กำ�หนดก�รเชงเสน

3. กำ�หนดก�รเชงเสน

กำ�หนดก�รเชงเสน (linear programming) เปนวธก�รท�งคณตศ�สตรประยกต ซงไดพฒน�ขนตงแตกอน พ.ศ. 2483 เพอชวยในก�รตดสนใจเกยวกบก�รใชทรพย�กรทมอยอย�งจำ�กดใหเกดประโยชนสงสด คำ�ว� ทรพย�กร ในทนหม�ยถง เครองจกร กำ�ลงคน วตถดบ เวล� หรอเงนลงทนกได วธก�รของกำ�หนดก�รเชงเสนทำ�ใหเร�ทร�บว�ควรตดสนใจเกยวกบก�รลงทนอย�งไร จงจะไดผลกำ�ไรสงสดภ�ยใตขอจำ�กดและเงอนทมอย ปจจบนมก�รประยกตใชวธก�รกำ�หนดก�รเชงเสนในหล�ยวงก�ร เชน

ท�งด�นก�รผลต นำ�ไปชวยในก�รว�งแผนก�รผลตเพอใหไดกำ�ไรสงสด ในขณะทเครองจกรและวตถดบทใชในก�รผลตมอยจำ�นวนจำ�กด หรอกล�วไดอกอย�งหนงว� เปนก�รว�งแผนก�รผลตเพอใหเกดตนทนก�รผลตตำ�สด ภ�ยใตขอจำ�กดของเครองมอและวตถดบทมอย ท�งด�นโภชน�ก�ร นำ�ไปชวยในก�รว�งแผนก�รจดอ�ห�รเพอใหร�งก�ยไดรบคณค�ท�งอ�ห�รเพยงพอกบคว�มตองก�ร โดยเสยค�ใชจ�ยนอยทสด ท�งด�นก�รศกษ� นำ�ไปชวยในก�รว�งแผนก�รบรห�รง�นเพอใหเกดประสทธภ�พม�กทสดเชน ส�ม�รถรบนกเรยน เข�ศกษ�ไดม�กทสดภ�ยใตขอจำ�กดเกยวกบจำ�นวนคร และสถ�นท เปนตน ท�งด�นประสทธภ�พในก�รทำ�ง�น นำ�ไปชวยในก�รจดเวล�ทมอยจำ�กดใหส�ม�รถจดกจกรรมทมอยหล�ย ๆ อย�ง เกดผลทมประโยชนสงสด

นอกจ�กตวอย�งทกล�วม�แลว กำ�หนดก�รก�รเชงเสนยงส�ม�รถนำ�ไปใชในก�รแกปญห�ท�งด�นอน ๆ เชน ท�งด�นวทย�ศ�สตรก�ยภ�พ ท�งด�นสงคมศ�สตร เปนตน

แบบจำ�ลองท�งคณตศ�สตร

คว�มคดพนฐ�น และเทคนคของกำ�หนดก�รเชงเสนชวยในก�รตดสนใจเกยวกบปญห�ทรพย�กรทมอยอย�งจำ�กดเพอใหเกดประโยชน

กำ�หนดก�รเชงเสน

หรอประสทธภ�พสงสดแกผตดสนใจนน แสดงว� ก�รแกปญห�กำ�หนดก�รเชงเสนจงเกยวกบก�รห�ค�ตำ�สด หรอสงสดภ�ยใตเงอนไขขอบงคบ โดยก�รนำ�เอ�เงอนไขขอบงคบม�สร�งในรปแบบจำ�ลองกำ�หนดก�รเชงเสน

แบบจำ�ลองกำ�หนดก�รเชงเสนประกอบดวย 2 สวนดงน

1. สวนทเร�ตองนำ�ไปห�ค�ทเกดประโยชน หรอประสทธภ�พสงสด สวนนจะอยในรปสมก�ร จงเรยกสวนนว� “สมก�รจดประสงค ” หรอ “ ฟงกชนจดประสงค ”

2. สวนทเปนทรพย�กรทมอยอย�งจำ�กด สวนนอยในรปอสมก�รทแสดงถงเงอนไขบงคบ หรอขอจำ�กด “ จงเรยกสวนนว� ” อสมก�รขอจำ�กด หรอ “เงอนไขบงคบ”

เทคนคก�รสร�งแบบจำ�ลองกำ�หนดก�รเชงเสนโดยทวไปโจทยมกจะเปนเร องร�วทไมมตวแปร เร�ซงเปนผอ�น

โจทยจะตองรจกก�รตงตวแปรใหเปนปรม�ณต�งๆ จ�กโจทยใหได หลกก�ร

1. กำ�หนดให P แทนปรม�ณทโจทยถ�มห�ค�ตำ�สด หรอสงสด และ x , y แทนปรม�ณท P ขนอยกบมน2. อ�นขอมลจ�กโจทยแลวสรปเปนขอมลง�ยๆ3. สร�งสมก�รจดประสงค เนองจ�กสมก�รจดประสงค เปนสวนทเร�ตองนำ�ไปห�ค�ทเกดประโยชน หรอประสทธภ�พสงสด จะได สมก�รจดประสงค P = ax + by เมอ a , b E R4. สร�งอสมก�รขอจำ�กด เนองจ�กอสมก�รขอจำ�กดเปนสวนทเปนทรพย�กรทมอยอย�งจำ�กด สวนนอยในรปอสมก�รทแสดงถงเงอนไขบงคบ หรอขอจำ�กด จะได

เปนขอคว�มอนกไดต�มแตเหนสมควร

กำ�หนดก�รเชงเสน

อสมก�รขอจำ�กดในเทอมของ x และเทอมของ y ตวอย�ง ท 1 บรษทแหงหนงผลตอ�งล�งหน� 2 ชนด คอ ชนด A และ ชนด B โดยทอ�งล�งหน�ชนด A แตละอ�งจะตองเสยเวล�ในก�รผลตโดยใชเครองจกร 2 ชวโมง ใชแรงง�นคน 1 ชวโมง และข�ยไดกำ�ไรอย�งละ 30 บ�ท สำ�หรบอ�งล�งหน�ชนด B แตละอ�งจะตองเสยเวล�ผลตโยก�รใชเครองจกร 1 ชวโมง ใชแรงง�นคน 3 ชวโมง และข�ยไดกำ�ไร 40 บ�ท ถ�วนหนงก�รผลตโดยใชเครองจกร และใชแรงง�นคนทำ�ง�นไมเกน 6 ชวโมงและ 8 ชวโมง ต�มลำ�ดบตองก�รทร�บว�บรษทแหงนควรผลตอ�งล�งหน�แตละชนดเปนจำ�นวนเท�ไรในแตละวน จงจะไดกำ�ไรม�กทสด จงสร�งแบบจำ�ลองกำ�หนดก�รเชงเสน วธทำ� 1. กำ�หนดให P แทนปรม�ณทโจทยถ�มห�ค�ตำ�สด หรอสงสด

P แทนกำ�ไรทงหมด และ x , y แทนปรม�ณท P ขนอยกบมน

x แทนจำ�นวนอ�งล�งหน�ชนด A ทผลตใน 1 วนy แทนจำ�นวนอ�งล�งหน�ชนด B ทผลตใน 1 วน

2. อ�นขอมลจ�กโจทยแลวสรปเปนขอมลง�ยๆ ไดดงน

ชนดของอ�งล�งหน�

ใชเครองจกร(อ�ง/ชม.)

