Fundamentele geometriei analiticeRENÉ DESCARTES, PIERRE DE FERMAT

Geometria AnaliticăFondatorii.

Geometria analitică a fost creată în același timp, de către René Descartes si Pierre Fermat.

René Descartes Pierre Fermat

René Descartes René Descartes (31 martie 1596 – 11 februarie 1650), cunoscut de asemenea cu numele latin Cartesius, a fost un filozof și matematician francez. S-a născut în localitatea La Haye en Touraine în 1596, fiind al treilea copil al cuplului Joachim și Jeanne Descartes, o familie de mici nobili din regiunea Touraine, Franța. La numai un an de la nașterea lui René, mama sa se stinge din viață ; Descartes va fi crescut de o doică și se pare că a fost contaminat de boala de plămâni care a cauzat moartea acestuia.

În timpul campaniilor sale, și-a concretizat ideile de bază pe care s-au bazat marile sale descoperiri. A fondat liniile mari ale științei noi sub forma matematicii universale, a reformat algebra, a fondat o nouă geometrie, numită "geometrie analitică".

În 1630 începe descrierea meteoriților după obervațiile făcute la Roma cu un an înainte.

A descoperit ovalele care îi poartă numele (ovalele lui Descartes).

Descartes este primul matematician care a introdus utilizarea calculului algebric pentru studiul proprietăților geometrice ale figurilor, ceea ce a condus la apariția geometriei analitice. A găsit aplicația numerelor complexe în geometria analitică.

A introdus utilizarea numerelor negative. În ceea ce privește teoria numerelor, a studiat numerele perfecte și a descoperit anumite proprietăți ale acestora. De asemenea, a elaborat metoda de determinare a rădăcinilor întregi ale unei ecuații, prin descompunerea în factori a termenului liber.

O altă descoperire importantă a lui Descartes o constituie regula semnelor la ecuațiile algebrice.

În 1638 a dedus cuadratura cicloidei și a studiat reprezentarea funcției x^3 +y^3 = axy, numită foliul lui Descartes.

René Descartes

Pierre Fermat Pierre de Fermat (n. 17 august 1601, Beaumont-de-Lomagne aproape de Montauban, Franța – d. 12 ianuarie 1665, Castres, Franța) a fost un avocat, funcționar public și matematician francez, cunoscut pentru contribuțiile sale vaste în diferite domenii ale matematicii, precursor al calculului diferențial, geometriei analitice și calculului probabilităților. Lui Fermat îi este atribuit într-o măsură mai mică calculul modern, în special, pentru contribuția sa referitoare la tangente și punctele staționare. Fermat este considerat de unii autori "părinte" al calculului diferențial și al teoriei numerelor

Pierre Fermat Ca matematician, Fermat a fost un autodidact, dar și un matematician diletant. Cu toatea acestea, a adus contribuții deosebite în domeniul teoriei numerelor, geometriei analitice (alături de René Descartes) și a fost creator al calculului probabilităților (alături de Blaise Pascal).

A aplicat calculul diferențial pentru aflarea tangentei la o curbă.

În 1639 a stabilit o metodă generală pentru rezolvarea problemelor de maxim și de minim, metodă care ulterior a devenit celebră.

A descoperit derivata funcției putere.

A rezolvat cuadratura parabolei și a hiperbolei. A calculat aria foliului lui Descartes și a buclei lui Agnesi.

A stabilit că subtangenta la cisoidă este proporțională între cele trei segmente cunoscute și pe baza acesteia a executat construcția tangentei la cisoidă.

A descoperit și a studiat spirala care îi poartă numele (spirala lui Fermat).

Fundamentele geometriei analitice

Se știa încă din Antichitate că fiind data o curba, între coordonatele punctelor ei exista o anume relație, din care apoi, pe cale geometrică, erau deduse altele.

Descartes a inventat rolurile dintre geometrie și algebra, punand pe primul plan, algebra; el a arătat că invers, oricărei relații între coordonatele x, y, f(x, y)=0, îi corespunde o curba.

