1 . pengantarPenemuan laser di awal tahun enam puluhan telah melahirkan bidang penelitian optik kuantum dan elektronik kuantum . Yang terakhir menyiratkan penyelidikan tentang masalah orientasi perangkat , dan dengan segera timbul banyak sekali pekerjaan yang membuat kata laser mejadi umum bagi masyarakat. keadaan koheren dari cahaya diperkenalkan oleh Glauber yang biasanya disebut keadaan klasik cahaya , mereka meminimalkan hubungan ketidakpastian Heisenberg dari quadratures dari medan elektromagnetik dan fungsi distribusi Poisson dari jumlah foton .

Motivasi dari penelitian ini adalah untuk mempelajari superposisi mikroskopik pada keadaan koheren yang membawa representasi tereduksi ( irrep ) dari kelompok terbatas . Kombinasi keadaan koheren yang linier ini ditulis dalam aturan karakter sederhana dari unsur yang memberikan representasi tereduksi, dan salah satu tujuannya adalah untuk menetapkan kondisi yang harus mereka penuhi untuk mendapatkan cahaya non - klasik , misalnya , ketika superposisi dari suatu keadaan memiliki fungsi distribusi subpoissonian dari jumlah foton atau mereka menyajikan fenomena menekan .

Seperti yang kita ketahui diketahui bahwa kelompok terbatas elemen n dapat dibagi menjadi kelas-kelas dan jumlah kelas adalah sama dengan jumlah representasi tereduksi , yang dilambangkan dengan k . Karakter yang berhubungan dengan representasi tereduksi λ adalah sederhana , demikian juga dapat dilambangkan dengan Xp

λ dengan ρ = 1,2 , · · · , k . Karakter sederhana memenuhi hubungan ortogonal seperti ditulis dibawah :

Keadaan mengkristal didefinisikan menggunakan karakter sederhana dari kelompok [14], yaitu,

Perhatikan bahwa keadaan-keadaan yang termasuk dalam representasi tereduksi yang berbeda tersebut, secara umum, bukan orthogonal yang berlaku dalam properti non-ortogonal pada keadaan koheren. Seperti dapat dilihat langsung dengan mempertimbangkan produk skalar berikut

Untuk kelompok - kelompok siklik dan Dihedral yang dimana merupakan satu-satunya yang dipertimbangkan dalam pekerjaan ini , parameter dari keadaan koheren αs = ρexp ( iφs ) memiliki besaran yang sama . Jadi kita memiliki

Oleh karena itu karakter sederhana dapat diberikan oleh persamaan χ( λ ) ( gs) = μn ( λ - 1 )s , dengan λ = 1,2 , · · · , n . Jadi akhirnya keadaan-keadaan yang membawa representasi tereduksic λ dari Cn dapat ditulis dalam bentuk

2 . Formulasi Hamiltonian untuk teorema notherDengan menggunakan teorema nother , kita akan membangun persamaan ketergantungan waktu linier dari kebanyakan persamaan kuadrat Hamiltonian, dalam quadratur dari medan elektromagnetik

di mana a, b , c , f , dan g merupakan fungsi tergantung waktu. Contoh aplikasi dapat ditemukan di optik kuantum [ 16 ] , dalam spektroskopi molekuler [ 17 ] , dan untuk memvisualisasikan keadaan gerak ion dalam perangkap elektromagnetik . Dalam kasus terakhir ini , kita harus mempertimbangkan pilihan berikut untuk parameter b = f = g = 0 , a = 1 dan c = w2 ( t ) [ 18 ] . Untuk sistem ini , kita juga dapat menggunakanSimetri dalam Ilmu XV IOP Publishing Journal of Physics : Konferensi Series 380 (2012) 012017 doi : 10.1088/1742-6596/380/1/0120174langsung waktu persamaan Scrödinger tergantung karena solusi mereka dapat ditulis dalam bentuk sebuah wavepacket gaussian sewenang-wenang ditulis dalam bentuk dua fungsi daripada memenuhi sistem Ermakov [ 25 ] . Dalam formulasi Hamiltonian dari teorema nother [ 20 ] , variasi posisi dan momentum variabelq → q + δq , p → p + δp,

merupakan transformasi simetri, jika variasi sesuai dalam fungsional aksi, A (q, p, t) ≡ ˙ qp-H (q, p, t), yaitu,δA = A(q + δq,p + δp,t)−A(q,p,t) =

d dt

Ω,

dapat ditulis sebagai derivatif total terhadap waktu dari Ω fungsi (q, p, t). Mengembangkan ekspresi terakhir dengan membuat ekspansi deret Taylor, satu mendapatδA = ˙q δp + p ˙ (δq)−

∂H ∂q

δq−

∂H ∂p

δp =

d dt

Ω

Mengganti turunan waktu dari fungsi Ω dan δq (q, p, t) ke dalam ekspresi terakhir, dan menyamakan koefisien ˙ p, q ˙ dan istilah independen di kedua sisi ekspresi, satu mendapatkan set berikut diferensial persamaan untuk fungsi Ω∂Ω ∂p

=

∂δq ∂p

p,

∂Ω ∂q

= δp +

∂δq ∂q

p,

∂Ω ∂t

= −

∂H ∂p

δp−

∂H ∂q

δq +

∂δq ∂t

p.

