti, hogy a fekete lyuk paramtereit gy kell megvlasztanunk, hogy a fekete lyuk hmrsklete egyenl legyen azzal a hmrsklettel, amelyet gyorsulsa miatt rzkel. A mgneses tlts fekete lyuk hmrsklete a nulla fel tart, ha a Planck-egysgekben mrt tlts s tmeg hnyadosa 1 fel tart. Eszerint gyenge mgneses tr, s ennek megfelelen kis gyorsuls esetn mindig tallhat megfelel peridus.

Az elektronok prkeltshez hasonlan a fekete lyukak prkelts tjn val ltrejtte is lerhat gy, hogy sszekapcsoljuk a kpzetes idej euklideszi megolds als felt a vals idej Lorentz-megolds fels felvel (3.15. bra). A fekete lyukat gy kpzelhetjk el, mint egy alagtszer sszekttets az euklideszi tren keresztl, amely kt, ellenttes tlts, a mgneses tr hatsra egymstl gyorsulva tvolod fekete lyuk formjban bukkan el.

3.15. BRA

A FEKETE LYUK PRT LTREHOZ ALAGTHATS UGYANCSAK AZ EUKLIDESZI DIAGRAM FELNEK S A LORENTZ-DIAGRAM FELNEK EGYMSHOZ ILLESZTSVEL RHAT LE

A gyorsul fekete lyuk megolds nem aszimptotikusan sk, mert a vgtelenben homogn mgneses tr fel tart. Mindamellett valamely loklis mgneses trben felhasznlhatjuk a fekete lyukak prkeltsi gyakorisgnak megbecslsre. Elkpzelhetjk, hogy keletkezsk utn az egymstl messzire eltvolod fekete lyukak mgneses trtl mentes tartomnyokba jutnak el. Ettl kezdve mindkt fekete lyukat a msiktl fggetlenl, az aszimptotikusan sk trben magnyosan ltez objektumknt kezelhetjk. Mindkt fekete lyukba tetszlegesen nagy mennyisg anyagot s informcit doblhatunk bele. Ezutn a fekete lyukak sugroznak, s tmeget vesztenek. Mgneses tltsket azonban nem veszthetik el, mert nem lteznek mgnesesen tlttt elemi rszecskk. Ezrt vgl visszajutnak eredeti llapotukba, csak immr tmegk valamivel nagyobb lesz, mint a tltsk. Ekkor a kt fekete lyukat ismt egyms kzelbe vihetjk, lehetv tve a pr sztsugrzst (annihilcijukat).

3.16. BRA

ALAGTHATS RVN LTREJTT MAJD VGL UGYANGY SZTSUGRZD FEKETE LYUK PR

A pr-sztsugrzsi folyamatot a prkelts idbeli megfordtottjnak tekinthetjk. Ezrt azt az euklideszi megolds fels rsznek s a Lorentz-fle megolds als rsznek egymshoz illesztsvel brzolhatjuk. A prkelts s a pr sztsugrzsa kztt ltezhet egy hossz, Lorentz-tpus idszak, amelyben a fekete lyukak eltvolodtak egymstl, anyagot gyjtttek magukba, sugroztak, majd ismt egyms kzelbe jutottak. A gravitcis tr topolgija azonban az euklideszi-Ernst-megoldst kveti, vagyis egy pont kivtelvel S2 S2 szerkezet lesz (3.16. bra).

Esetleg amiatt aggdhatunk, hogy a termodinamika ltalnostott msodik fttele megsrlhet, amikor a megsemmisl fekete lyukak esemnyhorizontja eltnik. Kiderl azonban, hogy az Ernst-megoldsban a gyorsulsi horizont terlete cskken ahhoz kpest, mintha nem trtnne prkelts. Ehhez kifinomultabb szmtsra van szksg, mert a gyorsulsi horizont mindkt esetben vgtelen. Mindamellett hatrozottan rzkelhet, hogy klnbsgk vges s egyenl a fekete lyuk esemnyhorizontja terletnek, valamint a prkeltses s a prkelts nlkli megoldsok hatsa kztti klnbsgnek az sszegvel. Ez akkor rthet meg, ha azt mondjuk, hogy a prkelts nulla energij folyamat, a prkeltses eset Hamilton-fggvnye ugyanaz, mint a prkelts nlkli eset Hamilton-fggvnye. Nagyon hls vagyok Simon Rossnak s Gary Horowitznak, akik kifejezetten a mostani eladsra kiszmtottk ezt a redukcit. Az ilyen s ehhez hasonl csodk mrmint az eredmny, s nem pusztn az, hogy elvgeztk a szmtst gyztek meg arrl, hogy a fekete lyukak termodinamikja nem lehet csupn kis energikra rvnyes kzelts. Meggyzdsem, hogy a gravitcis entrpia akkor sem fog eltnni, ha t kell trnnk a kvantumgravitci sokkal alapvetbb elmletre.

