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DISCIPLINA INTRODUO A ESTATISTICA ECONOMICA ECN26PROFESSOR HENRIQUE DANTAS NEDEREXERCICIOS DE ESTATISTICAPROBABILIDADE1. a. Se P(A ou B) = 1/3, P(B) = 1/4 e P(A e B) = 1/5, determine P(A).b. Se P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5, que se pode dizer quanto a P(A ou B) se A e B so eventos mutuamente excludentes?c. Se P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5, que se pode dizer quanto a P(A ou B), se A e B no so mutuamente excludentes?2. Se A e B so mutuamente excludentes e B e C tambm o so, os eventos A e C devem ser mutuamente excludentes? D um exemplo que confirme sua resposta.3. Como se modifica a regra da adio, se utilizamos ou exclusivo em lugar de ou inclusivo? Recorde que ou exclusivo significa um ou outro, mas no ambos.4. Dado que P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B), estabelea uma regra formal para P(A ou B ou C). (Sugesto: Trace um diagrama de Venn)5. Determine a probabilidade de que, em 25 pessoas selecionadas aleatoriamente,a. No haja duas com a mesma data de aniversrio.b. Ao menos duas tenham a mesma data de aniversrio.6. a. Determine uma frmula de no obter A ou Bem um nico experimento. Isto , d uma expresso para P (A ou B).b. Determine unia frmula para a probabilidade no obter B em unia nica prova; isto , de u P( A ou B).c. Compare os resultados das partes (a) e (b). so diferentes?7. Devemos extrair aleatoriamente duas cartas, sem baralho bem misturado. Determine a probabilidade de obter um 10 na primeira extrao e uma carta de paus na segunda.8. Trs moedas so jogadas simultaneamente. Qual a probabilidade de obter 2 caras? Qual a probabilidade de obter pelo menos 2 caras?1) Dois dados so jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que a soma dos nmeros mostrados nas faces de cima seja 7.2) Dois dados so jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que o mximo seja maior ou igual a 3.3) Para a Copa do Mundo 24 pases so divididos em seis grupos, com 4 pases cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada pas feita ao acaso, calcular a probabilidade de que dois pases determinados A e B se encontrem no mesmo grupo. ( Na realidade a escolha no feita de forma completamente aleatria).9. Uma loteria tem N nmeros e s um prmio. Um jogador compra n bilhetes em uma extrao. Outro compra s um bilhete em n extraes diferentes. (Ambos os jogadores apostam portanto a mesma importncia). Qual deles tem maior probabilidade de ganhar o prmio?10. Seis bolas so colocadas em trs urnas diferentes. Qual a probabilidade de que todas as urnas estejam ocupadas?11. Um nmero entre 1 e 300 escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que ele seja divisvel por 3 ou por 5.12. Um torneio disputado por 4 vezes A,B, C e D. 3 vezes mais provvel que A vena do que B, duas vezes mais provvel que B vena do que C e 3 vezes mais provvel que C vena do que D. Quais as probabilidades de ganhar para cada um dos times?13. Uma caixa contem 20 peas em boas condies e 15 em ms condies. Uma amostra de 10 peas extrada. Calcular a probabilidade de que ao menos uma pea na amostra seja defeituosa.14. Uma cidade tem 30 000 habitantes e trs jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinio revela que:12 000 lem A;8 000 lem B;7 000 lem A e B;6 000 lem C;4 500 lem A e C;1 000 lem B e C;500 lem A,B e C.Qual a probabilidade de que um habitante leia:a) Pelo menos um jornal;b) S um jornal.15. s algarismos 1,2,3,4,5 so escritos em 5 cartes diferentes. Estes cartes so escolhidos (sem reposio) aleatoriamente e os algarismos que vo aparecendo so escritos da esquerda para a direita, formando um nmero de 5 algarismos.a) calcular a probabilidade de que o nmero escrito seja parb) Se a escolha fosse com reposio qual seria a probabilidade?16. Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcular a probabilidade de que exatamente uma urna seja deixada desocupada.17. Dez pessoas so separadas em dois grupos de 5 pessoas cada um. Qual a probabilidade de que duas pessoas determinadas A e B faam parte do mesmo grupo?18. 5 homens e 5 mulheres compram 10 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro. Supondo que se sentaram aleatoriamente nas 10 cadeiras, calcular:a) a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas;b) A probabilidade de que as mulheres se sentem juntas.19. Um nmero entre 1 e 200 escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que seja divisvel por 5 ou por 7.20. Uma moeda foi cunhada de tal forma que 4 vezes mais provvel de dar cara do que coroa. Calcular as probabilidades de cara e coroa.21. Aos nmeros inteiros entre 1 e n so designadas probabilidades proporcionais aos seus valores. Calcular P(i) para 22. Trs dados so jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de obter 12 como a soma dos resultados.23. Sejam A e B eventos tais que

24. No jogo da Sena so sorteadas 6 dezenas distintas entre as dezenas 01 02 - ...- 50. O apostador escolhe 6 dessas 50 dezenas e premiado se so sorteadas 4 (quadra), 5 (quina), 6 (Sena Principal) das dezenas por ele escolhidas ou se as dezenas sorteadas so escolhidas aumentadas (Sena Anterior) ou diminudas (Sena Posterior) de uma unidade (50 +1 = 01, 01 1 = 50). Determine a probabilidade de uma apostador fazer:a) uma quadrab) uma quinac) a Sena Principald) A Sena Anterior ou a Posterior.25. No jogo da Loto so sorteadas 5 dezenas distintas entre as dezenas 01 02 - ...- 99 - 00. O apostador escolhe 6,7,8,9 ou 10 dezenas e premiado se so sorteadas 3 (terno), 4 (quadra) ou 5 (quina) das dezenas escolhidas. Determine a probabilidade de uma apostador que escolheu 10 dezenas fazer:a) um ternob) uma quadrac) a quina26. Na Loteria Esportiva h 13 jogos e o apostador deve indicar em cada um deles a vitria do time 1, a vitria do time 2 ou o empate. Um jogador premiado:a) com 10 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e erra os dos 3 ltimos;b) com 11 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e acerta apenas um dos resultados dos 3 ltimos;c) com 12 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e acerta apenas 2 dos resultados dos 3 ltimos;d) com 13 pontos, se acerta os resultados dos 13 jogos.Supondo que em cada jogo os resultados possveis tenham probabilidades iguais, determine a probabilidade de um apostador ser premiado:a) com 10 pontos;b) com 11 pontos;c) com 12 pontos;d) com 13 pontos.27. Escolhem-se ao acaso duas peas de um domin. Qual a probabilidade delas possurem um nmero comum?28. Em um armrio h n pares de sapatos. Retiram-se ao acaso p pares de sapatos desse armrio. Qual a probabilidade de haver entre esses ps exatamente k pares de sapatos?29. Colocam-se ao acaso n botes em um tabuleiro n x n, no sendo permitido haver dois botes em uma mesma casa. Qual a probabilidade de no haver dois botes nem na mesma linha nem na mesma coluna?30. Um polgono regular de 2n + 1 lados est inscrito em um crculo. Escolhem-se 3 dos seus vrtices, formando-se um tringulo. Qual a probabilidade do centro do crculo ser interior ao tringulo?31. Tem-se n urnas. Bolas so colocadas ao acaso nas urnas, uma de cada vez, at que alguma urna receba duas bolas. Qual a probabilidade de colocarmos exatamente p bolas nas urnas?32. Joo e Pedro lanam, cada um, um dado no-tendencioso. Qual a probabilidade do resultado de Joo ser maior ou igual ao resultado de Pedro?33. Numa prova h 7 perguntas do tipo verdadeiro-falso. Calcular a probabilidade de acertarmos todas as 7 se:a) escolhermos aleatoriamente as 7 respostas,b) escolhermos aleatoriamente as respostas mas sabendo que h mais respostas verdadeiro do que falso.34. Sabe-se que 80 % dos pnaltis marcados a favor do Brasil so cobrados por jogadores do Flamengo. A probabilidade de um pnalti ser convertido 40 % se o cobrador for do Flamengo e de 70 % em caso contrrio. Um pnalti a favor do Brasil acabou de ser marcado:a) Qual a probabilidade do pnalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser convertido?b) Qual a probabilidade do pnalti ser convertido?c) Um pnalti foi marcado a favor do Brasil e acabou de ser desperdiado. Qual a probabilidade de que o cobrador tenha sido um jogador do Flamengo?35. Marina quer enviar uma carta a Vernica. A probabilidade de que Marina escreva a carta de 8/10. A probabilidade de que o correio no perca de 9/10. A probabilidade de que o carteiro entregue de 9/10. Dado que Vernica no recebeu a carta, qual a probabilidade condicional de que Marina no a tenha escrito?36. Durante o ms de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado de 4/10. O Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade de 6/10 e em um dia sem chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o Fluminense ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu neste dia?37. Num exame h 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade de 1/3 de escolher a resposta certa se ele est adivinhando e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30 % das respostas do exame. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual a probabilidade de que a adivinhou?38. Um jogador deve enfrentar, em um torneio, dois outros A e B. Os resultados dos jogos so independentes e as probabilidades dele ganhar de A e de B so 1/3 e 2/3 respectivamente. O jogador vencer o torneio se ganhar dois jogos consecutivos, de uma srie de 3. Que srie de jogos mais favorvel ao jogador: ABA ou BAB?39. A probabilidade de fechamento de cada rel do circuito apresentado na figura abaixo igual a p, 0 < p < 1.

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Se todos os rels funcionam independentemente, qual a probabilidade de que haja corrente circulando entre os terminais A e B?40. Escolhe-se ao acaso um nmero entre 1 e 50. Se o nmero primo qual a probabilidade de que seja mpar?41. Uma moeda jogada 6 vezes. Sabendo-se que no primeiro lanamento deu coroa, calcular a probabilidade condicional de que o nmero de caras nos 6 lanamentos supere o nmero de coroas.42. Uma moeda jogada 4 vezes. Sabendo que o primeiro resultado foi cara, calcular a probabilidade condicional de obter pelo menos 2 caras.43. Joga-se um dado duas vezes. Calcule a probabilidade condicional de obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi 7.44. Duas mquinas A e B produzem 3000 peas em um dia. A mquina A produz 1000 peas, das quais 3 % so defeituosas. A mquina B produz as restantes 2000, das quais 1 % so defeituosas. Da produo total em um dia uma pea escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que defeituosa. Qual a probabilidade de que a pea tenha sido produzida pela mquina A?45. Um estudante resolve um teste do tipo verdadeiro-falso. Ele sabe dar a soluo correta para 40 % das questes. Quando ele responde uma questo cuja soluo conhece, d a resposta correta, e nos outros casos decide na cara ou coroa. Se uma questo foi respondida corretamente, qual a probabilidade que ele sabia a resposta?46. Sejam A e B dois eventos independentes tais queP(A) = 1/3 e P(B) = Calcule 47. Sejam A e B dois eventos independentes tais que