Menetapkan kondisi integrability untuk Ω, yaitu kesetaraan semua derivatif lintas, misalnya ∂ 2Ω ∂ ∂ q p = ∂ 2Ω ∂ p ∂ q dan sebagainya, yang menyiratkan adanya generator transformasi simetri, berikut ekspresi diperoleh

O+ ∂ ∂tδq− ∂2H ∂p2

δp−

∂2H ∂p∂q

δq = 0,

O+ ∂ ∂tδp + ∂2H ∂q∂p

δp−

∂2H ∂q2

δq = 0. (8)

with the definition O = ∂H ∂p ∂

∂q − ∂H ∂q ∂

∂p.

Kemudian kuantitas dilestarikan terkait dengan transformasi simetri diberikan oleh

K = pδq−Ω(q,p,t).

Kami menggunakan ekspresi (8) dan (9) untuk mendapatkan waktu linier invariants tergantung dari Hamiltonian (5), dengan mempertimbangkan variasi yang tergantung waktu δq = v (t) dan AP = u (t). Untuk menjadi transformasi simetri mereka harus memenuhi persamaan diferensial

v −au−bv = 0, ′

u + bu + cv = 0.′

Ekspresi ini mengingatkan kita persamaan Hamilton untuk bagian kuadrat dari (5) dengan cara identifikasi u → p dan v → q. Ini berarti bahwa untuk mendapatkan waktu linier invariants tergantung

salah satu kebutuhan untuk melakukan variasi sepanjang lintasan klasik gerak. Untuk menentukan jumlah dilestarikan,

K = pv−q u +

t

Z 0

(f(τ)u(τ) + g(τ)v(τ))dτ .

Karena kita memiliki persamaan diferensial urutan kedua, ada dua kuantitas dilestarikan, bernama (Q (t), P (t)) disajikan dalam bentuk matriks

P Q = v(1) −u(1) v(2) −u(2) p q + δ(1) δ(2)

dimana δ (i) = Rt 0 (fu (i) + gv (i)) dτ dengan i = 1,2, istilah-istilah ini muncul karena bagian linear di Hamiltonian. Dengan membangun kondisi awal bahwa konstanta gerak yang sama dengan quadratures dari medan elektromagnetik P (0) = p dan Q (0) = q, satu mendapatkan kondisi awal untuk persamaan diferensial dari variasi, (10) , yaitu,

v(1)(0) = 1, u(1)(0) = 0, δ(1)(0) = 0, v(2)(0) = 0, u(2)(0) = −1, δ(2)(0) = 0.

P, Q disebut waktu linier invariants tergantung dari kuadrat Hamiltonians. Ekspresi (12) dapat diperpanjang untuk menggambarkan multimode berkorelasi cahaya [7, 20]. Juga mereka merupakan transformasi kanonik dalam ruang dua dimensi fase, dan penyuluhan untuk kasus multidimensi menyiratkan mempertimbangkan P, Q, p dan q sebagai n vektor kolom dimensi sedangkan v (1), v (2), u

(1) dan u (2) seperti n × n matriks [21]. Sebagai contoh, kita mempertimbangkan waktu linier invariants tergantung dari partikel bebas di bawah tindakan kekuatan tergantung waktu, yaitu V (q) = f (t) q,

P(t) Q(t) = 1 0 −t 1 p q + Rt 0 f(τ)dτ −Rt 0 f(τ)τ dτ .

Dalam kontribusi ini, kita akan menggunakan konstanta tergantung waktu ini gerak untuk menunjukkan evolusi sifat statistik mengkristal kucing Schrödinger. Sebagai contoh eksplisit, kita akan mempertimbangkan evolusi keadaan cristallized bawah Hamiltonian partikel bebas di bawah gaya konstan, yaitu ketika f (t) = F0.

. Evolusi kucing mengkristalDari Persamaan . ( 12 ) , salah satu bisa mendapatkan quadratures dari p medan elektromagnetik , q dalam hal waktu konstanta tergantung dari gerak P , Q atau ekuivalen sesuai penciptaan dan pemusnahan operator A ≡ 1 √ 2 ( Q + iP ) , A † ≡ 1 √ 2 ( Q - iP ) , ini ? p q ? = i ? - λ * q λq λ * p - λp ? A- δ A † - δ * ? , ( 15 ) di mana parameter membawa dinamis yang terkait dengan Hamiltonian dan diberikan dalam hal solusi klasik persamaan Hamilton , yaitu ,λp =1 √ 2 ( v ( 2 ) + iv ( 1 ) ) , λq = 1 √ 2 ( - u ( 2 ) - iu ( 1 ) ) , δ = 1 √ 2 ( δ ( 2 ) + iδ ( 1 ) ) .Simetri dalam Ilmu XV IOP Publishing Journal of Physics : Konferensi Series 380 (2012) 012017 doi : 10.1088/1742-6596/380/1/0120176Oleh karena itu untuk menghitung evolusi sifat statistik , akan lebih mudah untuk membangun eigenstates operator pemusnahan , yaitu keadaan-keadaan yang koheren yang berkorelasi yang memuaskan [ 7 ] A ( t ) | α , ti = α | α , ti . Maka sangat mudah untuk membuktikan bahwa fluktuasi quadratures dari medan elektromagnetik yang berhubungan dengan keadaan-keadaan berkorelasi umum dari Hamiltonian umum kuadrat ( 5 ) diberikan berdasarkan [ 22 ] σp ≡ hαk , t | p2 | αk , ti - hαk , t | p | αk , Ti2 = | λq | 2 , σq ≡ hαk , t | q2 | αk , ti - hαk , t | q | αk , Ti2 = | λp | 2 , σpq ≡ hαk , t | 1 2 p , q | αk , ti - hαk , t | p | αk , tihαk , t | q | αk , ti = - 1 2 λp λ * q + λ * p λq ? . ( 16 ) Hal ini penting untuk melihat bahwa hasil yang disebutkan di atas adalah independen dari nilai parameter αk kompleks . Untuk kucing mengkristal didefinisikan dalam ( 1 ) , itu sangat mudah untuk mengevaluasi nilai harapan dari quadratures dari medan elektromagnetik ,hqit = N2 λn X r , s = 1χ ( λ ) ( gr ) χ ( λ ) * ( gs ) QSR ( t ) Esr , HPIT = N2 λn X r , s = 1χ ( λ ) ( gr ) χ ( λ ) * ( gs) psr ( t ) Esr . ( 17 )Dari sini , kita akan mendefinisikan elemen matriks sewenang-wenang diamati sehubungan dengan keadaan-keadaan koheren standar yang berhubungan dengan parameter kompleks αs y αr dalam hαs bentuk , t | O | αr , ti ≡ OSR ( t ) Esr . Dengan demikian dalam ekspresi sebelumnya , kami menggunakan PSR ( t ) ≡ - iλ * q ( αr - δ ) - λq ( α * s - δ * ) ? , QSR ( t ) ≡ iλ * p ( αr - δ ) - λp ( α * s - δ * ) ? . ( 18 ) Dari ungkapan ini untuk t = 0 , satu mendapatkan perilaku nilai harapan untuk sifat statis dari kucing mengkristal . Dalam hal ini , itu langsung dari ekspresi ( 13 ) λp bahwa ( 0 ) = i / √ 2 , λq ( 0 ) = 1 / √ 2 , dan δ ( 0 ) = 0 . Menyiratkan bahwa iniPSR ( 0 ) = -i √ 2 ( αr - α * s ) , QSR ( 0 ) =1 √ 2 ( αr + α * s ) , ( 19 )menentukan dalam bentuk sifat statis dari kucing mengkristal . Perhitungan dispersi yang sesuai (

