รายงาน

เร่ือง การโก่งตัวของคานโดยวธีิพืน้ทีข่องโมเมนต์

(Deflection of Beam By Moment Area)

เสนอ

อาจารย์ เรืองรุชดิ์ ชีระโรจน์

จัดท าโดย

สมาชิกในกลุ่ม 4

รายงานปฏิบัติการนีเ้ป็นส่วนหน่ึงของรายวชิา 0301 214 ทฤษฎโีครงสร้าง

ภาคเรียนที ่2/2557 สาขาวศิวกรรมโยธา

คณะวศิวกรรมศาสตร์ มหาวทิยาลยัมหาสารคาม

รายงาน

เร่ือง การโก่งตัวของคานโดยวธีิพืน้ทีข่องโมเมนต์

(Deflection of Beam By Moment Area)

เสนอ

อาจารย์ เรืองรุชดิ์ ชีระโรจน์

จัดท าโดย

1.นางสาวณชิา เข่ือนเพชร รหัส 55010310219 3CE ระบบปกติ

2.นายเกริกเกยีรติ อุทยัแพน รหัส 57010370026 1CE ระบบพเิศษต่อเน่ือง

3.นายณฐัพล สุทธิสน รหัส 56010370004 2CE ระบบพเิศษต่อเน่ือง

4.นายสาวปัญญาพร หาสุข รหัส 55010370013 3CE ระบบพเิศษต่อเน่ือง

5.นางสาววงจันทร์ วาระสุข รหัส 55010370016 3CE ระบบพเิศษต่อเน่ือง

6.นายสุชาติ มงคลสารกจิ รหัส 55010370018 3CE ระบบพเิศษต่อเน่ือง

7.นางสาวพรศุล ี ป้องค าแสน รหัส 55010370027 3CE ระบบพเิศษต่อเน่ือง

8.นางสาวรินทร์ณภัทร์ เทยีมเทศแก้ว รหัส 55010370030 3CE ระบบพเิศษต่อเน่ือง

9.นายกติติศักดิ์ ธรรมจิตติ รหัส 54010370031 4CE ระบบพเิศษต่อเน่ือง

รายงานปฏิบัติการนีเ้ป็นส่วนหน่ึงของรายวชิา 0301 214 ทฤษฎโีครงสร้าง

ภาคเรียนที ่2/2557 สาขาวศิวกรรมโยธา

คณะวศิวกรรมศาสตร์ มหาวทิยาลยัมหาสารคาม

การโก่งตัวของคานโดยวธีิพืน้ทีข่องโมเมนต์

(Deflection of Beam by Moment Area Method)

ในการค านวณหาค่ามุมเบ่ียงเบนหรือมุมลาด (θ) และการโก่งตวั (∆) ของคาน ณ ต าแหน่งใดๆ

โดยวธีิพื้นท่ีของโมเมนต ์เร่ิมจากการพิจารณาคานช่วงเดียวท่ีรับน ้าหนกัจากภายนอกดงัแสดงในรูปท่ี 1 (a)

หลงัการรับน ้าหนกัคานเกิดการโคง้ตามรูปท่ี 1 (b) จากนั้นเขียนความสัมพนัธ์ระหวา่ง M

EI หรือท่ีเรียกวา่ผนงั

M

EI (

M

EI diagram) จะไดด้งัรูปท่ี 1 (c) หากพิจารณาช่วง AB สามารถหาความสัมพนัธ์ไดจ้าก

θ = S

R

เม่ือ S คือ ความยาวของส่วนโคง้

R คือ รัศมีของส่วนโคง้

และจาก 1

R=

M

EI จะไดว้า่

θ

S=

M

EI พิจารณาช่วงสั้นๆเม่ือใหเ้ส้นโคง้ยดืหยุน่แบนมากจะไดว้า่

ds ≅ dx

ดงันั้น dθ = M

EIdx

dθ = M

EIdx

B

A

B

A หรือ

θAB = θB – θA = M

EI

B

Adx (1)

รูปท่ี 1 มุมเบ่ียงเบนการโก่งตวัและผงั M

EI ของคานในวธีิพื้นท่ีของโมเมนต์

โดย M

EI

B

Adx คือผลรวมของพื้นท่ี

M

EI ในช่วง A ถึง B และ θAB

คือมุมท่ีเปล่ียนแปลงไปตามแนวเส้นสัมผสัของจุด A และ B

จากรูป 5 (b) พบวา่ d∆ = x (dθ)

d∆ = M

EI x dx

d∆B

A=

M

EI

B

A x dx

∆AB = M

EI

B

A x dx (2)

