Embed Size (px)
Citation preview
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
1
บทท 3 เวกเตอรและการเคลอนทในหนงมต (Vector & One dimensional motion)
3.1 สเกลาร และเวกเตอร (Scalar and Vector)
สเกลาร คอปรมาณทก าหนดไดสมบรณโดยบอกขนาดเพยงอยางเดยว เชน มวล อณหภม เวลา เปนตน
เวกเตอร เปนปรมาณทก าหนดใหสมบรณโดยบอกทงขนาดและทศทาง เชน แรง ความเรว ความเรง เปนตน สญลกษณทใชแทนเวกเตอรนนจะใช ตวอกษร โดยมลกศรอยดานบน หรอใชอกษรตวหนากได เชน เวกเตอร A สามารถเขยนแทนดวย A
v หรอ A
โดยทวไปอาจใชเสนตรงทมหวลกศรแทนเวกเตอรโดยความยาวแทนขนาดของเวกเตอร และปลายลกศรแทนทศทางของเวกเตอร ดงรปท 3.1
Av
- Av
1
2Av
2 Av
รปท 3.1 : การเขยนแทนเวกเตอรดวยเสนตรงทมลกศรช
3.2 เวกเตอรหนงหนวย (Unit Vector)
เวกเตอรหนงหนวย (Unit Vector) คอเวกเตอรทมขนาดเพยง 1 หนวย แตมทศเดยวกบเวกเตอรใด ๆ เชน หากตองการเขยนเวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอร A
v เราเขยนแทนดวยสญลกษณ
e Aโดยนยามวา
e A = AA
เมอ e A เปนเวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอร A
v
A เปนขนาดของเวกเตอร Av
ดงนนเวกเตอร Av
สามารถเขยนไดเปน Av
= A e A
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
2
ในพกดฉาก (Rectangular Coordinate System) แบบสองมตดงรปท 3.2 และแบบสามมต ดงรปท 3.3 ไดก าหนด
เวกเตอรหนงหนวยในทศทางบวกของแกน X คอ i เวกเตอรหนงหนวยในทศทางบวกของแกน Y คอ j เวกเตอรหนงหนวยในทศทางบวกของแกน Z คอ k
รปท 3.2 : พกดฉากในสองมต รปท 3.3 : พกดฉากในสามมต
3.3 องคประกอบของเวกเตอรในพกดฉาก (Rectangular Components of Vector) ระบบพกดฉากเปนระบบทประกอบดวยแกน 3 แกนซงตงฉากซงกนและกน คอ แกน X แกน Y และแกน Z โดยมเวกเตอรหนงหนวย i , j และ k ชในทศทางบวกของแนว X, Y และ Z ตามล าดบ เวกเตอร A
v ใด ๆ สามารถแตกออกเปนเวกเตอรยอย (เวกเตอรองคประกอบ) 2 หรอ 3
เวกเตอรได ขนกบจ านวนมต การแยกองคกระกอบของเวกเตอรในสองมต
ซงเขยนเปนสมการไดวา Av
= xAv
+ yAv
หรอ A
v = x
ˆA i + yˆA j โดยท
xAv
เปนเวกเตอรองคประกอบของ Av
ในแนวแกน x
yAv
เปนเวกเตอรองคประกอบของ Av
ในแนวแกน y Ax เปนขนาดของเวกเตอร xA
v ซง Ax = Acos
Ax เปนขนาดของเวกเตอร yAv
ซง Ax = Asin
รปท 3.4 : เวกเตอร Av
ในพกดฉากสองมต
Y X
j
i
Z
Y
X
k
j i
Y
X
A
yA
xA
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
3
การแยกองคกระกอบของเวกเตอรในสามมต ซงเขยนเปนสมการไดวา A
v = xA
v + yA
v+ zA
v
หรอ Av
= xˆA i + y
ˆA j + zˆA k โดยท
xAv
เปนเวกเตอรองคประกอบของ Av
ในแนวแกน x
yAv
เปนเวกเตอรองคประกอบของ Av
ในแนวแกน y
zAv
เปนเวกเตอรองคประกอบของ Av
ในแนวแกน y Ax เปนขนาดของเวกเตอร xA
v ซง Ax = Asincos
Ay เปนขนาดของเวกเตอร yAv
ซง Ay = Asinsin Az เปนขนาดของเวกเตอร zA
v ซง Az = Acos
รปท 3.5 : เวกเตอร Av
ในพกดฉากสามมต 3.4 การรวมเวกเตอร (Vector Summation)
3.4.1 การรวมเวกเตอรโดยวธเรขาคณต (Vector Summation by Using Geometry) วธโพลกอน (Polygon Method) หรอวธหางตอหว (Tail to Tip Method) ท าโดยก าหนด
