Medidas Inducidas por Medidas Exteriores 35
Problemas
1. Suponga que � satisface las primeras tres propiedades de la De�nición 66. Supongaademás que existe A 2 A tal que �(A) <1. Demuestre que �(�) = 0:
2. Sea un espacio in�nito contable. Sea A como en el Problema 5, página 24. De�na�(A) = 0 si A es �nito y �(A) = 1 si A tiene complemento �nito. Demuestre que� es una medida �nitamente aditiva pero no contablemente aditiva. ¿Qué sucede si es in�nito no contable?
3. Sea un espacio in�nito no contable. Sea A como en el Problema 6, página 24.De�na �(A) = 0 en el primer caso y �(A) = 1 en el segundo. Demuestre que � esuna medida en A. ¿Es � una mediada �nita o �-�nita?
4. Si � es una medida sobre una álgebra A, y A;B 2 A, entonces:
�(A) + �(B) = �(A [B) + �(A \B).
5. Si � y � son dos medidas de�nidas en la misma álgebra A, entonces �+ �, de�nidapor:
(�+ �) (A) = �(A) + �(A); A 2 A,es una medida en A. Demuestre un resultado similar para una sucesión (�n)
1n=1 de
medidas sobre A.
6. Sea = fxn : n 2 Ng un espacio in�nito numerable y (pn) una sucesión de númerosno negativos. Para cada A � , de�na:
�(A) =Xxm2A
pm.
Demuestre que � es una medida �-�nita en la �-álgebra A = P().
7. Sea (;A; �) un espacio de medida �nita y suponga que (An) es una sucesión en Atal que l��m
n!1An existe. Demuestre que �( l��m
n!1An) = l��m
n!1�(An).
8. Sea (;A; �) un espacio de medida y suponga que (An) es una sucesión en A, talque
1Pn=1
�(An) < 1. Demuestre que casi todos los x 2 pertenecen a lo más a unnúmero �nito de An.
9. Sea (;A; �) un espacio de medida y sean:
B = fA 2 A : �(A) = 0 _ �(Ac) = 0g :
Demuestre que B es una �-álgebra.
10. Sea (;A; �) un espacio de medida y sea E 2 A. Denote por AE la clase de todoslos conjuntos medibles que son subconjuntos de E, y denote por �E la restricciónde � a AE . Demuestre que (E;AE ; �E) es un espacio de medida. Estos espacios seconocen como subespacios de medida del espacio (;A; �).
11. Sea (E;B; �) un espacio de medida y suponga que E � . Denotemos por A la clasede todos los subconjuntos A de tales que A \ E 2 B y de�namos � en A por�(A) = �(A \ E). Demuestre que (;A; �) es un espacio de medida y (E;AE ; �E)coincide con (E;B; �). Nota: el espacio (E;AE ; �E) está de�nido en el Problema 10.
36 Medida
12. Sea (;A; �) un espacio de medida y sea:
F = fE 2 A : �(E) <1g :
De�na, para A;B 2 F ,d(A;B) = �(A4B);
en donde A 4 B = (A � B) [ (B � A) es la diferencia simétrica entre A y B.Demuestre que (F ; d) es un espacio pseudométrico, esto es, cumple con las siguientespropiedades:
a) d(A;B) � 0b) d(A;B) = d(B;A)
c) d(A;C) � d(A;B) + d(B;C)
13. Sea (;B; �) un espacio de probabilidades (espacio de medida con �() = 1). Supon-ga que es un espacio Polaco (esto es un espacio métrico separable y completo) y Bes la �-álgebra de Borel de . Entonces 8� > 0;9K compacto, tal que �(K) � 1� �.
14. Sea un conjunto. Para cada A 2 P() de�namos: #(A) = jAj (cardinalidad deA). Demuestre que (;P();#) es un espacio de medida y que # es �-�nita si ysólo si es contable. Esta mediada # se denomina medida de conteo.
15. De un ejemplo de un espacio de medida (;A; �) y una sucesión (An) en A, tal queAn # A y l��m�(An) 6= �(A). ¿Contradice su resultado la Proposición 69?
16. Se dice que � : A ! [0;1] es continua inferiormente si para cada A 2 A y todasucesión (An) " A se tiene l��m
n!1�(An) = �(A). Suponga que � es aditiva y �nita en
el álgebra A. Demuestre que si � continua inferiormente en cada A 2 A, entonces �es una medida en A.
17. Sea � una medida �-�nita sobre la álgebra B. Demuestre que =1Pn=1
An con An 2 B
y �(An) <1 para todo n.
18. Sea (;A; �) un espacio de medida con � medida �-�nita. Demuestre que el con-junto:
fx 2 : fxg 2 A y � (fxg) > 0g ;es a lo más contable.
19. Sea (;A; �) un espacio de medida. Un conjunto A 2 A se dice que es un átomo si�(A) > 0 y para todo B 2 A con B � A, se tiene que �(B) = 0 ó �(B) = �(A). Sedice que � no es atómica si A no tiene átomos. Demuestre que si � no es atómicay A 2 A con 0 < �(A) < 1, entonces para todo � > 0 existe B 2 A con B � A y0 < �(B) < �.
20. Sea = Q y A el álgebra de�nida en el Problema 25, página 25. Demuestre que lamedida de conteo � es �-�nita en �(A) pero no en A (vea Problema 14).
