2011.10.25lth@campusvejle.dk

Akademi MerkonomerStatistikAften 5

Introduktion til dagen Afleveringen Hypoteser 6 Skridt til hypotesetest Evaluering

Denne aften

Vi kan gå ud fra normalfordeling når

Normalfordelt population

Ens fordelt uafhængig stikprøve med ◦ Centrale Grænseværdisætning Sætning 6.6

Binomial fordelt stikprøve med

Poisson fordelt stikprøve med

Normalitet

Estimat Middelværdi og SpredningBedste estimator for populationsmiddelværdi i normalfordeling er stikprøvegennemsnittet

Bedste estimator for populationsvariansen i normalfordeling er stikprøvevariansen

Bedste estimator populationsspredningen i normalfordeling er

Standard Normal FordelingenLad med Middelværdi.: og Varians.: Så Tæthedsfunktion.:

Fordelingsfunktion.:

Tabel + ExcellTabelopslag, Standard Normal fordeling og Normal Fordeling Lad 𝑿∼ 𝑵(𝟎,𝟏) De fire mest benyttede fraktiler (læg mærke til symmetri), 𝒛𝟗𝟓%,𝒛𝟗𝟕,𝟓%,𝒛𝟓%,𝒛𝟐,𝟓%

BeWI.: - BeWI->2.->D.->Fraktiler - BeWI->2.->E.->Fraktiler (ved ikke standardiseret)

Excell.: =STANDARDNORMFORDELING(x) =STANDARDNORMINV(fraktil) =NORMFORDELING(x,𝜇,𝜎,[0,1])

Konfidensinterval MiddelværdiKonfidensintervallet for middelværdien beskriver ss. for at populationens sande middelværdi 𝝁 er i nærheden af stikprøvens middelværdi 𝑿ഥ. Sandsynlighedsparametere udtrykkes negativt ved 𝜶, der er ss. for at 𝝁 ikke er tæt på 𝑿ഥ, vi taler derfor om et 𝟏 − 𝜶 konfidensinterval Herunder er 𝜶= % og derfor er 𝟏 − 𝜶= 𝟗𝟓% , altså er der 𝟗𝟓% ss. for at 𝝁 ligger inden for det angivne interval omkring 𝑿ഥ.

Hvis populationens sande varians er kendt, da er S= 𝝈 og ved brug af CLT får vi 𝑿ഥ− 𝒛𝟏−𝜶/𝟐 ⋅ 𝝈/ξ𝒏< 𝜇< 𝑿ഥ+ 𝒛𝟏−𝜶/𝟐 ⋅ 𝝈/ξ𝒏

𝝁 𝑿ഥ

𝒔

Vi kender approximationerne𝑿∼ 𝑵ሺ𝝁,𝝈𝟐/𝒏ሻ 𝒏 ≥ 𝟑𝟎

𝑿∼ 𝒕ሺ𝒗ሻ 𝒏< 30

𝑿∼ 𝒃ሺ𝒏,𝒑ሻ→ 𝑿∼ 𝑵ሺ𝒏𝒑,𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)/𝒏ሻ 𝒇𝒐𝒓 𝒏𝒑≥ 𝟏𝟎

𝑿∼ 𝒑𝒐ሺ𝝀ሻ→ 𝑿∼ 𝑵ሺ𝝀,𝝀/𝒏ሻ 𝒇𝒐𝒓 𝝀≥ 𝟏𝟎

𝝌𝟐− 𝒇𝒐𝒓𝒅𝒆𝒍𝒊𝒏𝒈𝒆𝒏

Idet hvorfor der gælder for stikprøvegælder at

Hvis fordelt

Hvor.: Amerikansk retssalsdrama ca.1960-1980

Emne.: Racediskrimination i sydstaterneHvid/Sort fordeling i sydstaterne.: 50-50Hvad.: 80 personers panel af mulige

jurymedl.Hvordan.: 4 sorte af de 80

Er det nu fair?Binomial fordeling med p=0,5

En hypotese

Hypotesetest.:

I en ny stikprøve, hvad er da chancen for at få et resultat, der er ligeså langt ude eller værre ?

Hvad er chancen

Chancen for 4xRoyal Straight Flush i streg

En sammenligning 5

muligheder for 5 kort

4 muligheder for Royal Straigh Flush

Så chance for 1 RSF.: 4/2.598960

Chance for 4 RSF i træk.:

Chance for 4 ud af 80.:

Virker ikke som en fair jurysammensætning,Og vi har brugt til

sammenligning.

