A08: 動的な構造をもつネットワーク上の資源割当て問題の研究

藤田　聡　　中野浩嗣　　森本康彦

（広島大学）

研究組織

• 藤田 聡（広島大）– ネットワーク上のサーバ配置問題– オンラインアルゴリズム

• 中野浩嗣（広島大）– 無線ネットワーク上のアルゴリズム– 無線ネットワーク上の省電力ルーティング

• 森本康彦（広島大）– センサーネットワーク上のデータマイニング

成果の概要 支配集合に基づく資源割当て問題

サービスの安定性を保証するための要件安定性をパラメータ化して必要なコストを評価連結支配集合分割問題（→センサーネット）

ルーティングにおける資源割当て無線ネットワークにおけるチャネル割り当てルーティング性能をいかにして保つか（ホップ数 ,

QoS, 低電力）輻輳制御（ AIMD, Active Queue 管理 )マルチパスルーティング

支配集合に基づく資源割当て問題

すべての頂点に対して均一なサービスを提供– 支配集合がサーバ集合に対応

さまざまなバリエーションが存在連結支配集合：センサーネットワークのバックボーン支配集合分割：負荷分散、省電力化 r-configuration ：ファイル配置問題最大極小支配集合：用意すべきサーバ数の上限

【動的な構造をもつネットワークへの適用】 支配集合間の遷移可能性 （ PDCAT’04, ISAAC’05) 欠陥を許した支配集合分割

支配集合間の遷移

a

bd

c

a

bd

c

a

bd

c

(a) (b) (c)

支配集合の集合 D’ D(G)⊆ は、 D’ 中の任意の集合間で互いに遷移可能なとき、相互遷移可能であるという• ただし遷移の途中で D’ 中に含まれない様相を経由してもよい

主要な結果 (ISAAC’05)

n 頂点のグラフのクラス Cn を考えるCn に含まれる任意のグラフ上で相互遷移可能性を保

証するような支配集合サイズの上界を g(n) とし、相互遷移可能ではないグラフが Cn 中に存在するよう

な支配集合サイズの下界を f(n) とする

木 (tree) のクラスに対して g(n) = f(n)+1 = ceil((n-1)/2)

木 (tree) のクラスに対して g(n) = f(n)+1 = ceil((n-1)/2)

ハミルトングラフのクラスに対して g(n) = f(n)+1 = ceil((n+1)/3)-1ハミルトングラフのクラスに対して g(n) = f(n)+1 = ceil((n+1)/3)-1

木に関する証明の概要

支配数が ceil((n-1)/2) になるグラフの例

任意のグラフの支配数は葉に隣接している頂点数以上である

任意のグラフの支配数は葉に隣接している頂点数以上である

十分性は、根の方向に向けて支配頂点を繰り返し遷移させていくことで証明できる

十分性は、根の方向に向けて支配頂点を繰り返し遷移させていくことで証明できる

ハミルトングラフ G

ハミルトングラフ G=(V,E) のハミルトン閉路 R を固定する

グラフ G のサイズ ceil((n+1)/3) の支配集合 S V ⊆ を考える

G から chord edge を繰り返し除去しながら、 S を R の支配集合に遷移させていく

　　 G がサイクルのとき、サイズceil((n+1)/3) の支配集合は相互遷移可能

9

0

10

2

11 7

5

8

3

6

4

1

ring edge

chord edge

Graph G

Step 1: 冗長な辺の除去

規則１をそれ以上適用できなくなるまで繰り返し適用⇒ G と同一の支配集合 S をもつ部

分グラフ G’ が得られるG’ の任意の chord edge では

、いっぽうの端点が S に属し、もういっぽうの端点はちょうどひとつの chord edge と接続している

9

0

10

2

11 7

5

8

3

6

4

1

規則 1: もし除去によって支配集合であることが崩れなければ、その chord edgeを除去

規則 1: もし除去によって支配集合であることが崩れなければ、その chord edgeを除去

Graph G’