จดเรมตนและเขยนเวกเตอรตวแรกใหหางลกศรอยทจดเรมตน แลวเขยนเวกเตอรตวตอไปโดยใหหางลกศรตวตอไปตอจากหวลกศรตวทแลวจนครบทกตว ผลรวมของเวกเตอรทงหมด หรอ เวกเตอรลพธ คอลกศรทลากจากจดเรมตนเขาหาปลายลกศรตวสดทาย ดงรปท 3.6
รปท 3.6 : การบวกเวกเตอรสองเวกเตอรดวยวธโพลกอน
วธสเหลยมดานขนาน (Parallelogram Method) ท าโดยการสรางรปสเหลยมดานขนานโดยทหางของเวกเตอรอยทจดเดยวกน เสนทะแยงมมของสเหลยมดานขนานนคอเวกเตอรลพธดง รปท 3.7
รปท 3.7 : การบวกเวกเตอรสองเวกเตอรดวยวธสเหลยมดานขนาน
Z
Y
X
xA
yA
zA
A
A
B
A
C
= A
+ B
A
B
A
C
= A
+ B
B
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
4
การลบเวกเตอรโดยวธเรขาคณตสามารถท าโดยการกลบทศของเวกเตอรของตวลบ แลวน ามาบวกกบเวกเตอรตวตงเชนเดยวกบการบวกเวกเตอรทงสองวธ ดงรปท 3.9 และ 3.10
รปท 3.9
รปท 3.10 รปท 3.9 : การลบเวกเตอรสองเวกเตอรดวยวธโพลกอน รปท 3.10 : การลบเวกเตอรสองเวกเตอรดวยวธสเหลยมดานขนาน
3.4.2 การรวมเวกเตอรโดยวธตรโกณมต
(Vector Summation by Using Trigonometry) พจารณาสามเหลยมทมดานเปนเวกเตอร A
v, B
v และ C
v ดงรปท 11 ซงจะไดความสมพนธ
ดงตอไปน
รปท 3.11 : สามเหลยมใด ๆ ทมดานแตละดานเปนเวกเตอร Av, Bv
และ Cv
กฎไซน (Sine Law)
sinA
= sin
B =
sinC
กฎโคไซน (Cosine Law)
A2 = B2 + C2 – 2BC cos B2 = A2 + C2 – 2AC cos C2 = A2 + B2 – 2AB cos
A
B
A
-B
D
= A
-B
A
-B
D
= A
-B
A
B
C
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
5
3.4.3 การรวมเวกเตอรโดยการใชองคประกอบยอย
(Vector Summation by Using Components) หลกการรวมเวกเตอรโดยวธแยกองคประกอบ ท าโดยการแยกเวกเตอรออกเปนองคประกอบ
ยอยในแตละแนวแกน จากนนจงท าการรวมองคประกอบยอยของเวกเตอรทกตวในแนวแกนเดยวกน ตวอยางเชน การรวมเวกเตอร A
v และB
v ซงจะได R
v = A
v + B
v ดงรป 3.12 - 3.15
รปท 3.12 : องคประกอบยอยตามแนวแกน X และ แนวแกน Y ของเวกเตอร Av และเวกเตอร B
v
รปท 3.13 : การรวมการลบเวกเตอรโดยการใชองคประกอบยอย
รปท 3.14 : การรวมองคประกอบยอยในแตละแกน รปท 3.15 : เวกเตอรลพธ Rv
= Av
+ Bv
Y
X
A
yA
xA
1
Y
-X
B
yB
xB
2
Y
X
A
yA
xA
1 -X
B
yB
xB
2
Y
X
A
yA
xA
1
B
yB
xB
2
Y
X
R
yR
xR
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
6
ผลลพธในแตละแนวแกนจะไดดงรปท 3.15 คอ xR
= xA
+ xB
และ yR
= yA
+ yB
ขนาดของ R
เทากบ R = 2y
2x RR
ทศของ R
เทากบ = tan-1
x
y
R
R
สมบตการบวกและลบเวกเตอร ให A
v, Bv
และ Cvเปนปรมาณเวกเตอร โดย m และ n เปนปรมาณสเกลาร
1. Av
= Bv
กตอเมอ Av
และ Bv
มขนาดเทากนและมทศทางเดยวกน 2. A
v = - B
v กตอเมอ A
v และ B
v มขนาดเทากนและมทศทางตรงกนขาม
3. Av
+ Bv
= Bv
+ Av
4. A
v + ( B
v + C
v) = ( A
v + B
v) + C
v
5. เมอคณ A
vดวย m จะไดเวกเตอรทมขนาดเปน m เทาของขนาดเวกเตอร โดยท
5.1 และมทศทางเดยวกบเวกเตอร Av
ถา m มคาเปนบวก 5.2 และมทศทางตรงขามกบเวกเตอร A
v ถา m มคาเปนลบ
6. m A
v = A
vm
7. m(n Av
) = (mn) Av
8. (m + n) Av
= m Av
+ n Av
9. m ( Av
+ Bv) = m A
v + m B
v
3.5 การคณเวกเตอร (Vector Multiplication) 3.5.1 การคณเชงสเกลารหรอผลคณแบบดอท (Scalar Product or Dot Product)
เปนการคณกนของเวกเตอร ซงใหผลลพธเปนปรมาณสเกลาร ถา A
