1

CALCULUL NUMERIC AL CALCULUL NUMERIC AL CÂMPULUI CÂMPULUI

ELECTROMAGNETICELECTROMAGNETIC

Calculul corect al câmpului electromagneticpresupune:• cunoaşterea unui model teoretic de câmp

adecvat• ecuaţiile aferente acestui model trebuie să

satisfacă:- teoremele de existenţă şi unicitate ale

soluţiilor- distribuţia spatio-temporară a surselor

existente• trebuie luate în considerare neliniarităţile

materialelor magnetice şi a pierderilor

În urma analizei se obţin:• mărimile de stare macroscopică

- intensitatea câmpului magnetic- inducţia magnetică

LEGILE GENERALE ALE LEGILE GENERALE ALE CÂMPULUI CÂMPULUI

ELECTROMAGNETICELECTROMAGNETIC

Câmpul electromagnetic în orice regim şiorice sistem fizic concret este descris delegile generale.

Lângă acestea se ataşează:• legile de material • condiţiile de unicitate

• de material• iniţiale• la limită• de surse

Studiul general şi sistematic al câmpuluielectromagnetic din structura maşinilorelectrice se poate face cu ajutorul formelor locale ale ecuaţiilor lui Maxwell, care se compun din:

• ecuaţii de evoluţie• de stare• de material

2

tB E rot∂∂

−=

tD + J = H rot∂∂

= D div Vρ

0 = B div

E = J σ

E = D ε

H = B µ

H – intensitatea câmpuluimagnetic

J – densitatea curentuluielectric

D – inducţia electricăE – intensitatea câmpului

electricB – inducţia magneticăε – permitivitatea mediuluiµ – permeabilitatea

mediuluiσ – conductibilitatea

electricăρV – densitatea de volum a

sarcinii

Pentru câmpurile magnetice create de curenţielectrici constanţi (când derivatele după timpsunt nule):

J = H rot0 = B div

H = B µ

la care se ataşează valorile surselor, precum şicondiţiile la limită.

• În calculele practice însă utilizarea acestorformule scrise sub formă locală esteanevoioasă.

• Se poate demonstra că şi în cazurile cele maigenerale un câmp magnetic poate fi completdeterminat cu trei, eventual cu mai puţinefuncţii scalare.

• Din relaţiile J = H rot şi 0 = B div se poateobserva că rotorul intensităţii câmpuluimagnetic nu este zero, deci intensitateacâmpului magnetic nu poate proveni dintr-unpotenţial scalar.

• Divergenţa inducţiei fiind zero, înseamnă căaceasta ar putea proveni dintr-un potenţialvector, care satisface ecuaţia:

A rot = Bîntrucât se verifică automat:

0 = )A (rot div = B div

unde A se numeşte potenţial magnetic vector al câmpului magnetic. El nu are o semnificaţiefizică imediată, ci se utilizează pentru calcululfluxului magnetic şi pentru calcululinductivităţilor.Din J = H rot , H = B µ şi A rot = B rezultă:

J = A rot rot µcare poate fi transformată în:

J = A - A div grad µ∆

Se impune condiţia ca:

0 = A divceea ce înseamnă că potenţialul magneticvector nu are surse.

În final se găseşte relaţia:J - =A µ∆

numită ecuaţia vectorială a lui Poisson pentru câmpul magnetic.

3

METODE DE CALCUL DE CÂMPMETODE DE CALCUL DE CÂMP

Clasificarea metodelor de rezolvare aproblemelor de câmp:

• analitice• numerice • grafice• grafo-analitice• analogice

Metodele numerice se aplică pentru orice configuraţie de câmp cu o eroare caredepinde de metoda de calcul aplicată şi decapacitatea calculatorului utilizat.