ใชแรงง�นคน

(อ�ง/ชม.)

กำ�ไร(บ�ท/อ�ง)

จำ�นวนทผลตในแตละ

วนA 2 1 30 x ≥ 0B 1 3 40 y ≥ 0

3.สร�งสมก�รจดประสงค เนองจ�กสมก�รจดประสงคเปนสวนทเร�ตองนำ�ไปห�ค�ทเกดประโยชน หรอประสทธภ�พสงสด

จะได สมก�รจดประสงค P = 30x + 40y

กำ�หนดก�รเชงเสน

4. สร�งอสมก�รขอจำ�กด เนองจ�กอสมก�รขอจำ�กดเปนสวนทเปนทรพย�กรทมอยอย�งจำ�กดสวนนอยในรปอสมก�รทแสดงถงเงอนไขบงคบหรอขอจำ�กด

4.1 เวล�ทใชเครองจกรผลตอ�งล�งหน�ชนด A 2x เวล�ทใชเครองจกรผลตอ�งล�งหน�ชนด B 1y

เนองจ�กโจทยบอกว�ใชเครองจกรทำ�ง�นในแตละวนไมเกน 6 ชวโมง

จะได 2x + y ≤ 6 4.2 เวล�ทใชแรงง�นคนผลตอ�งล�งหน� ชนด A 1x

ชวโมงเวล�ทใชแรงง�นคนผลตอ�งล�งหน� ชนด B 3y

ชวโมงจะได x + 3y ≤ 8

4.3 จำ�นวนอ�งล�งหน�จะตองไมเปนลบจะได x ≥ 0, y ≥ 0

แบบจำ�ลองกำ�หนดก�รเชงเสนประกอบไปดวย1. สมก�รจดประสงค คอ กำ�ไรทตองก�รม�กทสด มสมก�ร คอ P = 30x + 40y2. อสมก�รขอจำ�กด คอ

2x+ y ≤ 6x+3y ≤ 8 x ≥ 0 y ≥ 0

ดงนน ส�ม�รถเขยนต�ร�งสรปเพอใหชดเจนไดดงน

ชนดของอ�งล�งหน�

ใชเครองจกร(อ�ง/ชม.)

ใชแรงง�นคน

(อ�ง/ชม.)

กำ�ไร(บ�ท/อ�ง)

จำ�นวนทผลตในแตละวน

A 2 1 30 x ≥ 0B 1 3 40 y ≥ 0

ขอจำ�กด 2x + y ≤ 6

x + 3y ≤ 8

P = 30x + 40y

กำ�หนดก�รเชงเสน

ก�รแกปญห�กำ�หนดก�รเชงเสนโดยวธก�รใชกร�ฟในก�รแกปญห�กำ�หนดก�รเชงเสนนนตองเรมตนดวยก�รสร�งแบบ

จำ�ลองท�งคณตศ�สตร ซงประกอบดวย 2 สวน คอสวนท 1 สวนทเปนเป�หม�ย จะอยในรปของ สมก�รจดประสงค

(ในเอกส�รเลมนใช P)สวนท 2 สวนทเปนขอจำ�กด จะอยในรปของ อสมก�รขอจำ�กด

ซงเปนก�รแปลงสถ�นก�รณปญห�ใหเปนปญห�ท�งคณตศ�สตร จ�กนนจงห�คำ�ตอบของปญห�ดวยวธก�รต�ง ๆ ในก�รศกษ�ครงนใชก�รกร�ฟชวยในก�รห�คำ�ตอบ

ลองสมมตใหกร�ฟของระบบอสมก�รขอจำ�กด เปนดงน

ขอกำ�หนด1. ถ�กำ�หนดก�รเชงเสน มคำ�ตอบทเหม�ะสมเพยงคำ�ตอบเดยว แลวคำ�ตอบนนจะตองอยทจดหกมมกร�ฟ ของระบบอสมก�รขอจำ�กด2. ถ�สมก�รจดประสงคมค�นอยทสด หรอม�กทสด ณ. จดหกมม 2 จดทมแขนของจดหกมมรวมกน

กำ�หนดก�รเชงเสน

8

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

BA

C0

นำ�คว�มจรงจ�กขอกำ�หนดม�วเคร�ะห กร�ฟของระบบสมก�รขอจำ�กดดงน1. จดทกจดในบรเวณสวนทแรเง�จะสอดคลองกบระบบอสมก�รขอจำ�กด ถกเรยกว� “เซตของคำ�ตอบทเปนไปได”2. จ�กเซตของคำ�ตอบทเปนไปได เร�จะนำ�ไปห�จดใดทสดคลองกบสมก�รจดประสงคทใหค�นอยทสด หรอค�ม�กทสดจ�กกร�ฟของระบบอสมก�รขอจำ�กด3. จดทกจดในบรเวณสวนทแรเง� มโอก�สเปนไปไดทจะทำ�ใหสมก�รจดประสงคมค�นอยทสด หรอม�กทสด แตจดหกมมมโอก�สเปนไปไดม�กกว�4. จดในบรเวณสวนทแรเง�ททำ�ใหสมก�รจดประสงคมค�นอยทสดหรอม�กทสดถกเรยกว� คำ�ตอบทเหม�ะสม

กำ�หนดก�รเชงเสน

5. ถ�กำ�หนดก�รเชงเสนมคำ�ตอบเดยว แลวจด A,B,C และ O จดใดจดหนง จะทำ�ใหสมก�รจดประสงค มค�นอยทสด หรอม�กทสด6. ถ�จด A และ B ทำ�ใหสมก�รจดประสงมค�นอยทสด แลว จดทกจดทอยบนสวนของเสนตรง AB จะทำ� ใหสมก�รจดประสงค มค�นอยทสดหรอม�กทสดดวย แสดงว�คำ�ตอบทเหม�ะสมจะมจำ�นวนนบไมถวน