โดย ∆BA คือ ระยะเบ่ียงเบนของเส้นสัมผสัของจุด B วดัในแนวด่ิงท่ีลากจากเส้นสัมผสัจากจุด A

และ M

EI

B

A dx คือ โมเมนตข์องพื้นท่ี

M

EI ระหวา่งจุด A และ B รอบจุด B

โดยพื้นท่ีและจุดศูนยก์ลางของพื้นท่ีแสดงในสมการท่ี 1 และมีขอ้ควรระวงัวา่ ∆AB ≠ ∆B - ∆A

ขั้นตอนการค านวณ

1. เขียน BMD ของคานท่ีก าหนด

2. น าค่า EI หารค่า M จะไดผ้งัของ M

EI

3. เขียนเส้นโคง้ยดืหยุน่ท่ีควรจะเป็นของคาน

ถา้ไม่มัน่ใจใหค้ านึงถึงรูปอยา่งง่ายและแยกน ้าหนกัภายนอกท่ีมากระท าโดยวธีิ Superposition

เพื่อใหง่้ายต่อการวเิคราะห์

4. เลือกจุดใดๆท่ีทราบ θ หรือ ∆ เช่นท่ีต าแหน่งท่ีเป็นจุดรองรับ ∆ = θ

หรือท่ีจุดรองรับแบบยดึแน่น θ = 0

5. ใชส้มการ θBA = θB – θA = M

EI

B

A dx และ ∆BA =

M

EI

B

A x dx

เพื่อหาค่าท่ีโจทยต์อ้งการ

6. ค านวณค่าต่างๆโดยใชรู้ปประกอบ

ข้อควรจ า

1. ท่ีจุดรองรับต่างๆจะไม่มีการทรุดตวั ∆ = 0 (หากโจทยไ์ม่ก าหนดวา่มีการทรุดตวั)

2. จุดท่ีเกิด ∆max จะได ้θ = 0 ยกเวน้คานยืน่หรือปลายยืน่

3. ท่ีจุดรองรับแบบยดึแน่น ∆ = 0 และ θ = 0

4. สมมติใหค้านเกิดการโก่งตวัเฉพาะในแนวด่ิงเท่านั้

การคิดเคร่ืองหมาย

1.ค่ามุมท่ีเปล่ียนแปลงไปจากซา้ยไปขวาระหวา่งจุดสองจุดบนเส้นโคง้ยดืหยุน่จะมีค่าเป็นบวกในก

รณี M

EI มีค่าเป็นบวก หรือเม่ือเส้นสัมผสัท่ีจุดดา้นขวาหมุนทวนเขม็นาฬิกา และจะมีค่าเป็นลบในกรณี

M

EI

มีค่าเป็นลบ หรือเม่ือเส้นสัมผสัจากจุดดา้นขวาหมุนตามเขม็นาฬิกา

ทวนเขม็นาฬิกาเป็นบวก ตามเขม็นาฬิกาเป็นลบ

2. ระยะเบ่ียงเบนของจุดใดๆ มีค่าเป็นบวกเม่ือจุดนั้นอยูเ่หนือเส้นสัมผสัท่ีลากจากจุดอา้งอิง

และมีค่าเป็นลบจุดนั้นอยูใ่ตเ้ส้นสัมผสัท่ีลากจากจุดอา้งอิง

จุด B อยูเ่หนือเส้นสัมผสัเป็นบวก จุด B อยูใ่ตเ้ส้นสัมผสัเป็นลบ

พืน้ทีแ่ละจุดศูนย์ถ่วงของรูปแบบต่างๆ

ตัวอย่าง

EX. 1 จงหา θB และ ∆B ของโครงสร้างในรูปโดยวธีิพื้นท่ีของโมเมนต ์

เน่ืองจากจุด A เป็นจุดรองรับแบบยดึแน่น θA = ∆A = 0 ดงันั้นจึงเลือกจุด A เป็นจุดอา้งอิง

θBA = θB – θA = M

EI

B

Adx (พื้นท่ี

M

EI ระหวา่งจุด B และ A)−PL

θB = 1

2 −

PL

EI L

= −PL 2

2EI (ทิศทางตามเขม็เป็นลบ)

∆B = ∆BA = M

EI

B

Ax dx (โมเมนตข์องพื้นท่ี

M

EI ระหวา่งจุด B และ A รอบจุด B)

= 1

2 −

PL

EI L

2L

3

= −PL 3

3EI ↓ (เป็นลบแสดงวา่จุด B อยูใ่ตเ้ส้นสัมผสัท่ีลากมาจากจุดA) Ans.