Calcule P(B)48. Uma moeda equilibrada jogada duas vezes. Sejam A e B os eventos:A: cara na primeira jogada;B: cara na segunda jogadaVerifique que A e B so independentes49. Jogue um dado duas vezes. Considere os eventos:A = o resultado do 1 lanamento par;B = o resultado do 2 lanamento par;C = a soma dos resultados par.A e B so independentes? e A e C? e B e C? e A, B e C?50. Uma pessoa com um molho de n chaves tenta abrir uma porta. Apenas uma das chaves consegue abrir a porta. Qual a probabilidade dela s conseguir abrir a porta na k-sima tentativa:supondo que aps cada tentativa mal sucedida ela descarta a chave usada;supondo que ela no faz isso.(Problema de Chevalier de Mr) Determine a probabilidade de obter:ao menos um 6 em 4 lanamentos de um dado;ao menos um duplo 6 em 24 lanamentos de um par de dados.51. A probabilidade de um homem ser canhoto 1/10. Qual a probabilidade de, em um grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto?52. Sacam-se, sucessivamente e sem reposio, duas cartas de um baralho comum (52 cartas). Calcule a probabilidade de a 1 carta ser uma dama e a 2 ser de copas.53. Um exame de laboratrio tm eficincia de 95 % para detectar uma doena quando essa doena existe de fato. Entretanto o teste aponta um resultado falso positivo para 1 % das pessoas sadias testadas. Se 0,5 % da populao tem a doena, qual a probabilidade de uma pessoa ter a doena dado que seu exame foi positivo?54. A lana uma moeda n+ 1 vezes e B lana a mesma moeda n vezes. Qual a probabilidade de A obter mais caras que B?55. Quantas pessoas voc deve entrevistar para ter probabilidade igual ou superior a 0,5 de encontrar pelo menos uma que aniversarie hoje?56. Uma urna contm 3 bolas vermelhas e 7 bolas brancas. A e B sacam alternadamente, sem reposio, bolas dessa urna at que uma bola vermelha seja retirada. A saca a primeira bola. Qual a probabilidade de A sacar a bola vermelha?57. Em uma cidade com n+ 1 habitantes, uma pessoa conta um boato para outra pessoa, a qual por sua vez conta para uma terceira pessoa, etc. Calcule a probabilidade do boato ser contado m vezes:sem retornar primeira pessoa;sem repetir nenhuma pessoa.58. Sacam-se, com reposio, n (n > 1) bolas de uma urna que contem 9 bolas numeradas de 1 a 9. Qual a probabilidade do produto dos nmeros das n bolas extradas ser divisvel por 10?59. Quantas vezes, no mnimo, se deve lanar um dado no tendencioso para que a probabilidade de obter algum 6 seja superior a 0,9?60. Um jri de 3 pessoas tem dois jurados que decidem corretamente (cada um) com probabilidade p e um terceiro jurado que decide por cara ou coroa. As decises so tomadas por maioria. Outro jri tem probabilidade p de tomar uma deciso correta. Qual dos jris tem maior probabilidade de acerto?61. Um dia voc captura 10 peixes em um lago, marca-os e coloca-os no lago novamente. Dois dias aps, voc captura 20 peixes no mesmo lago e constata que 2 desses peixes haviam sido marcados por voc.se o lago possui k peixes, qual era a probabilidade de, capturando 20 peixes, encontrar dois peixes marcados?para que valor de k essa probabilidade mxima?62. Qual a probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas:haver alguma coincidncia de signos zodiacais?as quatro terem o mesmo signo?duas terem o mesmo signo, e as outras duas, outro signo?trs terem o mesmo signo e, a outra, outro signo?todas terem signos diferentes? 63. Deseja-se estimar a probabilidade p de um habitante de determinada cidade ser um consumidor de drogas. Para isso realizam-se entrevistas com alguns habitantes da cidade. No se deseja perguntar diretamente ao entrevistado se ele usa drogas, pois ele poderia se recusar a responder ou, o que seria pior, mentir. Adota-se ento o seguinte procedimento: prope-se ao entrevistado duas perguntas do tipo SIM-NO:Voc usa drogas?Seu aniversrio anterior ao dia 2 de julho?64. Pede-se ao entrevistado que jogue uma moeda, longe das vistas do entrevistador, e que se o resultado for cara, responda primeira pergunta e, se for coroa, responda segunda pergunta.sendo p1 a probabilidade de um habitante da cidade responder sim, qual a relao entre p e p1 ?se forem realizadas 1000 entrevistas e obtidos 600 sim razovel imaginar que Qual seria, ento, sua estimativa de p?65. Uma firma fabrica chips de computador. Em um lote de 1000 chips, uma amostra de 10 chips revelou 1 chip defeituoso. Supondo que no lote houvesse k chips defeituosos:nmeros negativosd. A: os nmeros maiores do que 100; B: os nmeros menores do que 200; e. A: os nmeros negativos; B: os nmeros pares99. Uma carta escolhida de um baralho padro de 52 cartas. Ao descrever a ocorrncia de dois possveis eventos, um s e um Rei, estes dois eventos so:independentesmutuamente exclusivosvariveis aleatriasaleatoriamente independentes.100. Suponha que certa caracterstica oftalmolgica associada com a cor dos olhos. 300 indivduos selecionados aleatoriamente so estudados e apresentam os seguintes resultados:CaractersticaCor dos olhos

AzuisCastanhosOutraTotal

Sim703020120

No2011050180

Total9014070300

Qual a probabilidade de que uma pessoa tenha olhos azuis ? O que voc espera que seja o valor de P(Ter a caracterstica e olhos azuis) se a cor dos olhos e a existncia da caracterstica so independentes ? Quais das seguintes expresses descrevem a relao entre os eventos A = a pessoa tem olhos castanhos e B = a pessoa tem olhos azuis ? (marque a resposta correta).i. independente ii. exaustivoiii. simples iv. mutuamente exclusivos101. Uma amostra de 1000 pessoas diagnosticada com certa doena distribuda de acordo com a altura e o status (evoluo) da doena a partir de um exame clnico de acordo com a seguinte tabela:Sem a doenaFracaModeradaSeveraTotais

Alta1227813961400

Mdia74519035250

Baixa1047112154350

Totais3002003501501000

Como voc estimaria, a partir dessa tabela, a probabilidade de ser mdia ou baixa em altura e ter moderado ou severo grau de evoluo da doena ? a. 600/1000 * 500/1000 d. 300/600b. 300/500 e. 800/1000300/1000102. De cerca de 25 artigos, nove so defeituosos, seis tem defeitos superficiais e trs tem defeitos importantes. Determine a probabilidade de que um artigo selecionado aleatoriamente tenha defeitos importantes dado que ele tem defeito. 1/30,250,240,08103. A seguinte tabela de duas entradas mostra as frequncias de ocorrncia de uma exposio hipottica e a doena em um grupo de 1000 pessoas.DoenaExposioPresenteAusenteTotais

Presente75325400

Ausente25575600

Totais1009001000

Qual a probabilidade de exposio no grupo ?Qual a probabilidade conjunta de tanto exposio como de doena estar presente no grupo ?Calcule a probabilidade de doena estar presente condicionada a presena de exposio e condicionada a ausncia de exposio.104. Um epidemiologista acredita que as rodovias tm alguma relao com o desenvolvimento de uma nova doena porque a probabilidade de uma pessoa estar morando a menos de uma milha das rodovias, dado que ela tem a doena, 0,80. Voc concorda com ele ? Porque ou porque no ?105. Um dormitrio de um campus universitrio abriga 200 estudantes. 120 so homens, 50 so dos graus mais avanados e 40 so homens dos graus mais avanados. Um estudante selecionado ao acaso. A probabilidade de selecionar um estudante de grau menos elevado, dado que o estudante mulher, :(a) 7/8 (d) 7/20(b) 7/15 (e) 1/42/5106. Uma amostra de 2000 indivduos distribuda de acordo com a cor de olho e a presena ou ausncia de uma certa caracterstica oftalmolgica como segue:CaractersticaCor dos olhos

CastanhoAzulOutro

Sim400270130800

No2006503501200

Total6009204802000

Em uma seleo aleatria de um indivduo da populao em estudo, Qual sua estimativa da probabilidade de: a pessoa tem olhos azuis? ___________ a caracterstica est presente e a pessoa tem castanhos? ____________ a pessoa nem no tem olhos castanhos nem olhos azuis dados que a caracterstica est ausente? _______________ d. a pessoa nem no tem olhos de outra cor nem olhos azuis e a caracterstica est presente _______________ e. a pessoa no tem olhos castanhos? _______________ f. a pessoa tem olhos azuis ou nem no tem olhos azuis nem olhos castanhos? __________ g. a pessoa no tem a caracterstica ou no tem olhos castanhos? ________107. Um sindicato de trabalhadores local consiste de associados encanadores e eletricistas, classificado de acordo com grau: AprendizJornaleiroOficialTotal

Encanadores25203075

Eletricistas15402075

406050

Um associado do sindicato selecionado ao acaso. Dado que a pessoa selecionada um encanador, a probabilidade de que ele um jornaleiro : 1/21/34/152/15nenhuma das anteriores.108. Entre vinte e cinco artigos, nove so defeituosos, seis tem somente um defeito no importante e trs tm um defeito importante. Determine a probabilidade de que um artigo selecionado ao acaso tenha defeitos importantes dado que ele tenha defeitos.1/30,250,240,08109. Os depositantes do Banco X so categorizados por idade. Selecionaremos aleatoriamente um indivduo desse grupo de 2.000 depositantesSexo/IdadeHomem Mulher

30 ou menos 800 600

31 ou mais 400 200

Ento P(mulher de 30 ou menos) =a) 2/5 b) 3/4 c) 3/7 d) 3/10 e) nenhuma das anterioresEnto P[homem ou (31 ou mais)] =a) 1/5 b) 3/10 c) 1/2 d) 7/10 e) nenhuma das anterioresEnto P(mulher) =a) 3/10 b) 2/5 c) 3/5 d) 2/3 e) nenhuma das anteriores110. Qual a probabilidade condicional de que um depositante escolhido tenha idade de 30 anos ou menos, dado que ele homem?a) 2/3 b) 7/10 c) 4/7 d) 2/5 e) nenhuma das anterioresSo as idades e sexos dos depositantes independentes para o Banco X? Porque?111. Um epidemiologista sente que as rodovias tm alguma relao com o desenvolvimento de uma nova doena porque a probabilidade de que uma pessoa esteja morando a uma milha ou menos da rodovia, dado que ela tem a doena 0,80. Voc concorda com ele? Explique porque.112. Existem duas urnas marcadas com H e T. A urna H contem 2 bolas vermelhas e 1 bola azul. A urna T contem 1 bola vermelha e 2 azuis. Uma moeda jogada ao acaso. Se sai cara escolhida uma bola da urna H. Se sai coroa, uma bola escolhida da urna T. Ache as seguintes probabilidades.a. P(cara e vermelha) b. P(coroa) c. P(vermelha)d. P(azul) e. P(cara|vermelha)113. A seguinte tabela de contingncia fornece uma distribuio de freqncias conjunta para os votos populares apurados na eleio presidencial de 1984 por regio e por partido poltico. Os dados esto em milhares, arredondados para o mais prximo milhar. DemocrataRepublicanoOutros