Δq ) 2 dan ( AP ) 2 dari quadratures terkait dengan dinamika kucing mengkristal di bawah Hamiltonian ( 5 ) ( p2 ) sr ( t ) = - λ * 2 q ( αr - δ ) q 2 - λ2 ( α * s - δ * ) 2 + σp [ 2 ( α * s - δ * ) ( αr - δ ) + 1 ] , ( q2 ) sr ( t ) = - λ * 2 p ( αr - δ ) 2 - λ2 p ( α * s - δ * ) 2 + σq [ 2 ( α * s - δ * ) ( αr - δ ) + 1 ] , ( 20 ) dengan ini dan nilai-nilai harapan yang diberikan di atas , satu dengan mudah menentukan dalam bentuk analitik fluktuasi variabel p dan q untuk kucing mengkristal . Dengan demikian koefisien tekanan untuk quadratures dari medan elektromagnetik ditentukan oleh rasio dari fluktuasi ketidakpastian dari ground state dari medan elektromagnetik ,Sq =( Δq ) 2 1/2, Sp =( AP ) 2 1/2,Simetri dalam Ilmu XV IOP Publishing Journal of Physics : Konferensi Series 380 (2012) 012017 doi : 10.1088/1742-6596/380/1/0120177yang memungkinkan kita menentukan apakah keadaan-keadaan mengkristal menyajikan fenomena memeras . Ketika Sq atau Sp kurang dari kesatuan ada tekanan dan keadaan-keadaan mengkristal menggambarkan cahaya non - klasik . Pada sisi kiri Gambar . ( 2 ) , kami menyajikan untuk tiga representasi tereduksi dari grup jalur C3 perilaku tekanan parameter Sp sebagai fungsi dari besarnya parameter kompleks | α | = ρ terkait dengan keadaan yang koheren . Perhatikan bahwa , parameter tekanan tidak tergantung waktu dan kekuatan dari F0 gaya tolak dipertimbangkan dalam Hamiltonian , selain untuk nilai-nilai besar dari ρ parameter tekanan independen dari representasi tereduksi kelompok . Sebuah perilaku yang sama akan ditampilkan di sisi kiri dari Gambar . ( 3 ) , dimana parameter tekanan Sp sebagai fungsi ρ ditampilkan untuk semua irreps dari C6 . Korelasi antara q dan p , dinotasikan dengan ( Δpq ) , dapat ditulis dalam bentuk nilai-nilai harapan p dan q bersama dengan waktu tergantung fungsi anticommutator p , q sr ( t ) = λ * qλ * p ( αr - δ ) 2 + λqλp ( α * s - δ * ) 2 + 2σpq ? ( α * s - δ * ) ( αr - δ ) + 1 2 ? . ( 21 ) Faktor korelasi didefinisikan oleh ekspresiK =( Δpq ) 2 ( AP ) ( Δq ),ketika itu berbeda dari nol satu mendapat keadaan berkorelasi dengan ketergantungan statistik dalam dua quadratures dari medan elektromagnetik . Korelasi keadaan untuk satu modus osilator telah diperkenalkan di [ 23 ] . Untuk nilai-nilai | α | ≥ 2 , produk skalar Esr ≈ δs , r , dalam hal ini, kita dapat menulis hαs | αri = δs , r . Oleh karena itu, normalisasi konstan Nλ = 1 √ n dan satu bisa mendapatkan ekspresi untuk semua nilai harapan disebutkan sebelumnya . Secara khusus, untuk dispersi dari quadratures dari medan elektromagnetik satu mendapat(Δq) 2 = 1 n n X r = 1 χ (λ) (gr) 2 (Q2) rr (t) - 1 n n X r = 1 | Χ (λ) (gr) |! 2 qrr (t) 2, (AP) 2 = 1 n n X r = 1

