Aei parte-1-_matematica_financeira

Análise Econômica de Investimentos

Prof. Vallim

Agenda

Objetivo do cursoObjetivo do curso

Conteúdo ProgramáticoConteúdo Programático

BibliografiaBibliografia

Critérios de NotasCritérios de Notas

Objetivo do curso

Capacitar os alunos a elaborar estudos de viabilidade econômica

de projetos de investimentos

Objetivo do curso

A Análise Econômica de Investimentos é uma técnica que possibilita quantificar monetariamente e avaliar economicamente alternativas de investimento;

Permite ao gestor a posse de um conjunto de elementos para a correta tomada de decisão

Objetivo do curso

Exemplos de tomada de decisão :

Investimentos (onde aplicar?). Produção (substituição/reforma de

equipamentos; expansão de capacidade);

Lançamento de produtos; Aquisições/fusões. Terceirização. Plano de negócios

Objetivo do curso Capitalde Terceiros

CapitalPróprio

Capital de Giro

AtivoFixo

Seleçãode

Investimentosonde

Retorno sejamaior

que a Taxa Mínima de

Atratividade

Lucro Operacional

Custo deCapital

Riqueza

Valor de Mercado da

Empresa sobe

Fontes de Financiamento

Custo doCapital =

Taxa Mínima deAtratividade

(TMA)

Conteúdo Programático

Parte 1- Matemática financeira: - Juros simples - Juros compostos - Séries uniformes de pagamentos. Parte 2- Análise Econômica de investimentos. - Inflação e correção monetária - métodos de análise de investimentos (Pay-back; VPL, TIR, VAU). - Análise de projetos

Bibliografia

Newnan, D. G. ; Lavelle, J. P. Fundamentos de Engenharia Econômica. LTC editora, Rio de Janeiro, 2000

MOTTA, Regis da Rocha; CALÔBA, Guilherme. Análise de Investimentos: tomada de decisões de projetos industriais. São Paulo : Atlas, 2002.

Pilão N. E. ; Hummel P. R. V. Matemática Financeira e Engenharia Econômica - Ed.Pioneira -Thomson, 2006

Puccini, A .L.Matemática Financeira, objetiva e aplicada. Saraiva, S.Paulo, 2002

Média = ( P1 x 0,30 ) + ( P2 x 0,70)

Critério de Notas

Média = ( P1 x 0,30 ) + ( P3 x 0,70)

Média = ( P2 x 0,50 ) + ( P3 x 0,50)


Matemática Financeira: Capitalização Simples


Conceitos básicos Juros simples Taxa proporcional Exercícios resolvidos

Conceitos básicos

Princípio fundamental

O valor do dinheiro no tempo.

Por que ?

Custo de oportunidade

Aluguel do capital Juros – remuneração do capital por período de tempo

Conceitos básicos

Observação :

O juro deve estar sempre associado ao período de tempo.

a.a. = ao ano;

a.m.= ao mês;

Exemplo :

10% a.a. = 10% ao ano;

1,5% a.m. = 1,5% ao mês.

Valor Presente (P) Juros (J) Taxa de Juros (i) Prazo (n) Valor Futuro (F)

Conceitos básicos

• Diagrama de Fluxos de Caixa:

Maneira esquemática de representar operações financeiras ao longo do tempo,demonstrando todas as “entradas” (receitas) e “saídas” (despesas) de recursos.Por convenção, as “entradas” são representadas como setas para cima, sendo oinverso para as “saídas”.

Linha do tempo

“Saída de Caixa”

“Entrada de Caixa”

0 n

Conceitos básicos

No regime de capitalização simples ou linear, a taxa de juros (i) incide apenas

sobre o capital inicial (P).

Valor Futuro

Tempo

P

Juros Simples

n P J (i = 10%)

1 R$100,00 R$10,00

2 R$100,00 R$10,00

3 R$100,00 R$10,00

Total dos juros auferidos em 03 períodos = 30

Exemplo: Consideremos a aplicação de R$100,00, por três anos, à taxa anual de 10%.