เทคนคก�รแกปญห�กำ�หนดก�รเชงเสนโดยวธใชกร�ฟหลกก�ร1. ถ�โจทยทใหม�เปนเรองร�วทใหม�เปนเรองร�วทไมไดบอกตวแปรออกม�ตรงๆ เร�ซงเปนผอ�นโจทย จะตองตงตวแปรใหเปนปรม�ณต�งๆ จ�กโจทยและสร�งสมก�รจดประสงค กบอสมก�รขอจำ�กด2. เขยนกร�ฟของระบบอสมก�รขอจำ�กด เพอแสดงจดทกจดในบรเวณสวนทแรเง�ทสอดคลองกบระบบ อสมก�รขอจำ�กด3. ห�จดหกมมในบรเวณสวนทแรเง�4. นำ�จดหกมมแตละจดไปแทนค�ในสมก�รจดประสงค

4.1 ถ�ไดค�นอยทสด (ม�กทสด) เพยงคำ�ตอบเดยว แลวค�นนคอ ค�นอยทสด (ม�กทสด) ของสมก�รจดประสงค

4.2 ถ�มจดหกมม 2 จด ทมแขนของจดหกมมรวมกนทำ�ใหสมก�รจดประสงค มค�นอยทสด (ม�กทสด)แลว จดทกจดบนแกนของมมนน คอ ค�นอยทสด(ม�กทสด) ของสมก�รจดประสงค แสดงว�คำ�ตอบทเหม�ะสม จะมจำ�นวนนบไมถวน

กำ�หนดก�รเชงเสน

ตวอย�งท 2 กำ�หนดใหสมก�รจดประสงค คอ P = 30x + 50y และอสมก�รขอจำ�กด คอ 2x + y ≤ 10

x + 2y ≤ 11 x ≥ 0 y ≥ 0

แลวจงห�ว� P มค�ม�กทสดเปนเท�ไร

วธทำ� เขยนกร�ฟของระบบอสมก�รขอจำ�กด พรอมจดหกมม

10

8

6

4

2

-2

-4

-10 -5 5 10

2x + y = 10

( 3,4)

x + 2y = 11

( 0,5.5)

( 5,0)

จ�กรปจะเหนไดว�จดหกมมของรปสเหลยมคอ (0,0) , (0,5.5) , (3,4) และ (5,0) นำ�จดหกมมแทนค�ในจดประสงค ดงต�ร�งตอไปน

จดหกมม (x , y) P = 30x + 50y

(0,0)(0,5.5)(3,4)(5,0)

P = 30(0) + 50(0) = 0P = 30(0) + 50(5.5) = 275

กำ�หนดก�รเชงเสน

P = 30(3) + 50(4) = 290P = 30(5) + 50(0) = 150

ดงนน จ�กต�ร�ง จะพบว� ค�ม�กทสดของ P คอ 290 เมอ x = 3 และ y = 4ตวอย�ง ท 3 กำ�หนดใหสมก�รจดประสงค คอ P = 4x + 3y

และอสมก�รขอจำ�กด คอ 2x + 3y ≥ 122x + y ≥ 8 x ≥ 0 y ≥ 0

แลวจงห�ว� P มค�นอยทสด เปนเท�ไร

วธทำ� เขยนกร�ฟของระบบอสมก�รขอจำ�กด พรอมจดหกมม 10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

( 3,2)

2x + y = 8( 0,8)

2x + 3y = 12

( 6,0)

จ�กรปจะเหนไดว�จดหกมมของรปเหลยมคอ (6, 0) (3,2) และ(0,8)นำ�จดหกมมแทนค�ในสมก�รจดประสงค ดงต�ร�งตอไปน

จดหกมม (x , y ) P = 4x + 3y

ม�กทสด

กำ�หนดก�รเชงเสน

(6,0)(3,2)(0,8)

P = 4(6) + 3(0) = 24P = 4(3) + 3(2) = 18P = 4(0) + 3(8) = 24

ดงนน จ�กต�ร�งจะพบว� ค�นอยทสดของ P คอ 18 เมอ x = 3 และ y = 2

ตวอย�งท 4 กำ�หนดใหสมก�รจดประสงค คอ P = 2x + 3y

และอสมก�รขอจำ�กด คอ x + y ≥ 4 , 5x + 2y ≤ 25

x ≤ 5 , y ≤ 5 x ≥ 0 , y ≥ 0 แลวจงห�ว� P มค�ม�กทสดเปนเท�ไร

วธทำ� เขยนกร�ฟของระบบอสมก�รขอจำ�กด พรอมจดหกมม

นอยทสด

กำ�หนดก�รเชงเสน

12

10

8

6

4

2

-2

-10 -5 5 10

x + y =4

y = 5

x = 5

( 0,5)

( 0,4)

( 0,4)

( 5x + 2y = 25)

( 0,5) ( 3,5)

จ�กรปจะเหนไดว� จดหกมมของรปเหลยม คอ (0,4) , (0,5) , (3,5) , (5,0) และ (0,4) นำ�จดหกมมแทนค�ในสมก�รจดประสงค ดงต�ร�งตอไปน

จดหกมม (x , y ) P = 2x + 3y

(0,4)(0,5)(3,5)(5,0)(4,0)

P = 2(0) + 3(4) = 12P = 2(0) + 3(5) = 15P = 2(3) + 3(5) = 21P = 2(5) + 3(0) = 10P = 2(4) + 3(0) = 8

ดงนน จ�กต�ร�งจะพบว�ค�ม�กทสดของ P คอ 21 เมอ x = 3 และ y = 5ตวอย�ง ท 5 กำ�หนดใหสมก�รจดประสงค คอ P = x + 4y

และอสมก�รขอจำ�กด คอ x + 2y ≥ 8

ม�กทสด

กำ�หนดก�รเชงเสน

5x + 2y ≥ 20 x + 4y ≤ 22 x ≥ 0 , y ≥ 0 แลวจงห�ว� P มค�นอยทสดและค�ม�กทสดเปนเท�ไร วธทำ� เขยนกร�ฟของระบบอสมก�รขอจำ�กด พรอมจดหกมม

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

5 10 15 20

x + 2y = 8

( 8,0)

( 22,0)

( x + 4y = 22)

( 5x + 2y = 20)

( 2,5)

จ�กรปจะเหนไดว�จดหกมมของรปสเหลยม คอ (3,2.5) , (2,5) , (22,0) และ (8,0)นำ�จดหกมมแทนค�ในสมก�รจดประสงค ดงต�ร�งตอไปน

จดหกมม (x , y ) P = x + 4y(3,2.5)(2,5)

(22,0) (8,0)