21. Sea (;A; �) un espacio de medida. Una aplicación T : ! se dice que es mediblesi para todo E 2 A, se tiene que T�1(E) 2 A. La aplicación medible T se dice quepreserva medida si �(T�1(E)) = �(E) para todo E 2 A.Sea T es una aplicación que preserva medida en un espacio de medida �nita y seaE 2 A. Demuestre que casi todos los puntos de E son recurrentes, esto es, demuestreque para casi todos los puntos x 2 E, se cumple que Tn(x) 2 E para algún n 2 N.
Medidas Inducidas por Medidas Exteriores 37
22. Sea A la colección formada por ; � y todos los subconjuntos singulares (singletons)de . De�na �() = 1; �(�) = 0 y �(E) = 1 si E es un singleton. Describa lamedida exterior correspondiente.
23. Sea un conjunto in�nito no contable y sea A como en el Problema 22. De�na�() = 1 y �(E) = 0 si E 6= . Describa la medida exterior correspondiente.
24. Demuestre que bajo las hipótesis de la Proposición 80, ��(E) � �(E) para todoE 2 A. De un ejemplo en donde se produzca la desigualdad estricta.
25. Si A es una �-álgebra y � es una medida sobre A, entonces ��(E) = �(E) para todoE 2 A.
26. Sea un conjunto in�nito. De�na ��(A) en P () como el número de puntos de Asi A es �nito, en caso contrario de�na ��(A) =1. Demuestre que �� es una medidaexterior en P (). Halle los conjuntos medibles.
27. Sea un conjunto no vacío. De�na ��(�) = 0 y ��(A) = 1 si A 6= �. Demuestre que�� es una medida exterior en P (). Halle los conjuntos medibles.
28. Sea un conjunto in�nito no contable. De�na ��(A) = 0 si A es contable y ��(A) =1 en caso contrario. Demuestre que �� es una medida exterior en P (). Halle losconjuntos medibles.
29. Sea B � y suponga que �� es una medida exterior en . De�na ��(A) = ��(A\B).Demuestre que �� es una medida exterior en . Encuentre la relación entre losconjuntos medibles de �� y ��.
30. Demuestre que si una medida exterior es aditiva entonces es contablemente aditiva.
31. Los siguientes son algunos ejemplos de funciones de conjuntos. Determine cuáles sonmedidas exteriores:
a) es arbitrario y x0 es un punto �jo en . Para E 2 P() de�na ��(E) =�E(x0).
b) es arbitrario. De�na ��(E) = 1 para todo E 2 P().c) = fx; yg con x 6= y. De�na �� en P() como:
��(�) = 0; ��(fxg) = ��(fyg) = 10; ��() = 1:
d) es un conjunto de 100 puntos. Estos 100 puntos forman una matriz de 10�10.Si E es un subconjunto de , de�namos ��(E) como el número de columnasque contienen al menos un punto de E.
e) = N. Si E es un subconjunto �nito de N escribamos �(E) para denotarel número de puntos de E. Ahora, para un subconjunto arbitrario E de N,de�namos:
��(E) = l��m supn!1
1
n�(E \ f1; 2; : : : ; ng):
32. Demuestre que si �� y �� son medidas exteriores en , entonces ��+�� también loes.
33. Si (��n) es una sucesión de medidas exteriores en y (an) es una sucesión de númerospositivos, entonces la función de conjuntos �� de�nida por ��(E) =
Pan�
�n es una
medida exterior en .
38 Medida
34. Sea (;A) un espacio medible. Una función compleja de conjuntos � : A ! C sedice que es una medida compleja si es contablemente aditiva en A.
Si E =1Pk=1
Ek con Ek 2 A y E 2 A, diremos que (Ek) es una partición para E.
De�na:
j�j (E) = sup1Xk=1
j�(Ek)j (E 2 A)
en donde el supremo se toma sobre todas las posibles particiones de E. Demostrare-mos que j�j es una medida positiva en A. Esta medida se conoce como la variacióntotal de �.
Sea (Ei) una partición de E 2 A. Sean ti números reales tales que ti < j�j (Ei).Ahora cada Ei tiene una partición (Aij) tal que:
1Xj=1
j�(Aij)j > ti.
Como (Aij) con i; j = 1; 2; : : : es una partición de E, se tiene que:
1Xi=1
ti �Xi;j
j�(Aij)j � j�j (E): (3.7)
Tomando el supremo en el lado izquierdo de 3.7, sobre todas las posibles eleccionesde (ti) se deduce que:
1Xi=1
j�j (Ei) � j�j (E): (3.8)
Para demostrar la otra desigualdad, denotemos por (Aj) cualquier partición de E.Entonces, para un j �jo, (Aj \ Ei) es una partición de Ei. Luego:
Xj
j�(Aj)j =Xj
�����Xi
�(Aj \ Ei)����� �X
j
Xi
j�(Aj \ Ei)j
�Xi
Xj
j�(Aj \ Ei)j �Xi
j�j (Ei).
Por lo tantoj�j (E) �
Xi
j�j (Ei). (3.9)
De 3.8 y 3.9 se deduce que j�j es contablemente aditiva.
Para medidas complejas se puede demostrar que j�j es una medida real acotada,esto es j�j () < 1. Nosotros no demostraremos esta a�rmación. El lector interesadopuede consultar �Real and Complex Analysis�de W. Rudin.
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