Juros Simples

J = 100 x 0,10 x 3

J = $ 30

$ 100

J = P x i x n

0

P

F

J = P x i x n

n= 3

i= 10% a .a

Juros Simples

PFJJPF

Ig u a la n d o a s e q u a ç õ e s , t e r e m o s q u e :

niPPFniPPF

F in a lm e n te

niPF 1

J = P x i x n

Juros Simples

Exercício: Quanto ganhou de juros um aplicador que depositou $ 3.000,00 por um ano à taxa de juros simples de 25% a.a.?

Solução: P = 3.000, i = 25% a.a. e queremos saber J. Pela equação (2) temos que J = P x i x n, logo:

J = 3.000 x 0,25 x 1 = $ 750

Juros Simples

Exercício: Qual o valor de resgate (montante) de uma aplicação de $ 1.600 feita por um ano à taxa de juros simples de 15% a.a.?

Solução: P = 1.600, i = 50% a.a. e queremos saber F. J = P x i x n, logo:J = 1.600 x 0,15 x 1 = $ 240F = P + J, então:F = 1.600 + 240 = $ 1.840

Poderíamos resolver o problema, ainda, utilizando a equação : F = P x (1 + i). Desta forma, teríamos:F = 1.600 x (1 + 0,15) = $ 1.840

Juros Simples

Exercício: Quanto renderia um capital de $ 10.000 aplicado por dois meses à taxa simples de 18% a.a.?

Solução: P = 10.000, n = 2 meses, i = 18% a.a. e queremos saber J.

J = P x i x n = 10.000 x (0,18/12) x 2 = $ 300

Juros Simples


Matemática Financeira: Capitalização Composta

Conteúdo Programático Capitalização composta - Cálculo do Valor Futuro (F) - Cálculo do Valor Presente (P) - Cálculo da taxa (i) - Cálculo do prazo (n)

Tipos de Taxas de Juros - Taxa Nominal - Taxa Efetiva

A capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior

Capitalização Composta

Cálculo do Valor Futuro (F)

Exemplo: Qual seria o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês pelo período de três meses. Nesse caso, teríamos:

0 3

PV = $ 1.000,00

FV

1 2

i= 4%

Capitalização Composta Juros por período Montante

1.000,00 x 0,04= 40,00 1.040,00 1.040,00 x 0,04= 41,60 1.081,60 1.081,60 x 0,04= 43,26 1.124,86

P = 1.000,00 F1 = 1.000,00 + (0,04 x 1.000,00) = 1.000,00 (1+ 0,04)

F2 = F1 (1 + 0,04) F2 = 1.000,00 (1 + 0,04) (1 + 0,04)

F2 = 1.000,00 (1 + 0,04)2

F3 = F2 (1 + 0,04) F3 = 1.000,00 (1 + 0,04)2 (1 + 0,04)

F3 = 1.000,00 (1 + 0,04)3

86,124.104,0100,000.1 3 FF


F = P (1 + i)n

Cálculo do Valor Futuro (FV)

Generalizando, temos a seguinte fórmula :

Onde: F = Valor futuroP = Valor presente n = Número de períodos de capitalização i = Taxa de juros.

mês

Capital no começo de

cada período de

capitalização

Juros ao final de

cada período

Capital e juros ao final de

cada período

Capital no começo ao

final de cada

período

Juros ao final de

cada período

Capital e juros ao final de

cada período

Variação %

1 100,00 1,50 101,50 100,00 1,50 101,502 100,00 1,50 103,00 101,50 1,52 103,023 100,00 1,50 104,50 103,02 1,55 104,574 100,00 1,50 106,00 104,57 1,57 106,145 100,00 1,50 107,50 106,14 1,59 107,736 100,00 1,50 109,00 107,73 1,62 109,34 0,32%

12 100,00 1,50 118,00 117,79 1,77 119,56 1,32%

24 100,00 1,50 136,00 140,84 2,11 142,95 5,11%

60 100,00 1,50 190,00 240,71 3,61 244,32 28,59%

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA


Cálculo do Valor Presente (P)

Exemplo: Uma pessoa pretende resgatar daqui a 24 meses o valor de R$ 25.000,00 para comprar um carro. Sabendo-se que essa pessoa pode obter uma taxa de 1,0% ao mês no mercado financeiro, pergunta-se: qual o valor que ela deve aplicar hoje?