Step 2: 森への分割

• Chord edge で支配される頂点に接続するすべての ring edgeを除去– 得られるグラフを G” とする

• G” は森である– すべての葉は V-S の要素であり

、次数 3 以上の頂点はすべて Sの要素である

• |S| ceil((n+1)/3)≧ より、森の中には少なくともひとつの木T が存在し、その木の中の支配集合数が頂点数の 1/3 を上回っている

0

10

2

11

5

3

6

4

1

Graph G”

98

7T 中の支配頂点をうまく遷移させて、 T に接続する chord edge が取り除けるよう

にできる↓

同様の処理をすべての chord edge が除去されるまで繰り返せば OK

T 中の支配頂点をうまく遷移させて、 T に接続する chord edge が取り除けるよう

にできる↓

同様の処理をすべての chord edge が除去されるまで繰り返せば OK

欠陥のある支配集合分割• 支配集合分割 C ={C1,C2,…,Ck}

– 各 Ci は支配集合– 各頂点は、すべての Ci によって支配されている

• 各頂点を支配する集合数を k から k-d に減らす– 点彩色で類似の概念はすでにある

• 動的な環境下で支配する集合数が一時的に減る状況をモデル化（⇒ディペンダビリティの尺度）

• パラメータ d の値によって計算複雑度はどのように変化するか

• 動的な変化が起こった際に d を低く抑える方法は？

キュービックグラフの場合d ( 許される欠陥の数 )

0 1 2 3 4 5

ｋ （

分割のサイズ）

1 P

2 P

3 NP P

4 NP P

5 P

6 P

7 P

8 P

9 P

ルーティングにおける資源割当て

• アドホックネットワーク– ランキングアルゴリズム、チャネル割り当て

• QoS ルーティング– パス選択問題 （ ICIS’05)

– 輻輳制御問題 (ICON’06, PDPTA’07)

• マルチパスルーティング–耐故障性、通信帯域の確保 （ PDCS’06)

• 無線 LAN における通信機会割当て– ビン詰め問題の一種 （ PDCAT’06 ）

無線ネットワーク上でのランキング

n個の無線端末がキーを１個ずつもつ

３２ ４１ ８５ ５７ ２９

２ ３ ５ ４ １

各キーのランク（何番目に小さい値か）を求める

ソーティングと本質的に同じ

通信チャネルが１つのときの自明な時間最適アルゴリズム

３２ ４１ ８５ ５７ ２９

３２

アルゴリズムは時間最適：自明な下界 Ω(n) 時間と一致（各キーは少なくとも１回は送信される必要があるので）

アルゴリズムは時間最適：自明な下界 Ω(n) 時間と一致（各キーは少なくとも１回は送信される必要があるので）

欠点：　各端末は O(n) 回の受信動作を行うので受信による消費電力が大きい

各無線端末がキーを順にブロードキャスト

各端末は受信したキーと自分のキーを比較し，自分より小さいキーの個数をカウント

自分より小さいキーの個数＋１がランクと一致

通信チャネルが１つのときの自明な

消費電力最適アルゴリズムアイデア：並列ソーティングネットワークを無線ネットワークでシミュレート

３２４１ ８５５７

２９ ３２

２９

５７ ８５４１

比較交換器

並列ソーティングネットワークの既知の結果を用いる O(n log n)個の比較交換器でソーティングが行える

比較交換を通信チャネル上で行うと O(n log n) 時間でソーティングが行える．

利点：　比較交換に関係ない無線端末は送受信を　行わなくてよいので，各無線端末が行う送受信　動作は O(log n) 回

欠点：　時間最適でない．（下界は Ω(n))

問題：　 O(n) 時間， O(log n)送受信動作の時間最適，消費電力最適ランキングアルゴリズムは作れるか？問題：　 O(n) 時間， O(log n)送受信動作の時間最適，消費電力最適ランキングアルゴリズムは作れるか？

マルチチャネルの場合

３２ ４１ ８５ ５７ ２９

３２

マルチチャネル：複数の通信チャネルを使って同時に通信が行える

５７

k個の通信チャネルを用いる場合

計算時間の自明な下界： Ω(n/k) 　（各キーは少なくとも１回送信する必要があるので）各送受信回数の下界：　通信チャネル数に関係なく Ω(log n)