Începând cu Geometria sa, din 1637, calculul literal a luat forma moderna pe care o are și astăzi.

Fundamentele geometriei analitice

La Francois Viete, calculul literal avea tot o baza geometrică; pentru el, formulele (a+b)²=a²+2ab+b², (a-b) ²=a²-2ab+b² sunt diferite, deoarece a și b sunt măsuri ale segmentelor deci egalitățile exprimă strict relații dintre arii. Începând cu Descartes literele nu mai reprezintă lungimi de segmente, ci numerele iraționale. Ideea era trasata de Diofant, dar s-a impus in matematici.

Descartes pleacă in cartea sa, de la problema lui Papus:

Fie date patru drepte in plan si se cere sa se găsească mulțimea punctelor M astfel ca intre distantele lor di la dreptele dt (i=1, 2, 3, 4), să avem relația d1d2=kd3d4.

Descartes notează cu x, y coordonatele punctului M și exprima prin considerații sintetice distanțele, observând că toate sunt lineare în x, y. Deci dimensiunea produsului este dată de numărul dreptelor care intervin.

Dupa terminologia timpului, numele de problema plana fiind atribuit acelora a căror construcție era realizabila cu rigla si compasul, adică necesitau numai drepte si cercuri.

Descartes recomanda studierea si a problemelor care nu sunt plane; ca aplicație da o generare mecanica simpla a curbelor de ecuație polara

r=a sec²q, r=a sec⁴q, ...

care generalizează campila lui Eudoxiu si exprima ideea fundamentala ca pentru orice curba avem o relație intre coordonate, aceeași pentru toate punctele ei iar gradul relației este independent de alegerea axelor.

Descartes da o metoda generala de ducerea normalei într-un punct la o curba si introduce ovalele.

In restul lucrării da indicații generale privind rădăcinile reale ale unei ecuații algebrice.

Descartes n-a rezolvat nici una din problemele elementare de geometrie analitica; el n-a dat nici măcar formula distantei dintre doua puncte, nici măcar ecuația dreptei. A trasat doar liniile generale.

Lucrarea lui Descartes era greu de citit de către contemporani.

Deosebit de interesanta este introducerea cărtii sale, acel Discurs asupra metodei, in care Descartes, dând criteriile ale timpului sau

Fundamentele geometriei analitice

Și lucrarea lui Fermat a fost publicata postum, in 1679; dar prin scrisori, ea era cunoscuta in 1637, anul apariției Geometriei lui Descartes.

Si Fermat a enunțat ca orice ecuație f(x, y)=0 reprezintă o curba. Din punctul de vedere metodic, el a mers mai departe decât Descartes. Fermat a arătat ca o ecuație de gradul întâi reprezintă o dreapta, că xy=const. este ecuația unei hiperbole echilaterale, căx²=ay este ecuația unei parabole; de asemenea a dat ecuația cercului, a elipsei.

Pentru Fermat, orice relație algebrica este simbolul unei operatii geometrice; el a creat geometria analitica, utilizand metode geometrice în sensul lui Apoloniu.

Si Descartes si Fermat considerau o singura axa si ambele coordonate pozitive.

Continuatori… Primii continuatori. Frans van Schooten, traducând Geometria lui Descartes in limba latina, a însoțit-o de numeroase comentarii in care a lămurit punctele obscure. El a dat, in 1656, formulele de translație si de rotație plana

x'=(ax-by+p)/(√a²+b²), y'=(bx+ay+q)/(√a²+b²).

John Wallisa dat, in 1655, ecuația generala a conicelor

y²=2px+qx²

raportate la o axa si tangenta in vîrf si le-a studiat pe baza acestei ecuații.

Wallis a introdus si coordonatele negative.

Rene Sluse a dat pentru prima oara, in 1659, reprezentarea grafica a unei functii date.