15,689.1901,0100,000.25 24 PP

Exemplo: Qual é a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica R$ 5.000,00 e resgata R$ 5.788,13 no final de 3 meses.

33 100,000.513,788.5100,000.513,788.5 ii

maouiii .%505,0105,1)1(78813,1 31

Cálculo da Taxa (i)

Exemplo: Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 110.624,65, sabendo-se que a taxa contratada é de 15% ao semestre.

nn 15,0100,000.5565,624.11015,0100,000.5565,624.110

semestresnnn 515,0log0114,2log15,10114,2

Cálculo do prazo (n)

Exercício-Uma casa está sendo oferecida por R$ 100.000,00 à vista ou R$ 30.000,00 de entrada e mais duas parcelas, sendo a primeira de R$ 50.000,00 no final de 6 meses e mais uma de R$ 28.000,00 após 12 meses da data da compra. Sabendo-se que no mercado financeiro a taxa de juros composta é de 1,53% ao mês, determinar o valor presente e a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprá-la.

Exercícios Resolvidos

10,646.450153,0100,000.50 6 PP

95,335.230153,0100,000.28 12 PP

Valor Presente da Primeira parcela

Valor Presente da Segunda parcela

Valor Presente Total

P = 30.000,00 + 45.646,10 + 23.335,95 = R$ 98.982,05

Para podermos comparar valores eles, necessariamente, devem estar em uma mesma data. Assim sendo, podemos concluir que a melhor opção para um interessado seria comprar parcelado.

Exercícios Resolvidos

Taxa Nominal Taxa Efetiva Taxa Equivalente

Tipos de Taxas de Juros

Definições :

Taxa de juros nominal : Em geral, é usada uma taxa proporcional (linear) da taxa nominal de juros, calculada de acordo com algum procedimento previamente estabelecido pelo mercado ou pelas partes que realizam a operação.

Taxa de juros efetiva : é taxa de juros recebida ou paga de fato (corresponde ao fator de variação obtido do diagrama de fluxo de caixa da operação).

Tipos de taxa de juros

Exemplo: Considerando uma aplicação que paga juros nominais de 6% ao ano; a taxa mensal proporcional será de 6%/12 = 0,5% a .m

Uma aplicação de R$1.000,00 ao final de um ano, considerando a capitalização mensal, renderá o montante de

68,061.1005,01000.1 12

Logo a taxa efetiva será de 0617,01000

00,000.168,061.1

Assim temos: 6% a.a. é a taxa nominal, 0,5% a.m. é a taxa proporcional e 6,17% é a taxa efetiva.

Tipos de taxa de juros

Taxa Equivalente

No regime de capitalização composta, duas taxas de juros são equivalentes quando, considerando o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, as duas taxa promovam rendimentos iguais.

Taxa Equivalente

11 TQ

TQ ii

11 12 ma ii

11 121 am ii

1212 1111 mama iiiPiP

nii )1()1( menor efetivamaior efetiva

ou

Taxa Equivalente

Exemplo: : Determine a taxa anual equivalente a 2% ao mês

Solução:

iq = 26,82% a.a.

2682,0102,01 12

11 TQ

TQ ii

Taxa Equivalente

Para comprovar que estas duas taxas são equivalentes, vamos calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.000,00 pelo prazo de 1 ano. Uma sendo aplicado à taxa de 2% ao mês, e uma outra de mesmo valor pelo mesmo prazo a uma taxa de 26,824% ao ano.

Taxa Equivalente

0 12

F = ?

1 2

i= 2% a m

P=1.000,00

...9

10

FV = 1.268,24

F = 1.000,00 (1 + 0,02)12

Taxa equivalente

01 ano

F = ?

i= 26,824% a a

P=1.000,00

FV = 1.268,24

F = 1.000,00 (1 + 0,26824)1

Taxa equivalente

Exemplo: : Determine a taxa mensal equivalente a 6% ao trimestre Solução:

iq = 1,96% a.m.

