Capitulo IV Ajuste de Curvas

Ajuste de curvas

Ing. Héctor G. Bolaños Sosa Pag .1

APLICACIÓN DE METODOS NUMERICOS CAPITULO IV

AJUSTE DE CURVAS

1. INTRODUCCION 1.1. Generalidades

Los datos casi siempre son valores discutidos a lo largo de un continuo. Se requiere una estimación en puntos entre los valores discutidos. Dos procedimientos generales para el ajuste de curvas. a) Los dataos pueden tener un grado significativo de error, entonces se

derivará una sola ecuación que represente la tendencia general de los datos. Uno de los procedimientos es “regresión” por mínimos cuadrados.

b) Los datos son muy precisos, el procediendo es ajustar a una curva o una serie de curvas que pasan directamente a través de cada uno de los puntos. Generalmente todos los datos se originan de tablas; ejemplo: densidad del agua, capacidad calorífica en función de la temperatura. El procedimiento se denomina “Interpolación”.

Interpolación lineal

Interpolación curvilínea

1.2. Revisión estadística a) Media aritmética

n

YiY∑=

_

b) Desviación estándar

1

2_

−

−

=n

YYi

Sy n-1 : Grados de libertad

c) Varianza

Ajuste de curvas


( )1

2

2

2

−

−=

∑∑

nn

YiYi

Sy No se requiere el cálculo del promedio

1

2_

2

−

−

=n

YYi

Sy

d) Coeficiente de Variación

_

Y

SyCV =

e) Histograma Se usa para la distribución de los datos

f) Estimación de los intervalos de confianza

)1,2/(_

−±= ntn

SyYLimite α

Ejemplo: Las mediciones del coeficiente de expansión térmico para un acero estructural fueron las que se detallan a continuación. Los valores estarán en (x10-6 Pulg/(pulgºF) Generar 25 valores en el rango: 6.395 y 6.775 Solución: >> E1=6.395+(6.775-6.395)*rand(25,1) >> E=fprintf('%4.3f\n',E1)

6.756 6.483 6.626 6.580 6.734

6.685 6.568 6.402 6.707 6.564

6.629 6.696 6.745 6.676 6.462

6.549 6.750 6.743 6.551 6.735

6.417 6.529 6.704 6.399 6.448

>> media=mean(E) media = 6.6055 >> des_sta=std(E) des_sta = 0.1210

>> varian=var(E) varian = 0.0147

>> hist(E)

Ajuste de curvas


6.35 6.4 6.45 6.5 6.55 6.6 6.65 6.7 6.75 6.8 6.850

1

2

3

4

5

6

coeficiente

Obs

>> histfit(E)

6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 70

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.3. Regresión por mínimos cuadrados El ejemplo más simple es mediante el ajuste de un conjunto de pares de observaciones: (x1,Y1), (X2,Y2),…,(Xn,Yn) a una línea recta:

eXaaY o ++= 1 (1) ao : Itercepto a1 : pendiente e : error o residuo

X

Y

XaaYe o 1−−= (2) El error es la discrepancia entre el valor real y el valor aproximado. La mejor estrategia para un mejor ajuste; es minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre la “Y” medida y la “Y” calculada con el modelo lineal.

( ) ( )∑∑∑===

−−=−==n

io

n

i

n

iiR XaaYYYeS

1

21

1

2

1

2imodeloi,medidai, (3)

n: Total de puntos

Ajuste de curvas


1.3.1. Ajuste por mínimos cuadrados de una línea re cta Para determinar los coeficientes ao y a1, de la ecuación (3) es diferenciando respecto a cada coeficiente.

( )

( )[ ]∑

∑

=

=

−−−=∂∂

−−−=∂∂

n

iiio

R

n

iio

o

R

XXaaYia

S

XaaYia

S

11

1

11

2

2

Ambas derivadas se fijan igual a cero, para obtener un mínimo:

∑∑∑∑∑∑

−−=

−−=2

1

1

0

0

iioii

ioi

XaXaXY

XaaY

Si hacemos oo naa =∑

Obtenemos las ecuaciones normales:

( ) ∑∑∑∑

=+

−−=

iio

ioi

YaXna

XanaY

1

10(4) ( ) ( ) iiioi

iioii

XYaXaX

XaXaXY

∑∑∑∑∑∑

=+

−−=

12

210

(5)

Resolviendo estas dos ecuaciones simultaneas, se tiene: Multiplicando la ecuación (4) por ( )∑− iX y la ecuación (5) por n:

( ) ( )( ) ( )∑∑∑∑∑ −=−− iiiii YXaXXaXn 10

( ) ( ) iiioi XYnaXnaXn ∑∑∑ =+ 12

Luego de las operaciones el sistema queda:

( ) ( )( ) iii

iii

XYnaXn

YXaX

∑∑∑∑∑

=

−=−

12

12

Resolviendo para a1:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) iiiiii

iiiiii

XYYXXnXa

XYnYXaXnaX

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑+−=

+−

+−=+−

221

12

12

( )221

∑∑∑ ∑∑

−

−=

ii

iiii

XXn

YXXYna (6)

Resolviendo para a0; despejando de la ecuación (4): ( )

( )1

1

1

an

X

n

Y

n

aXYa

YaXna

iiiio

iio

∑∑∑ ∑∑∑

−=−

=

=+(7)

1

__

aXYao −= (8) 1.3.2. Cuantificación del error de una regresión li neal

La desviación estándar para la línea de regresión se puede determinar:

2/ −=

n

SS R

yx (12)

El denominador es n-2, debido a los datos estimados (a0 y a1), que se usaron para calcular SR, tiene dos grados de libertad.

Ajuste de curvas


� �XaaY o 1��i

XaaY o 1��

Yi

Regresio

n lineal

Xi La suma Total de los cuadrados alrededor de la media, esta magnitud representa el error residual asociado con la variable dependiente antes de la regresión, la ecuación es:

∑=

−=

n

iT YYS

1

2_

medidai, (9)

La suma de cuadrados de los residuos alred edor de la línea de regresión, caracteriza el error residual después de la regresión, la ecuación es:

( )∑∑==

−−==n

io

n

iiR XaaYeS

1

21

1

2i (10)

La diferencia entre ST y SR cuantifica la mejora o reducción de error.

T

RT

S

SSr

−=2 (11)

Donde r2 es conocido como el coeficiente de determinación Donde r, es el coeficiente de correlación Ejemplo Sean los siguientes valores de “X” y de “Y”, ajustar a una línea recta. >> Y=[0.5 2.5 2 4 3.5 6 5.5]' Y = 0.5000 2.5000 2.0000 4.0000 3.5000 6.0000 5.5000

>> X=[1:7]' X = 1 2 3 4 5 6 7

Solución: >> n=length(X) n = 7 >> n=length(X) n = 7 >> sumy=sum(Y)

>> promx=mean(X) promx = 4 >> promy=mean(Y) promy = 3.4286 >> sumxy=sum(X.*Y)

Ajuste de curvas


sumy = 24 >> sumx=sum(X) sumx = 28

sumxy = 119.5000 >> sumx2=sum(X.^2) sumx2 = 140

Luego aplicamos las ecuaciones (7) y (8):

( )221

∑∑∑ ∑∑

−

−=

ii

iiii

XXn

YXXYna

>> nu=n*sumxy-sumx*sumy nu = 164.5000 >> de=n*sumx2-(sumx).^2 de = 196 >> a1=nu/de a1 = 0.8393

1

__

aXYao −= >> a0=promy-a1*promx a0 = 0.0714

Luego la ecuación de ajuste por mínimos cuadrados es: XY 8393.00714.0 +=

Graficando los valores observados y la curva de ajuste: >> yajus=0.0714+0.8393*X yajus = 0.9107 1.7500 2.5893 3.4286 4.2679 5.1072 5.9465

>> Y=[0.5 2.5 2 4 3.5 6 5.5]' Y = 0.5000 2.5000 2.0000 4.0000 3.5000 6.0000 5.5000

1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

X

Y

AJUSTE LINEAL

Obs

Ecua

Estimación de los errores

Ajuste de curvas


( )∑∑==

−−==n

io

n

iiR XaaYeS

1

21

1

2i

>> Sr=((Y-0.0714-0.8393*X).^2) Sr = 0.1687 0.5625 0.3473 0.3265 0.5897 0.7971 0.1994 >> Sr=sum((Y-0.0714-0.8393*X).^2) Sr = 2.9911

∑=

−=

n

iT YYS

1

2_

medidai,

>> st=(Y-promy).^2 st = 8.5765 0.8622 2.0408 0.3265 0.0051 6.6122 4.2908 >> st=sum((Y-promy).^2) st = 22.7143

La desviación estándar es:

2/ −=

n

SS R

yx

>> sxy=sqrt(Sr/(n-2)) sxy = 0.7734 Cálculo de lo coeficientes de determinación y correlación:

T

RT

S

SSr

−=2

>> r2=(st-Sr)/st r2 = 0.8683 >> r=sqrt(r2) r = 0.9318 El 86.8% de los datos originales son explicados por el modelo lineal

1.3.3. Usando funciones de Matlab a) Para determinar los coeficientes de la regresión lineal se usa la

función polyfit. Sintaxis: p = polyfit(x,y,n) Encuentra los coeficientes del polinomio p(x) de grado n. El resultado es un vector fila de n+1, conteniendo los coeficientes de orden descendente >> p=polyfit(X,Y,1) p = 0.8393 0.0714

b) Para predecir los valores, según la ecuación lineal se usa la función polyval. Sintaxis y = polyval(p,x) Devuelve el valor del polinomio de grado n, evaluado en X >> Y1=polyval(p,X)

Ajuste de curvas


Y1 = 0.9107 1.7500 2.5893 3.4286 4.2679 5.1071 5.9464

>> x=[1:7]' x = 1 2 3 4 5 6 7 >> y=[0.5 2.5 2 4 3.5 6 5.5]' y = 0.5000 2.5000 2.0000 4.0000 3.5000 6.0000 5.5000

>> p = polyfit(x,y,1) p = 0.8393 0.0714 >> f = polyval(p,x) f = 0.9107 1.7500 2.5893 3.4286 4.2679 5.1071 5.9464

1.3.4. Importando datos

Desde hoja de cálculo Para efectuar importación de datos desde Excel, se utiliza el comando xlsread . Este comando importa los datos de una hoja de cálculo a una variable tipo array. Sintaxis: Nombre variable=xlsread(‘nombre_archivo’,’nombre de hoja’,’rango’) La hoja de datos debe estar en el directorio que se está trabajando. Ejemplo: Importar datos de una hoja de cálculo de nombre DATOS_1, para la variable x e y. y=0.5 2.5 2 4 3.5 6 5.5 x= 1 2 3 4 5 6 7 Luego determinar la ecuación de ajuste y la gráfica

>> x=xlsread('DATOS_1','A4:A10') x = 1 2 3 4 5 6 7

>> y=xlsread('DATOS_1','b4:b10') y = 0.5000 2.5000 2.0000 4.0000 3.5000 6.0000 5.5000

Ajuste de curvas


>> p=polyfit(x,y,1) p =

0.0714

>> f=polyval(p,x) f = 0.9107 1.7500 2.5893 3.4286 4.2679 5.1071 5.9464

>> plot(x,y,'o',x,f),grid

1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

X

Y

AJUSTE

datos

Ajuste

Desde archivo txt a. En Excel cree la tabla y almacénela con formato tipo texto delimitado

con tabulaciones. Elija algún nombre. Ejemplo T.txt b. En MATLAB cargue la tabla T y úsela como una matriz:

>> load T.txt;

>> A=T

Ejemplo: Importar datos desde un archivo .txt

>> load T1.txt >> A=T1 A =

>> x=A(:,1) x = 1

>> y=A(:,2) y = 10

Ajuste de curvas


1 10 2 20 3 30 4 40 5 50

2 3 4 5

20 30 40 50

1.3.5. Usando la herramienta Toolbox de Matlab

La herramienta Curve Fitting Toolbox , provee una Interface Gráfica del

Usuario (GUIs) y la línea de comando funciona para ajustar los datos a

una curva. Esta herramienta realiza análisis exploratorio de datos,

preproceso y postproceso de los datos.

Se puede comparar los diferentes modelos. Se puede realizar análisis de

regresión usando la biblioteca de modelos lineales y no lineales, inclusive

con modelos definidos por el usuario. Esta herramienta también soporta

técnicas de modelamiento noparamétrico como son la interpolación a

suavizado.