CALCULUL CÂMPULUI CALCULUL CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC AL ELECTROMAGNETIC AL MAŞINILOR ELECTICEMAŞINILOR ELECTICE

Se adoptă ipotezele simplificatoare: • maşina electrică se consideră infinit lungă

pe direcţia perpendiculară pe secţiuneaanalizată

• materialele magnetice folosite suntomogene şi izotrope, efectele histerezei nusunt considerate

• inducţia magnetică în exteriorul conturuluimaşinii este zero

• calculul se face pe o secţiune plan-paralelă• intensitatea câmpului magnetic şi inducţia

magnetică nu au componente z• potenţialul magnetic vector şi densitatea

curentului electric au numai componente z

METODA ELEMENTELOR METODA ELEMENTELOR FINITEFINITE

Pe baza principiului variaţional problema de câmp descrisă de ecuaţia lui Poisson poate firezolvată conform metodei Rayleigh-Ritz prin minimizarea unei funcţionale pe domeniulconsiderat din structura maşinii.

• Funcţionala este o valoare, care depinde de o funcţie.

• Are proprietatea ca acele valori ale funcţieipentru care ea are un extrem sunt tocmaisoluţiile ecuaţiei Poisson satisfăcând şicondiţiile de frontieră impuse.

4

În problema de câmp plan-paralel studiată,necunoscuta este funcţia potenţial magneticvector A(x,y), la care se ataşează funcţionala energie magnetică:

∫∫

⋅−

∂

∂+

∂∂

==D

yxAyxJy

yxAx

yxAνmWF ),(),(),(),(21 22

unde s-a notat reluctivitatea magnetică a mediului cu:

µν 1=

Condiţia de minim pentru această funcţionalăeste dată de:

N=i = AF

i÷

∂∂ 1,0

N fiind numărul nodurilor din domeniulconsiderat.

Pentru rezolvarea numerică a modeluluimatematic variaţional al câmpuluielectromagnetic este cea mai indicatăfolosirea metodei elementelor finite.

Principiul metodei constă în discretizarea domeniului de câmp electromagnetic în subdomenii disjuncte (de dimensiuni finite),numite elemente finite.

În cazul domeniilor bidimensionale sefolosesc elemente triunghiulare

Metoda se compune din trei etape principale:• pre-processing• processing• post-processing

Etapa 1. (pre-processing)

• Partiţionarea adecvată a domeniului decâmp în elemente finite, interconectateexclusiv în nodurile reţelei de discretizare.

• Dimensiunile geometrice ale triunghiurilorse aleg mai reduse în zonele de câmpunde sunt necesare informaţii mai bogatesau în care se prevede un gradient maiaccentuat al funcţiei potenţial

• Interfeţele subdomeniilor de câmp demedii diferite sunt delimitate astfel încâtele să coincidă cu laturile triunghiurilor dediscretizare

• Specificarea:• proprietăţilor de material• a funcţiilor de sursă• a condiţiilor la limită şi a celor iniţiale• condiţiile de interfaţă dintre mediile

neomogene• condiţiile de frontieră (de tip Dirichlet şi

Neumann).

5

De exemplu:• Pe frontiera întregului domeniu al maşinii

se consideră o condiţie de tip Dirichlet(sau de speţa întâi) omogenă, adică seimpune ca valoarea potenţialului magneticîn nodurile de pe frontieră să fie zero.

• Corespunzător bobinei de comandăalimentată, se impun condiţiile de sursă.

Etapa 2. (processing)

Problema de câmp este studiată la nivelulfiecărui element, adoptând polinomul deinterpolare a funcţiei de potenţial elementar.

Se consideră un element triunghiular e avândnodurile ),( ii yxi , ),( jj yxj şi ),( kk yxk .