P = 3+ 4(2.5) = 13P = 2+ 4(5) = 22P = 22+ 4(0) =22P = 8+ 4(0) =

ม�กทสด

นอยทสด

กำ�หนดก�รเชงเสน

8

จ�กต�ร�งจะพบว�1. ค�ทนอยทสดของ P คอ 8 เมอ x = 8 และ y = 02. ค�ม�กทสดของ P คอ 22 ณ. จดหกมม (2,5) และ (22,0) ซงเปนจดหกมมทมแขนของจดมมรวมกนดงนน จดทกจดบนสวนของเสนตรงทเชอมจดหกมม (2,5)และ(22,0)จะทำ�ใหค�ม�กทสดของ P คอ 22

ตวอย�ง ท 6 กำ�หนดใหสมก�รจดประสงค คอ P = 3x + 2y และอสมก�รขอจำ�กด คอ x + y ≤ 4

x + 2y ≥ 10 x ≥ 0 y ≥ 0

แลวจงห�ว� P มค�นอยทสด และค�ม�กทสดเปนเท�ไร

วธทำ� เขยนกร�ฟของระบบอสมก�รขอจำ�กด พรอมจดหกมม8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

x + y = 4

x + 2y = 10

จ�กกร�ฟจะเหนไดว�ไมมบรเวณสวนทแรเง� แสดงว� เซตของคำ�ตอบทเปนไปไดเปน ดงน ดงนน จงไมมจดทเปนไปได ปญห�นจงไมมคำ�ตอบ

กำ�หนดก�รเชงเสน

วเคร�ะหเพมเตม ถ�เร�ประยกตกำ�หนดก�รเชงเสนชวยในก�รตดสนใจเกยวกบปญห�ทรพย�กรทมอยอย�งจำ�กดเพอใหเกดประโยชนหรอประสทธภ�พสงสดแกผทำ�ก�รตดสนใจเร�ถอว�สถ�นก�รณแบบนไมน�จะเกดขน

แบบ ฝกหดครงท 1 เรอง ก�รห�ค�สงสดและตำ�สด

1. จงห�ค�สงสดของ P ต�มเงอนไขแตละขอทกำ�หนดใหตอไปน 1. P = 5x + 3y 5x+4y 80 5x + 2y 70 x 0 , y 0 2. P = 2x + 3y x + y 4 5x + 2y 25 x 4 y 5 x 0, y 0

2. จงห�ค�ตำ�สดของ P ต�มเงอนไขแตละขอทกำ�หนดใหตอไปน 1. P = 9x + 15y 3x + 4y 25 x + 3y 15 x 0 , y 0 2. P = 28x + 35y 2x + y 110 2x + 3y 170 x 0 , y 03. Maximize the objective function P = 3x + y , subject to the constraints

2x+ y 8 2x + 3y 12 x 0 , y 0

กำ�หนดก�รเชงเสน

4. Minimize the objective function P = 8x - y , subject to the constraints

x+ 3y 21 x + y 5 x 0 , y 0

แบบ ทดสอบครงท 1 เรอง ก�รห�ค�สงสดและตำ�สด

1. จงห�ค�สงสดของ P ต�มเงอนไขแตละขอทกำ�หนดใหตอไปน 1. P = 15x + 10y 3x+2y 80 2x + 3y 70 x 0 , y 0 2. P = 35x 25y 2x + 3y 15 3x + y 12 x 0 , y 02. จงห�ค�ตำ�สดของ P ต�มเงอนไขแตละขอทกำ�หนดใหตอไปน 1. P = 40000x + 32000y 6x + 2y 12 2x + 2y 8 4x + 12y 24 x 0 , y 0 2. P = 2x 3y x + 2y ≤ 6 x y 0 x 4 , y 03. Minimize the objective function P = 8x - y , subject to the constraints

x+ 3y 21 x + y 5 x 0 , y 0

กำ�หนดก�รเชงเสน

แบบ ฝกหดครงท 2 เรอง ก�รห�ค�สงสดและตำ�สด

1. จงห�ค�สงสดของ P ต�มเงอนไขแตละขอทกำ�หนดใหตอไปน 1. P = 30x + 50y

2x + y ≤ 10 x + 2y ≤ 11 x 0 , y 0 2. P = 5x + 3y

2x + 5y ≤ 300 x + y ≤ 90 0 ≤ x ≤ 70 x 0 , y 0

2. จงห�ค�ตำ�สดของ P ต�มเงอนไขแตละขอทกำ�หนดใหตอไปน 1. P = 4x + 3y

2x + 3y ≥ 122x + y ≥ 8 x 0 , y 0

2. P = 7x + 4y3x + y ≥ 6 x + 5y ≥ 8 x + y ≥ 4 x 0 , y 0

แบบ ทดสอบครงท 2 เรอง ก�รห�ค�สงสดและตำ�สด

กำ�หนดก�รเชงเสน

1. จงห�ค�สงสดของ P ต�มเงอนไขแตละขอทกำ�หนดใหตอไปน 1. P = 100x + 80y

x + 2y ≤ 800 3x + 2y ≤ 1200 x 0 , y 0 2. P = x + 2y

3x + 4y ≤ 200 2x + y ≤ 100 x 0 , y 0

2. จงห�ค�ตำ�สดของ P ต�มเงอนไขแตละขอทกำ�หนดใหตอไปน 1. P = 5x + 4y

5x + 6y ≥ 905x + 3y ≥ 60 x 0 , y 0

2. P = 2x + 3y5x + 2y ≥ 20 x + y ≥ 7 x 0 , y 0

ก�รแก ปญห�กำ�หนดก�รเชงเสนโดยวธใชกร�ฟ ตวอย�งท 7 ช�งตดเสอมผ�ฝ�ยสพน 16 เมตร ผ�ฝ�ยล�ยดอก 15 เมตร และผ�ลกไม 11 เมตร ถ�ตองก�รเอ�ผ�และลกไมดงกล�วม�ตดชดกล�งวนและชดร�ตร โดยชดกล�งวนแตละชดใชผ�ฝ�ยสพน 2 เมตรผ�ฝ�ยล�ยดอก 1 เมตร และผ�ลกไม 1 เมตร เมอข�ยจะไดกำ�ไรชดละ

กำ�หนดก�รเชงเสน

300 บ � ท ช ด ร � ต ร แ ต ล ะ ช ด ใ ช ผ � ฝ � ยสพน 1 เมตร ผ�ฝ�ยล�ยดอก 3 เมตร และผ�ลกไม 2 เมตร เมอข�ยจะไดก ำ� ไ ร ช ด ล ะ 500 บ � ทช�ง ตดเสอควรจะตดชดชนดละกชด เมอข�ยจงจะไดกำ�ไรม�กทสด และม�กทสดเปนจำ�นวนเงนเท�ไร วธทำ� ขนท 1 เขยนกร�ฟของระบบอสมก�รซงเกดจ�กเงอนไขบงคบหรอขอจำ�กด เซตของจดบนกร�ฟดงกล�วคอ เซตของผลลพธทเปนไปได