0196,0106,01 3/1

11 TQ

TQ ii

Taxa Equivalente

Exemplo : Calcule o valor de resgate de uma aplicação de R$ 24.000,00, considerando 9 meses de prazo e uma taxa efetiva de 25% ao ano.

Taxa Equivalente

0 9

F = ?

1 2

i= 1,88% a m

P=24.000,00

...7

8

Taxa equivalente

11 TQ

TQ ii

125,01 121

Qi

maiQ .%88,1

F = 24.000,00 (1 + 0,0188)9

FV = 28.372,25

Exercício - Dona Maria possui um título que vencerá no prazo de um ano. O valor de resgate desse título é de R$ 2.000,00. Foi oferecida a ela uma proposta para trocar aquele título por outro, com vencimento daqui a 7 meses, sendo o seu valor de resgate de R$ 1.600,00. Considerando que a taxa composta no mercado financeiro gira ao redor de 35% ao ano, a troca seria vantajosa para Dona Maria?

11 TQ

TQ ii

135,01 121

Qi

maiQ .%53,2

F = 1.600,00 (1 + 0,0253)5

F = 1.813,12

A troca não deveria ser feita

Taxa equivalente


Matemática Financeira: Séries uniformes de pagamento


Séries Uniformes - Séries Vencidas - Séries Antecipadas - Séries Diferidas - Amortização - Gradiente

Séries Uniformes

Uma série uniforme de pagamentos (recebimentos) implica o pagamento ininterrupto e periódico de uma prestação (U) por um período (1...n) e uma taxa i.

0

1 2 3n-1 n

Séries Vencidas

As séries vencidas são aquelas em que os pagamentos (ou recebimentos) são exigidos no final de cada período, isto é, as prestações são postecipadas.

0 1 2 3 4 5

P

U

Valor Presente

O pagamento ocorreno final do primeiro

período


Exemplo: Determinar o valor futuro, no final do 5º mês, de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, em um fundo de renda fixa, no valor de R$ 1.000,00 cada uma, a uma taxa de 1% ao mês

0 1 2 3 4 5

F

U = 1.000,00O pagamento ocorreno final do primeiro

período

Valor Futuro


60,040.101,011000 41 F

30,030.101,011000 32 F

10,020.101,011000 23 F

00,010.101,011000 14 F

00,000.101,011000 05 F

01,101.5TOTALF


1

. 11

q

aqaGP

n

01,101.5

101,01

101,01100,000.1

5

F


01,101.501,0101,0101,0101,0101,011000 43210 TOTALF

01,101.5

01,0

101,0100,000.1

5

F

i

iUF

n 11


),( inFACUF

FAC - Fator de acumulação de capital


Exemplo: Calcular o valor a vista de um bem vendido em 5 parcelas de R$ 100,00 sabendo-se que se trata de uma série vencida e que a taxa contratada foi de 4% ao mês e que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês

0 1 2 3 4 5

P

U = 100,00O pagamento ocorreno final do primeiro

período


15,9696614,000,100

04,01

100,100 11

P

46,929256,000,100

04,01

100,100 22

P

90,888890,000,100

04,01

100,100 33

P

48,858548,000,100

04,01

100,100 44

P

19,8282193,000,100

04,01

100,100 55

P

18,445$RPTOTAL


ii

iUP n

n

1

11


18,44504,004,01

104,0100,100 5

5

x

P

),( inFVAUP

FVA - Fator de valor presente (atual)

Cálculo das Parcelas (U)

Exemplo: O Sr. Carlos deseja saber quanto ele deve aplicar mensalmente, a partir do próximo mês, para que daqui a vinte anos, ele possa sacar R$ 2.500,00 por mês, ao longo de dez anos. A taxa de juros efetiva de 1% a.m.

i = 1% a . m

0 1 2 ... 239 240 241 242 243...360

U = ?