P1P2P3Total

NordesteR19.05611.33610120.493

Meio OesteR210.51114.76116925.441

SulR310.99817.69913628.833

OesteR47.02210.65921417.895

Total37.58754.45562092.662

a. Quantos pessoas votaram no partido Republicano?b. Quantas pessoas no Meio Oeste votaram?c. Quantas pessoas no Sul votaram no partido Democrata?d. Determine a probabilidade dos eventos R3 e P2 (simultneos).e. Calcule Pr(R3 ou P2), usando a tabela de contingncia diretamentef. Calcule Pr(R3 ou P2), usando a regra geral da adio de probabilidade, isto , Pr(A ou B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr (A e B).g. Ache Pr(R3 | P2).h. Calcule Pr(P1) e Pr(P1 | R4). i. So os eventos P1 e R4 independentes? Explique sua resposta. So os eventos P1 e R4 mutuamente exclusivos? Explique sua resposta. 114. Em um bairro existem trs empresas de TV a cabo e 20 mil residncias. A empresa TA tem 2100 assinantes, a TB tem 1850 e a empresa TC tem 2600 assinantes, sendo que algumas residncias em condomnios subscrevem aos servios de mais de uma empresa. Assim, temos 420 residncias que so assinantes de TA e TB, 120 de TA e TC, 180 de TB e TC e 30 que so assinantes das trs empresas. Se uma residncia desse bairro sorteada ao acaso, qual a probabilidade de:a. Ser assinante somente da empresa TA?b. Assinar pelo menos uma delas?c. No ter TV a cabo?115. Das pacientes de uma Clnica de Ginecologia com idade acima de 40 anos, 60% so ou foram casadas e 40% so solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distrbio hormonal no ltimo ano de 10%, enquanto que para as de mais essa probabilidade aumenta para 30%. Pergunta-se:a. Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter tido um distrbiohormonal?b. Se a paciente sorteada tiver distrbio hormonal, qual a probabilidade de ser solteiro?c. Se escolhemos duas pacientes ao acaso e com reposio, qual a probabilidade de pelo menos uma ter o distrbio?116. Trs candidatos disputam as eleies para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30% da preferncia eleitoral, o de centro tem 30% e o da esquerda 40%. Em sendo eleito, a probabilidade de dar efetivamente prioridade para Educao e Sade de 0.4; 0.6 e 0.9 para os candidatos de direita, centro e esquerda respectivamente.a. Qual a probabilidade de no ser dada prioridade a essas reas no prximo governo?b. Se a rea teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleio?117. Um mdico desconfia que um paciente tem tumor no abdmen, pois isto ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som o detectar com probabilidade 0.9. Entretanto, se ele no tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem com probabilidade de 0.1. Se o exame detectou um tumor, qual a probabilidade do paciente t-lo de fato?118. Uma famlia viaja ao litoral para passar um fim de semana. A probabilidade de congestionamento na estrada de 0.6. Havendo congestionamento, a probabilidade dos seus dois filhos brigarem no carro de 0.8 e, sem congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade 0.4. Quando h briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a pacincia com os filhos de 0.7. claro que havendo congestionamento o pai pode perder a pacincia com os filhos mesmo sem brigas o que aconteceria com probabilidade 0.5. Quando no h nem congestionamento, nem briga, o pai dirige tranqilo e no perde a pacincia. Determine a probabilidade de:a) No ter havido congestionamento se o pai no perdeu a pacincia com seus filhos.b) Ter havido briga, dado que o pai perdeu a pacincia.119. Na verificao rotineira de mquinas, observam-se as partes eltricas, mecnica e estrutural. A probabilidade de aparecer uma falha em qualquer uma das partes 0.01; independente das demais. O tempo de conserto de 10, 20 ou 50 minutos para falha eltrica, mecnica ou estrutural, respectivamente. Se a falha eltrica aparece junto com a falha mecnica, teremos um acrscimo de 20 minutos devido complicaes no conserto. Para uma mquina escolhida ao caso, qual a probabilidade do tempo de conserto:a. Durar menos de 25 minutos?b. Ultrapassar 40 minutos?VARIVEIS ALEATRIAS DISCRETAS E DISTRIBUIAO BINOMIAL1. O nmero de paradas de mquinas em uma grande fbrica durante uma semana tem a seguinte distribuio de probabilidade:B510152025

P(B = b)0,250,300,250,150,05

Usando essa distribuio, Calcule E[B] e V[B]2. A Companhia Beta comprou 80 componentes eletrnicos de um fornecedor que declara que somente 2 % dos componentes que ele vende so defeituosos e que os componentes defeituosos so misturados aleatoriamente com os componentes bons. Cada componente defeituoso custar a Beta US$ 250 em custos de reparo. Se o fornecedor est certo, qual ser o nmero esperado de componentes defeituosos ? E qual o custo esperado de reparo?3. Um vendedor de carros oferece a todos os seus clientes potenciais uma corrida de 30 milhas no tipo de carro que o cliente est interessado em comprar, mais um almoo ou jantar gratuitos. Todos estes custos so cerca de US$ 50. Se o cliente no compra o carro, o vendedor perde US$ 50, mas se o cliente comprar o carro, o lucro mdio do vendedor de cerca de US$ 500 (dos quais os custos da corrida e da refeio devem ser deduzidos). No passado, 20 % dos clientes compraram o carro depois da corrida e da refeio gratuita. Qual o lucro esperado para o vendedor nessa situao?4. Um processo de produo paralisado para ajuste toda vez que uma amostra aleatria de cinco itens, selecionada com reposio, apresenta dois ou mais defeituosos. Ache a probabilidade de que o processo ser paralisado aps uma inspeo se ele est produzindo:20 % de defeituosos10 % de defeituosos5 % de defeituosos5. Um simples mssil de certa variedade tem uma probabilidade de de derrubar um bombardeiro, uma probabilidade de de danific-lo e uma probabilidade de de err-lo. Alm disso, dois tiros danificadores derrubaro o avio. Se quatro destes msseis so lanados, qual a probabilidade de derrubar um avio?6. De acordo com um cientista poltico, a populao votante de certa cidade consiste de 46 % do candidato A, 40 % do candidato B, 11 % do candidato C e 3 % do candidato D. Em uma amostra aleatria de 5 votantes, qual a probabilidade de que a amostra contenha:Dois votantes para o candidato A e um de cada das outras categorias?Trs votantes para o candidato A e dois para o candidato B?Nenhum votante para o candidato D?7. Em cada caso, determine se a funo dada uma distribuio de probabilidade.a. P(x) = 1/2x onde x = 1, 2, 3, . . . .b. P(x) = 1/2x onde x = 1, 2, 3, . . . .c. P(x) = 3/[4(3 - x)! x!] onde x = 0, 1, 2, 3,d. P(x) = 0,4(0,6)x-1 onde x = 1, 2, 3, . . . .8. A mdia e o desvio-padro de uma varivel aleatria x so 5.0 e 2,0, respectivamente. Determine a mdia e o desvio-padro das seguintes variveis aleatrias:3 + x3x3x + 49. Selecionam-se aleatoriamente os algarismos (0, 1, 2,.... 9) para nmeros de telefone em pesquisas. A varivel aleatria x o algarismo escolhido.Ache a mdia e o desvio-padro de x.Ache o escore z para cada um dos valores possveis de x; determine ento a mdia e o desvio-padro da populao de escore z.10. Suponha que a varivel aleatria discreta x possa tomar os valores 1, 2, ... n, e que esses valores sejam igualmente provveis.Mostre que = (n + 1) /2.h. Mostre que = (n2 - 1) / 12.c. Um experimento consiste em escolher aleatoriamente um nmero inteiro entre 1 e 50; a varivel aleatria x o valor do nmero escolhido. Determine a mdia e o desvio-padro de x.(Sugesto: 1 + 2 + 3 + --- + n = n (n + 1) /212 +22 + 32 + ... + n2 = n (n + 1)(2n + 1)/6.)11. Se um caso satisfaz todas as condies de um experimento binomial, exceto pelo fato de o nmero de provas no ser fixo, pode-se aplicar a distribuio geomtrica. A probabilidade de obter o primeiro sucesso na xma prova dada por P(x) = p(l - p)x -1, onde p a probabilidade de sucesso em uma prova. Suponha que a probabilidade de um componente de computador ser defeituoso de 0,2. Determine a probabilidade de o primeiro defeito ocorrer no stimo componente.12. No caso de amostragem sem reposio de uma populao finita, pequena, no devemos utilizar a distribuio binomial, porque os eventos no so independentes. Se a amostragem se faz sem reposio e os resultados comportam apenas dois tipos utiliza-se a distribuio hipergeomtrica. Se uma populao tem A objetos de um tipo e os B objetos restantes so do outro tipo e se extramos n objetos sem reposio, ento a probabilidade de obter x objetos do tipo A e n - x objetos do tipo B

Na Loto 54, um apostador escolhe 6 nmeros de 1 a 54 (sem repetio), sorteando-se posteriormente uma combinao ganhadora. Determine a probabilidade de:Acertar todos os 6 nmeros ganhadores. Acertar exatamente 5 dentre os 6 nmeros ganhadores.Acertar exatamente 3 dentre os 6 nmeros ganhadores. No acertar qualquer nmero ganhador.13. A distribuio binomial se aplica apenas a casos que envolvem 2 tipos de resultado, enquanto a distribuio multinomial envolve mais de 2 categorias. Suponha que tenhamos 3 tipos de resultados mutuamente excludentes denotados por A, B: e C. Seja P(A) = p1, P(B) = P2 e P(C) = p3, Em n provas independentes, a probabilidade de x1 resultados do tipo A, x2 resultados do tipo B e x3 resultados do tipo C dada por

14. Um experimento de gentica envolve 6 gentipos mutuamente excludentes identificados por A, B, C, D, E e F, todos igualmente provveis. Testados 20 indivduos, determine a probabilidade de obter exatamente 5 A's, 4 B's, 3 C's, 2 D's, 3 E's e 3 F's desenvolvendo a expresso acima de forma que ela se aplique a 6 t17. A Providence Computer Supply Company sabe que 16% de seus computadores necessitaro de reparos sob garantia dentro de um ms da expedio. Em um ms tpico, so expedidos 279 computadores.Se x a varivel aleatria que representa o nmero de computadores que exigem reparos sob garantia dentre os 279 computadores vendidos no ms, determine a mdia e o desvio-padro de x.Para um ms tpico em que so vendidos 279 computadores, qual seria um valor excepcionalmente baixo para o nmero de computadores, que exigem reparo sob garantia dentro de um ms? Qual seria um valor excepcionalmente elevado? (Esses valores ajudam a determinar o nmero de tcnicos necessrios.)15. a. Se uma empresa fabrica um produto com 80% de bons resultados (o que significa que 80% consistem em itens considerados bons), qual o nmero mnimo de itens a serem produzidos para que haja no mnimo 99% de certeza de que a empresa produz pelo menos 5 itens bons?b. Se a empresa produz lotes de itens, cada um com o nmero mnimo determinado na parte (a), ache a mdia e o desvio-padro do nmero de itens bons em tais lotes.16. Em um levantamento recente, a probabilidade de que um acidente de carro causado por um motorista embriagado cerca de 0,229. Nos prximos trs acidentes, qual a probabilidade de que:a. exatamente um acidente seja causado por um motorista embriagado?b. No mnimo um acidente seja causado por um motorista embriagado?c. Se voc tem os seguintes resultados de probabilidade de acidentes causados por motoristas embriagados nos 10 prximos acidentespdf (*)Cdf (**)

00,07420,0742

10,22050,2947

20,29470,5893

30,23340,8227

40,12130,9440

50,04320,9873

60,01070,9980

70,00180,9998

80,00021,0000

90,00001,0000

100,00001,0000

(*) Pdf = Probability Distribution Function (Funo de Distribuio de Probabilidade)(**) Cdf = Cumulative Distribution Function (Funo de Distribuio Cumulativa)1. Ache Pr(x = 3).2. Ache Pr(5 < x 9).3. Qual a mdia e a varincia da distribuio tabulada acima? 17. Um dentista tem 5 cadeiras disponveis para pacientes em sua sala de espera. A distribuio de probabilidade do nmero de cadeiras ocupadas, x, dada porx p(x)

0 0,304

1 0,228

2 0,171

3 0,128

4 0,096

5 0,073

a. Ache a mdia da varivel aleatria x.b. Calcule o desvio padro,, da varivel aleatria x.c. Calcule Pr(2 x 5).d. Desenvolva (no formato tabular a cdf (Cumulative Distribution Function - Funo de Distribuio Acumulada) dessa distribuio.18. Uma funo de probabilidade uma regra de correspondncia ou uma equao que:a) Acha o valor mdio da varivel aleatriab) Atribui valores de x a eventos de um experimento probabilsticoc) Atribui probabilidades para valores de xd) Define a variabilidade no experimentoe) Nenhuma das anteriores correta19. Suponha que a varivel aleatria T tenha a seguinte distribuio de probabilidade: t 0 1 2