χ (λ) (gr) 2 (P2) rr (t) - 1 n n X r = 1 | Χ (λ) (gr) |! 2 PRR (t) 2, (22) (Δqp) = 1 n n X r = 1 χ (λ) (gr) 2 P, q rr (t) - 1 n2 n Xr ', r = 1 | Χ (λ) (gr) | 2 | χ (λ) (gr ') | 2 qrr (t) pr'r' (t), dimana ekspresi (q2) rr (t), (p2) rr (t), qrr (t), pr'r '(t), dan p, q rr (t) dapat dievaluasi dengan cara ekspresi (18), (19), dan (20). Memang untuk representasi satu dimensi nilai absolut dari karakter yang sama dengan kesatuan dan sehingga ekspresi sebelumnya yang lebih sederhana. Sekarang kita mempertimbangkan statistik foton dari kucing mengkristal, untuk menghitung nilai ekspektasi dari jumlah foton dan fluktuasi yang sesuai nyaman untuk menulis konstanta gerak dalam hal penciptaan dan pemusnahan operator. Dengan demikian kita memiliki itu? a † a? =? μ * 1-μ2-μ * 2 μ1? A-δ A †-δ *?, (23) dengan definisi parameter μ1 = 1 √ 2 (λq-iλp) dan μ2 = 1 √ 2 (λq + iλp). 2 × 2 matriks di sisi kanan ekspresi memiliki determinasi sebesar kesatuan. Dengan demikian rata-rata Simetri dalam Ilmu XV IOP Publishing Journal of Physics: Konferensi Series 380 (2012) 012017 doi: 10.1088/1742-6596/380/1/012017 8 Gambar 2. Parameter tekanan untuk grup jalur C3, terkait dengan variabel p, akan ditampilkan di sisi kiri sebagai fungsi dari b sedangkan parameter Mandel ditampilkan di sisi kanan. Dalam kedua kasus, keadaan-keadaan cristallized tunduk pada menjijikkan gaya konstan F0 = 10 dalam satuan sewenang-wenang, perhatikan bahwa Sp independen dari waktu dan QM dihitung untuk t = 0. Nilai QM = 1 mengindikasikan distribusi Poissonian. Dalam kedua kasus, garis kontinu, putus-putus dan dash-burik sesuai dengan representasi tereduksi 1, 2, dan 3 dari C3, masing-masing. Gambar 3. Tekanan dan parameter Mandel akan ditampilkan sebagai fungsi dari b untuk kelompok siklik C6, bila sistem yang berkembang dengan cara Hamiltonian dari gaya konstan menjijikkan. Kami menggunakan F0 = 10 dalam satuan sewenang-wenang dan parameter Mandel dievaluasi pada t = 0. Terus menerus, garis hitam putus-putus dan lari-burik sesuai dengan representasi λ = 1, 2, dan 3, masing-masing sedangkan garis abu-abu terkait dengan representasi 4, 5 dan 6, masing-masing. operator nomor foton diberikan oleh hnit = N2 λ n X r, s = 1 χ (λ) (gr) χ (λ) * (gs) nsr (t) Esr, di mana kita mendefinisikan nsr (t) = μ2-μ1 (α * s-δ *) 2-μ μ * 1 * 2 (αr-δ) 2 + | μ1 | 2 + | μ2 |? 2 (α * s-δ *) (αr-δ) + | μ2 | 2. (24) Penyebaran operator nomor foton (Δ n) 2 dari keadaan mengkristal ditentukan oleh ekspresi standar dalam hal nilai-nilai harapan n dan n2, dengan demikian kita memberikan hasil untuk yang kedua