EX. 2 จงหาระยะโก่งสูงสุดของคานในรูปและ θA โดยวธีิพื้นท่ีของโมเมนต์

เป็นท่ีทราบดีวา่คานในรูปท่ีจุดก่ึงกลางคาน (B) จะมีค่าการโก่งตวัมากท่ีสุด (∆max) และ θB = 0

∆AB = M

EI

B

Ax dx (โมเมนตข์องพื้นท่ี

M

EI ระหวา่งจุด A และ B รอบจุด A)

∆AB = 2

3 ωL2

8EI

L

2

5L

16

= 5ωL4

384EI ↓

θBA = θA = M

EI

B

A dx (พื้นท่ี

M

EI ระหวา่งจุด A และจุด B)

θA = 2

3 ωL2

8EI

L

2

= ωL3

24EI Ans.

EX. 3 จงหา θB และ ∆B ของโครงสร้างในรูปโดยวธีิพื้นท่ีของโมเมนต์

ท่ีต าแหน่ง A พบวา่ θB และ θA

θBA = θB – θA = M

EI

B

Adx (พื้นท่ี

M

EI ระหวา่งจุด A และ B)

θB = 1

3 −

ωL2

2EI L = −

ωL3

6EI

∆B = ∆BA = M

EI

B

Ax dx (โมเมนตข์องพื้นท่ี

M

EI ระหวา่งจุด B และ A รอบจุด B)

= 1

3 −

ωL2

2EI L

3L

4

= −ωL4

8EI ↓ Ans.

EX. 4 จงหาระยะโก่งตวัสูงสุดในคาน (∆max ) โดยวธีิพื้นท่ีของโมเมนต์

สมมติใหจุ้ด D มีระยะโก่สูงสุดและมีระยะห่างจากจุด A=x โดย θD=0

θA− θAD = M

EI

D

Adx (พื้นท่ี

M

EIระยะหวา่งจุดAและD)

=1

2

PXb

LEI X =

Pbx 2

2LEI (1)

เพื่อตอ้งการหาค่า x จ าเป็นตอ้งหา θA อีกค่าท่ีไม่ตดัค่า x โดย tanθA ≈ θA

= ∆CA

Lดงันั้นจึงจ าเป็นตอ้งหา ∆CA ก่อนจะไดว้า่

∆CA = 1

2

Pab

LEI a

a

3+ b + [

1

2 b

2b

3

= Pab

2LEI

a2

3+ ab +

2x2

3

= Pab

6LEI a + b (a + ab)

= Pab (L+b)

6EI

โดย θA = ∆ca

L=

Pab (L+b)

6LEI (2)

จากสมการ (1) และ (2) ซ่ึงมีค่า θA เท่ากนั ดงันั้นจะไดว้า่

Pb x2

2LEI=

Pab (L+b)

6LEI

x2 = a(L+b)

3

= L−b (L+b)

3

= L 2−b2

3

= L2− b2

3

และ ∆max = ∆AD

∴ ∆max =1

2

Pxb

LEI x

2x

3

= Pb x2

3LEI

แทนค่า x = L2− b2

3 จะไดว้า่

∆max =Pb (L2−b2)

23

9 3LEI Ans.

EX. 5 จงหา ∆c ของโครงสร้างในรูปโดยวธีิพื้นท่ีโมเมนต์

จากโจทยต์อ้งการหา ∆c ดงันั้นจึงตอ้งหา ∆BA ก่อนเพื่อน าไปหา θA

และใชค้วามสัมพนัธ์ของรูปสามเหล่ียมหา ∆c ต่อไป

∆BA = 1

2

PL

8EI

L

2

1

3

L

2 +

L

2 +

1

2

PL

4EI

L

2

L

3

= PL 3

48EI+

PL 3

48EI=

PL 3

24EI ↓

∴ θA = ∆BA

L=

PL 2

24EI

∆CA =1

2

PL

8EI

L

2

1

3

L

2

=PL 3

192EI ↓

จากรูปพบวา่

θA = ∆CA +∆C

(L

2)

∴ ∆C = θA L

2 − ∆CA

= PL 2

24EI

L

2 −

PL 3

192EI

=PL 3

64EI ↓ Ans.