U=2.500,00


ii

iUP n

n

1

11

01,001,01

101,0100,500.2 120

120

P

P= 174.251,31

U= 176,14

i

iUF

n 11

01,0

101,0131,251.174

240

U

Séries Antecipadas

Uma série é dita antecipada quando os pagamentos (ou recebimentos) são exigidos no início de cada período de tempo. Assim, a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momentos ZERO, ou seja, na data do contrato do empréstimo, do financiamento ou qualquer outra operação que implique pagamentos ou recebimentos de prestações.

ii

iUF

n

111

)1(1

11ix

ii

iUP n

n

Séries Antecipadas


Exemplo: Marina fez cinco aplicações mensais de R$ 1.000,00 em uma aplicação que paga juros efetivos de 1% a.m. Sabendo-se que a primeira aplicação foi feita no ato, pergunta-se: quanto ela terá acumulado ao final de 5 meses?

0 1 2 3 4 5

1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00

FV

ii

iUF

n

111

02,152.501,01

01,0

101,0100,000.1

5

xF


Exemplo: um televisor foi vendido em oito prestações mensais e iguais de R$ 515,74. Sabendo-se que a primeira parcela foi feita no ato (série antecipada) e que a taxa de juros composta cobrado foi de 5% a.m., calcule o valor presente dessa televisão.


)1(1

11ix

ii

iUP n

n

)05,01(05,005,01

105,0174,515 8

8

xxP


P= 3.500,00

Séries Diferidas

As séries diferidas são caracterizadas pela existência de um período de carência para efetuar o pagamento (ou recebimento) da primeira prestação (termo). Em outras palavras, o primeiro pagamento (ou recebimento) é efetuado em data posterior àquela do primeiro período.

0 1 2 3 4 5

P

UCarência

Exemplo: uma empresa conseguiu um financiamento no valor de R$ 50.000,00. O empréstimo deverá ser pago em 12 parcelas mensais, à taxa de juros efetivos de 8% a.m. Sabendo-se que o primeiro pagamento será realizado no final do terceiro mês (prazo de carência), calcule o valor das prestações:

Séries Diferidas

P = 50.000,00 i = 5% a.m

U = ?

0 1 2 3 4 ... 11 12 13 14

Séries Diferidas

00,320.5808,0100,000.50 2 FF

08,008,01

108,0100,320.58 12

12

xU

U= 7.738,77

Amortização

Exemplo: Elaborar a planilha de amortização de um empréstimo de R$100.000,00, à taxa mensal de 1%, a ser pago em 5 prestações mensais iguais e sucessivas.

ii

iUP n

n

1

11

01,001,01

101,0100,000.100 5

5

U

U= 20.603,98

PLANO DE AMORTIZAÇÃO N Saldo Devedor (SD) Juros (J) Amortização (A) Prestação (U) 0 100.000,00 - - - 1 80.396,02 1.000,00 19.603,98 20.603,98 2 60.596,00 803,96 19.800,02 20.603,98

3 40.597,98 605,96 19.998,02 20.603,98

4 20.399,98 405,98 20.198,00 20.603,98

5 0,00 204,00 20.399,98 20.603,98

Amortização

00,000.1000.10001,01 J

98,603.1900,000.198,603.2011 JUA

02,396.8098,603.1900,000.1001 SD

Primeira prestação Segunda prestação

96,80302,396.8001,02 J

02,800.1996,80398,603.2022 JUA

00,596.6002,800.1902,396.802 SD

E assim sucessivamente até o final das prestações

Exemplo : Um banco de investimento oferece um financiamento de R$ 1.000.000,00, com taxa de juros de 7% ao semestre, nas seguintes condições: prazo de 14 parcelas semestrais iguais e sucessivas, sendo 4 semestres de carência; pagamento integral dos juros devidos durante o período de carência. Elabore a planilha dessa operação:

Amortização

Período Saldo Devedor Juros Amortização Prestação 0 R$ 1.000.000,00 R$ - R$ - R$ - 1 R$ 1.000.000,00 R$ 70.000,00 R$ - R$ 70.000,00 2 R$ 1.000.000,00 R$ 70.000,00 R$ - R$ 70.000,00 3 R$ 1.000.000,00 R$ 70.000,00 R$ - R$ 70.000,00 4 R$ 1.000.000,00 R$ 70.000,00 R$ - R$ 70.000,00 5 R$ 927.622,50 R$ 70.000,00 R$ 72.377,50 R$ 142.377,50 6 R$ 850.178,57 R$ 64.933,57 R$ 77.443,93 R$ 142.377,50 7 R$ 767.313,57 R$ 59.512,50 R$ 82.865,00 R$ 142.377,50 8 R$ 678.648,01 R$ 53.711,95 R$ 88.665,55 R$ 142.377,50 9 R$ 583.775,87 R$ 47.505,36 R$ 94.872,14 R$ 142.377,50 10 R$ 482.262,68 R$ 40.864,31 R$ 101.513,19 R$ 142.377,50 11 R$ 373.643,56 R$ 33.758,39 R$ 108.619,12 R$ 142.377,50 12 R$ 257.421,11 R$ 26.155,05 R$ 116.222,45 R$ 142.377,50 13 R$ 133.063,09 R$ 18.019,48 R$ 124.358,02 R$ 142.377,50 14 R$ 0,00 R$ 9.314,42 R$ 133.063,09 R$ 142.377,50

Amortização

Exemplo : Um banco de investimento oferece um financiamento de R$ 50.000,00, com taxa de juros de 1,5% ao mês, nas seguintes condições: prazo de dezoito meses, sendo três meses de carência; capitalização dos juros devidos durante o período de carência. Elabore a planilha de amortização referente dessa operação:

Amortização

Período Saldo Devedor Juros Amortização Prestação

0 R$ 50.000,00 R$ - R$ - R$ - 1 R$ 50.750,00 R$ 750,00 R$ - R$ - 2 R$ 51.511,25 R$ 761,25 R$ - R$ - 3 R$ 52.283,92 R$ 772,67 R$ - R$ - 4 R$ 49.149,79 R$ 784,26 R$ 3.134,13 R$ 3.918,38 5 R$ 45.968,66 R$ 737,25 R$ 3.181,14 R$ 3.918,38 6 R$ 42.739,80 R$ 689,53 R$ 3.228,85 R$ 3.918,38 7 R$ 39.462,51 R$ 641,10 R$ 3.277,29 R$ 3.918,38 8 R$ 36.136,07 R$ 591,94 R$ 3.326,45 R$ 3.918,38 9 R$ 32.759,72 R$ 542,04 R$ 3.376,34 R$ 3.918,38

10 R$ 29.332,73 R$ 491,40 R$ 3.426,99 R$ 3.918,38 11 R$ 25.854,34 R$ 439,99 R$ 3.478,39 R$ 3.918,38 12 R$ 22.323,77 R$ 387,82 R$ 3.530,57 R$ 3.918,38 13 R$ 18.740,24 R$ 334,86 R$ 3.583,53 R$ 3.918,38 14 R$ 15.102,96 R$ 281,10 R$ 3.637,28 R$ 3.918,38 15 R$ 11.411,12 R$ 226,54 R$ 3.691,84 R$ 3.918,38 16 R$ 7.663,90 R$ 171,17 R$ 3.747,22 R$ 3.918,38 17 R$ 3.860,48 R$ 114,96 R$ 3.803,43 R$ 3.918,38 18 R$ (0,00) R$ 57,91 R$ 3.860,48 R$ 3.918,38

Amortização

Séries : Valor Presente/Futuro da série gradiente (G)

n

n

ii

niiGP

)1(

1)1(2

Tempot = 0t = 1 t = 2 t = 3

+0 G

+2 G

3 G

+1 G

t = 4

(N-1) G

t = n

i

n

i

iGF

n

2

1)1(

Gradiente (G)

Exemplo – Calcular o valor presente da série gradiente dado que

i = 10% ao período.

Tempot = 0 t = 1 t = 2 t = 3

+40

60

+20

t = 4

n

n

ii

niiGP

)1(

1)1(2

42

4

)1,01(1,0

1,041)1,01(20P

56,8738,420 P

432 )1,01(

160

)1,01(

140

)1,01(

120

P

683,060751,040826,020 P

56,8798,4005,3053,16 P

Gradiente (G)

Tabelas

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