P(T = t) 0,5 0,3 0,2

a. Ache P(T = 0 e T < 2)Calcule E(T), a mdia da varivel aleatria T.20. Um teste de estatstica consiste em 10 questes do tipo mltipla escolha, cada uma com 5 respostas possveis. Para algum que responda aleatoriamente (por palpite) todas as questes, determine a probabilidade de passar, se o percentual mnimo para aprovao 60%. A probabilidade suficientemente elevada para justificar o risco de tentar passar por palpite em lugar de estudar?21. A Air America adota a poltica de vender 15 passagens para um avio que dispe de apenas 14 assentos. (A experincia passada mostra que apenas 85% dos que reservam lugar comparecem efetivamente ao embarque.) Determine a probabilidade de no haver assentos suficientes no caso de a Air America vender 15 passagens.22. De acordo com o Ministrio da Justia dos EUA, 5% de todos os lares americanos sofreram pelo menos um assalto no ltimo ano, mas a polcia de Newport relata 4 casos de assalto em uma comunidade de 15 lares, no ltimo ano. Com base na probabilidade de 4 ou mais assaltos em uma comunidade de 15 lares em um ano, pode-se dizer que aquela comunidade foi vtima apenas do acaso?23. A Telektronic Company compra grandes lotes de lmpadas fluorescentes e adota o seguinte mtodo: selecionar aleatoriamente e testar 24 lmpadas e aceitar todo o lote se no mximo uma no funcionar. Se determinado lote de lmpadas tem efetivamente 4 % de unidades defeituosas, qual a probabilidade de todo o lote ser aceito?24. A probabilidade do 7 em uma roleta 1/38. Em um experimento, a roleta girada 500 vezes. Se esse experimento repetido muitas vezes, determine a mdia e o desvio-padro do nmero de 7s.25. A probabilidade de ganhar na loteria do estado de Nova York de 1/25.827.165. Determine a mdia e o desvio-padro do nmero de ganhos para algum que joga duas vezes por semana durante 50 anos (ou seja, 5200 vezes). (Expresse suas respostas com trs algarismos significativos.)26. Em uma pesquisa sobre reconhecimento de marca, 95% dos consumidores reconheceram Coke (com base em dados da Total Research Corporation). Deve-se fazer uma nova pesquisa junto a 1200 consumidores selecionados aleatoriamente. Para tais grupos de 1200,a. Determine a mdia e o desvio-padro do nmero dos que reconhecem a marca Coke.b. incomum obter 1170 consumidores que reconhecem o nome Coke?considere incomum qualquer resultado que difira da mdia por mais de dois desvios-padro; isto , os valores incomuns ou so inferiores a ou so superiores.27. 0 Departamento de Sade do Estado de Nova York relata uma taxa de 10% de incidncia do vrus HIV para a populao "de risco". Desenvolve-se em uma regio uma intensa campanha educativa no sentido de reduzir essa taxa de 10%. Posto em prtica o programa, faz-se um estudo subseqente sobre 200 indivduos do grupo de risco.a. Admitindo que o programa no tenha produzido efeito, determine a mdia e o desvio-padro do nmero de casos de HIV em grupos de risco de 200 pessoas.b. Entre as 200 pessoas submetidas ao teste subseqente, 7% (ou seja, 14 pessoas) tiveram resultado positivo no teste de HIV. Se o programa no produz efeito, essa taxa excepcionalmente baixa? Este resultado sugere que o programa eficaz?28. A Loja de Departamentos Newtower constatou uma taxa de 3,2% de queixas de clientes e decidiu reduzir essa taxa mediante um programa de treinamento de seus empregados. Ao fim do programa, observaram-se 850 clientes.a. Admitindo que o programa de treinamento no tenha produzido efeito, determine a mdia e o desvio-padro do nmero de queixas nesses grupos de 850 clientes.b. No grupo de 850 clientes observados, 7 tiveram alguma queixa. Esse resultado excepcional? 0 programa de treinamento parece ter sido eficaz?29. De acordo com a Nielsen Media Research, Inc., 30% dos televisores so sintonizados na NFL Monday Night Football quando ele transmitido. Suponha que esse programa esteja sendo transmitido e que sejam aleatoriamente escolhidos 4000 televisores.a. Para tais grupos de 4000, determine a mdia e o desvio-padro do nmero de televisores sintonizados no NFL Monday Night Football.b. fato incomum constatar que 1272 dentre os 4000 televisores esto sintonizados no NFL Monday Night Football.? Qual a causa provvel de uma taxa to superior a 30%?30. Um patologista sabe que 14,9% de todas as mortes podem ser atribudas a infarto do miocrdio.a. Ache a mdia e o desvio-padro do nmero dessas mortes que ocorrero em uma regio tpica com 5000 mortes.b. Em certa regio, examinam-se 5000 certides de bito, constatando-se 896 mortes por infarto do iniocrdio. H razes, para preocupao? Por qu?31. Um teste de percepo extra-sensorial envolve o reconhecimento de uma forma. Pede-se a 50 indivduos de olhos vendados que identifiquem uma forma dentre as possibilidades de um quadrado, um crculo, um tringulo, uma estrela, um corao e o perfil do ex-presidente Millard Fillmore (1800-1874).a. Admitindo que todos os 50 indivduos dem respostas aleatrias, determine a mdia e o desvio-padro do nmero de respostas corretas nesse grupo de 50.b. Se 12 das 50 respostas so corretas, esse resultado pode ter ocorrido por mera chance? 0 que podemos concluir?32. A Providence Computer Supply Company sabe que 16% de seus computadores necessitaro de reparos sob garantia dentro de um ms da expedio. Em um ms tpico, so expedidos 279 computadores.a. Se x a varivel aleatria que representa o nmero de computadores que exigem reparos sob garantia dentre os 279 computadores vendidos no ms, determine a mdia e o desvio-padro de x.b. Para um ms tpico em que so vendidos 279 computadores, qual seria um valor excepcionalmente baixo para o nmero de computadores, que exigem reparo sob garantia dentro de um ms? Qual seria um valor excepcionalmente elevado? (Esses valores ajudam a determinar o nmero de tcnicos necessrios.)33. a. Se uma empresa fabrica um produto com 80% de bons resultados (o que significa que 80% consistem em itens considerados bons), qual o nmero mnimo de itens a serem produzidos para que haja no mnimo 99% de certeza de que a empresa produz pelo menos 5 itens bons?b. Se a empresa produz lotes de itens, cada um com o nmero mnimo determinado na parte (a), ache a mdia e o desvio-padro do nmero de itens bons em tais lotes.34. A Washington and Chang Trucking Company opera uma grande caminhes. No ano passado, houve 84 casos de avariaria.a. Determine o nmero dirio mdio de avarias. b. Determine a probabilidade de 2 caminhes apresentarem avaria em um dia selecionado aleatoriamente. 35. Um cassino flagrado tentando utilizar um par de dados viciados. No julgamento, ficou evidenciado que alguns pontos pretos eram escavados, enchidos com chumbo e repintados a fim de parecerem normais. Alm da evidncia fsica, os dados foram jogados no tribunal, com os seguintes resultados;12 8 9 12 12 9 8 7 12 1012 3 2 12 10 9 12 11 11 123. Um perito em probabilidade afirma que, na jogada de dados equilibrados (honestos), a mdia deve ser 7,0, e o desvio-padro deve ser 2,4. a. Determine a mdia e o desvio-padro dos valores amostrais obtidos, no julgamento. b. Com base nos resultados obtidos no julgamento, qual a probabilidade de obter um 12? Compare esse resultado com a probabilidade de 1/36 (ou 0,0278) para dados equilibrados.c. Se a probabilidade de obter 12 com dados equilibrados 1/36, determine a probabilidade de obter ao menos um 12 em 20 jogadas de dados equilibrados.d. Se o leitor fosse advogado de defesa, como refutaria os resultados obtidos no tribunal?36. Uma varivel aleatria X tem a seguinte funo de distribuio:

Determine a funo de probabilidade de X.37. As pacientes diagnosticadas com cncer de mama precocemente tm 80% de probabilidade de serem completamente curadas. Para um grupo de 12 pacientes nessas condies, calcule a probabilidade de:a. Oito ficarem completamente curadas.b. Entre 3 e 5 (inclusive) no ficarem curadas.c. No mais de 2 permanecerem com a doena.38. Considere uma varivel aleatria X ~ G(0.8). Construa uma nova varivel Y tal que Y = X para os valores 0,1,2,...,5 e Y = 6 para X 6. Dessa forma, Y corresponde ao truncamento de X a valores menores ou iguais a 6. Obtenha a funo de probabilidade de Y e calcule:a. P(Y = 2).b. O valor da funo de distribuio (acumulada) no ponto 2.5.c. P(Y=3 | Y 5).d. P(Y 3,X 4); c. P(X = 10);b. P( 5 X15); d. P(0 X 20).69. Impostos pagos por uma grande amostra de contribuintes distribuem-se normalmente de tal forma que 30% so inferiores a U$ 1.200,00 e 10% so superiores a US$ 3.000,00. Pede-se determinar o imposto mdio.70. No engarrafamento do refrigerante Ki Kola, a quantidade de lquido colocada na garrafa uma varivel de mdia 292 cm3 e desvio-padro 1,1 cm3. Garrafas com menos de 290 cm3 so devolvidas para completar o enchimento. Calcular qual a porcentagem de garrafas devolvidas.71. Uma mquina de empacotar determinado produto oferece variaes de peso que se distribuem com um desvio-padro de 20 g. Em quanto deve ser regulado o peso mdio desses pacotes para que apenas 10% deles tenham menos que 500 g?72. Uma pea cromada resiste a um ensaio de corroso por trs dias, em mdia, com desvio-padro de cinco horas.Pede-se calcular:a. a probabilidade de uma pea resistir menos que 3,5 dias; b. a probabilidade de uma pea resistir entre 60 e 70 horas; c. sabendo-se que 10% das peas resistem menos que certo valor, determin-lo.73. Numa distribuio normal, 30% dos elementos so menores que 45 e 10% so maiores que 64. Calcular os parmetros que definem a distribuio (mdia e desvio-padro).74. O consumo de gasolina por km rodado, para certo tipo de carro, em determinadas condies de teste, tem uma distribuio normal de mdia 100 ml e desvio-padro 5 ml. Pede-se calcular a probabilidade de:a. um carro gastar de 95 a 110 ml;b. em um grupo de seis carros, tomados ao acaso, encontrarmos trs carros que gastaram menos que 95 ml;c. idem, todos terem gasto menos que 110 ml.75. Para uma famlia de certo status econmico, as despesas alimentao (A), educao (E), sade (S) e habitao (H), bem como os desvios padres, esto mostrados na tabela a seguir:76. Certo produto tem peso mdio de 10 g, com desvio-padro de 0,5 g. Ele embalado em caixas de 120 unidades que pesam, em mdia 150 g e desvio-padro 8 g. Determine a probabilidade de que uma caixa cheia pese mais que 1.370 g.77. Para n fixado, a varincia de uma distribuio binomial B(n,p) apenas funo de p. Mostre, ento, que a varincia mxima para p = 0,50.78. Pequenos defeitos em folhas de compensado ocorrem ao acaso na mdia de uma falha por metro quadrado. Determine a probabilidade de que uma folha de 1,50 m x 2,20 m apresente no mximo duas falhas.79. A voltagem mdia de uma bateria de 15,0 volts, com desvio-padro de 0,2 volts. Qual a probabilidade de quatro dessas baterias ligadas em srie terem uma voltagem combinada maior que 60,8 volts?80. Uma mquina produz esferas metlicas cujo dimetro D (medido em mm) uma varivel aleatria aproximadamente normal de valor esperado 9 mm e desvio-padro 0,35 mm. Toda esfera produzida testada em dois calibres: um de 9,5 mm e o outro de 8,5 mm, sendo aceito pelo controle de qualidade se passa pelo maior e no passa pelo menor, caso contrrio rejeitado. Escolhidas duas esferas, qual a probabilidade de pelo menos uma ser rejeitada?81. Se 3% das canetas de certa marca so defeituosas, determinar a probabilidade de que em uma amostra de 10 canetas escolhidas ao acaso desta mesma marca, tenhamos:a. nenhuma defeituosa;b. trs defeituosas;c. pelo menos duas defeituosas;d. no mximo trs defeituosas.82. Determinado atacadista verificou, estatisticamente, que metade de seus clientes solicita que os pedidos sejam entregues em domiclio e outra metade vai retirar diretamente seus pedidos no depsito. Para fazer frente aos crescentes pedidos, o comerciante adquire trs veculos, recebendo em mdia cinco pedidos de entrega diria. Qual a probabilidade de o comerciante no poder atender aos pedidos de entregas domiciliares?83. Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na universidade se formar 9,5%. Determinar a probabilidade de que entre seis estudantes escolhidos aleatoriamente:nenhum se forme;