EX. 6 จงหา θA,θB,∆C และ ∆max ของโครงสร้างในรูปโดยวธีิพื้นท่ีของโมเมนต์

ใหต้ าแหน่ง E เป็นต าแหน่งท่ีต าท่ีเกิด ∆max จากตวัอยา่งท่ี 4 เม่ือแทนค่าต่างๆในสมการจะไดว้า่

P = 1200 kg , a=4 m และ b=2 m

R = 1200 4

6= 800 kg

และ R =1200 (2)

6 = 400 kg

จาก x = L2−b 2

3 และ ∆max =

Pb (L2−b2)32

9 3EI

จะได ้x = 62−22

3 = 3.27 m. จากจุด B

∆max =1200 2 (62−22)

32

9 3EI=

4644 .96

EI↓ Ans

θB = θBE = 3.27 (3.27)(1600

4EI)

= 2138 .58

EI Ans

θA= θAB =1

2 6

1600

EI −

2138 .58

EI

= 2661 .42

EI Ans

จากรูปการโก่งตวัจะไดว้า่ θB = ∆D +∆DB

3

∴ ∆D= 3 θB− ∆DB

= 3 2138 .58

EI −

1

2 3

1200

EI

3

3

= 4615 .74

EI↓ Ans

หมายเหตุ เน่ืองจากการหาพื้นท่ีระหวา่ง A และ E

ท าไดย้ากจึงใชว้ธีิการน าพื้นท่ีใหญ่แลว้หกัดว้ยพื้นท่ีระหวา่ ง EB ซ่ึงจะง่ายกวา่

EX. 7 จงหา ∆max ของโครงสร้างในรูปโดยวธีิพื้นท่ีของโมเมนต์

ก าหนดใหจุ้ด D เกิด ∆max โดยมีระยะจากจุด B ไปดา้นจุด C เป็นระยะ X และหา

𝑅𝑐 เพื่อเขียน 𝑀

EI

พจิารณาท่อน BC

𝑀𝐵 = 0 ; 𝑅𝐶 =3,000(4)

6= 6,000 𝑘𝑔 ↑

𝐹𝑦 = 0 ; 𝑉𝐵 = 1,000 𝑘𝑔 ↑

พจิารณาท่อน AB

VB = −1,000 kg ↑

Fy = 0 ; RA = 2,000 kg ↓

MA = 0 ; MA = 1,000 1 + 1,000 2 = 3,000 kg

จากรูปการโก่งตวัจะไดว้า่

θ = ∆𝐴𝐶

𝐿

โดย ∆𝐴𝐶 = 1

2

1,000

𝐸𝐼 2

2

3+ 4 +

1

2

4,000

𝐸𝐼 4

8

3 +

[1

2

1,000

𝐸𝐼 2 1 +

1

2

3,000

𝐸𝐼 1

2

3+ 1

= 43,545

𝐸𝐼

∴ 𝜃𝐶 = 43,545

𝐸𝐼=

7,257.5

𝐸𝐼 (1)

และ 𝜃C = 𝜃𝐶𝐴 = 1

2

4,000

𝐸𝐼 2 − [(

1

2

4,000

𝐸𝐼 4 −

1

2

4,000

4𝐸𝐼 𝑥2

(2)

จาก (1) และ (2) ซ่ึงมีค่าเท่ากนัดังน้ันจะได้ว่า X = 3.80 จากจุด D ไปจุด C

∆𝑚𝑎𝑥 = ∆𝐶𝐷= 6 − 3.08 𝜃𝐶 − ∆𝐷𝐶

= 7,257.5

𝐸𝐼 2.92 −

1

2

4,000

𝐸𝐼 2

2

3+ 0.92 +

1

2

4,000

𝐸𝐼−

3,080

𝐸𝐼 0.92

2

3 0.92 +

3,080

𝐸𝐼 0.92

0.92

2

= 13,267.7

𝐸𝐼 Ans.