Pasos: a) Estando en Matlab, ir a Start ( parte inferior izquierda) b) Ir a Toolboxes c) Ir a Curve Fitting d) Ir a Curve Fitting Tools

Aparece la siguiente ventana (GUI)

Procedimiento a) Ingreso de datos

Seleccionar los datos que están en las variables Importar los datos . Dar click a create data set

Ajuste de curvas


b) Ajuste de datos

Seleccionar New Fit Escoger un tipo de modelo de ajuste. Type of Fit Seleccionar los datos de salida . Tableo f Fits

c) Ejecutar el ajuste Dar click en Apply

d) Guardar la sesión Ir a: File/save session También se puede generar un archivo script Linear model Poly1: f(x) = p1*x + p2 Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 0.8393 (0.4636, 1.215) p2 = 0.07143 (-1.609, 1.752) Goodness of fit: SSE: 2.991 (Sr suma de los cuadrados de los residuos) R-square: 0.8683 ( Coeficiente de determinación) Adjusted R-square: 0.842 RMSE: 0.7734 (Representa la desv. Std. de la regresión)

1.4. Linearización de relaciones No Lineales En algunos casos los datos se pueden usar transformaciones para expresar los datos a una forma lineal

1.4.1. Modelo exponencial

Ajuste de curvas


teY βα −=

tY βα += lnln a) Generar una tabla en Excel con los datos experimentales que se

muestran en la tabla adjunta, luego graBarlos en formato txt. Tabla.- Comportamiento de secado de café a 46ºC

t( hr) % H2O 0 105 1 71 2 62 3 48 4 32 5 29 6 21 7 15 8 13 9 11

10 9 b) Haciendo el análisis con la herramienta toolsbox (curve fitting), se

estableció la siguiente ecuación exponencial:

teY βα −= teY 2635.04.101 −=

Donde : Y : Humedad ( %H2) α : Intercepto β : tasas de secado (razón de cambio) t : Tiempo de secado, en horas

c) Graficar la ecuación exponencial del secado de café:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

120SECADO DE CAFE A 46ºc

t (hr)

%H

2O

c) Graficar la ecuación semilogaritmica

Ajuste de curvas


En este caso se obtiene una línea recta. La ecuación linearizada es:

tY βα += lnln

tY

tY

2635.06191.4ln

)2635.0()4.101ln(ln

−=−+=

>> a a = 101.4000 >> b b = -0.2635 >> Y1=log(a)+b.*t; >> Y=exp(Y1)

>> tabla=[t,Y1,Y] tabla = 0 4.6191 101.4000 1.0000 4.3556 77.9115 2.0000 4.0921 59.8639 3.0000 3.8286 45.9969 4.0000 3.5651 35.3420 5.0000 3.3016 27.1553 6.0000 3.0381 20.8650 7.0000 2.7746 16.0318 8.0000 2.5111 12.3181 9.0000 2.2476 9.4647 10.0000 1.9841 7.2723

semilogy(t,Y),grid

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

0

101

102

103

SECADO DE CAFE

t (hr)

%H

2O

1.4.2. Modelo Potencial βαXY =

XY lnlnln βα += El crecimiento bacterial se da de acuerdo a la siguiente data x Y 1 0.5 2 1.7 3 3.4 4 5.7 5 8.4

Ajuste de curvas


a) Graficar los datos no trasformados b) Graficar los datos transformados

1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

10

12

14

16

18

t (hr)

cell/

ml

CRECIMEINTO BACTERIAS

>> loglog(x,y),grid

100

10-1

100

101

102

CRECIMEINTO BACTERIAL

t (hr)

cell/

ml

1.5. Regresión de polinomios El criterio de ajuste de mínimos cuadrados, se puede extender a polinomios de orden superior.

exaXaaY o +++= 221

Así la suma de los cuadrados de los residuos (Sr) es:

( )∑∑==

−−−==n

iiio

n

iiR XaXaaYeS

1

2221

1

2i

Derivando e igualando a cero, obtienen las siguientes ecuaciones normales:

Ajuste de curvas


( )

( )

( )221

1

2

2

221

11

1

221

2

2

2

iio

n

ii

R

iio

n

ii

R

n

iiio

o

R

XaXaaYiXa

S

XaXaaYiXa

S

XaXaaYia

S

−−−−=∂∂

−−−−=∂∂

−−−−=∂∂

∑

∑

∑

=

=

=

Estas ecuaciones se igualan a cero y se reordenan: ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

=++

=++

=++

iiiii

iiiii

iiio

YXaXaXaX

YXaXaXaX

YaXaXan

22

41

30

2

23

12

0

22

1)(

Esas tres ecuaciones con tres incógnitas se pueden resolver por cualquier técnica, ya estudiadas. El error estándar de la regresión es :

)1(/ +−=

mn

SS R

yx

n: Número de datos m: orden del polinomio Ejemplo : Ajustar a un polinomio de segundo orden los datos de la siguiente tabla. >> load seg_orde.txt >> data=seg_orde data = 0 2.1000 1.0000 7.7000 2.0000 13.6000 3.0000 27.2000 4.0000 40.9000 5.0000 61.1000 Solución a) Encontrando los coeficientes