n2? t = N2 λ n X r, s = 1 χ (λ) (gr) χ (λ) * (gs) (n2) sr (t) Esr, Simetri dalam Ilmu XV IOP Publishing Journal of Physics: Konferensi Series 380 (2012) 012017 doi: 10.1088/1742-6596/380/1/012017 9 Gambar 4. Parameter Mandel akan ditampilkan sebagai fungsi dari b untuk grup jalur C3 dan C6, ketika keadaan-keadaan cristallized dikenai gaya konstan menjijikkan. Kami menggunakan F0 = 10 dalam satuan sewenang-wenang, mengambil t = 0,2, dan baris kode yang sama dibandingkan pada Gambar. (2) dan (3). dimana waktu fungsi bergantung mengambil bentuk (n2) sr (t) = 2 | μ1 | 2 | μ2 | 2 -2 (| μ1 | 2 + | μ2 | 2) hμ * 1 * 2 μ (αr-δ) 2 + μ1 μ2 (α * s-δ *) 2i + | μ1 | 4 + | μ2 | 4 + 6 | μ1 | 2 | μ2 |? 2 (αr-δ) (α * s-δ *) + n2 sr (t ). (25) The Mandel parameter, QM ≡ -1 RM, adalah rasio dispersi ke nomor foton berarti nilai. Hal ini menentukan jenis statistik dari keadaan dipertimbangkan. Jika rasio ini kurang dari kesatuan, keadaan memenuhi statistik sub-Poisson sedangkan untuk nilai yang lebih besar sesuai dengan statistik super Poisson. Tentu saja jika hasilnya sama dengan kesatuan, keadaan memiliki statistik Poisson. The Mandel parameter dapat ditulis dalam bentuk RM = (Δn) 2 HNI = Pn r, s = 1 χ (λ) (gr) χ (λ) * (gs) (n2) sr (t) Esr Pn r, s = 1 χ (λ) (gr) χ (λ) * (gs ) nsr (t) Esr-N2 λ n X r, s = 1 χ (λ) (gr) χ (λ) * (gs) nsr (t) Esr. Hasil yang sesuai untuk parameter Mandel dalam batas besar | α | 2 ≥ 2, salah satu memiliki hasil RM = Pn r = 1 | χ (λ) (gr) | 2 (n2) rr (t) Pn r = 1 | χ (λ) (gr) | 2 NRR (t) - 1 nn X r = 1 | χ (λ) (gr) | 2 NRR (t). Di sisi kanan Gambar. (2), plot QM untuk irreps dari C3 sebagai fungsi b ditampilkan untuk t = 0. Satu dapat melihat perilaku sub-Poissonian untuk representasi λ = 2 dan 3 untuk nilai-nilai kecil dari parameter sementara super-Poissonian untuk λ = 1 Untuk nilai besar b semua keadaan memiliki fungsi distribusi foton Poissonian. Hasil serupa ditemukan untuk C6, karena dapat dilihat pada Gambar. (3) untuk semua irreps kelompok. Sebuah distrinution sub-Poissonian yang terjadi selama lima dari mereka untuk nilai-nilai kecil b dan super-Poissonian untuk λ = 1, baru satu mendapatkan bahwa semua keadaan memiliki distribusi Poissonian untuk nilai-nilai besar dari parameter. Dalam Gambar. (4) untuk kelompok titik yang sama C3 dan C6 parameter Mandel diplot sebagai fungsi dari b setelah aksi dari gaya konstan F0 = 10 unit sewenang-wenang selama waktu yang sama untuk t = 0,2 unit, Satu dapat melihat bahwa semua keadaan sekarang memiliki fungsi foton distributin super-Poissonian. Dengan demikian, kita bahwa kekuatan Hamiltonian konstan menghancurkan sifat non-klasik kucing cristallized. Hasil yang sama diperoleh bila keadaan cristallized berada di bawah propagasi gratis, satu mendapatkan sub-Poissonian, dan distribusi jumlah foton super-Poissonian untuk nilai-nilai kecil b sementara distribusi Poissonian untuk nilai-nilai besar dari parameter.

4. Fungsi distribusi Quasi-Probability Representasi ruang fase dari sistem kuantum melalui fungsi distribusi Wigner dan Husimi telah sangat berguna untuk membangun perilaku mengkristal keadaan kucing Schrödinger. Sebagai contoh, kita mempertimbangkan untuk menentukan daerah di ruang fase di mana fungsi Wigner negatif dengan implikasi terkenal atau untuk menemukan daerah yang diduduki di ruang fase dengan fungsi Husimi dengan cara evaluasi saat kedua. Untuk mendapatkan evolusi fungsi Wigner bawah Hamiltonian (5), seseorang dapat melanjutkan dalam dua bentuk: Melalui representasi kesatuan transformasi kanonik dari quadratures dari medan elektromagnetik (q, p) dengan waktu linier konstanta tergantung gerak (Q,

P), telah terbukti dalam [24] yang W (q, p, t) = W (Q, P, 0). Perpanjangan kerja untuk mendapatkan representasi dari transformasi kanonik dalam mekanika kuantum tergantung waktu telah dilakukan baru-baru ini [?]. Metode kedua mempertimbangkan persamaan operator yang memuaskan keadaan-keadaan yang umum berkorelasi [26]. Untuk kucing mengkristal, kita membangun A (t) | αr, tihαs, t | = αr | αr, tihαs, t |, | αr, tihαs, t | A † (t) = α * s | αr, tihαs, t |. (26) Kemudian konstanta dari gerakan A (t) = (λp p + q + λq δ) dan A † (t) = λ * p p + λ * q q + δ *? diganti ke dalam ekspresi operator. Kami menerapkan Weyl mengubah ekspresi yang dihasilkan, yaitu kalikan dengan bra hq-y | dari kiri, dengan ket ini | q + yi dari kanan, dengan e2ipy eksponensial dan mengintegrasikan variabel y. Dengan cara ini, jika seseorang mendefinisikan operator ρrs (t) = | αr, tihαs, t |, maka transformasi Weyl berikut diperoleh p ρrs (t) → p-i 2 ∂ Q ∂? WRS, ρrs (t) p → p + i 2 ∂ Q ∂? WRS, ρrs q (t) →? q + i 2 ∂ ∂ p? WRS, ρrs (t) q →? Q-i 2 ∂ ∂ p? WRS. (27) Menggunakan ekspresi (26) dan (27), sistem berikut persamaan diferensial untuk fungsi Wigner diperoleh (Λp p + q + λq δ) WRS (t) + i 2? λq ∂ ∂ p-λp ∂ Q ∂? WRS (t) = αr WRS (t), λ * pp + λ * qq + δ * WRS (t) -? i 2 λ * q ∂ ∂ p-λ * p ∂ Q ∂? WRS (t) = α * s WRS (t). Membuat perubahan variabel z = λp p + q + δ λq dan konjugat kompleks, itu sangat mudah untuk mendapatkan? Z + 1 2 ∂ ∂ z *? WRS (t) = αr WRS (t),? Z * + 1 2 ∂ ∂ z? WRS (t) = α * s WRS (t). Sistem persamaan diferensial mempunyai solusi berikut: Wrs (t) = W0 (αr, αs) e2αrz * +2 α * lanjut-2 | z | 2, Simetri dalam Ilmu XV IOP Publishing Journal of Physics: Konferensi Series 380 (2012) 012017 doi: 10.1088/1742-6596/380/1/012017 11 dimana W0 (αr, αs) adalah fungsi sewenang-wenang variabel αr, αs, dan ekspresi konjugasi kompleks. Waktu Ketergantungan ini disebabkan oleh evolusi keadaan dalam dianggap Hamiltonian, yang tindakan ini tercermin dalam parameter λp, λq, dan δ. Kemudian kuasi-probabilistik Wigner fungsi distribusi untuk mengkristal keadaan kucing Schrödinger dapat ditulis sebagai berikut W (q, p, t) = N2 λ n X r, s = 1 χ (λ) (gr) χ (λ) * (gs) W0 (αr, αs) e2αrz * +2 α * lanjut-2 | z | 2. (28) Mengganti z, z *, dan mengintegrasikan ekspresi sehubungan dengan variabel ruang fase q dan p, kita mendapatkan 1 = N2 λ π n X r, s = 1 χ (λ) (gr) χ (λ) * (gs) W0 (αr, α * s) e2α * s αr, membandingkan hasilnya dengan (2) ketika representasi tereduksi dari grup jalur adalah salah satu yang sama memiliki hasil yang W0 (αr, αs) = 1 π Esr e-2α * s αr. Oleh karena itu, kita menemukan bahwa waktu fungsi Wigner dependen yang terkait dengan kucing mengkristal dapat ditulis dalam bentuk berikut W (q, p, t) = N2 λ

