Medidas Inducidas por Medidas Exteriores 35

Problemas

1. Suponga que � satisface las primeras tres propiedades de la De�nición 66. Supongaademás que existe A 2 A tal que �(A) <1. Demuestre que �(�) = 0:

2. Sea un espacio in�nito contable. Sea A como en el Problema 5, página 24. De�na�(A) = 0 si A es �nito y �(A) = 1 si A tiene complemento �nito. Demuestre que� es una medida �nitamente aditiva pero no contablemente aditiva. ¿Qué sucede si es in�nito no contable?

3. Sea un espacio in�nito no contable. Sea A como en el Problema 6, página 24.De�na �(A) = 0 en el primer caso y �(A) = 1 en el segundo. Demuestre que � esuna medida en A. ¿Es � una mediada �nita o �-�nita?

4. Si � es una medida sobre una álgebra A, y A;B 2 A, entonces:

�(A) + �(B) = �(A [B) + �(A \B).

5. Si � y � son dos medidas de�nidas en la misma álgebra A, entonces �+ �, de�nidapor:

(�+ �) (A) = �(A) + �(A); A 2 A,es una medida en A. Demuestre un resultado similar para una sucesión (�n)

1n=1 de

medidas sobre A.

6. Sea = fxn : n 2 Ng un espacio in�nito numerable y (pn) una sucesión de númerosno negativos. Para cada A � , de�na:

�(A) =Xxm2A

pm.

Demuestre que � es una medida �-�nita en la �-álgebra A = P().

7. Sea (;A; �) un espacio de medida �nita y suponga que (An) es una sucesión en Atal que l��m

n!1An existe. Demuestre que �( l��m

n!1An) = l��m

n!1�(An).

8. Sea (;A; �) un espacio de medida y suponga que (An) es una sucesión en A, talque

1Pn=1

�(An) < 1. Demuestre que casi todos los x 2 pertenecen a lo más a unnúmero �nito de An.

9. Sea (;A; �) un espacio de medida y sean:

B = fA 2 A : �(A) = 0 _ �(Ac) = 0g :

Demuestre que B es una �-álgebra.

10. Sea (;A; �) un espacio de medida y sea E 2 A. Denote por AE la clase de todoslos conjuntos medibles que son subconjuntos de E, y denote por �E la restricciónde � a AE . Demuestre que (E;AE ; �E) es un espacio de medida. Estos espacios seconocen como subespacios de medida del espacio (;A; �).

11. Sea (E;B; �) un espacio de medida y suponga que E � . Denotemos por A la clasede todos los subconjuntos A de tales que A \ E 2 B y de�namos � en A por�(A) = �(A \ E). Demuestre que (;A; �) es un espacio de medida y (E;AE ; �E)coincide con (E;B; �). Nota: el espacio (E;AE ; �E) está de�nido en el Problema 10.

36 Medida

12. Sea (;A; �) un espacio de medida y sea:

F = fE 2 A : �(E) <1g :

De�na, para A;B 2 F ,d(A;B) = �(A4B);

en donde A 4 B = (A � B) [ (B � A) es la diferencia simétrica entre A y B.Demuestre que (F ; d) es un espacio pseudométrico, esto es, cumple con las siguientespropiedades:

a) d(A;B) � 0b) d(A;B) = d(B;A)

c) d(A;C) � d(A;B) + d(B;C)

13. Sea (;B; �) un espacio de probabilidades (espacio de medida con �() = 1). Supon-ga que es un espacio Polaco (esto es un espacio métrico separable y completo) y Bes la �-álgebra de Borel de . Entonces 8� > 0;9K compacto, tal que �(K) � 1� �.

14. Sea un conjunto. Para cada A 2 P() de�namos: #(A) = jAj (cardinalidad deA). Demuestre que (;P();#) es un espacio de medida y que # es �-�nita si ysólo si es contable. Esta mediada # se denomina medida de conteo.

15. De un ejemplo de un espacio de medida (;A; �) y una sucesión (An) en A, tal queAn # A y l��m�(An) 6= �(A). ¿Contradice su resultado la Proposición 69?

16. Se dice que � : A ! [0;1] es continua inferiormente si para cada A 2 A y todasucesión (An) " A se tiene l��m

n!1�(An) = �(A). Suponga que � es aditiva y �nita en

el álgebra A. Demuestre que si � continua inferiormente en cada A 2 A, entonces �es una medida en A.

17. Sea � una medida �-�nita sobre la álgebra B. Demuestre que =1Pn=1

An con An 2 B

y �(An) <1 para todo n.

18. Sea (;A; �) un espacio de medida con � medida �-�nita. Demuestre que el con-junto:

fx 2 : fxg 2 A y � (fxg) > 0g ;es a lo más contable.

19. Sea (;A; �) un espacio de medida. Un conjunto A 2 A se dice que es un átomo si�(A) > 0 y para todo B 2 A con B � A, se tiene que �(B) = 0 ó �(B) = �(A). Sedice que � no es atómica si A no tiene átomos. Demuestre que si � no es atómicay A 2 A con 0 < �(A) < 1, entonces para todo � > 0 existe B 2 A con B � A y0 < �(B) < �.

20. Sea = Q y A el álgebra de�nida en el Problema 25, página 25. Demuestre que lamedida de conteo � es �-�nita en �(A) pero no en A (vea Problema 14).