ตวแปรของโจทยขอนคอ จำ�นวนชดกล�งวนและจำ�นวนชดร�ตรทจะตด โดยมผ�ทจะใชตด ใน ปรม�ณจำ�กด และเมอตดต�มจำ�นวนแลวตองข�ยไดกำ�ไรม�กทสด

ใหตดชดกล�งวนจำ�นวน x ชด ตดชดร�ตรจำ�นวน y ชด เพอใหไดกำ�ไรม�กทสด P บ�ท

สมก�ร P = 300x + 500y เรยกว� สมก�รจดประสงคในก�รตดชดกล�งวน x ชด ใชผ�ฝ�ยสพน 2x เมตร

ใชผ�ฝ�ยล�ยดอก 1x เมตรใชผ�ลกไม 1x เมตร

ในก�รตดชดร�ตร y ชด ใชผ�ฝ�ยสพน 1y เมตรใชผ�ฝ�ยล�ยดอก 3y เมตรใชผ�ลกไม 2y เมตร

ในก�รตดชดครงนมผ�ฝ�ยสพน 16 เมตร ผ�ฝ�ยล�ยดอก 15 เมตร และผ�ลกไม 11 เมตร

จ�กขอมลทกำ�หนด เขยนสรปไดต�ร�งดงน

ผ�ฝ�ยสพน(เมตร)

ผ�ฝ�ยล�ยดอก(เมตร)

ผ�ลกไม (เมตร)

กำ�ไร

จำ�นวน (ชด)

ชดกล�ง

2 1 1 300

x

กำ�หนดก�รเชงเสน

วนชดร�ตร

1 3 2 500

y

วตถดบ 16 15 11แบบจำ�ลองท�งคณตศ�สตร คอ

1. สมก�รจดประสงค คอ P = 300x + 500y บ�ท (กำ�ไรม�กทสด P บ�ท)

2. อสมก�รขอจำ�กด ไดดงน2x+y 1 6x + 3y 15x + 2y 11 ทงน x 0 , y 0

นำ�อสมก�รทงหมดม�เขยนกร�ฟไดดงน12

10

8

6

4

2

-2

-4

-10 -5 5 10

D: (0.00, 5.00)

A: (8.00, 0.00)

C: (3.00, 4.00)

B: (7.00, 2.00)

a: (6.60, 2.80)

A

D

B

a

C

จดตดของสมก�ร x + 3y = 15 และ 2x + y = 16 คอ ( 7, 2 )

จดตดของสมก�ร x + 3y = 15 และ x + 2y = 11 คอ ( 3, 4 )

ขนท 2 ห�จดมมของกร�ฟของเซตของผลลพธทเปนไปได พบว�จดมม ม 5 จดคอ (0,0) (8,0) (7,2) (3,4) และ (0,5)

กำ�หนดก�รเชงเสน

ขนท 3 นำ�พกดของจดมมแตละจดไปห�ค� P ในสมก�รจดประสงค ไดดงน

จดมม สมก�รจดประสงค P = 300x + 500y

(0,0)(8,0)(7,2)(3,4)(0,5)

P =300(0) + 500(0) = 0P =300(8) + 500(0) = 2,400P =300(7) + 500(2) = 3,100P =300(3) + 500(4) = 2,900P =300(0) + 500(5) = 2,500

ขนท 4 ค�สงสด มค� P = 3,100 บ�ท ณ จด (7, 2)ตอบ แสดงว� ตดชดกล�งวน 7 ชด ตดชดร�ตร 2 ชด จงจะไดกำ�ไรม�กทสด และข�ยไดกำ�ไรม�กทสด 3,100 บ�ท อธบ�ยตวอย�งท 1 จ�กก�รคำ�นวณดงกล�วจะเหนว� เมอตดชดกล�งวน 7 ชด ชดร�ตร 2 ชดใชผ�ฝ�ยสพนทงหมด 2(7)+2 = 16 เมตร ผ�ฝ�ยสพนหมดพอด

ใชผ�ฝ�ยล�ยดอกทงหมด 7 + 3(2) = 13 เมตร ผ�ฝ�ยล�ยดอกเหลอ 2 เมตร

ใชผ�ล�ยลกไม 7 + 2(2) = 11 เมตร ผ�ลกไมหมดพอด

ตวอย�งท 8 เจ�ของธรกจแหงหนงตองก�รทำ�คว�มสะอ�ดต 5 ต โตะ 12 ตว และช นหนงสอ 18 ช น เข�มคนง�น 2 คน คนแรกส�ม�รถทำ�คว�มสะอ�ดตได 1 ต โตะ 3 ตว และชนหนงสอ 3 ชน ตอชวโมง คนทสองส�ม�รถทำ�คว�มสะอ�ดตได 1 ต โตะ 2 ตว และชนหนงสอ 6 ชน ตอชวโมง คนแรกไดค�แรงชวโมงละ 25 บ�ท คนทสองไดค�แรงชวโมงละ 22 บ�ท เพอใหเสยค�แรงนอยทสด เข�ควรจ�งคนง�นทงสองคนทำ�ง�น

กำ�หนดก�รเชงเสน

ค น ล ะ ช ว โ ม งวธทำ� ขนท 1 เขยนกร�ฟของระบบอสมก�รซงเกดจ�กเงอนไขบงคบหรอขอจำ�กด เซตของจดบนกร�ฟดงกล�วคอ เซตของผลลพธทเปนไปได

ให คนทหนงทำ�ง�น x ชวโมงคนทสองทำ�ง�น y ชวโมงP แทน เสยค�แรงนอยทสด

จ�กขอมลทกำ�หนด เขยนสรปไดต�ร�งดงน

ต (ต) โตะ (ตว) ชนหนงสอ (ชน)

ค�แรง

จำ�นวน (ชวโมง)

คนทหนง

1 3 3 25 x

คนทสอง

1 2 6 22 y

จำ�นวน 5 12 18

แบบจำ�ลองท�งคณตศ�สตร คอ1. สมก�รจดประสงค คอ P = 25x+22y บ�ท (เสยค�แรง

นอยทสด P บ�ท)2. อสมก�รขอจำ�กด ไดดงน

x+ y 53x+2y 123x+6y 18 ทงน x 0 , y

0

นำ�อสมก�รทงหมดม�เขยนกร�ฟไดดงน

กำ�หนดก�รเชงเสน

8

6

4

2

-2

-4

-6

-15 -10 -5 5 D: (6.00, 0.00)

C: (4.00, 1.00)

B: (2.00, 3.00)

A: (0.00, 6.00)

w x = -3x+18

6

v x = -3x+12

2

u x = -x+5A

D

C

B

จดตดของสมก�ร x + y = 5 และ 3x+2y = 12 คอ ( 2, 3 )

