Afstandsmåling ved hjælp af Cepheidemetoden. · Nedenfor vil vi give en alternativ metode til at justere parametrene A, B, ω og φ. Da Excel, i modsætning til anden software som

1 Afstandsmaringling ved hjaeliglp af Cepheidemetoden

Denne oslashvelse er baseret paring materiale oprindeligt udarbejdet af Fabrice Mottez (Frankrig) i 2003

med bidrag fra Weronika Sliwa (Polen) i 2005 og Rachel Comte (Frankrig) i 2009 Materialet er for

nylig forbedret af Stefano Bertone (ItalienFrankrig) Gilles Chagnon (Frankrig) og Anne-Laure

Melchior (Frankrig) Oslashvelsen er baseret paring data der er udfoslashrt i Las Campanas Observatoriet i Chile

ved OGLE (polskamerikansk) samarbejde Observationerne taget i loslashbet af en intens

observationskampagne hvor den Lille Magellanske Sky (SMC) paring daglig basis er blevet observeret

SMC er en naeligrliggende dvaeligrggalakse der kredser om Maeliglkevejen Disse data er blevet venligst

stillet til raringdighed for EU-HOU projektet af Bohdan Paczynski1

Teksten er oversat til dansk af Michael Andrew Dolan Moslashller marts 2013

1 Dette projekt er stoslashttet af EU Denne publikation viser kun forfatternes holdninger og EU-kommisionen er ikke ansvarlig for brugen af

informationerne i denne tekst

Maringling af afstande i Universet ved hjaeliglp af Cepheider


Indledning Henrietta Swan Leavitt fandt i 1912 ud af at en bestemt type stjerner cepheider pulserer og deres

pulsationsperiode giver et direkte maringl for den gennemsnitlige absolutte stoslashrrelsesklasse af stjernen

Eftersom det er nemt at maringle den tilsyneladende stoslashrrelsesklasse samt ovenstaringende periode kan

man nemt regne afstanden ud til stjernen ved hjaeliglp af afstandskvadratloven

Cepheiderne har ydermere den fordel at de lyser ganske kraftigt saring de er synlige selv i fremmede

galakser

I denne oslashvelse skal du maringle paring nogle billeder af en cepheidestjerne i Den lille Magellanske sky for

derefter at beregne afstanden til skyen

Billederne 1 Der er 20 billeder der viser de samme stjerner paring forskellige dage og tidspunkter Disse

datoer er oplyst i titlen paring hver billedefil Filnavnene er angivet nedenfor For eksempel blev

SMC-Cep-43522-1999-10-24-03-23-25fits taget af 24 oktober 1999 kl 03h 23m og 25s

SMC-Cep-43522-1999-10-24-03-23-25fits SMC-Cep-43522-1999-11-23-02-55-34fits










Der er ogsaring en fil med navnet smc_sc5fits som udgoslashr CCD-omraringdet hvorfra de tidligere

snapshots er taget fra

2 Kopier Excel filen Answerfile_cepheid_emptyxls ind paring din computer og aringbn den Den

foslashrste og anden kolonne dag og time da billedet blev taget og Intervaltid (dage) er

allerede udfyldt Bemaeligrk at du kan negligere minutter men ikke timer

3 Aringben SalsaJ

4 I SalsaJ-vaeligrktoslashjslinjen skal du klikke paring Filer-Aringbn Aringbn2 filen

images_cepheidssmc_sc5fits Den cepheide vi vil undersoslashge her er placeret paring pixel x =

439 y = 3435 Find den (Brug evt Contrast-knappen samt zoom-vaeligrktoslashjet til at hjaeliglpe

dig)

Smaring snapshots centreret i dette omraringde er blevet ekstraheret til denne oslashvelse og vil blive

anvendt nedenfor

Fotometri med SalsaJ Ideen er at bruge sammenhaeligngen mellem cepheiders absolutte lysstyrke og deres periode til at

bestemme afstanden til en galakse Dette kan goslashres med en serie af billeder maringlt til forskellige

tidspunkter Vi maringler jo de tilsyneladende lysstyrker saring det er noslashdvendigt at foretage en kalibrering

af maringlingerne Heldigvis er kalibrering af et billede allerede foretaget og det goslashr det muligt at finde

den kalibrerede flux af 3 referencestjerner i billedomraringdet En relativ kalibrering som beskrevet