21. Sea (;A; �) un espacio de medida. Una aplicación T : ! se dice que es mediblesi para todo E 2 A, se tiene que T�1(E) 2 A. La aplicación medible T se dice quepreserva medida si �(T�1(E)) = �(E) para todo E 2 A.Sea T es una aplicación que preserva medida en un espacio de medida �nita y seaE 2 A. Demuestre que casi todos los puntos de E son recurrentes, esto es, demuestreque para casi todos los puntos x 2 E, se cumple que Tn(x) 2 E para algún n 2 N.

Medidas Inducidas por Medidas Exteriores 37

22. Sea A la colección formada por ; � y todos los subconjuntos singulares (singletons)de . De�na �() = 1; �(�) = 0 y �(E) = 1 si E es un singleton. Describa lamedida exterior correspondiente.

23. Sea un conjunto in�nito no contable y sea A como en el Problema 22. De�na�() = 1 y �(E) = 0 si E 6= . Describa la medida exterior correspondiente.

24. Demuestre que bajo las hipótesis de la Proposición 80, ��(E) � �(E) para todoE 2 A. De un ejemplo en donde se produzca la desigualdad estricta.

25. Si A es una �-álgebra y � es una medida sobre A, entonces ��(E) = �(E) para todoE 2 A.

26. Sea un conjunto in�nito. De�na ��(A) en P () como el número de puntos de Asi A es �nito, en caso contrario de�na ��(A) =1. Demuestre que �� es una medidaexterior en P (). Halle los conjuntos medibles.

27. Sea un conjunto no vacío. De�na ��(�) = 0 y ��(A) = 1 si A 6= �. Demuestre que�� es una medida exterior en P (). Halle los conjuntos medibles.

28. Sea un conjunto in�nito no contable. De�na ��(A) = 0 si A es contable y ��(A) =1 en caso contrario. Demuestre que �� es una medida exterior en P (). Halle losconjuntos medibles.

29. Sea B � y suponga que �� es una medida exterior en . De�na ��(A) = ��(A\B).Demuestre que �� es una medida exterior en . Encuentre la relación entre losconjuntos medibles de �� y ��.

30. Demuestre que si una medida exterior es aditiva entonces es contablemente aditiva.

31. Los siguientes son algunos ejemplos de funciones de conjuntos. Determine cuáles sonmedidas exteriores:

a) es arbitrario y x0 es un punto �jo en . Para E 2 P() de�na ��(E) =�E(x0).

b) es arbitrario. De�na ��(E) = 1 para todo E 2 P().c) = fx; yg con x 6= y. De�na �� en P() como:

��(�) = 0; ��(fxg) = ��(fyg) = 10; ��() = 1:

d) es un conjunto de 100 puntos. Estos 100 puntos forman una matriz de 10�10.Si E es un subconjunto de , de�namos ��(E) como el número de columnasque contienen al menos un punto de E.

e) = N. Si E es un subconjunto �nito de N escribamos �(E) para denotarel número de puntos de E. Ahora, para un subconjunto arbitrario E de N,de�namos:

��(E) = l��m supn!1

1

n�(E \ f1; 2; : : : ; ng):

32. Demuestre que si �� y �� son medidas exteriores en , entonces ��+�� también loes.

33. Si (��n) es una sucesión de medidas exteriores en y (an) es una sucesión de númerospositivos, entonces la función de conjuntos �� de�nida por ��(E) =

Pan�

�n es una

medida exterior en .

38 Medida

34. Sea (;A) un espacio medible. Una función compleja de conjuntos � : A ! C sedice que es una medida compleja si es contablemente aditiva en A.

Si E =1Pk=1

Ek con Ek 2 A y E 2 A, diremos que (Ek) es una partición para E.

De�na:

j�j (E) = sup1Xk=1

j�(Ek)j (E 2 A)

en donde el supremo se toma sobre todas las posibles particiones de E. Demostrare-mos que j�j es una medida positiva en A. Esta medida se conoce como la variacióntotal de �.

Sea (Ei) una partición de E 2 A. Sean ti números reales tales que ti < j�j (Ei).Ahora cada Ei tiene una partición (Aij) tal que:

1Xj=1

j�(Aij)j > ti.

Como (Aij) con i; j = 1; 2; : : : es una partición de E, se tiene que:

1Xi=1

ti �Xi;j

j�(Aij)j � j�j (E): (3.7)

Tomando el supremo en el lado izquierdo de 3.7, sobre todas las posibles eleccionesde (ti) se deduce que:

1Xi=1

j�j (Ei) � j�j (E): (3.8)

Para demostrar la otra desigualdad, denotemos por (Aj) cualquier partición de E.Entonces, para un j �jo, (Aj \ Ei) es una partición de Ei. Luego:

Xj

j�(Aj)j =Xj

�����Xi

�(Aj \ Ei)����� �X

j

Xi

j�(Aj \ Ei)j

�Xi

Xj

j�(Aj \ Ei)j �Xi

j�j (Ei).

Por lo tantoj�j (E) �

Xi

j�j (Ei). (3.9)

De 3.8 y 3.9 se deduce que j�j es contablemente aditiva.

Para medidas complejas se puede demostrar que j�j es una medida real acotada,esto es j�j () < 1. Nosotros no demostraremos esta a�rmación. El lector interesadopuede consultar �Real and Complex Analysis�de W. Rudin.