จดตดของสมก�ร x + y = 5 และ 3x+6y = 18 คอ ( 4, 1 )

ขนท 2 ห�จดมมของกร�ฟของเซตของผลลพธทเปนไปได พบว�จดมม ม 4 จดคอ (0,6) (2,3) (4,1) และ (6,0)ขนท 3 นำ�พกดของจดมมแตละจดไปห�ค� P ในสมก�รจดประสงค ไดดงน

จดมม สมก�รจดประสงค P = 25x + 22y

(0,6)(2,3)(4,1)(6,0)

P =25(0) + 22(6) = 132P =25(2) + 22(3) = 116P =25(4) + 22(1) = 122P =25(6) + 22(0) = 150

ขนท 4 ค�ตำ�สด มค� P = 116 บ�ท ณ จด (2, 3)

กำ�หนดก�รเชงเสน

ตอบ แสดงว� เข�ควรจ�งคนง�นคนแรกทำ�ง�น 2 ชวโมง จ�งคนทสองทำ�ง�น 3 ชวโมง จงจะเสยค�แรงนอยทสด

ตวอย�งท 9 ถ�ผปวยจำ�เปนจะตองรบประท�นอ�ห�รเสรมเพอใหไดพลงง�นไมนอยกว� 1,250 แคลอร และวต�มนซไมนอยกว� 700 หนวยตอวน จงห�ว�ผปวยควรรบประท�นอ�ห�รชนดละกกรม จงจะไดพลงง�นและวต�มนซต�มทตองก�รโดยใหเสยค�อ�ห�รนอยทสด ทงนอ�ห�รชนดแรก 1 กรม ใหพลงง�น 20 แคลอร และวต�มนซ 10 หนวยตอวน อ�ห�รชนดทสอง 1 กรม ใหพลงง�น 15 แคลอร และวต�มนซ 10 หนวยตอวน โดยอ�ห�รชนดแรกร�ค�กรมละ 0.90 บ�ท อ�ห�รชนดทสองร�ค�กรมละ 0.70 บ�ทวธทำ� ขนท 1 เขยนกร�ฟของระบบอสมก�รซงเกดจ�กเงอนไขบงคบหรอขอจำ�กด เซตของจดบนกร�ฟดงกล�วคอ เซตของผลลพธทเปนไปได

ให อ�ห�รเสรมชนดทหนง x กรมอ�ห�รเสรมชนดทสอง y กรมP เปนร�ค�อ�ห�รเสรมทงหมด

จ�กขอมลทกำ�หนด เขยนสรปไดต�ร�งดงน

พลงง�น (แคลอร)

วต�มน (หนวย)

ร�ค�กรมละ(บ�ท)

จำ�นวน (กรม)

อ�ห�รเสรมชนดท 1

20 10 0.90 x

อ�ห�รเสรมชนดท 1

15 10 0.70 y

กำ�หนดก�รเชงเสน

จำ�นวน 1,250 700

แบบจำ�ลองท�งคณตศ�สตร คอ1. สมก�รจดประสงค คอ P = 0.90x+ 0.70y บ�ท (เสยค�

อ�ห�รเสรมนอยทสด P บ�ท)2. อสมก�รขอจำ�กด ไดดงน

20x+ 15y 1,25010x+10y 700ทงน x 0 , y 0

นำ�อสมก�รทงหมดม�เขยนกร�ฟไดดงน180

160

140

120

100

80

60

40

20

-20

-150 -100 -50 50 100 150

10x+10y=70020x+15y =1250

F: (40.00, 30.00)

E: (0.00, 0.00) D: (62.50, 0.00)

C: (70.00, 0.00)

B: (0.00, 83.33)

A: (0.00, 70.00)F

DC

AB

E

จดตดของสมก�ร 20x + 15y = 1,250 และ 10x+10y = 700 คอ ( 40, 30 )

ขนท 2 ห�จดมมของกร�ฟของเซตของผลลพธทเปนไปได พบว�จดมม ม 3 จดคอ (70,0) (40,30) และ (0,83.33) ขนท 3 นำ�พกดของจดมมแตละจดไปห�ค� P ในสมก�รจดประสงค ไดดงน

กำ�หนดก�รเชงเสน

จดมม สมก�รจดประสงค P = 0.90x+ 0.70y

(70,0)(40,30)

(0,83.33)

P =0.90(70) + 0.70(0) = 63P =0.90(40) + 0.70(30) = 57P =0.90(0) + 0.70(83.33) = 58.33

ขนท 4 ค�ตำ�สด มค� P = 57 บ�ท ณ จด (40, 30)ตอบ แสดงว� ถ�ผปวยตองก�รเสยค�อ�ห�รเสรมนอยทสดโดยทไดพลงง�นและวต�มนต�มตองก�ร ควรรบประท�นอ�ห�รเสรมชนดแรก 40 กรม และชนดทสอง 30 กรม

แบบ ฝกหดครงท 3 เรอง ก�รแกปญห�กำ�หนดก�รเชงเสนโดยวธก�ร ใชกร�ฟ

1. วนหนงบรษทรบจ�ง ขนของตองสงผลตภณฑซงบรรจในกลองขน�ดม�ตรฐ�นเท�กนไปให ลกค� บรษทมรถบรรทกขน�ดเลกและขน�ดใหญอยจำ�นวนหนงมพนกง�นขบรถอย 10 คน ก�รจดกลองขน รถทำ�ไดทละคนและใชเวล�ไมเท�กน ระหว�งรถบรรทกขน�ดเลกและใหญ ก�รจดกลองขนรถบรรทก ขน�ดเลกใชเวล� 10 น�ทตอคน ในขณะทรถบรรทกขน�ดใหญตองใชเวล� 30 น�ทตอคน เพอไมให

กำ�หนดก�รเชงเสน

เสยเวล�ม�กเกนไป บรษทประเมนว�เวล�รวมในก�รจดกลองขนรถไมควรเกน 3 ชวโมง 1.1 ถ�ให x แทนจำ�นวนรถบรรทกขน�ดเลก ให y แทนรถบรรทกขน�ดใหญ จงเขยนอสมก�รขอจำ�กดในเทอมของ x และ y พรอมทงเขยนกร�ฟ 1.2 ถ�รถบรรทกขน�ดเลกแตละคนบรรทกกลองได 30 กลอง รถบรรทกขน�ดใหญแตละคน บรรทกได 70 กลอง อย�กทร�บว� บรษทควรใชรถบรรทกขน�ดเลก และขน�ดใหญอย�งละกคน เพอทจะขนสงผลตภณฑใหไดจำ�นวนกลองม�กทสดในวนนน………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….