n X r, s = 1 χ (λ) (gr) χ (λ) * (gs) Esr e -2σq ~ p2 sr (t)-2σp ~ q2 sr (t) +4 σpq ~ PSR (t) ~ QSR (t), (29 ) di mana kita mendefinisikan ~ PSR (t) = p-PSR (t) dan ~ QSR (t) = q-QSR (t), ekspresi untuk QSR (t) dan PSR (t) diberikan dalam ekspresi (18). Dengan demikian, kita dapat melihat bahwa setiap istilah dalam fungsi distribusi Wigner berubah dalam waktu sesuai dengan unsur-unsur matriks quadratures dari medan elektromagnetik terhadap keadaan berkorelasi umum. Ekspresi fungsi distribusi Wigner dapat disederhanakan satu langkah lebih jauh dengan memperhatikan bahwa argumen dalam eksponensial adalah bentuk kuadrat dan dengan demikian dapat didiagonalkan melalui rotasi di ruang fase dengan sudut θ (t) = 1 2 arctan? 2σpq σq-σp? + Θ0, (30) di mana nilai awal digunakan untuk menjamin bahwa θ (t = 0) = 0. Kemudian fungsi Wigner, dalam hal variabel diputar, diberikan oleh W (q, p, t) = N2 λ n X r, s = 1 χ (λ) (gr) χ (λ) * (gs) Esr e - q '2 (Δq') 2 - p '2 (AP') 2FF, dimana fluktuasi variabel baru yang independen dari parameter kompleks αr dan αs karena mereka diberikan sebagai berikut: (Δq ') 2 = σp + σq + q (σp + σq) 2 -1 -1 2, (? AP ') 2 =? σp + σq-q (σp + σq) 2 -1? -1 2. Simetri dalam Ilmu XV IOP Publishing Journal of Physics: Konferensi Series 380 (2012) 012017 doi: 10.1088/1742-6596/380/1/012017 12 Dalam variabel ini kita dapat melihat bahwa area ruang fase (q ', p') produk staysconstantbecausethe (Δq ') 2 (AP') 2 = 1. Sebagai kesimpulan, setiap istilah dari fungsi distribusi Wigner dari Schrödinger keadaan kucing mengkristal bergerak menurut elemen matriks quadratures dari medan elektromagnetik dan berputar dengan sudut θ (t). Selain di ruang fase berputar fluktuasi berubah dalam waktu tapi wilayah ruang fase adalah konstan. Meskipun fungsi Wigner sangat berguna kadang-kadang akan lebih mudah untuk memiliki fungsi distribusi non-negatif dan untuk alasan ini fungsi Husimi diperkenalkan [27]. The Husimi distribusi distribusi quasiprobability dapat diperoleh secara langsung dengan cara QH ekspresi (q, p) = hβ | ψ (λ) ihψ (λ) | βi, N2 = λ n X s, r = 1 χ * (λ) ( gs) χ (λ) (gr) hβ | αrihαs | βi, di mana β = 1 √ 2 (q + ip) dan di baris kedua, kita mengganti ekspresi bagi keadaan kucing mengkristal, (1). Bentuk lain dari membangun fungsi Husimi adalah merapikan fungsi Wigner dengan rata-rata lebih dari fungsi kembang kayu kasar [28] QH (β, β *) = 1 2πZZZ φB (x, x ', p) Wψλ? X + x' 2, ? p dxdx'dp, dengan Φ (β, β *) = 1 √ πeip (x-x ') - 1 2 (β2 + β * 2 +2 | β | 2) -1 2 (x2 + x'2) + √ 2 (β * x + βx '). ThusifwesubstitutetheexpressionfortheWignerfunctionofthecrystallizedSchrödingercat keadaan yang diberikan dalam (29) dan membuat integrasi yang ditunjukkan dalam ekspresi terakhir, satu mendapat QH (q, p, t) = N2 λ n X r, s = 1 χ (λ) (gr) χ (λ) * (gs) Esr QSR (t), (31) di mana kita telah mendefinisikan QSR (t) = 1 2πs 2 σq + σp + 1 e - (2σp +1) (q-QSR (t)) 2 - (2σq +1) (p-PSR (t)) 2 +4 σpq (q-QSR (t)) (p-PSR (t)) 2 (σq + σp +1) ff (32)