Potenţialul magnetic poate fi exprimat printr-ofuncţie liniară de forma:

c by ax yxA ++=),(Potenţialele magnetice din vârfuriletriunghiului formează următorul sistem deecuaţii:

++=

++=

++=

cby ax A

cby ax A

cby ax A

kkk

jjj

iii

de unde rezultă expresiile pentru coeficienţii a, bşi c:

[ ][ ][ ])()()(

21

)()()(21

)()()(21

ijjikkiikjjkkji

kjkjijiki

jikikjkji

yxyxAyxyxAyxyxA c

yyAyyAyyA b

yyAyyAyyA a

−+−+−∆

=

−+−+−∆

=

−+−+−∆

=

în care suprafaţa elementului considerat este:

kk

jj

ii

yxyxyx

111

21

=∆

Înlocuind coeficienţii în relaţia c by ax yxA ++=),(se obţine:

kkjjii ANANANyxA ++=),(în care funcţiile de ponderaţie conţin numai coordonatele nodurilor sunt:

[ ]

[ ]

[ ])()()(21

)()()(21

)()()(21

ijjiijjik

kiikkiikj

jkkjjkkji

yxyxyxxxyyN

yxyxyxxxyyN

yxyxyxxxyyN

−+−+−∆

=

−+−+−∆

=

−+−+−∆

=

6

Având funcţia necunoscută A(x,y) exprimatăcu funcţiile de ponderaţie, funcţionalaexprimată pentru elementul e, va fi adusă laforma:

( )}dxdyANANANJ

Ay

NA

yN

Ay

N

Ax

NA

xN

Ax

NWF

kkjjiie

kk

jj

ii

ek

kj

ji

iem

e

++−

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+

+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

== ∫∫

2

2

21ν

Condiţia de minimizare a funcţionalei pentrumulţimea tuturor elementelor (L) care conţinnodul i va fi:

0=∂∂∑

∈

AF

i

e

Le

În final rezultă:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]∫∫

∫∫−+−+−

∆−

−⋅

∆

−−+−+−+

+∆

−−+−+−=

∂∂

ejkkjjkkj

ee

jkkijjkiijk

kjkjijikikj

i

e

dydxyxyxyxxxyyJ

dydxxx

AxxAxxAxx

yyAyyAyyAyy

AF

21

4

4

2

2

ν

Determinarea reluctivităţilor magneticepresupune cunoaşterea valorilor inducţieimagnetice pe elementul considerat. Pentrucalcularea lor se folosesc relaţiile:

B+ B = B 2y

2x

e

Componentele inducţiei magnetice suntexprimate cu ajutorul expresiilor:

[ ][ ]kjijikikjy

kijjkiijkx

AyyAyyAyyB

AxxAxxAxxB

)()()(21

)()()(21

−+−+−∆

=

−+−+−∆

=

Prin calcule simple se poate ajunge laexpresia derivatei funcţionalei:

3∆

−++=∂∂ J AMAMAM

AF e

kkjjiii

e

unde coeficienţii sunt exprimaţi folosindurmătoarele relaţii:

[ ][ ]

[ ] xxxxyyyyM

xxxxyyyyM

xxyyM

jkijkjjie

k

jkkikjike

j

jkkje

i

))(())((4

))(())((4

)()(4

22

−−+−−∆

=

−−+−−∆

=

−+−∆

=

ν

ν

ν

În final se asamblează din elementeledomeniului iniţial funcţionala, scriind pentrutoate elementele considerate din domeniuecuaţia

3∆

−++=∂∂ J AMAMAM

AF e

kkjjiii

e

Se obţine un sistem de ecuaţii liniare de forma:

0][]][[][

=+=∂∂ TL AM

AF

• M este matricea globală a coeficienţilor• A vectorul valorilor potenţialului magnetic în

nodurile considerate• TL matricea termenilor liberi.

7

Rezolvând acest sistem de ecuaţii ca soluţiese obţine valoarea aproximată a funcţiei depotenţial magnetic în nodurile reţelei dediscretizare.

Această etapă este cea mai anevoioasă catimp de calculator şi spaţiu de memorie,determinând performanţele întreguluiprogram de simulare şi pretinzând mijloacede calcul puternice.

Pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii s-afolosit metoda Newton-Raphson.