กำ�หนดก�รเชงเสน

………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……2. โรงง�นแหงหนงตองก�รซอเครองจกรสองชนดคอ ชนด A และชนด B เครองจกรชนด A เครองละ 160,000 บ�ท เครองจกรชนด B เครองละ 80,000 บ�ท ก�รลงทนซอเครองจกรใหมทงหมดตองไมเกนงบประม�ณทตงไวคอ 2,720,000 บ�ท เครองจกรชนด A แตละเครองตองใชพนทว�ง 90 ต�ร�งเมตร เครองจกรชนด B แตละเครอง ตองใชพนทว�ง 54 ต�ร�งเมตร โรงง�นเตรยมพนทสำ�หรบว�งเครองจกรทงหมดไว 1,620 ต�ร�งเมตร 2.1 ถ�ให x แทนจำ�นวนของเครองจกรชนด A และให y แทนจำ�นวนเครองจกรชนด B จงเขยนอสมก�รขอจำ�กดในเทอมของ x และ y พรอมทงเขยนกร�ฟ 2.2 ร�ยไดทเครองจกรชนด A แตละเครองทำ�ไดตอวนคอ 7,500 บ�ท

กำ�หนดก�รเชงเสน

ร�ยไดทเครองจกรชนด B แตละเครองทำ�ไดตอวนคอ 4,200 บ�ท อย�กทร�บว� ควรซอเครองจกรชนด A และชนด B อย�งละกเครองจงจะสร�งร�ยไดตอวนสงสด………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….

กำ�หนดก�รเชงเสน

……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……3. ใหนกเรยนสร�งโจทยคำ�ถ�มทเกดขนในชวตประจำ�วนหรอทพบเหนในทองถน เกยวกบก�รนำ�เรองกำ�หนดก�รเชงเสน วเคร�ะหโจทย อธบ�ยต�มลำ�ดบขนตอน ในก�รห�คำ�ตอบ ตรวจคำ�ตอบและใชโปรแกรมคณตศ�สตร ในก�รตรวจสอบคำ�ตอบอกครง ………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………

กำ�หนดก�รเชงเสน

………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……

แบบ ทดสอบครงท 3 เรอง ก�รแกปญห�กำ�หนดก�รเชงเสนโดยวธ ก�รใชกร�ฟ

กำ�หนดก�รเชงเสน

1. อ�ห�รปล�ชนดทหนง แตละถงมอตร�สวนของส�รอ�ห�รระหว�งโปรตน ไขมน และค�รโบไฮเดรต เท�กบ 1: 2 : 2 อ�ห�รปล�ชนดทสอง แตละถงมอตร�สวนของส�รอ�ห�รระหว�งโปรตน ไขมน และ ค�รโบไฮเดรตเท�กบ 1: 1 : 5 อ�ห�รปล�ชนดทหนงร�ค�ถงละ 6 บ�ท อ�ห�รปล�ชนดทสองร�ค� ถงละ 4 บ�ท จงห�อตร�สวนระหว�งอ�ห�รปล�ชนดทหนงกบชนดทสองทผเลยงปล�ควรซอตอวน โดยเสยค�ใชจ�ยนอยทสด ถ�อตร�สวนของส�รอ�ห�รระหว�งโปรตน ไขมน ค�รโบไฮเดรต ทจำ�เปนตองใชในก�รเลยงปล�ไมตำ�กว� 6 : 8 : 20………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……

กำ�หนดก�รเชงเสน

………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……2. อตส�หกรรมภ�ยในครวเรอนแหงหนงผลตเก�อสองชนด คอชนด A และชนด B โดยทเก�อชนด A แตละตวตองเสยเวล�ในก�รผลตขนตน 1 ชวโมง ขนทสอง 2 ชวโมง และข�ยไดกำ�ไรตวละ 30 บ�ท สวนเก�อชนด B แตละตวเสยเวล�ในก�รผลตขนตน 2 ชวโมง ขนทสอง 2 ชวโมง และข�ยไดกำ�ไร

กำ�หนดก�รเชงเสน

ตวละ 50 บ�ท โรงง�นสำ�หรบก�รผลตขนตนและขนทสองทำ�ง�นวนละไมเกน 8 และ 10 ชวโมง ต�มลำ�ดบ จงห�ว�อตส�หกรรมภ�ยในครวเรอนนควรผลตเก�อแตละชนดเปนจำ�นวนเท�ใดในแตละวน จงจะไดกำ�ไรม�กทสดและกำ�ไรเท�ใด………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….

กำ�หนดก�รเชงเสน

……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……3. ใหนกเรยนสร�งโจทยคำ�ถ�มทเกดขนในชวตประจำ�วนหรอทพบเหนในทองถน เกยวกบก�รนำ�เรองกำ�หนดก�รเชงเสนไปใช จ�กนน วเคร�ะหโจทย อธบ�ยต�มลำ�ดบขนตอน ในก�รห�คำ�ตอบ ตรวจคำ�ตอบและใชโปรแกรมคณตศ�สตร ในก�รตรวจสอบคำ�ตอบอกครง ………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….

กำ�หนดก�รเชงเสน

……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……

กำ�หนดก�รเชงเสน

………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……แบบ ฝกหดครงท 4 เรอง ก�รแกปญห�กำ�หนดก�รเชงเสนโดยวธก�ร

ใชกร�ฟ

1. บรษทผลตโทรทศนแหงหนงผลตโทรทศนขน�ด 14 นว อย2 ชนดคอ ชนดข�ว-ดำ� และชนดส บรษทส�ม�รถทจะผลตโทรทศนไดอย�งม�ก 300 เครองตอสปด�ห โดยเสยเงนในก�รผลตโทรทศน ชนดข�ว-ดำ� เครองละ 3,600 บ�ท และชนดสเครองละ 5,400 บ�ท ท�งบรษทไดกำ�หนดจำ�นวนเงน ในก�รผลตโทรทศนทงหมดไมเกน 1,296,000 บ�ท ถ�โทรทศนชนดข�ว-ดำ� ไดกำ�ไรเครองละ 1800 บ�ท และชนดสไดกำ�ไรเครองละ 2,200 บ�ท อย�กทร�บว�บรษทนควรผลตโทรทศนชนดข�ว-ดำ� และชนดส อย�งละกเครองตอสปด�หจงจะไดกำ�ไรม�กทสดและไดกำ�ไรเท�ใด………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….

กำ�หนดก�รเชงเสน

………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……

กำ�หนดก�รเชงเสน

………………………………….………………………………….………………………………….……2. บรษทโทรศพทแหงหนง ไดผลตโทรศพทรนใหมออกม� คอ รน P1 และ P2 โดย รน P1 ข�ยไดกำ�ไร เครองละ 1,000 บ�ท รน P2 ข�ยไดกำ�ไรเครองละ 500 บ�ท โดยในแตละวน ผลตรน P1 ไมนอยกว� 80 เครอง ผลตรน P2 ระหว�ง 50 ถง 100 เครอง ถ�บรษทมคว�มส�ม�รถผลตโทรศพททง 2 รนรวมกน ในแตละวนไมเกน 150 เครอง จงห�ว�บรษทจะไดกำ�ไรสงสด จ�กก�รผลตโทรศพททง 2 รน เปนเงนเท�ใด ………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….