Akhirnya kami menghitung momen kedua dari fungsi distribusi Husimi, karena telah diusulkan sebagai ukuran kompleksitas kuantum keadaan murni dan memiliki sifat yang mirip dengan Wehrl entropi [29]. Inversnya merupakan volume efektif dalam ruang fase ditempati oleh Husimi fungsi distribusi quasiprobability. Ketika keadaan kuantum diperluas dalam dasar misalnya | φi = X k ck | φki, informasi yang diperoleh ketika seseorang mengukur pk probabilitas = | ck | 2 diperoleh melalui perhitungan Shannon entropi S =-X k pk lnpk .

Gambar 5. Luas fungsi Husimi sebagai fungsi dari ] untuk grup jalur C3 dan C6. Kami menggunakan baris kode yang sama dibandingkan pada Gambar. (2) dan (3). Selain itu, saat-saat distribusi Mj = Pk pj k memberikan ukuran lokalisasi sehubungan dengan dasar yang digunakan, khususnya kebalikan dari momen kedua menentukan jumlah komponen utama. Sebagai fungsi Husimi dapat dianggap sebagai fungsi distribusi probabilitas, kita akan menghitung momen kedua dan menunjukkan hasil untuk ekspresi terbalik, daerah, terkait dengan keadaan-keadaan kucing mengkristal. Dengan demikian, kita untuk saat kedua fungsi Husimi MH = AZZ - ∞ ∞ Q2 (q, p) dq dp (33) = N2 λX r, s X r ', s' χ (λ) (gr) χ ( λ) (gr ') χ (λ) * (gs) χ (λ) * (gs') Msr (t) EsrEs'r '(34) dengan A = 4π √ 2 menjadi konstan bahwa kita menyesuaikan diri dengan membuat daerah sebuah keadaan yang koheren sama dengan kesatuan. Fungsi Msr (t) dapat ditulis sebagai berikut Msr (t) = 1 2πp2 (1 + + σp σq) e-1 4 (1 + + σp σq) (QSR (t)-qs'r '(t)) 2 (1 +2 σp) + (PSR (t)-ps'r' (t)) 2 (1 +2 σq) × e-1 4 (1 + + σp σq) -4σpq (QSR (t)-qs'r '(t)) (PSR (t)-ps'r' (t)). Dalam Gambar. (5) kita plot area dalam ruang fase terkait dengan keadaan-keadaan mengkristal yang membawa representasi tereduksi grup jalur C3 dan C6, untuk t = 0. Satu dapat melihat nilai-nilai kecil ] bahwa mereka memiliki area yang sama dengan keadaan yang koheren, bahwa A = 1 sedangkan untuk nilai yang lebih besar daerah bertambah satu memiliki tiga kali luas keadaan yang koheren sesuai dengan jumlah komponen yang mengkristal keadaan untuk C3 sementara satu mendapat A = 6 untuk C6. Hal ini disebabkan perilaku produk skalar dari dua keadaan yang koheren bahwa mereka menjadi orthogonal ketika | α | >> 1 seperti yang ditunjukkan pada Gambar. (1). 5. Ringkasan dan Kesimpulan Pertama-tama, kami telah menghitung nilai harapan dari quadratures dari medan elektromagnetik terhadap keadaan-keadaan kristalisasi kelompok siklik bawah aksi gaya konstan, dan hasilnya HPI = F0-t, HQI = F0-t2 2 , (35) Simetri dalam Ilmu XV IOP Publishing Journal of Physics: Konferensi Series 380 (2012) 012017 doi: 10.1088/1742-6596/380/1/012017 14 Gambar 6. Invariants Poincare akan ditampilkan sebagai fungsi dari ] untuk grup jalur C3 dan C6, ketika sistem yang subjek menjijikkan gaya konstan F0 = 10 dalam satuan sewenang-wenang. Mereka bergantung pada waktu, dan kita menggunakan baris kode yang sama dibandingkan pada Gambar. (2) dan (3). yang memiliki nilai yang sama untuk semua keadaan membawa representasi tereduksi dari kelompok siklik. Nilai-nilai mereka sesuai dengan evolusi klasik quadratures. Hasil lain yang menarik adalah bahwa hasil bagi dari fluktuasi Δq AP = P1 + t2, haveauniversalvalueforalltheirreduciblerepresentationbasisstatesofthecyclicgroups. Kuantitas lain dari bunga, universal Poincare-Cartan invariant yang dibangun dalam hal fluktuasi quadrature dari medan elektromagnetik, yaitu IPC = (Δq) 2 (AP) 2 - (Δpq) 2. (36) Untuk keadaan