∑ =

=

=

==

15

5.2

5.2

6

2

_

_

ix

y

x

n

m

∑∑∑∑

=

=

=

=

225

55

6.152

15

3

2

i

i

i

i

x

x

y

x

∑∑∑

=

=

=

8.2488

6.585

979

2

4

ii

ii

i

yx

yx

x

Reemplazando en las ecuaciones normales:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 8.248897922555

6.5852255515

6.1525515)6(

210

210

21

=++=++

=++

aaa

aaa

aaao

Resolviendo el sistema:

Ajuste de curvas


> A=[6 15 55;15 55 225;55 225 979] A = 6 15 55 15 55 225 55 225 979 >> b=[152.6 585.6 2488.8]' b = 1.0e+003 * 0.1526 0.5856 2.4888

>> a=bicg(A,b) bicg converged at iteration 3 to a solution with relative residual 3.5e-011 a = 2.4786 2.3593 1.8607 Entonces los coeficientes son:

8607.1

3593.2

4786.2

2

1

===

a

a

ao

La ecuación polinómica será:

28608.13593.24786.2 XXY ++= b) Generando una tabla de valores observados y calculados

>> ycal=2.4786+2.3593.*x+1.8607.*x.^2 ycal = 2.4786 6.6986 14.6400 26.3028 41.6870 60.7926

>> datos2=[x,y,ycal] datos2 = 0 2.1000 2.4786 1.0000 7.7000 6.6986 2.0000 13.6000 14.6400 3.0000 27.2000 26.3028 4.0000 40.9000 41.6870 5.0000 61.1000 60.7926

c) Graficando

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50

10

20

30

40

50

60

70AJUSTE SEGUNDO ORDEN

x

y

obsr

calc

d) Estimación de los errores

Suma total de los cuadrados

∑=

−=

n

iT YYS

1

2_

medidai,

>> St=(promy-y).^2 544.4444

( )∑∑==

−−−==n

io

n

iiR XaXaaYeS

1

2221

1

2i

>> Sr=(y-2.4786-2.3593*x-1.8706*x.^2).^2 Sr =

Ajuste de curvas


314.4711 140.0278 3.1211 239.2178 1272.1111 >> St=sum((promy-y).^2); >> fprintf('%8.4f\n',St) 2513.3933

0.1433 0.9831 1.1655 0.6530 0.8938 0.0036 >> Sr=sum((y-2.4786-2.3593*x-1.8706*x.^2).^2) Sr = 3.8423

Desviación standard del estimado o de la correlación:

1317.1)12(6

8423.3

)1(/ =+−

=+−

=mn

SS R

yx

Coeficiente de determinación:

9985.03933.2513

8423.33933.25132 =−=−

=T

RT

S

SSr

Coeficiente de correlación: r = 0.9992

1.6. Regresión lineal múltiple Una regresión lineal múltiple es el caso “y” en una función lineal de dos o más variables independientes.

exaxaaY +++= 22110 Así la suma de los cuadrados de los residuos (Sr) es:

( )∑∑==

−−−==n

iiio

n

iiR XaXaaYeS

1

22211

1

2i

Derivando e igualando a cero, obtienen las siguientes ecuaciones normales:

( )

( )

( )iio

n

ii

R

iio

n

ii

R

n

iiio

o

R

XaXaaYiXa

S

XaXaaYiXa

S

XaXaaYia

S

22111

22

22111

11

12211

2

2

2

−−−−=∂∂

−−−−=∂∂

−−−−=∂∂

∑

∑

∑

=

=

=

Estas ecuaciones se igualan a cero y se reordenan:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

=++

=++

=++

iiiiii

iiiiii

iiio

YXaXaXXaX

YXaXXaXaX

YaXaXan

222212102

122112101

2211)(

Esas tres ecuaciones con tres incógnitas se pueden resolver por cualquier técnica, ya estudiadas. El sistema se puede expresar de la siguiente manera.