v และ B
v เปนเวกเตอรใด ๆ และ เปนมมระหวาง A
v และ B
v ซงอยระหวาง 0 ถง
ผลคณแบบดอทสามารถเขยนในรปสมการไดคอ A
vBv
= |A||B|cosAB เมอ |A| คอขนาดของเวกเตอร A
v
|B| คอขนาดของเวกเตอร Bv
AB คอมมระหวางเวกเตอร A
v และ B
v
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
7
สมบตพนฐานของการคณเชงสเกลาร 1. A
vBv
= AvBv
2. A
v( B
v + C
v) = ( A
vBv
) + ( AvCv
) 3. i i = j j = k k = 1 4. i j = j k = k i = 0 5. ถาก าหนดให A
v = Ax i + Ay j + Az k
Bv
= Bx i + By j + Bz k แลว จะไดวา A
vBv
= AxBx + AyBy + AzBz
AvAv
= 2xA + 2
yA + 2ZA
BvBv
= 2xB + 2
yB + 2ZB
6. ถา AvBv
= 0 โดยทท ง Av
และ Bv ไมเทากบ 0 แลวแสดงวา A
v ตงฉากกบ B
v
3.5.2 การคณเชงเวกเตอรหรอผลคณแบบครอส (Vector Product or Cross Product) เปนการคณกนของเวกเตอร ซงใหผลลพธปรมาณเวกเตอรซงมทศทางเปนไปตาม “กฎมอขวา” ถา A
v และ B
v เปนเวกเตอรใด ๆ และ เปนมมระหวาง A
v และ B
v ซงอยระหวาง 0 ถง
ผลคณแบบครอสสามารถเขยนในรปสมการไดคอ A
vx Bv
= |A||B|sinAB e เมอ |A| คอขนาดของเวกเตอร A
v
|B| คอขนาดของเวกเตอร Bv
AB คอมมระหวางเวกเตอร A
v และ B
v
e เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางตงฉากกบระนาบ AB ทศของเวกเตอรลพธเปนไปดงรปท 3.16
รปท 3.16 การคณเชงเวกเตอรหรอ ผลคณแบบครอส
A
B
C
= A
x B
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
8
ถาก าหนดให Av
= Ax i + Ay j + Az k Bv
= Bx i + By j + Bz k
จะสามารถเขยนผลคณเชงเวกเตอร ไดในรปผลคณขององคประกอบคอ Av
x Bv
= (AyBz – AzBy) i + (AzBx – AxBz) j + (AxBy – AyBx) k หรออาจเขยนในรปดเทอรมแนนท (Determinant) คอ
Av
x Bv
=
z
z
y
y
x
x
B
A
k
B
A
j
B
A
i
=
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
B
A
j
B
A
i
B
A
k
B
A
j
B
A
i
= AyBz i + AzBx j + AxBy k – AzBy i – AxBz j – AyBx k = (AyBz – AzBy) i + (AzBx – AxBz) j + (AxBy – AyBx) k
สมบตพนฐานของการคณแบบ cross product
1. Av
x Bv
Bv
x Av
= - ( B
v x A
v)
2. ถา m เปนปรมาณสเกลาร จะไดวา m ( A
v x B
v) = m A
v x B
v = A
v x m B
v
= ( Av
x Bv
) m 3. i x i = j x j = k x k = 0 4. i x j = k 5. j x k = i 6. k x i = j 7. ถา A
v x B
v = 0 โดยทท ง A
v และ B
v ไมเทากบ 0 แลวแสดงวา A
v ทศทางกบ B
v
+ + +
- - -
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
9
3.6 ต าแหนงและการกระจด (Position & Displacement) ต าแหนง (Position) กคอการแสดงออก หรอการบอกใหทราบวา วตถหรอสงของทเราพจารณาอยทใด เราจะคดถงวตถทมขนาดเลกกอน ซงจะสามารถบอกไดชดเจนวามต าแหนงอยทใด โดยเฉพาะบนเสนตรงหนงเมอเทยบกบจดอางอง จดอางองเปนปจจยจ าเปนเพอความชดเจน อาจจะเปนจดศนยของโคออรดเนตในพกด xy เนองจากเราจะพจารณากรณหนงมตกอน เราจะใชเฉพาะแกน x และอาจบอกวาวตถของเราอย ทต าแหนง x = x0 ทเวลา t1 ซงหมายถง วตถอยทระยะทาง x1 จากจด O (จดอางอง) ทเวลาดงกลาว ถาเลอนไปอยท x2 ทเวลา t2 แสดงวา วตถไดมการเคลอนทไประหวางเวลา t1 และ t2 ต าแหนงทงสองของวตถอาจแสดงดงรป 3.17
รป 3.17 : การแสดงต าแหนงและการกระจดของวตถบนแกน X