กำ�หนดก�รเชงเสน

………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……

กำ�หนดก�รเชงเสน

3. ใหนกเรยนสร�งโจทยคำ�ถ�มทเกดขนในชวตประจำ�วนหรอทพบเหนในทองถน เกยวกบก�รนำ�เรองกำ�หนดก�รเชงเสนไปใช จ�กนน วเคร�ะหโจทย อธบ�ยต�มลำ�ดบขนตอน ในก�รห�คำ�ตอบ ตรวจคำ�ตอบและใชโปรแกรมคณตศ�สตร ในก�รตรวจสอบคำ�ตอบอกครง ………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………

กำ�หนดก�รเชงเสน

………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……

แบบ ทดสอบครงท 4 เรอง ก�รแกปญห�กำ�หนดก�รเชงเสนโดยวธ ก�รใชกร�ฟ

1. บรษทแหงหนงผลตอ�งล�งหน� 2 ชนด คอ ชนด A และ ชนด B โดยทอ�งล�งหน�ชนด A แตละอ�งจะตองเสยเวล�ในก�รผลตโดยใชเครองจกร 2 ชวโมง ใชแรงง�นคน 1 ชวโมง และข�ยไดกำ�ไรอย�งละ 30 บ�ท สำ�หรบอ�งล�งหน�ชนด B แตละอ�งจะตองเสยเวล�ผลตโยก�รใชเครองจกร 1 ชวโมง ใชแรงง�นคน 3 ชวโมง และข�ยไดกำ�ไร 40 บ�ท ถ�วนหนงก�รผลตโดยใชเครองจกร และใชแรงง�นคนทำ�ง�นไมเกน 6 ชวโมงและ 8 ชวโมง ต�มลำ�ดบตองก�รทร�บว�บรษทแหงนควรผลตอ�งล�งหน�แตละชนดเปนจำ�นวนเท�ไรในแตละวน จงจะไดกำ�ไรม�กทสด ………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….

กำ�หนดก�รเชงเสน

……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….

กำ�หนดก�รเชงเสน

……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……2. อตส�หกรรมครวเรอนแหงหนงผลตนมเยนและไอศกรมทกวนสวนประกอบของนมเยนแตละลตร ตองใชนม 0.4 ลตร และครม 0.2 ลตร สวนประกอบของไอศกรมแตละลตร ตองใชนม 0.2 ลตร และครม 0.4 ลตร จ�กสวนผสมดงกล�ว ปร�กฏว� ข�ยนมเยนไดกำ�ไรลตรละ 8 บ�ท ไอศกรมไดกำ�ไรลตรละ 10 บ�ท ถ�ในแตละวนอตส�หกรรมน มนม 10 ลตร และครม 14 ลตร เข�ควรจะผลตนมเยน และไอศกรมอย�งละเท�ใด จงจะไดผลกำ�ไรม�กทสดตอวน ………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….

กำ�หนดก�รเชงเสน

………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……

กำ�หนดก�รเชงเสน

………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……

3. ใหนกเรยนสร�งโจทยคำ�ถ�มทเกดขนในชวตประจำ�วนหรอทพบเหนในทองถน เกยวกบก�รนำ�เรองกำ�หนดก�รเชงเสนไปใช จ�กนน วเคร�ะหโจทย อธบ�ยต�มลำ�ดบขนตอน ในก�รห�คำ�ตอบ ตรวจคำ�ตอบและใชโปรแกรมคณตศ�สตร ในก�รตรวจสอบคำ�ตอบอกครง ………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….……………………………

กำ�หนดก�รเชงเสน

…….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……

Case Study Linear ProgrammingUnbounded Feasible regionA produce grower is purchasing fertilizer containing three nutrients, A, B and C. The minimize need are 160 units of A, 200 units of B, and 80 units of C. There are two popular brands of fertilizer on the market. Fast Grow, costing 4$ a bag, contains 3 units of A, 5 units of B, and 1 units of C. Easy Grow, costing 3$ a bag, contains 2 units of each nutrient. If the grower wishes to minimize cost while still maintaining the nutrient

กำ�หนดก�รเชงเสน

requires, how many bags of each brand should be bought?………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….

กำ�หนดก�รเชงเสน

………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……………………………………….………………………………….………………………………….……

เอกส�รอ�งอง

จกรนทร วรรณโพธกล�ง. ค มอเตรยมสอบ A-NET กลมส�ระก�รรย นรค ณตศ�สตร . กรงเทพฯ : สำ�นกพมพ พ.ศ. พฒน�, 2548

พศนย นนต�และคณะ. คณตศ�สตรประยกต 1 . กรงเทพฯ : สำ�นกพมพเอมพนธ, 2546

พศนย นนต�และคณะ. คณตศ�สตรประยกต 3 . กรงเทพฯ : สำ�นกพมพเอมพนธ, 2546

วนจ วงศรตนะและคณะ. สรปหลกและสตร ค ณตศ�สตร ม .3 . กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชชง, มมป.

สมย เหล�ว�นชย. ค ณตศ�สตร 6 พนฐ�นและเพมเตม . กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชชง, มมป.

สงเสรมก�รสอนวทย�ศ�สตรและเทคโนโลย, สถ�บน. หนงสอเรยนคณตศ�สตรพนฐ�น เลม 1 ม . 3. กรงเทพฯ : ครสภ�ล�ดพร�ว, 2548

สงเสรมก�รสอนวทย�ศ�สตรและเทคโนโลย, สถ�บน. หนงสอเรยนคณตศ�สตรพนฐ�น เลม 2 ม . 3. กรงเทพฯ : ครสภ�ล�ดพร�ว, ครงท 2. 2549

สงเสรมก�รสอนวทย�ศ�สตรและเทคโนโลย, สถ�บน. หนงสอเรยนคณตศ�สตรพนฐ�น เลม 1 ม . 4. กรงเทพฯ : ครสภ�ล�ดพร�ว, ครงท 4.2547

สงเสรมก�รสอนวทย�ศ�สตรและเทคโนโลย, สถ�บน. หนงสอเรยน

กำ�หนดก�รเชงเสน

คณตศ�สตรเพมเตม เลม 2 ม . 6. กรงเทพฯ : ครสภ�ล�ดพร�ว, 2548

Haeussler, Ernetst F.Introductory Mathematical Analysis 9ths. United States of America: Prentice-Hall, 1998