2 Hvis du faringr en out of memory besked skal du lukke SalsaJ og dernaeligste aringbne SalsaJ for Webcam Derved faringr du allokeret 256Mbytes


nedenfor vil saring vaeligre tilstraeligkkelig til at bestemme afstanden

5 Aringbn billederne i mappen images_cepheids med File-Open Tryk dernaeligst paring Windows-Tile

for at anbringe billederne ved siden af hinanden

6 Klik paring knappen Brightness and Contrast i vaeligrktoslashjslinien

7 Et nyt vindue vises Klik paring Auto Billedkontrasten optimeres og stjernerne bliver lettere at

se Hvis det er noslashdvendigt kan du ogsaring flytte markoslashrerne Luminosity maksimal og

minimum for yderligere at indstille justeringen af billedet Luk til sidst vinduet Brightness

and Contrast Bemaeligrk at du ikke aeligndrer paring selve billedet - det er kun fremvisningen af

billedet du aeligndrer paring

8 Gentag proceduren for resten af billederne

9 Identificer de 4 stjerner som er vigtige for vores oslashvelse Cepheide 43522 og 3 stjerner som

vi vil kalde referencestjernerne Du kan bruge billedet nedenfor til at hjaeliglpe med

identifikationen

10 Klik paring Photometry-ikonet Find cepheiden angivet paring figuren ovenfor Klik i

midten af stjernen paring det foslashrste billede Stjernen er nu omkranset og vaeligrdien af dens

intensitet vises i Photometry-vinduet Klik paring cepheiden paring de 19 andre billeder (svarende

til forskellige tidspunkter) i samme raeligkkefoslashlge som du har indtastet datoerne i Excel-

svarfilen

11 Du kan derefter kopiere listen i Photometry-vinduet (se nedenfor) og indsaeligtte den i et tomt

regneark

12 Endelig kan du kopiere de fotometriske vaeligrdier (intensity) ind paring Flux of Cepheid (Fc)-

Stjerne nummer 43521 Gennemsnitlige flux Fr1 = 11810-14 Wm-2

Stjerne nummer 43541

Gennemsnitlige flux Fr2 = 6110-15 Wm-2


Cepheid 43522


kolonnen i svarfilen

13 Gentag punkterne 10-12 hvor det nu er en af referencestjernerne du maringler paring Indsaeligt

intensiteten fra referencestjernen i kolonnen med overskriften Flux of reference star (Fr)

Bemaeligrk at du selv kan vaeliglge en af de 3 referenceperioder stjerner angivet paring ovenstaringende

figur men husk at maringle paring samme referencestjerne paring alle 20 billeder

14 Svarfilen beregner automatisk FcFs-forholdet i 5 kolonne Regnearket tegner ogsaring

variationen af FcFs som funktion af tiden (Se billedet nedenfor)

Variationerne som funktion af tiden ser uregelmaeligssig ud medens signalet vides at vaeligre

periodisk Overvej hvorfor

Fortolkning Vi skal udlede information fra observationerne for at maringle afstanden til SMC (1) den

gennemsnitlige tilsyneladende lysstyrke af cepheiden hvis bestemmelse kraeligver en absolut

kalibrering (2) perioden for lysstyrkevariationen som bedst estimeres med en justering af en

sinuskurve oven paring lyskurven

15 Ved bunden af kolonnen FcFs kan du (med fed skrift) se den gennemsnitlige vaeligrdi af

forholdet (naringr du har fyldt de 20 linjer) Ved hjaeliglp af dette forhold og den gennemsnitlige

flux af den referencestjerne som du valgte (de kalibrerede enheder i Wm2 kan du se i den

foslashrste figur i dette dokument) kan du bestemme den gennemsnitlige flux af cepheiden For

at kunne goslashre dette er du noslashdt til at udfylde dataene i de groslashnne celler i din Excel-svarfil

16 Ved at bruge den kurve der vises i Excel kan du foretage et foslashrste estimat af

pulsationsperioden

17 For at forbedre dette foslashrste gaeligt kan du tilpasse data med en generisk sinusfunktion af

formen f(t) = Asin(ωt+φ)+B hvor

bull A er amplituden af sinusfunktionen

bull ω er vinkelhastigheden af svingningen dvs 120596 =2120587

119879 hvor T er pulsationsperioden

bull B er den gennemsnitlige vaeligrdi af alle vaeligrdier af flux-forholdet FcFs

bull φ er fasen af funktionen Dens vaeligrdi ligger i intervallet [-π π[ Hvis de foslashrste punkter af

kurven er mindre end B er fasen er negativ hvis de stoslashrre end B er fasen positiv