การเปลยนต าแหนงของวตถจาก x = x1 ไปเปน x = x2 จะเกดปรมาณ (x2 - x1) ซงเรยกใน
ภาษาวชาฟสกสวา การกระจด (Displacement) การกระจดนมทศทาง ในทนการกระจดมทศจาก x1 ไป x2 ดงรป 3.17 โดยทวไปการกระจด หมายถงการเปลยนต าแหนงของวตถไปจากต าแหนงปกต (สมดล) การกระจดเปนปรมาณเวกเตอร ใชสญลกษณคอ S
มหนวยเปน เมตร (meter, m)
3.7 ความเรวเฉลยและอตราเรวเฉลย (Average Velocity & Average Speed)
โดยนยามหรอขอก าหนด ความเรว (Velocity) คอ การเปลยนต าแหนงตอเวลา ส าหรบชวงเวลาทยาว
ความเรวเปนปรมาณเวกเตอร ใชสญลกษณคอ v มหนวยเปน เมตรตอวนาท (m/s) ความเรวทคดจากการเปลยนต าแหนงในชวงเวลานนหารดวยชวงเวลา ถอวาเปนความเรวเฉลย
(Average Velocity) ความเรวเฉลยเปนเสมอนความเรวทการเปลยนแปลงในชวงเวลาทวดมคาเดยวทสม าเสมอ ความเรวเฉลยในทศจาก x1 ไป x2 คอ
avv = 12
12
ttxx
=
tx
---------- (3.1)
ส าหรบค าวาอตราเรว (Speed) ในวชาฟสกสมความหมายทแตกตางจากความเรว คออตราเรวจะคดจากระยะทาง (Distance) ของการเคลอนทท งหมด โดยไมค านงถงทศทาง นนคอ ใชอตราเรวในลกษณะทเปนปรมาณสเกลาร ในขณะทใชความเรวเปนปรมาณเวกเตอร
ระยะทางเปนปรมาณสเกลาร ใชสญลกษณคอ S มหนวยเปน เมตร (meter, m)
0 x1 x2 -X X
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
10
อตราเรวเฉลย (Average Speed) ส าหรบการเคลอนทจาก x1 ไป x2 ดงรป 3.17 จะมขนาดเทากบ ระยะทางจาก x1 ไป x2 หารดวยเวลา ซงจะใหผลเทากบขนาดของความเรวเฉลย แตอตราเรวเฉลยอาจจะแตกตางไปจากขนาดของความเรวเฉลยได โดยเฉพาะกรณทวตถเคลอนทเลย x2 ไปถง x3 แลวยอนกลบมา x2 ดงรป 3.18 โดยใชเวลาทงหมด (t2 - t1) เทาเดม ถาเปนเชนนน อตราเรวเฉลย ซงเปนระยะทางทงหมดทเคลอนท (จาก x1 ไป x3 และจาก x3 กลบมา x2) หารดวยเวลา จะมคาเพมขนมาก และตางจากขนาดของความเรวอยางเหนไดชด
รป 3.18 : แสดงการเคลอนทของวตถจาก x1 ไป x3 และจาก x3 กลบมา x2
ซงในทนระยะทางทงหมดวตถเคลอนทคอ S = |(x3 – x1)| + |(x3 – x2)| และ t คอ (t2 - t1)
โดยเครองหมายขดสองขางของปรมาณจะหมายถง ขนาดของปรมาณนนและมคาเปนบวกเทานน
vav = 12
2313
t- t
) x- (x + ) x- (x =
tS
---------- (3.2)
ในภาษาทใชกนทวไป ความเรวและอตราเรว อาจไมไดแตกตางจากกนในลกษณะดงกลาวและ
อนโลมใหใชสลบกนไปมา แตในวชาฟสกสควรใชใหถกตามความหมายดงกลาว เพอความชดเจนและถกตองตามมาตรฐานสากลของวชาฟสกส
สมมตวา “โยนลกบอลขนในแนวดง ลกบอลลอยขนไปไดสง 5 เมตร แลวตกกลบมายงมอในเวลา 2 วนาท” จากขอความนแสดงวา อตราเรวเฉลยในชวง 2 วนาทเทากบระยะทาง (5 เมตรในขาขน + 5 เมตรขาลง) หารดวยเวลา 2 วนาท เทากบ 5 เมตรตอวนาท แตความเรวเฉลยในชวงเวลาเดยวกนจะเปนศนยเพราะลกบอลไดกลบมาทเดม คอ มการกระจดทงหมดเปนศนย 3.8 ความเรวและอตราเรวขณะใดขณะหนง (Velocity & Instantaneous Velocity)
ความเรวขณะใดขณะหนง (Instantaneous Velocity) กคอ ความเรวของวตถในชวงเวลาทส นมากขณะผานจดจดหนง หรอทเวลาใดเวลาหนง หรอพดสน ๆ เปนความเรวในชวงเวลาทส นมาก
ดงนน เราจงเขยนความเรวขณะใดขณะหนง ในรปสมการไดคอ
intv = )tx
(lim0t
= x
dtd ---------- (3.3)
0 x1 x2 x3
-X X
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
11