b. pelo menos 1 se forme c. todos se formem84. O Supermercado Vende Tudo Ltda. recebe, em mdia, quatro pedidos dirios de um produto perecvel. O preo de custo de 30 dlares por unidade, o preo de venda de 90 dlares por unidade, e o produto no vendido no dia devolvido, conseguindo-se 40 dlares por unidade. Estudar, em termos de lucro mdio dirio, qual o melhor contrato de compra que deve o supermercado optar: quatro ou cinco unidades por dia.85. Um teste de mltipla escolha consiste de 100 quesitos, cada um deles com quatro alternativas, das quais apenas uma correta. Um estudante submetido ao leste. Se ele conhece as respostas corretas de 20 quesitos e para responder os restantes apela para a sorte, qual a probabilidade de ele acertar entre 45 e 50 quesitos no total?86. O tempo de vida de transistores produzidos pela Indstria Zeppelin Ltda. tem distribuio aproximadamente normal, com valor esperado e desvio-padro igual a 500 horas e 50 horas, respectivamente. Se o consumidor exige que pelo menos 95% dos transistores fornecidos tenham vida superior a 400 horas, pergunta-se se tal especificao atendida. Justifique!87. As chegadas de automveis a um posto de gasolina, para abastecimento, entre 1Oh00 e 16h00, ocorrem de acordo com os postulados de Poisson. Se no transcurso de tal perodo apresentam-se por hora uma mdia de 30 automveis, qual a probabilidade de nenhum se apresentar em certo intervalo de cinco minutos?88. O Departamento de Atendimento da Empresa Mondubim Ltda. est dimensionado a poder atender, no perodo dirio normal, a at cinco pedidos de clientes; se chegarem mais que cinco pedidos, o pessoal deve recorrer a horas extras para cumprir o atendimento. Sabendo-se que o nmero de pedidos que chegam diariamente so distribudos segundo Poisson de mdia 4,2 pedidos, calcular:a. a probabilidade de se ter que fazer horas extras em certo dia;b. sendo o custo dirio de horas extras de US$ 4.500, qual ser o custo mdio semanal em virtude das mesmas? Considerar semana de seis dias.89. A Companhia de Aviao Mary Posa pode acomodar 300 passageiros em um de seus avies: 30 na primeira classe e 270 na classe econmica. Se essa companhia reservar 30 lugares na primeira classe e 290 na classe econmica e se a probabilidade de no comparecimento de quem faz uma reserva for de 10%, pede-se a probabilidade de que todos os passageiros que comparecerem sejam acomodados, se os lugares da primeira classe puderem ser usados pelos passageiros de turismo.90. Uma distribuio binomial possui mdia igual a 3 e varincia 2. Calcule P(X > 2).91. Considere X a importncia em dinheiro que podemos receber de prmio em um certo jogo de azar. Se para participar do jogo temos de pagar a quantia de US$ 4,00, pede-se determinar o ganho esperado, supondo E(X) = US$ 3,00.92. Considere a distribuio de probabilidades: X -1 0 1 P(X) 0,375 0,25 0,375 Determine 93. Um processo de fabricao produz peas com peso mdio de 20 g e desvio-padro de 0,5 g. Essas peas so acondicionadas em pacotes de uma dzia cada. As embalagens pesam em mdia 30 g com desvio-padro de 1,2 g. Determinar a mdia e o desvio-padro do peso total do pacote.94. A Transportadora Yuki Ltda. possui uma frota de quatro caminhes de aluguel. Sabe-se que o aluguel feito por dia e que a distribuio diria do nmero de caminhes alugados a seguinte:X 00 01 02 03 04 P(X) 10 20 30 30 10Pede-se calcular:a. o nmero mdio dirio de caminhes alugados, bem como o desvio-padro;b. a mdia e o desvio-padro do lucro dirio, sabendo-se que:o valor do aluguel por dia da ordem de US$ 300;

a despesa total diria com manuteno de cada veculo iguala US$ 140, quando este alugado no dia, e de US$ 15 quando tal fato no acontece.

95. Uma fbrica de automveis deve enviar peas pesadas de seu equipamento para sua fbrica de montagem na cidade de Marimb.Sabe-se que: as peas podem ser enviadas por via area ou via martima; o custo por via area geralmente mais alto, porm h a possibilidade de haver greve no embarque, o que atrasaria a chegada das peas a Marimb.A matriz de custo, expressa em US$, dada por:Deciso Com Greve Sem Greve Enviar por Avio 2.000 2.000Enviar por Navio 6.000 1.000a. Se a probabilidade de acontecer uma greve estimada em 40%, qual a toma de deciso que minimizaria os custos esperados?b. At que valor de probabilidade de greve ainda mais vantajoso o envio por via area?96. O nmero de residncias que um posto de Corpo de Bombeiros pode atender depende da distncia r (nmero de quarteires) pelo qual uma mangueira pode se estender durante certo perodo (fixo) de tempo. Suponha que seja proporcional rea de um crculo de raia r (quadras em prdios), com centro nessa companhia de Corpo de Bombeiros: onde uma constante e r, unia varivel aleatria relativa ao nmero de quadras pelas quais a mangueira pode estender-se em determinado perodo de tempo Para certo batalho de bombeiros com, a distribuio de probabilidades de r a indicada na tabela a seguir, onde P(r) = 0 para qualquer r20 ou r 27.r 21 22 23 24 25 26

P(r) 0,05 0,15 0,35 0,25 0,15 0,05

Calcule o valor esperado para o nmero de residnciasque podem ser atendidas por esse posto de Corpo do Bombeiros.97. A Companhia Security Ltda. transporta .seus produtos utilizando dois tipos de containers: um do tipo A com dimenses de 8 x l0 x 30 m e outro do tipo B medindo 10 x 12 x 35 m. Se 40% de seu transporte forem efetuados em container do tipo A e o restante em container do tipo B, qual ser o volume mdio transportado em cada container, supondo que eles estejam sempre cheios. 98. Uma caixa contm trs bolas brancas e uma bola vermelha. Alexandra vai retirar as bolas uma por uma, at conseguir a bola vermelha. Seja Y o nmero de tentativas que sero necessrias para encontrar a bola vermelha. Determine a distribuio de probabilidade da varivel aleatria Y. Encontre a esperana e a varincia de Y.99. Se X uma varivel aleatria com varincia , mostre que: a. tem o mesma varincia de X; b. tem varincia 100. Mostre que em uma srie de lanamentos do tipo cara ou coroa a esperana matemtica do nmero de caras antes do aparecimento da primeira coroa dada poronde p e a probabilidade associada probabilidade de ocorrer cara e q = 1-p.101. Tita e Niki vo jogar cara ou coroa com uma moeda honesta. Eles combinam lanar a moeda cinco vezes e vence a disputa aquele que ganhar em trs ou mais lanamentos. Cada um aposta US$ 56. Feitos os dois primeiros lanamentos, em ambos os quais Tita vence, eles resolvem encerrar o jogo. Do ponto de vista probabilstico, de que forma devem ser repartidos os US$ 112?102. Seja uma varivel aleatria que assume valores em 1, 0 e -1, com P(X = 0) = 1/5.Mostre que -1/2 E(X) 1/2.103. Seja > 0 o desvio-padro de uma varivel aleatria X. Dada uma constante real, mostrar que e satisfazem a relao da forma, onde uma constante real. Qual o valor de ?104. A Profa. Rose est querendo ouvir uma melodia que sabe que est gravada em uma das oito faixas de um disco. Como no sabe em qual das faixas est a melodia gravada, ela experimenta a 1a. faixa, depois a 2a., e assim sucessivamente, at encontrar a melodia procurada. Qual o nmero mdio e o desvio-padro do nmero de faixas que dever tocar at encontrar a melodia procurada?105. Um vendedor adquire uma revista por US$ 0,50 e vende ao preo de US$ 1,00. Todas as revistas empatadas do final do ms so vendidas como papel velho, proporcionando ao vendedor a quantia de US$ 0,10 por revista. Determine o pedido mais econmico, calculando o lucro mdio esperado para cada alternativa, baseado na distribuio de probabilidades para cada demanda mensal dessa revista.Quantidade mensal solicitadaProbabilidade de venda

100 0,30

120 0,30

140 0,20

160 0,10

180 0,10

106. Se chover, um vendedor de guarda-chuva pode ganhar 30 dlares por dia, caso contrrio pode perder 6 dlares. Determinar a esperana de ganho mensal (30 dias), sabendo-se que a probabilidade de chuva da ordem de 30%.107. Uma varivel aleatria X assume valores 0, 1, 2, 3,..., n, com probabilidade constante dada por:

Pede-se determinar o valor de n, a fim de que seu valor esperado seja igual a sua varincia.108. Uma urna contm bolas brancas e pretas, em propores respectivas p e q = 1 - p, onde 0 < p < 1. Dela, efetuamos extraes sucessivas, com reposio. Seja Y a varivel aleatria igual ao nmero de extraes necessrias, at a obteno da primeira bola branca. Pede-se calcular:a. P(Y = n), n = 1, 2, 3, ...;b. E(Y);c. Var(Y).109. Seja L uma varivel aleatria discreta cujo conjunto de valores compreende apenas dois pontos: 0 e 1. Mostre que:Var(L) = 0,25110. Calcular a mdia e o desvio-padro da soma dos pontos obtidos no jogo de dois dados honestos.111. O fundo de investimento Alpha Ltda. recebe diariamente pedidos de compra de cotas de participao, os quais distribuem-se segundo uma mdia por pessoa de 2.200 cotas. Por outro lado, os resgates efetuados diariamente distribuem-se segundo uma mdia por pessoa de 1.500 cotas. Ao encerrar um dia de trabalho, verificou-se que o nmero de cotas j adquirido era de 4.500.000 cotas. Sabendo-se que no dia seguinte 25 pessoas iro adquirir cotas e outras 15 iro efetuar resgates e supondo que as compras e os resgates sejam independentes entre si, calcular a mdia do nmero de cotas j adquirido pelo fundo ao final desse outro dia.112. Determine a mdia e a moda de uma varivel aleatria discreta Y, cuja distribuio de probabilidades dada por: P(y)=2-y y=1,2,3, ...113. Seja uma varivel aleatria discreta X com: E [(X - 1)]2 = 10 e E [(X - 2)]2 = 6Determine E(X) e Var(X).114. A Empresa Alpha Ltda. deseja decidir entre dois projetos de investimentos para modernizao de sua linha de produo. Os valores mensais para o lucro e os prejuzos dos projetos esto dispostos na tabela a seguir:Valores em US$Probabilidade de sucesso

LucroPrejuzo

A30.0002.000p

B25.0005.000p

Supondo que os dois projetos foram julgados equivalentes, pedese determinar com base no valor esperado a probabilidade de sucesso p.