Fastslaring med en enkelt observation af kurven de omtrentlige vaeligrdier af A T (og dermed ω)

og φ B blev bestemt automatisk ved bunden af kolonnen FcFs


18 Noter disse omtrentlige vaeligrdier (A ω φ og B) i de blaring celler i din svarfil Saring snart alle

vaeligrdier er indtastet bliver den blaring kolonne Approksimation udfyldt automatisk ved siden af

dine eksperimentelle vaeligrdier af FCFs Denne blaring kolonne er altsaring de teoretiske vaeligrdier

beregnet med formlen f(t) fra ovenfor

Vaeligrdien af cellen solver er kvadratsummen af forskellen mellem de maringlte vaeligrdier (fotometri

paring billederne) og de respektive teoretiske vaeligrdier (f(t) med de angivne parametre en nul-

vaeligrdi betyder at f(t) passer noslashjagtigt med de eksperimentelle data

19 Den sinusformede model overlejres dine maringledata Punkterne paring billedet nedenfor viser

maringledata med blaringt og modeltal med roslashdt Sinuskurven er overlejret med roslashdt For en bedre

(og automatiseret) evaluering af sinus-parameter skal du foslashlge den procedure der er

beskrevet i tillaeliggget

20 Find T ved hjaeliglp af vaeligrdien for 120596 =2120587

119879 Skriv dit svar i den blaring celle i din svarfil

21 Grafen nedenfor giver forholdet LCLSol maringlt i W som funktion af cepheidens periode Brug

grafen til at bestemme LCLSol

Teoretiske vaeligrdier

Eksperimentelle vaeligrdier

Anslaringede vaeligrdier for A ω B og φ fundet ved at

observere kurven


22 Det var i oslashvrigt Henrietta Swan Leavitt der foslashrste gang opdagede sammenhaeligngen mellem

cepheiders absolutte lysstyrke og deres pulsationsperiode (I 1912) Beregn LC idet LSol=

38461026 W

23 Afstandskvadratloven giver os at den tilsyndeladende lysstyrke 119897 = 119865 =119871119862

41205871199032 Saring hvis vi

kender cepheidens absolutte lysstyrke L samt den modtog flux F kan vi beregne dens

afstand r Bestem afstanden r mellem cepheiden og Solen Din svarfil kan hjaeliglpe dig med at

beregne afstanden i meter ly3 og i pc4 Da cepheiden er placeret i den Lille Magellanske Sky

har du lige fundet ud af afstanden til denne dvaeligrggalakse

24 Sammenlign din fundne afstand til Den Lille Magellanske Sky med tabelvaeligrdien paring 61plusmn4

kpc fra Solen Hvad kan vaeligre usikkerhedskilder i observationen Hvilken af dem er mest

betydningsfuld

3 1 ly = 94611015 m 4 1 pc = 30861016 m


Tillaeligg Nedenfor vil vi give en alternativ metode til at justere parametrene A B ω og φ

Da Excel i modsaeligtning til anden software som feks Regressi5 har ikke en funktion til at bestemme

parametrene for en sinusfunktion derfor vil vi bruge Excels Problemloslashser-funktionen Det goslashr det

muligt at forfine A B ω og φ

Den gennemsnitlige vaeligrdi af forskellene mellem de maringlte data og de teoretiske er skrevet i cellen

value of the solver i din svarfil Det gaeliglder om at denne vaeligrdi er saring taeligt paring 0 som muligt

Klik paring cellen som indeholder vaeligrdien af value of the solver (celle E34 i svarfilen) Denne celle er

din maringlcelle Klik nu paring Excel-fanen Data vaeliglg What if-Analyse og derefter paring Problemloslashser

Foslashlgende vindue dukker op paring skaeligrmen (Bemaeligrk at du selv skal skrive 0 i midterste celle og at du

i nederste celle kan veksle mellem cellerme E28 til E31)

Kontroller at cellen E34 er skrevet i Angiv maringlsaeligtning Hvis du ser tilbage paring trin 19 ser du at

denne vaeligrdi skal vaeligre saring taeligt paring 0 som muligt Saringledes vaeliglger lig med Vaeligrdi af 0

Klik derefter paring OK Maringlcellen er taeligttere paring nul nu og din vaeligrdi af ω er blevet aeligndret en smule