สญลกษณในสมการท 3.3 เปนสญลกษณทนยมใชในวชาคณตศาสตร แสดงกระบวนการทาง
คณตศาสตรทใชหาคาลมต เมอทราบฟงกชนชดเจนและคา xdtd เปนการหาอนพนธ (Differentiation)
ของ xv เทยบกบเวลา ซงเปนสญลกษณแทน )tx
(lim0t
นนเอง โดย
dtd ถอเปนตวด าเนนการ
(Operator) ตวหนง ซงจะกระท าบางอยางกบสงทเขยนตามมา กรณนกคอการหาอนพนธนนเอง ในทางปฏบตตามความเปนจรงทางฟสกส กราฟของต าแหนงของวตถกบเวลา อาจเปนดงรป
3.19 ระหวางจด x1 และ x2 ทเวลา t1 และ t2 ซงจะเรยกวาจด P และจด Q และมแนวการเคลอนทโคง
รป 3.19 : ความเรวเฉลยและความเรวขณะใดขณะหนง
ถาต าแหนงของวตถทผาน P และ Q เปนเสนโคง ดงรป 3.19
ความชนของเสนตรงทลากผาน PQ คอ 12
12
ttxx
กคอความเรวเฉลยระหวาง P และ Q
ถาจด P เลอนไปใกลจด Q มากขนเรอย ๆ นนคอชวง (t2 – t1) จะสนลงจน P อยใกล Q มาก
เสนตรง PQ จะกลายเปนเสนสมผสเสนโคงทจด Q นนเอง และมระยะหนงทเมอ P เขาใกล Q มากขน ความชนกไมเปลยนแปลง ความชนนคอลมต หรอขดจ ากด ของความชน และถอไดวาคาความเรวของวตถท Q ซงเปนความเรวขณะใดขณะหนงทเวลา t2 หรอทจด Q
เพอใหเขาใจความหมายดงกลาวของคาลมต เราสามารถสงเกตไดจากตวอยางตอไปน เชน สมมตวา เราทราบวากราฟต าแหนงกบเวลาเปนไปตามสมการ x(t) = 5t2 ในหนวยเมตร เมอ t เปนเวลาในหนวยวนาท เราสามารถรต าแหนง x ทเวลาตาง ๆ ไดจากการค านวณจากสมการ
ลองก าหนดให Q เปนต าแหนงท 2.00 วนาท นนคอ x = 20 เมตร สวนคาของต าแหนง P ใหแปรตามเวลาตาง ๆ ทใกล 2 วนาท (ใกลต าแหนง Q) และคาของความชนของเสน PQ ดงตาราง
P
Q x
t 0 t1 t2
x1
x2
เสนสมผสกราฟทจด Q
ความชนเสนสมผส คอความเรว ณ จด Q ความชนกราฟ คอความเรวเฉลย
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
12
เวลา (วนาท)
ต าแหนง P (เมตร)
ต าแหนง Q (เมตร)
ความชนของ PQ (m/s)
1.50 11.25 20.00 17.50 1.80 16.20 20.00 19.00 1.90 18.05 20.00 19.50 1.98 19.602 20.00 19.90 1.99 19.8005 20.00 19.95 1.995 19.9001 20.00 19.98 1.999 19.9800 20.00 20.00 1.9999 19.9980 20.00 20.00
ตาราง 3.1 : แสดงวาความชนไมเปลยนแปลงเมอ t เขาใกล 2.00 วนาทมาก
เมอชวงเวลาสนมาก วตถไมมเวลาทจะกลบไปมา อตราเรวทขณะใดขณะหนงกคอ ขนาดของ
ความเรวทไมตองค านงถงทศทางนนเอง
3.9 ความเรงเฉลยและความเรงขณะใดขณะหนง (Average acceleration & Instantaneous Velocity)
ความเรง (Acceleration) หมายถงการเปลยนแปลงความเรวตอเวลา เปนปรมาณเวกเตอร ใชสญลกษณคอ a มหนวยเปน เมตรตอวนาท2 (m/s2)
ถาทเวลา t2 วตถมความเรว 2vv และทเวลากอนนนคอ t1 วตถมความเรว 1v
v ถอวาความเรงเฉลย (Average acceleration) ในชวงเวลา t1 ถงเวลา t2 คอ
ava = 12
12
ttvv
=
tv
---------- (3.4)
ความเรงขณะใดขณะหนง (Instantaneous Acceleration) คอความเรงของวตถในชวงเวลาทส น
มากขณะผานจดจดหนง หรอทเวลาใดเวลาหนง หรอพดสน ๆ เปนความเรงในชวงเวลาทส นมาก ดงนน เราจงเขยนความเรวขณะใดขณะหนง ในรปสมการไดคอ
inta = )tv
(lim0t
= v
dtd ---------- (3.5)
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
13
