Adaptív jelfeldolgozásAdaptív jelfeldolgozásRádiócsatorna kiegyenlítéseRádiócsatorna kiegyenlítése

Nemes Csaba és Balogh ÁdámNemes Csaba és Balogh Ádám

2005.2005.

Pázmány Péter Katolikus EgyetemPázmány Péter Katolikus EgyetemInformációs Technológia KarInformációs Technológia Kar

SzűrőkSzűrők

• Klasszikus

• Optimális Wiener és Kolmogorov (~1940)

DE szűrni kívánt jel statisztikai értékei a szűrő tervezésekor általában még nem ismerjük!

Adaptív szűrők

Adaptív szűrőkAdaptív szűrők

• Adaptációs algoritmus– Stacionárius esetben konvergáljon a

Wiener-szűrőhöz

• Adaptív szűrés folyamatai1. szűrési folyamat

2. adaptációs folyamat

Gyakorlati megvalósításGyakorlati megvalósítás

• FIR architektúra– egyszerű algoritmus– egy komplexitási minimum– kritériummentes a stabilitás

• IIR architektúra– Stabilitás nem garantált– Bonyolódik az optimalizálás

• Nemlineáris architektúrák– Volterra szűrő– Neurális háló típusú szűrők

Gyakorlati alkalmazásokGyakorlati alkalmazások

• Rendszer azonosítása

• Visszhang eliminálás

• Inverz modellezés

• Lineáris predikció

• Interferencia és zaj eliminálás

A feladatA feladat

• Rádiócsatorna adaptív kiegyenlítése

Csatorna impulzusválasza: h(n)=[1 0.5 0.2 0.1 0 0 0.05]Csatorna impulzusválasza: h(n)=[1 0.5 0.2 0.1 0 0 0.05]

ISI (ISI (Inter Siymbol InterferenceInter Siymbol Interference) + gaussi eloszlású zaj) + gaussi eloszlású zaj

A zavarokA zavarok

• Jelek közti áthallásnak (ISI – Inter Symbol Interference

• Gaussi/normál eloszlású zajGaussi/normál eloszlású zaj

A kiegyenlítésA kiegyenlítés• Optimális detektorral

– ez nem egy szűrő, hanem a Bayes-i döntést (egy kvadratikus alak minimalizációja) végrehajtó algoritmus, pl.: Viterbi detektor, Hopfield Neurális hálózat

• Adaptív kiegyenlítő + küszöbdetektor– FIR szűrőn realizálható kiegyenlítő– sgn(n) függvény

Tradicionális adaptációs Tradicionális adaptációs stratégiákstratégiák

• ZF (Zero Force)

• MMSE (Minimal Mean Square Error)

• (A Viterbi algoritmus itt is alkalmazható)

Mi csak a ZF és a MMSE stratégiát fogjuk vizsgálni.

A probléma matematikai leírása I. A probléma matematikai leírása I.

• : a küldött üzenet

• : a csatorna impulzusválasza

• : fehér zaj, normál/gaussi eloszlással, azaz ~N(0, ) , mivel korrelálatlan:

• : a megfigyelt jel – ISI + zaj

ny

nh

n

0Nn

0),( Nijnn ji

nx

nk

knknnk

knkn yhyhyhx

10

A probléma matematikai leírása II.A probléma matematikai leírása II.

• szűrő együtthatói: • kiegyenlített jel:

• helyettesítések: , színes zaj

,....),( 10

j kjn

jjjknkj

j kjnjknkj

jjnjn

yh

yh

xy

)(

:~

jlk : jnj

jn

:

l j

nlnjlj yh

A probléma matematikai leírása III.A probléma matematikai leírása III.