EX. 8 จงหา 𝜽𝑨 และ ∆𝑪 ของโครงสร้างในรูปโดยวธีิพื้นท่ีโมเมนต์

พจิารณาท่อน AC

𝑴𝑪 = 𝟎 ; 𝟐𝑹𝑨 = 𝟒,𝟎𝟎𝟎 𝟏

𝑹𝑨 = 𝟐,𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈 ↑

พจิารณาทั้งระบบ

𝑀𝐷 = 0 ; 1.5𝑅𝐸 + 4,000 2 = 2,000 3 + 1,500(2.5)

∴ 𝑅𝐸 = 1,667.67 𝑘𝑔

จากนั้นวาด 𝑀

𝐸𝐼 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚

พิจารณาการโก่งตวัของคานพบวา่หากตอ้งการ ∆𝐶 และ 𝜃𝐴 สามารถหาไดจ้ากความสัมพนัธ์ดงัน้ี

∆𝐶= 𝜃𝐷 + ∆𝐶𝐷

และ 𝜃𝐴 = ∆𝐶+ ∆𝐶𝐴

2

โดย 𝜃𝐷 = ∆𝐸𝐷

1.5

จะไดว้า่ ∆𝐸𝐷 = 1

𝐸𝐼 1500 1.5 7.5 +

1

2 500 1.5 1

= 2,062.5

𝐸𝐼 (โมเมนตข์องพื้นท่ีระหวา่ง E และ D รอบจุด E)

ดงันั้น 𝜃𝐷 = 2,062.5

1.5EI=

1,375

EI kg − m2

และจาก ∆C = θD + ∆CD

โดย ∆CD = 1

2

2,000

EI 1

2

3

= 666.67

EI

ดงันั้น ∆C = 1,375

EI+

666.67

EI=

2,046.67

EI ↓ Ans.

จากรูปจะไดว้า่ θA = ∆CA +∆C

2

โดย ∆CA =1

2

1,000

EI 2 1 =

1,000

EI

∴ θA = 1

2

1,000

EI+

2,046.67

EI =

1,520.83

EI Ans.

การแยกส่วนผงัโมเมนต์ (Bending Moment Diagram by Parts)

ในบางกรณีท่ีมีน ้าหนกัมากระท าในหลายรูปแบบพร้อมกนัท าใหไ้ม่สามารถหาพื้นท่ีของ BMD

ได ้หรือท าใหห้าไดช้า้ วธีิการหน่ึงท่ีจะช่วยแกปั้ญหาน้ีไดคื้อการใช ้BMD by parts

โดยท าการแยกน ้าหนกัแต่ละแรงมาเขียน BMD ตามท่ีแสดงในรูป(หนา้162)

โดยวธีิการแยกรูปต่างๆกนัจะใชว้ธีิ Superposition โดยโมเมนตด์ดัของรูป (a) จะมีค่าเท่ากบัโมเมนตใ์นรูป

(b) และ (c) รวมกนั จากรูป (a)

จะเห็นไดว้า่การหาพื้นท่ีโมเมนตแ์ละจุดศูนยก์ลางของพื้นท่ีโมเมนตห์าไดย้ากกวา่

การหาพื้นท่ีและจุดศูนยก์ลางของรูป (b) และ (c) หรือพิจารณาแรงท่ีเกิดข้ึนโดยเปรียบเทียบเสมือนจุด B

เป็นจุดรองรับแบบยดึแน่นตามรูปท่ี (หนา้ 163)

ก็จะไดผ้งัโมเมนตอี์กแบบหน่ึงซ่ึงวา่พิจารณาวา่ควรเลือกใชผ้งัโมเมนตแ์บบใดข้ึนกบัการตดัสินใจวา่แบบใด

จะสะดวกในการพื้นท่ีโมเมนตแ์ละจุดศูนยก์ลางของพื้นท่ี

EX. 9 จงหา ∆c ของโครงสร้างในรูปแบบโดยวธีิพื้นท่ีโมเมนตแ์บบแยกส่วนผงัโมเมนต์

จากรูปพบวา่หากตอ้งการหา ∆c จ าเป็นตอ้งหา ∆AB ก่อนเพื่อน าไปใชห้า θB

และใชค้วามสัมพนัธ์ของรูปสามเหล่ียมเพื่อ ∆c ต่อไป

∆AB = 1

2

7800

EI 3 2 − [

1

3

9000

EI 3

3

4 3

= 3,150

EI kg − m3

θB = ∆AB

3

= 1,050

EI kg − m3

∆c = 1θB − ∆CB

∆CB = 1

2

1200

EI 1

2

3

=400

EI kg − m3

∆c = 1 1,050

EI − (

400

EI)

= 650

EI kg − m3 Ans.