หากเขยนกราฟของความเรวกบเวลา ความชนของเสนสมผสทจดตาง ๆ กคอ ความเรงของวตถทจดนน ๆ ในท านองเดยวกนกบทความเรวเปนความชนของกราฟระหวางต าแหนงกบเวลา ส าหรบค าวา อตราเรง กจะไมคดทศทางในลกษณะเดยวกนกบอตราเรว แตค าวาอตราเรงไมตรงกบค าใดในภาษาองกฤษเทยบ หากความเรงทค านวณไดตดลบ แสดงใหเหนวา ความเรวในตอนทาย มคานอยกวาความเรวในตอนตน คอ 2v
v < 1vv เหตการณเชนน เราเรยกวา วตถมความหนวง (Deceleration) เชนกรณของรถท
เหยยบเบรก 3.10 กราฟระหวางการกระจดกบเวลา, ความเรวกบเวลา และความเรงกบเวลา
(Graph between Displacement-Time, Velocity-Time & Acceralation-Time) ถาเขยนกราฟระหวางความเรวกบเวลา โดยทความชนเสนกราฟคงท จะพบวาพนทใตกราฟท
รองรบดวยแกนเวลา คอ ระยะทางทวตถเคลอนทไดถงเวลา t
รป 3.20 : กราฟระหวางการกระจดและเวลา จากรป 3.20 จะพบวา ความชนของเสนสมผสกบเสนกราฟ ณ ต าแหนง (t0,x0) คอความเรวทต าแหนง x0 หรอเมอเวลา t = t0 ซงเรยกความเรวตนและใหเทากบ v0 สวนความชนของเสนกราฟ ณ ต าแหนง (t,x) คอ ความเรวเมอเวลา t หรอทต าแหนงของวตถตรงระยะทาง x จากจดอางอง 0 จง สรปไดวา
ความเรว ณ ขณะใดขณะหนง = ความชนของเสนสมผสกราฟ ลองพจารณากราฟของสมการเสนตรง y(x) = mx + c ในวชาคณตศาสตร ดงรปท 3.21 เราจะ
พบวาความชนของกราฟทไดคอ m = 2 1
2 1
y y
x x
-
- หรอ
y
x
D
D
พนทใตกราฟในชวง x1 ถง x2 คอ A = 2
1
x
xy(x)dxò
(t0,x0)
(t,x) x
t 0 t0 t
x0
x
เสนสมผสกราฟทจด (t,x)
ความชนเสนสมผส คอความเรว ณ จด (t,x)
ความชนเสนสมผส คอความเรว ณ จด (t0,x0)
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
14
รป 3.21 : กราฟของสมการเสนตรง y(x) = mx + c
และถาเขยนกราฟระหวาง v กบ t จากสมการการเคลอนทดวยความเรงคงตว จะพบวาพนทใตกราฟทรองรบดวยแกนเวลา คอ ระยะทางทวตถเคลอนทไดถงเวลา t ดงรปท 3.22
รป 3.22 : กราฟระหวางความเรวและเวลา ดวยความเรงคงตว 3.11 สมการการเคลอนทในกรณความเรงคงตว
(Constant Acceleration Equation of Motion) จากรปท 3.22 เราเราพจารณาในชวง t = 0 ถง t = เราเหนไดวาความชนของเสนกราฟมคาคง
ตวตลอดเสนกราฟ ความชนของเสนตรงคอ 0tuv
ใหเทากบอตราการเปลยนแปลงของความเรวเทยบ
กบเวลา กคอความเรงนนเอง และม u ซงเปนความเรวในเวลาเรมตน ซงเราจะเรยก u นวา ความเรวตน (Initial Velocity) เปนจดตดแกน ซงหากเปรยบเทยบกบ กราฟของสมการเสนตรง y(x) = mx + c เราจะพบวา v – u = at
หรอเราเขยนไดวา
v = u + at ---------- (3.6)
y = mx + c
y
x
c
y2
y1
x1 x2
y = y2 – y1
x = x2 – x1 0
m = 2 1
2 1
y y
x x
-
-
v(t) = at + u
v
x
u
v2
v1
t1 t2
v = v2 – v1
t = t2 – t1 0
a = 2 1
2 1
v v
t t
-
-
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
15
นอกจากนน เรายงพบวาพนทใตกราฟ เปนรปสเหลยมคางหม ทมคขนานคอ v และ u โดยมความสงคอ t โดยเราทราบวา พนทใตกราฟ กคอ การกระจดของวตถนนเอง ดงนนเขยนไดวา
S = 1
2(u + v)t
= u v
t2
+æ ö÷ç ÷ç ÷è ø
---------- (3.7)
จากสมการท 3.6 เราไดวา v = u + at น าคานแทนใน สมการท 3.7 จะได
S = u (u at)
t2
+ +æ ö÷ç ÷ç ÷è ø
= ut + 1
2at2 ---------- (3.8) ***
*** เราอาจอนทเกรตสมการท 3.6 ดวย t จะได
S = ( )t
0u at dtò +
= t
2
0
1ut at
2æ ö
÷ç + ÷ç ÷è ø
= ut + 1
2at2
พบวาผลทไดกคอ สมการท 3.8 เชนกน
หากน าคา t = v u
a
-æ ö÷ç ÷ç ÷è ø จากสมการท 3.6 มาแทนใน t ของสมการท 3.7 เราจะไดวา