Philippe de La Hire a scris mai multe cărți despre conice. El le-a introdus necorespunzător, dar comod pentru expunere, cu ajutorul focarelor așa cum au ramas in cărțile elementare actuale. Lahire a tratat analitic si teoria polarelor. El a arătat, in 1685, ca doi diametri conjugati ai unei conice sunt conjugati in raport cu asimptotele. A introdus cercul ortoptic al unei conice, adică a arătat că mulțimea punctelor din care este un cerc concentric

Frans van Schooten (1615-1660).

Lahire a menționat, in 1685, proprietatea comoda pentru desenarea unei elipse. A considerat doua cercuri concentrice de raze perpendiculare OA=a, OB=b (fig. 1). O secanta mobila dusa prin O taie cercurile in P si Q. Paralela din P la OB si din Q la OA se taie in punctul M, care descrie elipsa de semiaxe a, b.

O alta teorema importanta relativ la conice, data de Lahire in 1685, este următoarea:Dreapta unește focarul unei conice cu un punct P exterior este bisectoarea unghiului format unind focarul cu punctele ale tangentelor duse din P adică (fig. 2)

<PFT1= <PFT2.

Daca T1 T2 taie directoarea corespunzătoare focarului F in punctul Q atunci FQ este bisectoare exterioara a unghiului T1 FT2 [41].

De asemenea, ca o aplicație a proprietății precedente, daca o coarda a unei conice trece prin focar, perpendiculara pe ea in focar trece prin polul coardei (fig. 3)

Lahire a introdus denumirea de origine si a inițiat, in 1679, si geometria analitica a spațiului. El a reprezentat punctele spațiului prin trei coordonate si a dat prima oara, in același an, ecuația unei suprafețe, anume a paraboloidului de rotație

Continuatori… Gottfried Leibniz a introdus denumirea de abscisa, ordonata si coordonate.

Francois I'Hospital a rezolvat analitic mai multe probleme de locuri geometrice, care duc la curbe de gradul al doilea.

Dar, in general, continuatorii nu au fost preocupați să refaca analitic, rezultatele cunoscute pe cale sintetică.

Ei au folosit geometria analitica, combinată cu calculul diferențial și integral, pentru rezolvarea problemelor noi.

Gottfried Leibniz

Francois l’Hospital

Curbe speciale: Foliul lui Descartes

René Descartes însuși, ca exemplu de a obține proprietățile unei curbe, plecând de la ecuație, a introdus, in 1638, foliul, prin ecuația lui x³+y³=3axy, reținând numai bucla din primul cadran; el a scos in evidenta simetria curbei fata de prima bisectoare, punctul dublu in origine, având ca tangente in acest punct, axele

Curbe speciale: Spirala logaritmica

Descartes a introdus curba prin proprietatea ei de a avea arcul s proportional cu raza vector

Spirala logaritmica are ecuația polara

Curbe speciale: Cicloida De asemenea, Descartes a determinat, in 1638, normala la cicloida

Cicloida este descrisa de un punct dat M, al unui cerc mobil c, care se rostogoleste pe o dreapta a.

Curba are ecuațiile x=a(q-sinq), y=a(1-cosq).

Curbe speciale: Fereastra lui Viviani

Vincenzio Viviani a considerat curba de intersecție a unei sfere si a unui cilindru in poziția particulara in care cilindrul trece prin centru sferei si ii este tangent într-un punct A. El a calculat pe cale sintetica, in 1692, ariile determinate in cilindrul si sfera de curba de intersecție (fig. 14); a arata ca ari determinata in cilindru este 4a si aria semisferei exterioara curbei de intersecție este tot 4a. Problema cu soluția data prin calculul integral, foarte simpla, a pledat hotărât in favoarea metodelor noi.

Curba de intersectie, numita fereastra lui Viviani, de fapt caz particular al ipopede lui Eudoxiu, se compune din ramura CQA si dintr-o ramura simetrica, de cealalta parte a planului zOy precum si din simetricele acestora fata de planul xOy.