Ebbl a gondolatksrletbl megllapthat, hogy akkor is fellp a bels gravitcis entrpia s az informciveszts, ha a trid topolgija eltr a sk Minkowski-trtl. Ha a prkelts sorn keletkez fekete lyukak nagyok a Planck-hosszsghoz kpest, akkor az esemnyhorizonton kvli trgrblet mindentt kicsi lesz a Planck-sklhoz viszonytva. Ez azt jelenti, hogy jnak kell lennie annak a kzeltsnek, amelynek sorn elhanyagoltam a kbs s a magasabb rend tagokat a perturbcikban. Ezrt megbzhatnak kell lennie annak a felttelezsnek, hogy a fekete lyukakban informci veszhet el.

Amennyiben a makroszkopikus fekete lyukakban informci vsz el, akkor ugyanez bekvetkezhet azokban a folyamatokban is, melyek sorn a metrika kvantumfluktucii kvetkeztben mikroszkopikus, virtulis fekete lyukak jelennek meg. Knnyen elkpzelhet, hogy ezekbe a lyukakba rszecskk s informci hullhat, ami azutn ott elvsz. Mg akr az is elfordulhat, hogy oda kerlt az sszes pratlan zoknink msik fele. Egyes fizikai mennyisgek, pldul a mrtkterekhez csatold energia s elektromos tlts megmaradnak, mg az egyb informci s a globlis tlts elvsz. Ennek messzire hat kvetkezmnyei lennnek a kvantummechanikra nzve.sszer felttelezni, hogy a tiszta kvantumllapotban lv rendszerek fejldsk sorn egysges mdon s egyms utn kvetkez, tiszta kvantumllapotokon keresztl vezet fejldsi utat jrnak be.

3.17. BRA

Ha azonban a fekete lyukak megjelense s eltnse kvetkeztben informci vsz el, akkor nem valsulhat meg az egysges fejlds. Az informci elvesztse kvetkeztben ugyanis a fekete lyukak eltnse utn kialakul vgllapot olyasvalami lesz, amit kevert kvantumllapotnak neveznk. Ezt klnbz, tiszta kvantumllapotok sszessgnek tekinthetjk, melyek mindegyiknek azonban sajt valsznsge van. Minthogy egyik llapotban val elfordulsa sem bizonyos, ezrt a vgllapot bekvetkezsnek valsznsgt nem tudjuk brmely ms kvantumllapottal val klcsnhatsa rvn nullra cskkenteni. Kvetkez eladsomban (5. fejezet) meg fogom mutatni, hogy mr sikerlt megfigyelnnk ezt az extra bizonytalansgot. Ezzel befellegzett a tudomnyos determinizmus remnynek, amelynek segtsgvel bizonyossggal elre jelezhettk volna a jvt. gy tnik, Isten mg mindig tartogat nhny trkkt szolgi szmra (3.17. bra).

NEGYEDIK FEJEZET

A KVANTUMMECHANIKAS A TRID

R. Penrose

A huszadik szzad nagy fizikai elmletei a kvantummechanika, a specilis relativitselmlet, az ltalnos relativitselmlet s az erterek kvantumelmlete. Ezek az elmletek korntsem fggetlenek egymstl: az ltalnos relativitselmlet a specilisra pl, az erterek kvantumelmlete vagy a kvantum-trelmlet kiindulst pedig a specilis relativitselmlet s a kvantummechanika alkotja (lsd a 4.1. brt).

Azt tartjk, hogy a kvantum-trelmlet minden idk legpontosabb fizikai elmlete, hiszen relatv pontossga nem kevesebb mint egy a 101