S = u v
2
+æ ö÷ç ÷ç ÷è ø
v u
a
-æ ö÷ç ÷ç ÷è ø
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
16
= 2 2v u
2a
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
จดรปใหม จะได v2 = u2 + 2aS ---------- (3.9)
เพอใหงายตอการจดจ า สมการท 4.6 ถง 4.9 มกพบอยในหนงสอทวไป ดงน v = u + at ---------- (สตรท 1)
S = u v
t2
+æ ö÷ç ÷ç ÷è ø
---------- (สตรท 2)
S = ut + 1
2at2 ---------- (สตรท 3)
v2 = u2 + 2aS ---------- (สตรท 4)
3.12 การเคลอนทในกรณความเรงไมคงตว
(Non-Constant Acceleration Motion) หากการเคลอนทนน มความเรงไมคงท เราไมสามารถจะใชสมการท 3.6 ถง 3.9 ได เนองจากความเรงในการเคลอนทเปนฟงกชนของเวลา ดงนนเราใชความรทางแคลคลสในการหาคาความเรวหรอการกระจดไดดงน ถาความเรงเปนฟงกชนของเวลา เราเขยนไดวา a(t) โดยท
a(t) = d
v(t)dt
ดงนน v(t) = a(t)dt ---------- (3.10)
และเรายงพบอกวา
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
17
v(t) = d
S(t)dt
ดงนน
S(t) = v(t)dt ---------- (3.11) 3.13 การตกอยางเสร (Free Fall) การตกอยางเสร หมายถง การตกโดยไมมสงใดกดขวางหรอกระทบ การมอากาศกระทบระหวางตกท าใหไมไดผลดงอดมคต แตอาจพสจนไดวาการมอากาศไมท าใหการตกผดไปจากอดมคตมากนกโดยเฉพาะเมอความเรวยงไมมาก แตถาวตถตกจากทสง วตถมความเรวมากในชวงทายซงอากาศจะตานทานการเคลอนทมากขน และท าใหความเรงผดไป ความเรงในการตกของวตถลงสพนโลกเรยกวา คาความเรงเนองจากแรงโนมถวง (Gravity) และใชสญลกษณเปน g และมทศพงลงหาผวโลกเสมอ คาของความเรงน ณ จดตาง ๆ ในประเทศไทย จะมคาระหวาง 9.780 ถง 9.785 เมตรตอวนาท2 คานขนกบละตจด (Latitude) ของจดททดลอง ในปจจบนคาเฉลยของ g ทวโลก ทถอเปนคามาตรฐาน คอ 9.8065 เมตรตอวนาท2 ส าหรบการค านวณโดยประมาณ เพอความงาย การใชคา g เทากบ 10 เมตรตอวนาท2 ในการค านวณท าใหผลลพธผดไปประมาณ 2 เปอรเซนต พอเปนทยอมรบได ดงนนหากมไดก าหนดเปนอยางอนอาจใชคา g เปน 10 เมตรตอวนาท2 ส าหรบแบบฝกหดตาง ๆ ได 3.14 ความเรวสมพทธ (Relative Velocity) การจะบอกวาวตถอยทต าแหนงใดใหชดเจน และเปนทเขาใจกนไดเปนอยางด ยอมตองมจดอางองและแกนอางอง นนคอ มระบบพกดอางอง ถามผสงเกตสองคน ตางใชระบบพกดของตนเองและเคลอนทสมพทธกน นนคอ ระบบหนงมความเรวเมอเทยบกบอกระบบหนง สงนเปนไปไดเสมอ เมอเปนเชนน วตถทเหนอยนงในระบบหนงกจะปรากฏเคลอนทในอกระบบหนง หรอถาวตถเคลอนทอยางหนงในระบบหนง จะปรากฏเคลอนทตางกนในอกระบบหนงตวอยางเชน ขณะทรถไฟวงดวยความเรวคงตวผานชานชาลาแหงหนง ผโดยสารในรถไฟท าของหลนจากมอลงพน ผสงเกตในรถไฟเหนวตถนนตกลงดวยความเรงในแนวดง ทงนเทยบกบตวเองในรถไฟ สวนผทอยบนชานชาลานอกรถไฟ เหนผานหนาตางวาวตถตกลงเปนวถโคงแบบโพรเจกไทล ซงนกเรยนจะไดเรยนการเคลอนทแบบนในโอกาสตอไป ความเรว ณ จดตาง ๆ หรอทเวลาตาง ๆ ของวตถทสงเกตไดของผสงเกตทงสองตางกนโดยตลอด เรองนแสดงใหเหนวา ความเรวเปนปรมาณสมพทธ ซงขนกบการเคลอนทของผสงเกตเสมอ
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
18