Hvis du faringr en vaeligrre tilnaeligrmelse til 0 i celle E34 skal du trykke paring annuller og saring proslashve en af de

andre celler

Gentag trinnet for de oslashvrige justerbare celler A B og φ Du skulle nu have en fremragende teoretisk

tilnaeligrmelse Er du ikke helt tilfreds med fittet kan du gentage proceduren

-o-

5 Regressi is et gratis Fransk softwareprogram httpwwwac-nicefraudibertiguppyarticlesphplng=framppg=250


Indledning Henrietta Swan Leavitt fandt i 1912 ud af at en bestemt type stjerner cepheider pulserer og deres

pulsationsperiode giver et direkte maringl for den gennemsnitlige absolutte stoslashrrelsesklasse af stjernen

Eftersom det er nemt at maringle den tilsyneladende stoslashrrelsesklasse samt ovenstaringende periode kan

man nemt regne afstanden ud til stjernen ved hjaeliglp af afstandskvadratloven

Cepheiderne har ydermere den fordel at de lyser ganske kraftigt saring de er synlige selv i fremmede

galakser

I denne oslashvelse skal du maringle paring nogle billeder af en cepheidestjerne i Den lille Magellanske sky for

derefter at beregne afstanden til skyen

Billederne 1 Der er 20 billeder der viser de samme stjerner paring forskellige dage og tidspunkter Disse

datoer er oplyst i titlen paring hver billedefil Filnavnene er angivet nedenfor For eksempel blev

SMC-Cep-43522-1999-10-24-03-23-25fits taget af 24 oktober 1999 kl 03h 23m og 25s











Der er ogsaring en fil med navnet smc_sc5fits som udgoslashr CCD-omraringdet hvorfra de tidligere

snapshots er taget fra

2 Kopier Excel filen Answerfile_cepheid_emptyxls ind paring din computer og aringbn den Den

foslashrste og anden kolonne dag og time da billedet blev taget og Intervaltid (dage) er

allerede udfyldt Bemaeligrk at du kan negligere minutter men ikke timer

3 Aringben SalsaJ

4 I SalsaJ-vaeligrktoslashjslinjen skal du klikke paring Filer-Aringbn Aringbn2 filen

images_cepheidssmc_sc5fits Den cepheide vi vil undersoslashge her er placeret paring pixel x =

439 y = 3435 Find den (Brug evt Contrast-knappen samt zoom-vaeligrktoslashjet til at hjaeliglpe

dig)

Smaring snapshots centreret i dette omraringde er blevet ekstraheret til denne oslashvelse og vil blive

anvendt nedenfor

Fotometri med SalsaJ Ideen er at bruge sammenhaeligngen mellem cepheiders absolutte lysstyrke og deres periode til at

bestemme afstanden til en galakse Dette kan goslashres med en serie af billeder maringlt til forskellige

tidspunkter Vi maringler jo de tilsyneladende lysstyrker saring det er noslashdvendigt at foretage en kalibrering

af maringlingerne Heldigvis er kalibrering af et billede allerede foretaget og det goslashr det muligt at finde

den kalibrerede flux af 3 referencestjerner i billedomraringdet En relativ kalibrering som beskrevet

2 Hvis du faringr en out of memory besked skal du lukke SalsaJ og dernaeligste aringbne SalsaJ for Webcam Derved faringr du allokeret 256Mbytes














identifikationen





svarfilen


regneark






Cepheid 43522





















pulsationsperioden






























observere kurven




38461026 W









betydningsfuld

3 1 ly = 94611015 m 4 1 pc = 30861016 m
















andre celler



-o-















identifikationen





svarfilen


regneark






Cepheid 43522





















pulsationsperioden






























observere kurven




38461026 W









betydningsfuld

3 1 ly = 94611015 m 4 1 pc = 30861016 m
















andre celler



-o-






















pulsationsperioden






























observere kurven




38461026 W









betydningsfuld

3 1 ly = 94611015 m 4 1 pc = 30861016 m
















andre celler



-o-





















observere kurven




38461026 W









betydningsfuld

3 1 ly = 94611015 m 4 1 pc = 30861016 m
















andre celler



-o-





38461026 W









betydningsfuld

3 1 ly = 94611015 m 4 1 pc = 30861016 m
















andre celler



-o-

















andre celler



-o-


Documents

Afstandsmåling ved hjælp af Cepheidemetoden. · Nedenfor vil vi give en alternativ metode til at justere parametrene A, B, ω og φ. Da Excel, i modsætning til anden software som