115. Um vendedor de sorvete ganha US$ 20/dia, em mdia, quando dia de sol. Caso chova, ele ganha US$ 2/dia. Sabese tambm que, indiferentemente do fato de ter sol ou chuva, ele sempre ganha US$ 12/dia como pintor.a. Se s 19h00 o homem do tempo diz que temos 60% de probabilidade de chuva para o dia seguinte, dever ele decidir por vender sorvete ou optar por pintura?b. Qual dever ser a probabilidade de chover para que ele decida no vender sorvete?116. Um investimento pode resultar em uma das possibilidades possveis: lucro de US$ 4.000, lucro de US$ 8.000 ou prejuzo de US$ 10.000 com probabilidades iguais a 45%, 55% e 26%, respectivamente. Determine o valor esperado para um investimento potencial.117. A organizao financeira Betha Ltda. verificou que o lucro unitrio L, obtido numa operao financeira dado pela seguinte expresso:L = 1,9 V 0,9 C 4,5Sabendose que o preo de venda unitrio V tem uma distribuio de mdia US$ 50,00 e desviopadro de US$ 2,00, e que o preo de custo unitrio C tem uma distribuio de mdia US$ 45,00 e desviopadro US$ 1,50, qual a mdia e o desviopadro do lucro unitrio?118. Um produto tem custo mdio de US$ 10,00 e desviopadro de US$ 0,80. Calcular o preo de venda mdio, bem como seu desviopadro, de forma que o lucro mdio seja de US$ 4,00 e seu desviopadro de US$ 1,00.119. Existindo E [X(X 1)] mostrar que existem g = E(X) e a2 = Var(X) satisfazendo relao: 120. As variveis aleatrias X e Y tm varincias respectivamente iguais a 3 e 1. Determine a varincia de X 2Y sabendose que a covarincia de X e Y igual a 1.121. X uma varivel aleatria para a qual existem = E(X) e = Var(X).a. Verificar que b. Mostrar que assume um mnimo para .122. Em uma determinada cidade 20% dos habitantes utilizam o produto da marca X. Numa pesquisa realizada com 200 habitantes, qual a probabilidade de que mais de 30 destes utilize tal produto?123. Em um teste de mltipla escolha temos 200 questes, cada uma com 4 possveis respostas, das quais apenas 1 correta. Qual a probabilidade de que um estudante acerte entre 25 e 30 questes de 80 dentre as 200 das quais ele no sabe nada? 124. Um dado honesto lanado 100 vezes consecutivas.a) Qual a probabilidade de que em 18 ou mais destes lanamentos ocorra a face 2? b) Qual a probabilidade de que ocorra face par em mais de 65 lanamentos? 125. Uma central telefnica de uma empresa recebe chamadas que tem um tempo (em minutos) distribudo uniformemente sobre o intervalo 0,5 - 5. Supondo que um dos troncos tenha recebido em um determinado dia 104 chamadas, calcule a probabilidade de que o tempo de utilizao do tronco tenha ultrapassado 3,5 horas. 126. Em uma linha de produo certo tipo de eixo apresenta o dimetro com comportamento uniforme entre 3,5 mm e 3,8 mm.a) Qual a porcentagem de eixos com dimetro superior a 3,7 mm? b) Qual o dimetro esperado para este tipo de eixo? c) Se a aplicabilidade deste tipo de eixo exigisse um dimetro de no mximo 3,72 mm, poderamos considerar que esta linha de produo apresenta 80% dos eixos produzidos atendendo esta exigncia? d) Considerando que um eixo apresenta seu dimetro superior a 3,7 mm, qual a probabilidade de que o dimetro seja menor do que 3,75 mm? 127. Em uma fbrica as falhas no equipamento industrial ocorrem segundo uma distribuio exponencial. Sabe-se que a probabilidade de que a primeira falha ocorra aps uma hora de trabalho de 0,22313.a) Determinar a probabilidade de que a primeira falha ocorra aps 3 horas de trabalho. b) Podemos afirmar que de 0,91 a probabilidade de que a primeira falha ocorre antes dos 30 minutos iniciais de trabalho? 128. Uma fbrica de lmpadas especiais tem sua produo com um tempo de vida mdio igual a 120 meses, seguindo um comportamento exponencial.a) Qual o percentual de lmpadas com durabilidade superior a 100 meses? b) Qual deve ser a garantia do fabricante para que deva repor apenas 5% da produo? DISTRIBUIO NORMAL1. Suponha os escores z distribudos normalmente com mdia 0 e desvio-padro 1.Se P(0 < z < a) = 0,3212, determine a. Se P(-b < z < b) = 0,3182, determine b. Se P(z > c) = 0,2358, determine c. Se P(z > d) = 0,7517, determine d. Se P(z < e) = 0,4090, determine e.2. Para uma distribuio normal padronizada, determine a percentagem dos dados que estoa menos de 1 desvio-padro da mdiaa menos de 1,96 desvios-padro da mdiaentre - 3e + 3entre 1 desvio-padro abaixo da mdia e 2 desvios-padro acima da mdia.a mais de 2 desvios-padro de distncia da mdia3. Na Frmula 5-1, com = 0 e = 1, e aproximando e por 2,7 e por 2,5, obtemos4. No estudo de um conjunto de dados, a construo de um histograma revela que a distribuio aproximadamente normal; constri-se um boxplot com os seguintes valores de quartis: Q1= 62, Q2 =70, Q3 = 78. Calcule o desvio-padro.5. Um professor d um teste e obtm resultados distribudos normalmente com mdia 50 e desvio-padro 10. Se as notas so atribudas segundo o esquema a seguir, determine os limites numricos para cada conceito:A: 10% superioresB: Notas acima dos 70% inferiores e abaixo dos 10% superiores C: Notas acima dos 30% inferiores e abaixo dos 30% superioresD: Notas acima dos 10% inferiores e abaixo dos 70% superioresF: 10% inferiores6. De acordo com os dados da College Entrance Examination Board (Comisso de Exame Vestibular), a nota mdia do SAT de matemtica 475 e 17,0% das notas esto acima de 600. Determine o desvio-padro e use o resultado para achar o 99 percentil. (Admita que as notas sejam distribudas normalmente.)7. A Comisso de Exame Vestibular escreve que "para os Testes SAT, em dois teros das vezes, sua nota deve estar em um intervalo de 30 pontos acima ou abaixo de sua capacidade efetiva. Este intervalo chamado erro-padro da mensurao (SEM = standard error of measurement)." Use esta afirmao para estimar o desvio-padro das notas de um indivduo em um tal teste. (Admita que as notas tenham distribuio normal.)8. Seja X normalmente distribuda com mdia m = 100 e desvio padro s = 7 (daqui a diante indicaremos tal distribuio como X ~ N(100;7) ). Determinar:a. P(X = 80)b. P(X > 100)c. d. 9. Dado que X uma varivel aleatria normal com mdia m = 10 e P(X > 12) = 0,1587, qual a probabilidade de que X esteja includo no intervalo (9,11) ?10. Os pesos de certos produtos em quilogramas so normalmente distribudos com mdia m = 180 e desvio padro s2 = 4. Se uma unidade deste produto escolhida aleatoriamente, qual o peso desta unidade se a probabilidade de ocorrncia:a. De um peso maior igual a 0,10?b. De um peso menor igual a 0,05?11. Se W uma varivel aleatria normal e se P(W < 10) = 0,8413 e P(W < -10) = 0,0668, qual E(W) e V(W) respectivamente ?12. H dois procedimentos para possibilitar que um determinado tipo de avio esteja pronto para a decolagem. O procedimento A requer um tempo mdio de 27 minutos com desvio padro de 5 minutos. Para o procedimento B, m = 30 e s = 2 minutos, respectivamente. Qual procedimento deve ser utilizado se o tempo disponvel de 30 minutos? 34 minutos?13. Uma centena de estudantes realizou um teste no qual o escore mdio foi de 73 com uma varincia de 64. Um grau A foi dado para quem obteve um escore de 85 ou mais. Quantos As foram obtidos aproximadamente, assumindo que os escores So normalmente distribudos? (escolha o mais prximo) 1. 42 2. 7 3. 58 4. 5 5. 2214. Se uma distribuio normal tem mdia 200 e desvio padro 20, ache K tal que a probabilidade de que um valor amostral seja menor do que K 0,975.a. 239 b. 204 c. 210 d. 215 e. 220f. 230 g. 239 h. 25015. A distribuio do tempo de vida de certo tipo de lmpada eltrica normalmente distribuda com mdia de 1000 horas e um desvio padro de 100 horas. Ache o 33 Percentil da distribuio de tempo de vida.a. 560b. 330c. 1044d. 1440e. nenhuma das anteriores16. O valor de Z correspondente ao 52 percentil : a. 2,06 b, 2,05 c, 1,99 d, 0,48 e, 0,0517. Pr(Z > +1.96 ou Z < -1.65) 1) 0,025 2) 0,05 3) 0,0745 4) 0,0495 5) Nenhuma das anteriores18. Em uma distribuio normal com mdia 3 e varincia 49, quais so o limite superior e inferior para os 50 % dos dados centrais?a. -29,83 e 35,83b. -1,31 e 7,69c. -1,69 e 7,69d. 3,00 e 24,00e. nenhuma das anteriores19. Os prazos de substituio de aparelhos de TV tm distribuio normal com mdia de 8,2 anos e desvio-padro de 1,1 ano (com base em dados do "Getting Things Fixed", Consumer Reports). Determine a probabilidade de um aparelho de TV selecionado aleatoriamente acusar um tempo de substituio inferior a 7,0 anos.20. Os prazos de substituio para CD players tm distribuio normal com mdia de 7,1 anos e desvio-padro de 1,4 ano (com base em dados do "Getting Things Fixed", Consumer Reports). Determine a probabilidade de um CD player escolhido aleatoriamente ter um prazo de substituio inferior a 8,0 anos.21. Supondo que os pesos do papel descartado semanalmente pelas residncias tenham distribuio normal com mdia de 9,4 lb e desvio-padro de 4,2 lb (com base em dados do Garbage Project da Universidade do Arizona), determine a probabilidade de escolher aleatoriamente uma residncia que descarte entre 5,0 lb e 8,0 lb de papel em uma semana.22. Com base nos resultados amostrais do Conjunto de Dados 2 do Apndice B, suponha que as temperaturas do corpo humano tenham distribuio normal com mdia de 98,20 F e desvio-padro de 0,62 F. Definindo como febre uma temperatura acima de 100 F, que percentagem de pessoas normais e sadias pode ser considerada como tendo febre? Essa percentagem sugere que o limite de 100 F apropriado?23. Uma aplicao clssica da distribuio normal inspirada em uma carta a Dear Abby, em que uma esposa alegava ter dado a luz 308 dias aps uma rpida visita de seu marido que estava servindo na Marinha. Os prazos da gravidez tm distribuio normal com mdia de 268 dias e desvio-padro de 15 dias. Com base nessa informao, determine a probabilidade de uma gravidez durar 308 dias ou mais. Que que o resultado sugere?24. Os prazos de durao da gravidez tm distribuio normal com mdia de 268 dias e desvio-padro de 15 dias. Definindo corno prematura uma criana nascida com ao menos trs semanas de antecipao, qual a percentagem das crianas, nascidas prematuramente? (Essa informao importante para os administradores de hospitais, que devem providenciar para ter mo o equipamento necessrio para atender s necessidades especiais dos prematuros.)25. De acordo com a Opinion Research Corporation, os homens gastam em mdia 11,4 minutos no chuveiro. Suponha que esses tempos tenham distribuio normal com desvio-padro de 1,8 min. Escolhido um homem aleatoriamente, determine a probabilidade de ele gastar ao menos 10,0 min no chuveiro.26. De acordo coma International Mass Retail Association, as jovens com idade entre 13 e 17 anos gastam em mdia $31,20 em compras cada ms. Suponha que as importncias desses gastos tenham distribuio normal com desvio-padro de $8,27. Selecionada aleatoriamente uma jovem naquela faixa etria, qual a probabilidade de ela gastar entre $35,00 e $40,00 em um ms?27. Os escores de QI tm distribuio normal com mdia 100 e desvio-padro 15. A Mensa uma organizao para pessoas com QI elevado, e a admisso exige um QI superior a 131.5.a. Escolhida aleatoriamente uma pessoa, determine a probabilidade de ela satisfazer aquela exigncia da Mensa.b. Em uma regio tpica de 75.000 habitantes, quantos sero candidatos Mensa?28. Um subfornecedor da IBM foi contratado para fabricar substratos de cermica, utilizados para transmitir sinais entre chips de silcio para computador. As especificaes exigem uma resistncia entre 1,500 ohm e 2,500 ohms, mas a populao tem resistncias distribudas normalmente com mdia de 1,978 ohm e desvio-padro de 0,172 ohm. Que percentagem dos substratos de cermica foge s especificaes do fabricante? Esse processo de fabricao parece estar funcionando bem?29. Os nveis de colesterol srico em homens entre 18 e 24 anos de idade tm distribuio normal com mdia de 178,1 e desvio-padro de 40,7. Todas as unidades so em mg/100 mL, e os dados se baseiam no National Health Survey. Escolhido aleatoriamente um homem entre 18 e 24 anos de idade, determine a probabilidade de seu nvel de colesterol srico estar entre 200 e 250.30. Analisam-se medidas de crnios humanos de diferentes pocas, para determinar se variam com o tempo. Mede-se a largura mxima de crnios de homens egpcios que viveram por volta de 3300a.C. Os resultados mostram que essas larguras tm distribuio normal com mdia de 132,6 mm e desvio-padro de 5,4 mm (com base em dados do Ancient Races of the Thebaid, por Thomson e Randall-Maciver). Um arquelogo descobre o crnio de um homem egpcio e a medida revela uma largura mxima de 119mm.Determine a probabilidade de obter o valor 119 mm ou menos para um crnio, selecionado aleatoriamente, do perodo de 3300 a.C. provvel que o crnio recentemente encontrado seja daquela poca?31. 