Etapa 3. (post-processing)

Se pot trasa liniile de câmp, adică liniile depotenţial magnetic vector şi se pot calcula oserie de caracteristici ale motorului studiat(inducţii energii, forţe, etc.).

Pentru calculul forţelor electrodinamice se poate aplica metoda bazată pe tensorul tensiunii maxwelliene. În cazul bidimensional matriceacorespunzătoare tensiunii maxwelliene este:

2B-B

BB

BB2BB

= T 2x

2y

yx

yx

2y

2x −

0

1µ

Se poate observa faptul, că în această relaţieapar numai componentele inducţiei magneticedupă cele două axe de coordonate, mărimicare sunt determinate în cursul calculului decâmp.

Luând în considerare faptul că forţele aferenteunui volum dat sunt transmise prinsuprafeţele externe ale volumului, găsimpentru forţa tangenţială, respectiv pentru ceanormală relaţiile:

[ ]

[ ]µ

µ

o

xyxy2x

2y

y

o

yyxx2y

2x

x

2SBB2 + S )B-B(

= F

2SBB2 + S )B-B(

= F

unde Sx şi Sy sunt suprafeţele care mărginescvolumul considerat.

AVANTAJE:• Metoda elementelor finite se poate aplica

pentru orice configuraţie de câmp• Are o eroare care depinde numai de

fineţea partiţiei domeniului considerat şide posibilităţile calculatorului utilizat.

Actualmente este algoritmul cel mai desutilizat în analiza câmpului electromagnetic.Pe plan mondial există sute de programebazate pe această metodă

DEZAVANTAJE:Pentru obţinerea unei precizii mari trebuie săse manipuleze un număr mare de date printr-ometodă iterativă de durată lungă. Astfel poatesă apară limitările de hardware alecalculatoarelor disponibile, în ceea ce priveştememoria alocabilă şi timpul de calcul.

8

EXEMPLE DE CALCUL EXEMPLE DE CALCUL DE CÂMPDE CÂMP

Exemplu 1:Utilizarea programului Quick Field

FAZA DE PRE-PROCESSING

Specificarea problemei de calcul de câmp

Secţiunea transversală a maşinii electricestudiate

Specificarea materialelor

Înfăşurare Miez feromagnetic Aer

Specificarea materialelor

Curba de magnetizare a materialului miezului feromagnetic

9

Discretizarea domeniului FAZA DE PROCESSING

Efectuarea calculelor

FAZA DE POST-ROCESSING

Prelucrarea şi vizualizarea rezultatelor

Vizualizarea liniilor de câmp

Vizualizarea câmpului cu săgeţi (vectori orientaţi) Harta de culori a inducţiei magnetice

10

Harta de culori a potenţialului magnetic vector Reprezentarea unei mărimi de-a lungul unei linii

Definirea liniei Reprezentarea obţinută

Exemplu 2:Calcul de câmp magnetic în structura unui motorde tip SRM utilizând pachetul MagNet deInfolytica Inc.

Fereastra de lucru a programului

FAZA DE PRE-PROCESSING

Specificarea problemei de calcul de câmp

Secţiunea transversală a maşinii electricestudiate

11

Specificarea materialelor Definirea straturilor şi nodurilor pe acestea înîntrefier

Discretizarea domeniuluiFAZA DE PROCESSING

Efectuarea calculelor

FAZA DE POST-ROCESSING

Prelucrarea şi vizualizarea rezultatelor

Vizualizarea liniilor de câmp

12

Vizualizarea liniilor de câmpla diferite deplasări unghiulare ale rotorului

x=0,01 mm x=0,1 mm x=0,2 mm x=0,27 mm

Vizualizarea câmpului cu săgeţi (vectori orientaţi)

Harta de culori a inducţiei magnetice Reprezentare combinată

Animaţie realizată cu liniile de flux obţinute

VVVăăă mmmuuulllţţţuuummmeeessscccpppeeennntttrrruuu aaattteeennnţţţiiiaaa

aaacccooorrrdddaaatttăăă!!!