berkorelasi yang merupakan solusi dari persamaan Schrödinger waktu tergantung dari Hamiltonian (5) perhitungan kuantitas ini dapat dengan mudah dilakukan. Hasilnya diberikan oleh IPC = 1/4 seperti dapat dibuktikan dengan cara ekspresi (16) dan menggunakan λpλ bahwa * q-λ * pλq = i. Kemudian keadaan berkorelasi meminimalkan hubungan ketidakpastian Schrödinger-Robertson [7]. Dalam Gambar. (6), invariants Poincare-Cartan untuk C3 dan C6 ditampilkan sebagai fungsi ] = | α | ketika keadaan cristallized sesuai berkembang di bawah gaya konstan Hamiltonian. Tentu saja mereka adalah independen dari waktu, selalu lebih besar dari 1/4, dan nilai-nilai besar ] keadaan bagian representasi tereduksi yang berbeda memiliki bahavior sama. Waktu linear konstanta tergantung gerak dapat diperoleh dengan cara teorema nother itu. The (P (t), Q (t)) merupakan satu set transformasi kanonik linear homogen dan representasi kesatuan yang dapat digunakan untuk menemukan evolusi dari setiap paket gelombang dalam ruang fase. Untuk kasus fungsi distribusi Wigner, representasi kesatuan memiliki bentuk produk dari fungsi Dirac Delta. The mengkristal keadaan kucing Schrödinger dapat menyajikan fenomena tekanan, korelasi antara quadratures, dan fungsi distribusi foton subpoissonian. Evolusi fungsi Wigner bawah aksi seorang jenderal paling Hamiltonian kuadrat dalam quadratures dari medan elektromagnetik didirikan. Bergerak dalam ruang fase sesuai dengan unsur-unsur matriks posisi dan momentum operator sehubungan dengan keadaan-keadaan koheren parameter αr terkait dengan aksi kelompok titik dipertimbangkan, juga berputar dengan sudut ditentukan oleh fluktuasi terkait dengan sesuai umum keadaan berkorelasi, dan dalam kerangka berputar acuan dispersi berubah tetapi menjaga daerah yang sama di ruang fase. Hasil ini dapat diperluas untuk fungsi Wigner dari Simetri dalam Ilmu XV IOP Publishing Journal of Physics: Konferensi Series 380 (2012) 012017 doi: 10.1088/1742-6596/380/1/012017 15 yang mengkristal keadaan kucing Schrödinger, dalam hal ini untuk setiap jangka waktu fungsi Wigner seseorang memiliki perilaku yang sama dengan mengganti nilai harapan untuk elemen matriks, yaitu fungsi QSR (t) dan sebagainya. Kami memiliki tujuan untuk memperluas pekerjaan ini dengan kasus multimodal, untuk dapat menghitung jumlah bunga dalam teori informasi kuantum seperti misalnya entropi Von Neumann untuk mengukur sifat belitan dari dua mode medan elektromagnetik. menghitung belitan keadaan kucing, jantan untuk melihat bagaimana perubahan dalam evolusi waktu tergantung Hamiltonians. Ucapan Terima Kasih Kami berterima kasih kepada Dieter Schuch atas undangan untuk berpartisipasi dalam pertemuan simetri dalam Ilmu XV diadakan di Bregenz, Austria. Karya ini sebagian didukung oleh CONACYT-Mexico, proyek-101.541. Tabel Lampiran A. Karakter Tabel karakter untuk kelompok siklik Cn, dalam hal ini representasi tereduksi adalah salah satu dimensi dan kemudian karakter yang diberikan oleh I R1 R2 · · Rn-1 χ (0) 1 1 1 · · 1 χ (1) 1 μn μ2 n · · μn-1 n χ (2) 1 μ2 n μ4 n · · μ2 (n-1) n. . . . . . . . . . . . . . . . . . χ (n-1) 1 μn-1 n μ2 (n-1) n · · μ (n-1) (n-1) n Untuk kelompok dihedral Dn kita memiliki dua kasus yang berperilaku berbeda: n genap dan n aneh. Dalam n bahkan kasus inversi dibagi menjadi dua kelas yang berbeda dan rotasi radian π selalu membentuk kelas tersendiri. Untuk kasus aneh n, semua inversi milik kelas yang sama sedangkan rotasi membentuk dua atau lebih kelas. Untuk kelengkapan kontribusi, kami memberikan tabel karakter untuk kelompok: D3, D4, D5, dan D6 diambil dari referensi [30]. Untuk kelompok dihedral D3: Saya nR2π 3, R4π 3 o U1, U2, U3 χ (0) 1 1 1 χ (1) 1 1 -1 χ (2) 2 -1 0 Untuk kelompok dihedral D4: Saya nRπ 2 , R3π 2 o Rπ U1, U3 U2, U4 χ (0) 1 1 1 1 1 χ (1) 1 1 1 -1 -1 χ (2) 1 -1 1 1 -1 χ (3) 1 -1 1 -1 1

χ (4) 2 0 -2 0 0 Untuk kelompok D5 dihedral: Simetri dalam Ilmu XV IOP Publishing Journal of Physics: Konferensi Series 380 (2012) 012017 doi: 10.1088/1742-6596/380/1/012017 16 Aku nR2π 5 , R8π 5 o nR4π 5 , R6π 5 o U1, U2, U3, U4, U5 χ (0) 1 1 1 1 χ (1) 1 1 1 -1 χ (2) 2 γ γ2 0 χ (3) 2 γ2 γ 0 dengan γ = 2cos (2π / 5) = √ 5-1 / 2 rasio emas dan γ2 = 2cos (4π / 5) = - √ 5 + 1/2?. Akhirnya kita mempertimbangkan grup dihedral D6: Saya nRπ 3, R5π 3 o nR2π 3, R4π 3 o Rπ U1, U3, U5 U2, U4, U6 χ (0) 1 1 1 1 1 1 χ (1) 1 1 1 1 -1 -1 χ (2) 1 1 -1 -1 1 -1 χ (3) 1 1 -1 -1 -1 1 χ (4) 2 -1 1 -2 0 0 χ (5) 2 -1 -1 2 0 0