0 Corpo de Fuzileiros Navais da Marinha dos EUA exige homens com altura entre 64 in. e 78 in. Determine a percentagem dos homens que satisfazem essa exigncia. (0 National Health Survey mostra que as alturas dos homens tm distribuio normal com mdia de 69,0 in. e desvio-padro de 2,8 in.)32. As mquinas "caa-nqueis" so fabricadas de modo que seus proprietrios possam ajustar os pesos das moedas que so aceitas. Se so encontradas muitas moedas falsificadas, faz-se um ajuste para rejeitar mais moedas, com o efeito de que a maioria das moedas falsificadas rejeitada juntamente com muitas moedas legtimas. Suponha que as moedas tenham pesos distribudos normalmente com mdia de 5,67 g e desvio-padro de 0,070 g. Se uma mquina "caa-nqueis" ajustada para rejeitar moedas que pesem menos de 5,50 g ou mais de 5,80 g, qual a percentagem de moedas legtimas rejeitadas?33. Uma centena de estudantes fazem um teste no qual o valor mdio foi 73 e a varincia foi 64. Um grau A dado para todo estudante que tiver nota igual ou superior a 85. Aproximadamente quantos As ocorreram assumindo distribuio normal? 34. Se uma distribuio normal tem mdia 200 e desvio-padro 20, ache K de forma que a probabilidade de que um valor amostral menor do que K seja 0,975.35. A distribuio dos tempos de vida de certo tipo de bulbo de lmpada normalmente distribuda com uma mdia de 1000 horas e um desvio-padro de 100 horas. Ache o 33 percentil da distribuio de tempos de vida.36. Assuma que as notas de 600 estudantes so normalmente distribudas com uma mdia de 76 e um desvio-padro de 8. Qual o nmero de estudantes com notas entre 70 e 82?37. Considere uma distribuio normal com = 67 e 2. Se cada valor aumentado de 7 pontos, que percentagem dos novos valores menor do que 74?38. Uma varivel aleatria contnua X apresenta distribuio normal com mdia 40 e desvio padro igual a 3. Determine os valores de X para os seguintes valores de Z:a) 0,10 b) 2,00 c) 0,75 d) 2,53 e) 3,00 f) 3,2039. Uma varivel aleatria contnua X apresenta distribuio normal com mdia 50 e desvio padro igual a 5. Determine os percentuais de valores de X que esto em cada um dos seguintes intervalos:a) P(40 < X < 50) b) P(49 < X < 50) c) P(40 < X < 45) d) P(56 < X < 60) e) P(40 < X < 65) f) P(45 < X < 55) 40. Suponha que o escore dos estudantes no vestibular seja uma varivel aleatria com distribuio normal com mdia 550 e varincia 900. Se a admisso em certo curso exige um escore mnimo de 575, qual a probabilidade de um estudante ser admitido? E se o escore mnimo for 540? 41. Voc pode escolher entre 2 empregos. Em uma indstria seus ganhos mensais tero distribuio normal com mdia de $4000 e desvio padro de $500. Como vendedor de uma firma seus ganhos mensais tero distribuio normal com mdia de $3200 e desvio padro de $2600.a) Voc ganha atualmente (salrio fixo) $3500. Qual a probabilidade de ganhar mais nos dois possveis empregos? b) Com base no resultado do item a, qual dos dois empregos voc escolheria? 42. Existe um processo para fabricao de eixos que apresenta comportamento praticamente normal com mdia de 3,062 mm e varincia de 0,0001 mm2.a) Qual o percentual de eixos produzidos com dimetro superior a 3,05 mm? b) Se o dimetro dever ter no mnimo 3,04 mm e no mximo 3,08 mm, e se o custo por eixo de $1,2 e vendido por $5, e que eixos produzidos ou muito largos ou muito estreitos so perdidos, qual o lucro esperado numa produo de 100 eixos? 43. Sabe-se que a precipitao anual de chuva em certa localidade, cuja altura medida em cm, uma varivel aleatria normalmente distribuda com altura mdia igual a 29,5 cm e desvio padro de 2,5 cm de chuva.a) Qual altura de chuva ultrapassada em cerca de 5% das medies? b) Se em mais de 45% das vezes a altura de chuva ultrapassar 32 cm torna-se vivel a instalao de um sistema para coleta e armazenamento de gua da chuva (como complemento atual malha de abastecimento). vivel instalar o sistema na localidade? 44. Uma empresa produz televisores a garante a restituio da quantia paga se qualquer televisor apresentar algum defeito grave, no prazo de 6 meses. Ela produz televisores do tipo A- comum e do tipo B- Luxo, com um lucro respectivo de $1000 e $2000 caso no haja restituio, e com um prejuzo de $3000 e $8000 se houver restituio. Suponha que o tempo para a ocorrncia de algum defeito grave seja, em ambos os casos, uma varivel aleatria com distribuio normal, respectivamente com mdias de 9 meses e 12 meses, e varincias de 4 meses2 e 9 meses2. Se voc tivesse que planejar uma estratgia de marketing para a empresa voc incentivaria as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B? 45. Um professor aplica um teste e obtm resultados distribudos normalmente com mdia 50 e desvio padro 10. Se as notas so atribudas segundo o esquema a seguir, determine os limites numricos para cada conceito:A: 10% superiores; B: notas acima dos 70% inferiores e abaixo dos 10% superiores; C: notas acima dos 30% inferiores e abaixo dos 30% superiores; D: notas acima dos 10% inferiores e abaixo dos 70% superiores; E: 10% inferiores Sugesto: faa um desenho da distribuio normal com os percentuais (reas).46. O tempo de vida de um determinado componente eletrnico distribui-se normalmente com mdia de 250 horas e varincia de 49 horas2. Voc adquire um destes componentes.a) Qual a probabilidade de que seu tempo de vida ultrapasse as 260 horas? b) Qual deveria ser o prazo de garantia para estes componentes para que o servio de reposio atendesse a somente 5% dos componentes adquiridos? 18). TEOREMA DO LIMITE CENTRAL E AMOSTRAGEM1. Suponha que os dividendos anuais de quatro aes sejam respectivamente $ 2,00, $ 4,00, $ 6,00 e $ 8,00. Deduza a distribuio amostral de considerando as seguintes hipteses :1. tamanho amostral n = 2.2. mtodo de amostragem: amostragem aleatria simples com reposioPara a distribuio amostral deduzida de , verifique por demonstrao que a. E() = m b. V() = s2 /nc. Se a amostragem for sem reposio deduza a distribuio de e demonstre que E() = m e V() = d. Se a amostragem fosse realizada com reposio, qual o valor de V()?2. Uma populao consta de 4 nmeros: 3, 7, 11 e 15. Considerar todas as amostras possveis que podem ser retiradas com reposio. Determinar: a) a mdia populacional; b) o desvio padro da populao; c) a mdia da distribuio amostral das mdias; d) o desvio padro da distribuio amostral das mdias. Verificar (c) e (d) diretamente e por meio de (a) e (b) atravs das frmulas apropriadas.3. Certas vlvulas fabricadas por uma companhia tm uma vida mdia de 800 horas e desvio padro de 60 horas. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatria de 16 vlvulas, retiradas do grupo, ter a vida mdia: (a) entre 790 e 810 horas; (b) inferior a 785 horas. Para realizar esses clculos, o que necessrio supor? Explique a razo de sua afirmativa. 4. De acordo com o exerccio 8. Se for tomada uma amostra de 64 vlvulas, como ser resolvido? Explicar a diferena.5. Os pesos de fardos recebidos por um depsito tm mdia de 150 kg e um desvio padro de 25 kg. Qual a probabilidade de 25 fardos, recebidos ao acaso e carregados em um elevador, no exceder o limite especfico desse ltimo , que de 4100 kg ? Neste caso, para a soluo do problema, necessrio especificar a forma da distribuio estatstica (funo densidade de probabilidade) dos pesos dos fardos na populao ? 6. Questo terica. Demonstre que um estimador viesado para a varincia populacional , onde n o tamanho da amostra e N o tamanho da populao. Calcule o valor do vis. O que ocorre com esse valor quando n tende ao infinito. (Lembrar que um estimadorde um parmetro dito no viesado se E[] = 7. Questo tericaa. Enuncie o Teorema do Limite Central e o interprete da melhor forma possvelb. O que considerado populao finita (e infinita) para fins estatsticos ?c. Assinale as condies em que necessrio realizar a correo de populao finita, justificando a resposta:n quando a populao infinita, no importando se a amostragem feita com ou sem reposion quando a populao finita, no importando se a amostragem feita com ou sem reposio n quando a populao finita e a amostragem feita com reposion quando a populao finita e a amostragem feita sem reposion quando a populao infinita e a amostragem feita com reposio n quando a populao infinita e a amostragem feita sem reposion quando a populao finita ou a amostragem feita com reposion existem outras alternativas no enumeradas acima8. Se a mdia de uma amostra extrada de uma distribuio normal com = 10, = 25 e n = 9, ento P(> 15) :(a) 0,001350 (c) 0,98778 (b) 0,998650 (d) 0,158669. Uma amostra aleatria de tamanho 25 escolhida de uma populao com mdia 7 e varincia 4. A mdia amostral calculada como 8. Qual o valor da varivel normal padro (z) correspondente a mdia amostral? a. 25 b. 1,25 c. 1,25 d. +2,5 e. nenhuma das anteriores10. Suponha que para uma amostra de 36 Auxiliares de Enfermagem de diversos hospitais similares, uma avaliao de competncia com intervalo entre 0 e 100 foi obtida a partir de um teste clnico. Suponha que a mdia populacional da avaliao para todas as Auxiliares de Enfermagem destes hospitais foi de 80 e a varincia populacional foi de 100. Para uma amostra de 36 Auxiliares de Enfermagem, qual a probabilidade de que a nota mdia esteja entre 75 e 80? a. 0,4987 b. 0,1915 c. 0,5013 d. 0,2287 e. 0,511511. Uma companhia fabrica cilindros que tem uma mdia de 2 polegadas de dimetro. O desvio padro dos dimetros dos cilindros de 10 polegadas. Os dimetros de uma amostra de 4 cilindros so medidos todas as horas. A mdia amostral usada para decidir se o processo de fabricao est operando satisfatoriamente ou no. A seguinte regra de deciso aplicada: se dimetro mdio da amostra de 4 cilindros maior ou igual a 2,15 polegadas, ou menor ou igual a 1,85 polegadas, interrompe-se o processo. a. Qual a probabilidade de parar o processo se a mdia do processo permanece constante no valor de 2,00 polegadas ?b. Qual a probabilidade de parar o processo se a mdia do processo muda para = 2,10 polegadas ?c. Qual a probabilidade do processo continuar operando se a mdia do processo mudar para = 2,15 polegadas ?12. Qual (ou quais) das seguintes sentenas descreve inferncia estatstica ?a. uma sentena verdadeira sobre uma populao feita atravs de uma informao amostral de uma populaob. uma conjectura acerca de uma populao feita a partir da informao contida em uma amostra daquela populaoc. uma sentena verdadeira acerca de uma amostra feita a partir da informao contida em uma populao.13. Para uma certa populao normalmente distribuda, o valor do desvio padro conhecido, mas o valor da mdia desconhecido. Qual ser o efeito de mudanas no tamanho amostral e do grau de confiana no comprimento do intervalo de confiana da estimativa da mdia populacional?a. Aumentando o tamanho amostral aumenta o comprimento dado um grau de confiana fixo.b. Aumentando o grau de confiana reduz o comprimento, dado um tamanho amostral fixo.c. Aumentando o tamanho amostral reduz o comprimento, dado um grau de confiana fixo.d. Nenhuma das anteriores.14. A distribuio das mdias de todas as possveis amostras de tamanho (n) escolhidas de uma populao se aproximar de uma curva normal se a. n grande o bastante b. a populao grande c. a populao simtrica d. a mdia de cada amostra igual a mdia da populao e. nenhuma das anteriores correta 15. A distribuio amostral das mdias de amostras aleatrias de tamanho n extradas de uma populao se aproximar de uma distribuio normal sea. somente se a populao normalmente distribuda e se n grandeb. somente se a populao normalmente distribuda no importando o valor de nc. se n grande no importando a forma da distribuio da populaod. no importa o valor de n e no importa a forma da distribuio da populao original16. Uma amostra no ano de 1989 de 130 mulheres que visitaram um ginecologista em uma determinada universidade do Noroeste dos EUA indicou que 113 tiveram experincia sexual.a. Assumindo que essas mulheres so uma amostra aleatria simples da populao de todas as mulheres daquela universidade, calcule um intervalo de confiana para a proporo da populao que sexualmente ativa.b. O intervalo seria mais largo, mais estreito ou da mesma largura se 520 mulheres fossem amostradas? (Voc no precisa fazer nenhum clculo) Explique.c. O intervalo seria mais largo, mais estreito ou da mesma largura se resultassem 73 mulheres com experincia sexual 130 mulheres amostradas? (Voc no precisa fazer nenhum clculo) Explique.d. Voc acha que razovel assumir que essas mulheres formam uma amostra aleatria? Explique. 17. No execute nenhum clculo para responder o seguinte. Explique seu raciocnio em cada caso.a. Tres pesquisadores Alex, Bob e Chuck selecionam de maneira independente amostras aleatrias da mesma populao. Os tamanhos amostrais so 1000 para Alex, 4000 para Bob e 250 para Chuck. Cada pesquisador constri um intervalo de confiana de 95 % para a partir de seus dados. A semi-amplitude dos trs intervalos so 0,015; 0,031 e 0,062. Relacione cada semi-amplitude com o pesquisador.b. Cada um dos dois pesquisadores Donna e Eileen selecionam amostras aleatrias de tamanho 1000 de populaes diferentes e constrem intervalos de confiana de 95 % para p (a proporo populacional). A semi-amplitude do intervalo de Donna 0,030 e a de Eileen 0,025. Dado que as propores amostrais foram =.20 e=.40, relacione cada pesquisadora com a sua proporo amostral. c. Um pesquisador de nome Fran seleciona 100 indivduos aleatoriamente de uma populao, observa 50 sucessos e calcula 5 intervalos de confiana. Os nveis de confiana so 80 %, 90 %, 95 %, 98 % e 99 % e os cinco intervalos so (0,402 ; 0,598), (0,371 ; 0,629), (0,418 ; 0,582), (0,436 ; 0,564) e (0,384 ; 0,616). Relacione cada intervalo com o seu nvel de confiana.18. Suponha que 80 % de todos os habitantes da Pensilvnia comam Peru no Dia de Ao de Graas. Suponha alm disso que voc planeja selecionar uma amostra aleatria simples (AAS) de 300 habitantes da Pensilvnia visando determinar a sua proporo que come peru no Dia de Ao de Graas.a. 80 % uma parmetro ou uma estatstica? Que smbolo voc deve usar para represent-lo?b. De acordo com o Teorema do Limite Central, como a proporo amostral de quem come peru no Dia de Ao de Graas varia de amostra para amostra ?c. Determine a probabilidade de que menos do que 3 quartos da amostra comam peru no Dia de Ao de Graas.d. Seria a resposta a (c) menor, maior ou a mesma se o tamanho amostral de 800 fosse usado? (voc no precisa executar o clculo). Explique.d. Podemos mostrar que nesse contexto 0.15. Se essa afirmativa no estiver correta escreva uma verdadeira que a substitua. Escreva uma ou duas sentenas explicando para um leigo o que essa afirmativa significa.19. Os prazos de substituio para CD players tm distribuio normal com mdia de 7,1 anos e desvio-padro de 1,4 ano (com base em dados do "Getting Things Fixed", Consumer Reports). Determine a probabilidade de 45 CD players selecionados aleatoriamente terem prazo de substituio superior a 7,0 anos.20. De acordo com a Opinion Research Corporation, os homens gastam em mdia 11,4 minutos no chuveiro. Admita que os tempos tenham distribuio normal corri desvio-padro de 1,8 minuto. Selecionados aleatoriamente 33 homens, determine a probabilidade de que seus tempos no chuveiro tenham mdia entre 11,0 min e 12,0 min.21. De acordo com a International Mass Retail Association, as jovens de 13 a 17 anos de idade gastam em compras uma mdia mensal de $31,20. Suponha que essas importncias tenham um desvio-padro de $8,27. Selecionadas aleatoriamente 85 jovens, qual a probabilidade de que a mdia de suas compras mensais fique entre $30,00 e $33,00?22. Para as mulheres na faixa etria de 18 a 24 anos, a presso sistlica do sangue (em mm Hg) tem distribuio normal com mdia de 114,8 e desvio-padro de 13,1 (com base em dados do National Health Survey dos EUA).a. Selecionada aleatoriamente uma mulher nessa faixa etria, determine a probabilidade de a sua presso sistlica ser superior a 120.b. Selecionadas aleatoriamente 12 mulheres nessa faixa etria determine a probabilidade de sua presso sistlica india ser superior a 120.c. Dado que a parte (b) envolve uma amostra de tamanho no superior a 30, por que podemos usar o teorema central do limite?23. As quantidades de precipitao anual rio estado de Iowa aparentam ter distribuio normal com mdia de 32,473 in e desvio-padro de 5,601 in. (com base em dados do Ministrio de Agricultura dos EUA).a. Escolhido um ano aleatoriamente, determine a probabilidade de a precipitao anual correspondente ser inferior a 29,000 in.b. Para uma dcada selecionada aleatorianienle, determine a probabilidade de a mdia das precipitaes anuais ser inferior a 29,000 in.c. Como a parte (b) envolve uma amostra de tamanho no superior a 30, por que podemos aplicar o teorema central do limite?24. As idades dos avies comerciais dos EUA tm unia mdia de 13,0 anos e um desvio-padro de 7,9 anos (com base em dados do Departamento de Aviao Civil dos EUA). Se a Administrao Federal da Aviao seleciona aleatoriamente 35 avies comerciais para um teste especial de resistncia, determine a probabilidade de a idade mdia desse grupo de avies ser superior a 15,0 anos.25. Uma anlise dos nmeros de horas por semana que os calouros universitrios (nos EUA) dedicam ao estudo acusa mdia de 7,06 horas e desvio-padro de 5,32 horas (com base em dados do The American Freshman). Selecionados aleatoriamente 55 calouros, determine a probabilidade de seu tempo semanal mdio de estudo exceder 7,00 horas.26. 0 gerador de nmeros aleatrios de um computador tpico produz nmeros com uma distribuio uniforme entre 0 e 1, com mdia de 0,500 e desvio-padro de 0,289. Gerados 45 nmeros aleatrios, determine a probabilidade de sua mdia ser inferior a 0,565.27. Realizou-se um estudo da utilizao de cintos de segurana entre crianas envolvidas em acidentes de automvel que exigiram hospitalizao. Verificou-se que as crianas que no usavam nenhum dispositivo de segurana acusaram uma estada mdia de 7,37 dias em hospitais, com desvio-padro de 0,79 dias [com base em dados de "Morbidity Among Pediatric Motor Vehicle Crash Victims: The Effectiveness of Seat Belts" (Morbidade entre Acidentes de Automvel com Vtimas Infantis: A Eficcia dos Cintos de Segurana), por Osberg e Di Scala, American Journal of Public Health, Vol. 82, No. 3]. Selecionadas aleatoriamente 40 dessas crianas, determine a probabilidade de sua permanncia mdia em hospital ser superior a 7,00 dias.28. A cidade de Newport tem um servio de coleta de lixo que acusa sobrecarga se a mdia do lixo das suas 4872 casas exceder 27,88 Ib em uma semana. Os pesos totais tm distribuio normal com mdia de 27,44 Ib e desvio-padro de 11,46 lb (com base em dados do Projeto do Lixo da Universidade do Arizona). Qual a proporo de semanas em que o servio de coleta de lixo acusa sobrecarga? Trata-se de uma situao aceitvel, ou devem-se tomar providncias para corrigir um problema de sobrecarga no sistema?29. Os testes verbais SAT tm distribuio normal com mdia de 430 e desvio-padro de 120 (com base em dados do College Board ATP). Escolhem-se aleatoriamente testes verbais SAT dentre a populao de estudantes que fizerem o curso preparatrio na Tillman Training School. Admita que esse curso de treinamento no influa nas notas do teste.a. Escolhido aleatoriamente 1 estudante, determine a probabilidade de ele ter obtido uma nota superior a 440.b. Selecionados aleatoriamente 100 estudantes, determine a probabilidade de a nota mdia ser superior a 440.c. Se 100 estudantes da Tillman conseguem uma mdia amostral de 440, parece razovel concluir que o curso eficiente porque os estudantes se saem melhor no SAT?30. As duraes da gravidez tm distribuio normal com mdia de 268 dias e desvio-padro de 15 dias.a. Selecionada aleatoriamente uma mulher grvida, determine a probabilidade de a durao de sua gravidez ser inferior a 260 dias.b. Se 25 mulheres escolhidas aleatoriamente so submetidas a uma dieta especial a partir do dia em que engravidam, determine a probabilidade de os prazos de durao de sua gravidez terem mdia inferior a 260 dias (admitindo que a dieta no produza efeito).c. Se as 25 mulheres tm realmente mdia inferior a 260 dias, h razo de preocupao para os supervisores mdicos?31. Utilizando uma medida-padro de satisfao com os salrios, um estudo constata que os administradores de universidade tm uma mdia de 38,9 e um desvio-padro de 12,4 [com base em dados de "Job Satisfaction Among Academic Administrators" (Satisfao com o Emprego entre Administradores Acadmicos), por Glick, Research in Higher Education, Vol. 33, No. 5]. Um pesquisador seleciona aleatoriamente 150 administradores de faculdade e mede seus nveis de satisfao com o salrio.a. Determine a probabilidade de a mdia ser superior a 42,0.b. Se uma amostra de 150 administradores acusa mdia de 42,0 ou mais, h razo para crer que essa amostra provenha de uma populao com mdia superior a 38,9?32. Os bombons M&M tm peso mdio de 0,9147 g e desvio-padro de 0,0369 g (com base em dados do Conjunto de Dados 11 do Apndice B). Os bombons M&M usados naquele Conjunto de Dados provm de um pacote contendo 1498 bombons, e o rtulo do pacote informa que o peso lquido de 48,0 oz (3 lb), ou 1361 g. (Se cada pacote tem 1498 bombons, o peso mdio deve exceder 1361/1498 = 0,9085 g para que o contedo lquido pese no mnimo 1361 g )a. Selec