問題：　 O(n/k) 時間， O(log n)送受信動作のランキングアルゴリズムは存在するか？問題：　 O(n/k) 時間， O(log n)送受信動作のランキングアルゴリズムは存在するか？

決定的手法ではむずかしそう　→　確率的手法を用いる

マルチチャネル無線ネットワークでの時間最適，消費電力最適なランキングを考える．

確率的ランキングアルゴリズムアイデア：ランダムサンプリング

1. 約 n/log n個の無線端末をランダムに選ぶ

2. 選んだ無線端末だけでランキングし，ランキング結果から，約 n/(log n)2個のキーを選ぶ．選んだキーをピボットとして用い，全ての無線端末をグループに分割．

＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜

３．グループ内でランキングし，全体のランキングを求める

結果1 k n/log n≦ ≦ のとき，少なくとも 1-n-1 の確率で， O(n/k) 時間，O(log n)送受信回数で，ランキングを行うことができる．1 k n/log n≦ ≦ のとき，少なくとも 1-n-1 の確率で， O(n/k) 時間，O(log n)送受信回数で，ランキングを行うことができる．

各グループはほぼ等しく平均 (log n)2個の端末をもつ．

転置グラフ上の点素なパス転置 (transposition) グラフ： Cayley グラフの一種

– 次元ｎのとき、次数が d=n(n-1)/2 – star graphや pancake graph に比べて、選ぶべきパス

の数が大きい（つまり難しい） 最大フローによる求解：

– 頂点数に関して多項式時間– 次数に関して多項式時間のアルゴリズムを求めたい

提案手法の実行時間は、次数 d に対して O(d2.5)– マッチングに要する時間が支配的 (Hopcroft-Karp)

得られるパスの長さは、 n 7≧ のとき、同じ目的頂点までの最短パスの長さよりも高々 14 長い

1234

2134

2314

1324

3124

3214

4231

2431

2341

4321

3421

3241

4132

1432

1342

4312

3412

3142

4123

1423

1243

4213

2413

2143

4-TG

長さ 2 の suffix が同一である頂点をまとめる→ vertical cluster

Vertical cluster全体の集合を T とする（ |T| = 2|D| ）長さ 2 の suffix が同一である頂点をまとめる→ vertical cluster

Vertical cluster全体の集合を T とする（ |T| = 2|D| ）

基本アイデア• D 中の頂点を T 中の

vertical cluster に単射 • T は D の 2倍の要素をも

つ– 異なる suffix の数は n(n-1)

• 各パスに別々の vertical cluster を通過させることで互いに素なパスを実現– 問題は、前後の部分をどう

うまく実現するか– Horizontal cluster という考

え方を用いる (class)

異なる vertical cluster は異なる長さ2 の suffix をもつため、頂点を共有しない

First Part (Length 1 or 2)

Third Part

Second Part

目的頂点のクラス替え• すべての目的頂点が異なるクラス

に属していれば、うまく接続できる

• そうでない場合は、適切な中間頂点を入れて、クラスの変換を行う

• 中間頂点の集合を I ( V⊂ n) とする :1) 集合 Iの頂点は異なるクラスに属

している2) D と Iはマッチング辺たちによっ

て結ばれている (single hop)3) D はソースから I中の各頂点を結ぶパス集合と互いに素 Set I

そのような頂点集合 Iを構成できるか、D 中の多くの頂点が特定のクラスに集中してい

るかのいずれかが成立していることが証明できる

（頂点集合の構成にマッチングを使う）

そのような頂点集合 Iを構成できるか、D 中の多くの頂点が特定のクラスに集中してい

るかのいずれかが成立していることが証明できる

（頂点集合の構成にマッチングを使う）

検討課題

• 支配頂点の“自律分散的な”遷移• 欠陥を許した支配集合間の遷移可能性

– ランダムウォーク（交換）の解析• 許される欠陥数のどのあたりで P→NP に

なるのか（ P の範囲が広がればうれしい）• オンラインアルゴリズムとしての輻輳制御

問題