• helyettesítő együtthatók:

• összegezve:

• : döntött jel

ahol

l j

nlnjlj yh

j

jljl hq :

nlnl

ln yqy

~

ny }~sgn{:ˆ nn yy

1

1{}sgn{

nha

ha

0

0

n

n

A Zero Force (A Zero Force (ZFZF) stratégia) stratégia

• Mivel

ezért kézenfekvő a következő megoldás

Ez a ZF startégia.

nnnnnlnl

ln yqyqyqyqy

...~22110

0

1{iq ha

ha

0

0

i

i

ProblémaProbléma

• Csúcstorzítás (PD – Peak Distortion) jelensége:

0

:)(l

lqPD

Probléma folyt.Probléma folyt.

• Ha nincsen ISI, akkor az észlelt jel: ekkor a hiba valószínűsége:

Tfh. Bernoulli-féle valváltozó:

nnn yx

)1()1|1ˆ()1()1|1ˆ( nnnnnnerror yPyyPyPyyPP

ny

2

1)1( nyP2

1)1( nyP

2

1)1|1ˆ(

2

1)1|1ˆ( nnnnerror yyPyyPP

Probléma folyt.Probléma folyt.

• Ha van ISI, akkor fellép a csúcstorzítás problémája is

Kauzális esetben:

Keressük a megoldást

-re

Így az optimalizálandó célfüggvényünk:

...:)( 210

qqqPDl

l

)(min PD

)(PD

A Zero Force (A Zero Force (ZFZF) stratégia folyt.) stratégia folyt.

A szűrő és a csatorna impulzusválasza véges tartóval vesszük, vagyis:

és

Mivel ezért

A ZF stratégiát alkalmazva:

0j 0mhJj ,...,1,0 Mm ,...,1,0

j

jljl hq : 0lq JMl ,...,1,0

100 hqo 011001 hhq

0...1100 JJJ hhhq

ZFZF stratégia - hátrányok stratégia - hátrányok

• A kiegyenlítés sajnos tökéletesen nem sikerülhet,

mert -k csak , de

• másik jelentős hátránya: zaj feltranszformálásahiszen (további magyarázat még következik!)

j Jj ,...,1,0 lq JMl ,...,1,0

J

jjnjn

0

:

A Zero Force (A Zero Force (ZFZF) stratégia folyt.) stratégia folyt.

A szűrő és a csatorna impulzusválasza véges tartóval vesszük, vagyis:

és

Mivel ezért

A ZF stratégiát alkalmazva:

0j 0mhJj ,...,1,0 Mm ,...,1,0

j

jljl hq : 0lq JMl ,...,1,0

100 hqo 011001 hhq

0...1100 JJJ hhhq

ZFZF stratégia - frekvenciatartomány stratégia - frekvenciatartomány

Mivel frekvenciatartományban a konvolúció szorzássá alakul

))()(()()()()(~

0NYHWXWY

0)()()()()(~

NWYHWY Figyelembe véve a ZF stratégiát:

azaz a frekvenciatartományban:

0lj

jljh

1)()( HW

ZFZF stratégia – frekvenciatartomány folyt. stratégia – frekvenciatartomány folyt.

Visszahelyettesítve:

1)()( HW)(

1)(

HW

0)(

1)()(

)(

1)(

~N

HYH

HY

0)(

1)()(

~N

HYY

ZFZF stratégia – frekvenciatartomány folyt. stratégia – frekvenciatartomány folyt.

)(HZaj feltranszformálódásának az ok az, hogy a következőképp szokott kinézni:

Az inverze:

Különböző frekvenciákon erősen megnöveli a zaj hatását !

ZFZF stratégia – rekurzív algoritmus stratégia – rekurzív algoritmus

Először egy tanulóhalmaz segítségével hangolják a szűrőt.

A tanulóhalmaz:

ahol előre definiált értékek, és az ISI-vel és zajjal

torzított csatornaválasz -ra

},...,1),,{(:)( KkyxT kkk

kyky

kx

Rekurziós formula:

lk

J

jjkjkll yxykkk

}){()()1(

0

A Kushner-Clark tétel alapján stabil lesz az algoritmus, tehát kellően k nagy esetén:

Azaz

)()1( kk ll

0)(0

lk

J

jjkjlkk yxyyE