KI – konfidensinterval

KV - Kritisk værdi, bruger

SS – Sandsynlighed

Mere og mere oplysende;Imellem, sammenlignende, sandsynliggørende

Bemærk.: Alle beregninger giver samme resultat

3 måder at teste (jo mere vi ved)

-værdi

Tre måder at evaluere hypoteser

Højresidet Venstresidet Tosidet

Nulhypotesen◦ Normalt afspejle det er ren chance◦ Hvis sand, ”FORKASTES EJ”

Alternativ hypotesenSKAL enten.:

a) Afspejle stikprøvens resultat, ellerb) Være samstemmende med forhåndsteoric) Der er en effekt

◦ Hvis sand, ”FORKASTES NULHYPOTESEN”

Én måde at formulere nul-hypotese

To måder at fejle I

Vi skal dømme, enter er.: X er uskyldig i mord.: X er skyldig i mord

X er uskyldig(H0 er sand)

X er skyldig(H0 er falsk)

X frikendes(H0 forkastes ej) Alt er godt Type 2 Fejl

X dømmes(H0 forkastes) Type 1 Fejl Alt er godt

Hvad betyder det for banken ?.: Kunden er ikke kreditværdig.: Kunden er kreditværdig

To måder at fejle II

X ikke kreditværdig (H0 er sand)

X er kreditværdig(H0 er falsk)

X får ikke et lån(H0 forkastes ikke) Alt er godt Type 2 Fejl

X får et lån(H0 forkastes) Type 1 Fejl Alt er godt

Bemærk.: Signifikans og Styrke er omvendt proportionale.

To måder at fejle III Testens signifikansniveau

Testens styrke

𝑯𝟎 er sand 𝑯𝟎 er falsk 𝑯𝟎 forkastes ej Alt er godt (ss. 𝟏 − 𝜶)

Type 2 Fejl (ss 𝜷) 𝑯𝟎 forkastes Type 1-Fejl

(ss 𝜶) Alt er godt (ss 𝟏 − 𝜷)

Eks.: Tosidet konfidensintervalEn virksomhed producerer varer, mindst 2400 enheder i gennemsnit pr. uge, dvs. 𝝁= 𝟐𝟒𝟎𝟎 1 Stikprøve ugentligt over 50 uger vise 𝒙ഥ= 𝟐𝟒𝟑𝟎,𝒔= 𝟐𝟎𝟎 𝒊𝒊𝒅+ 𝒏≥ 𝟑𝟎 så Centrale Grænseværdi Sætning 6.6 giver 𝑿ഥ∼ 𝑵(𝟐𝟒𝟑𝟎,𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎/𝟓𝟎) 𝑲𝑰𝟗𝟓 = 𝒙ഥ± 𝒛𝟎,𝟗𝟓𝝈ξ𝒏 = 𝟐𝟒𝟑𝟎± 𝟏,𝟗𝟔∗𝟐𝟎𝟎ξ𝟓𝟎 = ሾ𝟐𝟑𝟕𝟒,𝟔;𝟐𝟒𝟖𝟓,𝟒ሿ

Eks.: Tosidet kritisk værdiTransformation:

Kritisk værdi KV.:

I Excell.: =standardnormfordeling(0,975)=1,96 =standardnormfordeling(0,025)=-1,96 Og omvendt =standardnorminv(1,96)=0,975 =standardnorminv(-1,96)=0,025

1. Hvilken hypotesen2. Vælg fordelingen3. Fastlæg kristisk region4. Find p værdi5. Undersøg resultatet6. Tag en beslutning

Seks skridt til hypotese test

En virksomhed producerer varer, mindst 2400 enheder i gennemsnit pr. uge, dvs. 𝝁= 𝟐𝟒𝟎𝟎 1 Stikprøve ugentligt over 50 uger vise 𝒙ഥ= 𝟐𝟒𝟑𝟎,𝒔= 𝟐𝟎𝟎 Er test for andel, middelværdi, intensitet eller varians? På hvilket 𝜶− 𝐧𝐢𝐯𝐞𝐚𝐮?

1. Bestem hypotesen

2. Vælg fordeling 1 Stikprøve ugentligt over 50 uger vise 𝒙ഥ= 𝟐𝟒𝟑𝟎,𝒔= 𝟐𝟎𝟎 𝒊𝒊𝒅+ 𝒏≥ 𝟑𝟎 så Centrale Grænseværdi Sætning 6.6 giver 𝑿ഥ∼ 𝑵(𝟐𝟒𝟑𝟎,𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎/𝟓𝟎)

(Middelværdi og 5%)

3. Bestem kritisk regionEn virksomhed producerer varer, mindst 2400 enheder i gennemsnit pr. uge, dvs. 𝝁= 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝑿ഥ∼ 𝑵(𝟐𝟒𝟑𝟎,𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎/𝟓𝟎)

𝑯𝟎.: 𝝁= 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝑯𝒂 .: 𝝁≠ 𝟐𝟒𝟎𝟎 Idet følger stikprøveresultatet

4. Find p værdiBeWI-> 4. -> 1. -> z-test, tosidet

Vær obs. På at KeHaTools selv korrigerer variansen for stikprøvestørrelsen ved CLT

Test for middelværdi (z-test)

Hypoteser (tosidet test)

H0 : m = m0

HA : m ¹ m0

Input

Stikprøvestørrelse 50

Stikprøvegennemsnit 2430

Stikprøvespredning 200

Nul-værdi 2400

Resultat

Teststørrelse 1,06066

p-værdi 0,288844

5. Undersøg resultatet

6. Tag en beslutning𝑯𝟎.: 𝝁= 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝑯𝒂 .: 𝝁≠ 𝟐𝟒𝟎𝟎

P-værdien er 0,28, hvilket er mere end 0,05, der er ej forkast testniveauet

kan ej forkastes og, det er derfor den gældende hypotese.

Overblik

Eksempelvis.:

Tidsplan

Opgaver

Grupper

KehaTools

Evaluering16