3.15 กรอบอางองเฉอย (Inertial Frame) กรอบอางอง (Frame of Reference) ในทนจะหมายถงระบบพกดทผสงเกตหนง ๆ ใชในการสงเกตการเคลอนทของวตถ กรอบอางองตาง ๆ อาจเคลอนทสมพทธกนไดเปนเรองปกต ความจรงนนยากทจะบอกไดวากรอบอางองใดเปนกรอบทอยนงอยางสมบรณ เชน เราอยนงทใดทหนงบนโลก แตเรากทราบวาโลกหมนรอบตวเองและเคลอนทไปรอบดวงอาทตยในขณะเดยวกน ดงนนกรอบอางองทเราวาอยนงในตอนแรกนน ทงหมนและเคลอนทไปในอวกาศอยางรวดเรว จะเรวเทาใด กตองก าหนดใหไดกอนวาจะใชจดใดเปนจดอยนงทจะใชอางอง เชน ดวงอาทตยหรอจดศนยกลางของกาแลกซ (Galaxy) ขอนพอจะชใหเหนไดวาความเรวนนเปนปรมาณสมพทธเสมอ และความเรวทเปนศนยอาจจะไมเปนศนยทแทจรง แตกรอบอางองทมความเรวคงตวสม าเสมอ หรอกรอบอางองทไมมความเรงนน จะมทางทจะรได เชน เมอสงเกตดาวตาง ๆ ทอยไกลแลวเหนดาวอยต าแหนงเดม อยางนอยแสดงวาไมมการหมนและเมออยไกลจากวตถอนยอมไมมแรงกระท า กรอบอางองทมความเรวคงตว เรยกวา กรอบอางองเฉอย (Inertial Frame of Reference) กรอบอางองเชนนมความส าคญตอวชาฟสกส เพราะเปนกรอบอางองทกฎการเคลอนทของนวตนเปนจรง ซงนกเรยนก าลงจะเรยนในบทตอไป
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
19
แบบฝกหดทายบทท 3 3.1 จงหาเวกเตอรลพธ (A+B) ดวยวธหางตอหว หางตอหาง หรอ แยกองคประกอบ
1. A ยาว 3 หนวย ท ามมกบแนวระดบ 37 องศาเหนอกบทศตะวนออก B ยาว 5 หนวย ชข นทศเหนอ
2. A ยาว 2 หนวย ชทางทศตะวนตก
B ยาว 2 หนวย ชทศตะวนตกเฉยงใต
3.2 ก าหนดให A = 1i + 2j + 3k และ B = 3i – 2j – 1k จงหา
1. A + B 2. A - B
3. A B 4. A x B
3.3 ก าหนดให A = 1i + 2j + 3k , B = 4i + 5j + 6k และ C = 7i + 8j + 9k จงหา
1. A + B + C 2. A x B 3. B x A 4. A x B x C
3.4 จงแกโจทยปญหาตอไปน โดยการแสงวธท าอยางละเอยด
1. ก าหนด ˆ ˆA 3i 4 j และ ˆ ˆB 4i 3 j จงหามมระหวางเวกเตอร A และ B
2. รถคนหนงวงจากกรงเทพฯ ไปเชยงใหม ระยะทางทงสน 700 กโลเมตร แลวขบกลบกรงเทพฯ ตามเสนทางเดม ดวยเวลารวม 14 ชวโมง จงหาอตราเรวเฉลย และความเรวเฉลยของรถคนน
3. เดกคนหนงออกก าลงกายดวยการวงดวยอตราเรว 6 เมตร/วนาท เปนเวลา 1 นาท วงดวยอตราเรว 5 เมตร/วนาท อก 1 นาท แลวเดนดวยอตราเรว 1 เมตร/วนาท อก 1 นาท จงหาอตราเรวเฉลยในชวงเวลา 3 นาทน
4. อนภาคตวหนงเคลอนทตามแกน x ซงต าแหนงของอนภาค ณ เวลาใดๆ ก าหนดไดดวยสมการ x(t) = t2 -6t + 9 เมตร จงหา 3.1 ความเรวและความเรงขณะใดๆ 3.2 ต าแหนง ความเรว และความเรงของอนภาคเมอเวลาผานไป 2 วนาท 3.3 ความเรวเฉลยของอนภาค ระหวางวนาทท 1 ถงวนาทท 2
เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน โรงเรยนจฬาภรณราชวทยาลย พษณโลก
20
5. รถยนตคนหนงวงดวยอตราเรวคงตว 20 เมตร/วนาท นานเทาใดจงจะเคลอนทไดระยะทาง 500 เมตร
6. รถยนตคนหนงวงดวยอตราเรวเฉลย 80 กโลเมตรตอชวโมง จากเมอง A ไปเมอง B ทอยหางกน 200 กโลเมตร ถาออกเดนทางเวลา 06.00 น. จะถงปลายทางเวลาเทาใด
7. โยนลกบอลขนไปในแนวดงดวยความเรวตน 5 เมตร/วนาท นานเทาใดลกบอลจงจะเคลอนทไปถงจดสงสด
8. รถยนตคนหนงเคลอนทจากหยดนงไปบนเสนทางตรง เวลาผานไป 4 วนาท มความเรวเปน 8 เมตร/วนาท ถาอตราเรวเพมขนอยางสม าเสมอ รถยนตคนนมความเรงเทาใด
9. จงอธบายความหมายของกราฟรปนมาอยางละเอยด
10. กราฟในขอใดทแสดงการกระจด (s) กบเวลา (t) ส าหรบการดดบอลขนไปในแนวดงและตก
ลงมาภายใตแรงโนมถวง จงใหเหตผลประกอบค าตอบมาอยางละเอยด
