Ajuste de curvas e Interpolación

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores de los extremos.

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

Y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de y ) de esta función.

Interpolación

Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función.

Los resultados obtenidos son valores aproximados.

La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres.

Cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal.

Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1. 

Interpolación Lineal

La forma más simple de interpolación consiste en unir dos puntos con una línea recta.

Utilizando triángulos semejantes cuanto menor sea el intervalo entre los datos, mejor será la aproximación.

Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolación lineal. Primero, realice el cálculo por interpolación entre ln 1=0 y ln 6 =1.791759.  Después, repita el procedimiento, pero use un intervalo menor de ln 1 a ln 4 (1.386294). Observe que el valor verdadero de ln 2 es 0.6931472.

Ejemplo:

Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática.

El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual, sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro.

También podemos utilizar la expresión del polinomio interpolador así:

Interpolación Cuadrática

Agrupando términos

Donde:

Ajuste un polinomio de segundo grado a los tres puntos del ejemplo anterior:◦ x0 = 1 f(x0) = 0◦ x1 = 4 f(x1) = 1.386294◦ x2 = 6 f(x2) = 1.791759

Ejemplo:

El análisis anterior puede generalizarse para ajustar un polinomio de n-ésimo grado a n+1 datos. El polinomio de n-ésimo grado es:

Los puntos asociados se utilizan para evaluar los coeficientes:

Polinomios de interpolación de Newton o diferencias finitas

Donde estos coeficientes son el resultado de realizar diferencias dividas finitas.

Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita sería:

La segunda diferencia dividida finita sería:

Realizamos el mismo problema de encontrar el ln 2, con los puntos x0=1, x1=4, x2=6 y x3=5.

Ejemplo:

Si graficamos resultados este nos queda de la siguiente manera:

Es simplemente una reformulación del polinomio de Newton, pero evitando las diferencias divididas finitas:

Donde:

Polinomio de interpolación de LaGrange

Donde el polinomio lineal quedaría:

El polinomio de segundo grado:

Con un polinomio de interpolación de LaGrange de primer y segundo orden evalúe el ln 2 con los datos:

Ejemplo:

Básicamente el ajuste de curvas se utiliza cuando se tiene una serie de datos calculados y se desea conocer valores intermedios no conocidos, o también en aquellos casos en que se desee una versión simplificada de una función que se ajuste a un numero de valores concretos, y posteriormente usar la función simplificada para derivar nuevos valores.

“Ajustar una curva implica ajustar una función g(x) a un conjunto de datos (xi,yi), i=1,2,...,L. g(x) puede ser un polinomio, una función lineal o combinación de funciones conocidas”

Ajuste de Curvas

Hay básicamente dos métodos para lograr ajuste de curvas:1. Si los datos no son muy exactos o tienen asociado un

error (ruido) entonces la mejor manera es establecer una sola curva que represente la tendencia general de los datos observados. Se conoce como REGRESIÓN LINEAL, cuyo método mas sencillo es la REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS.

2. Si los datos que se tienen son precisos se trazan una o varias curvas que pasan por cada uno de los puntos de datos. A esto se le llama INTERPOLACIÓN, la cual puede ser lineal o curvilínea.

Tipos

En este método se pretende trazar la recta que mas se acerque al conjunto de datos dado, a la cual se le llama “línea (recta) de regresión”, expresada matemáticamente como:

Regresión por mínimos cuadrados

Encontrar la línea de regresión que mejor se ajusta a los siguientes datos:

Para sustituir valores en las formulas anteriores realizamos una tabla como la siguiente:

Ejemplo

Y sustituyendo en la fórmula principal:

Resultados

Regresión cuadrática

Regresión polinomial

Ajustar a un polinomio de segundo grado los datos dados en las primeras dos columnas de la siguiente tabla:

Ejemplo:

Resultados

Nos queda un sistema de ecuaciones como el siguiente:

Si resolvemos por gauss:

Y sustituyendo en la ecuación cuadrática nos queda:

Interpolación Lineal Calcular el polinomio de grado 1 de los

datos en la siguiente tabla:

Ejercicios

Dada la tabla con los siguientes datos, obtener la función que se ajusta a los datos por el método de interpolación cuadrática:

Interpolación cuadrática

n xn f(xn)0 1 41 3 12 4.5 5

1. Ajuste un polinomio de interpolación de Newton de segundo orden para estimar el log 10, en x = 8, 9 y 11.

2. Repita el problema mediante polinomio de LaGrange.

3. Dados los datos

Calcule f(2.8) con el uso de polinomios de interpolación de Newton de órdenes 1 y 2.

4. Repita el problema utilizando polinomios de LaGrange.

Interpolación de Newton y Lagrange

5. Dados los datos

Calcule f(4) con el uso de polinomios de interpolación de Newton de órdenes 1 y 2.

6. Vuelva a hacer el problema con el uso de polinomios de LaGrange de órdenes 1 y 2.