Ajuste de curvas


=

∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

ii

ii

io

iiii

iiii

ii

YX

YX

Y

a

a

a

XXXX

XXXX

XXn

2

1

2

122212

21211

21

El error estándar de la regresión es :

)1(/ +−=

mn

SS R

yx

m : Número de variables independientes Ejemplo : Ajustar a un polinomio de segundo orden los datos de la siguiente tabla. >> x1=[0 2 2.5 1 4 7]; >> x2=[0 1 2 3 6 2] >> y=[5 10 9 0 3 27] Solución a) Encontrando los coeficientes

>> sumy=sum(y) sumy = 54 >> sumx1=sum(x1) sumx1 = 16.5000 >> sumx2=sum(x2) sumx2 = 14

>> sumx12=sum(x1.^2) sumx12 = 76.2500 >> sumx22=sum(x2.^2) sumx22 = 54

>> sum1sum2=sum(x1.*x2) sum1sum2 = 48 >> sumx1y=sum(x1.*y) sumx1y = 243.5000 >> sumx2y=sum(x2.*y) sumx2y = 100

∑ =

==

54

6

2

y

n

m

∑∑∑∑

=

=

=

=

54

25.76

14

5.16

22

21

2

1

x

x

x

x

∑∑∑

=

=

=

100

5.243

48

2

1

21

yx

yx

xx

Reemplazando en las ecuaciones normales:

=

100

5.243

54

544814

4825.765.16

145.166

2

1

a

a

ao

Resolviendo el sistema: >> M=[6 16.5 14;16.5 76.25 48;14 48 54]; >> b=[54 243.5 100]'; >> Co=bicg(M,b) bicg converged at iteration 3 to a solution with relative residual 9.5e-016 Co =

Entonces los coeficientes son: >> ao=Co(1) ao = 5.0000 >> a1=Co(2) A1 = 4.0000 >> a2=Co(3)

Ajuste de curvas


5.0000 4.0000 -3.0000

a2 = -3

La ecuación polinómica será:

21 345 XXY −+= b) Generando una tabla de valores observados y calculados

>> Ycalc=ao+a1.*x1+a2.*x2; >> Ycalc' ans = 5.0000 10.0000 9.0000 0 3.0000 27.0000

> data=[x1;x2;y;Ycalc]' data = 0 0 5.0000 5.0000 2.0000 1.0000 10.0000 10.0000 2.5000 2.0000 9.0000 9.0000 1.0000 3.0000 0 0 4.0000 6.0000 3.0000 3.0000 7.0000 2.0000 27.0000 27.0000

c) Graficando

02

46

8

0

2

4

60

5

10

15

20

25

30

x1x2

y

Usando toolboox >> x1 x1 = 0 2.0000 2.5000 1.0000 4.0000 7.0000 >> x2 x2 = 0 1 2 3 6 2 >> y y = 5 10 9 0 3 27

Ajuste de curvas


Surface fitting tool

Ajuste de curvas


EJERCICIOS 1. Ajustar los siguiente datos que se muestran:

a) Encontrar la ecuación de ajuste b) Graficar los valores observados y los ajustados c) Determinar la desviación estándar de la regresión y el r2.

2. Determinar los parámetros a y b del modelo exponencial.

a) Encontrar la ecuación de ajuste b) Graficar los valores observados y los ajustados c) Determinar la desviación estándar de la regresión y el r2.

3. Encontrar una ecuación de ajuste polinómica para los datos que se muestran abajo:

a) Graficar los valores observados y los ajustados b) Determinar la desviación estándar de la regresión y el r2.

4. Sean los siguientes datos que se muestran a continuación

Determinar: a) Encontrar la ecuación de ajuste. Probar hasta polinomios de grado 1, 3 5 y 7;

escoger el mejor. Usar el r2 b) Graficar los valores observados y los ajustados (deberá mostrar los 4 modelos)

5. Sea los siguientes datos:

X 2 3 4 7 8 9 5 5 y 9 6 5 10 9 11 2 3

a) Determinar la pendiente y el intercepto, calcular el error de la estimación y el coeficiente de correlación. Grafique los datos y la línea recta.

b) Recalcular pero usando regresión polinomial de segundo orden, y comparar los resultados con los encontrados en la parte a

Ajuste de curvas


APLICACIONES

1. La ley de Hooke es F =kx; donde f es la fuerza (libras) usadas para comprimir un resorte y x es el incremento del resorte ( en pulgadas). Encontrar la constate k

2. Los datos experimentales de un experimento de caída de cuerpos se muestran a

continuación:

La relación 2

2

1gtd = Donde d: distancia (m) y t:tiempo (seg). Encontrar la fuerza

de la gravedad g.

3.

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Capitulo IV Ajuste de Curvas