Akademi MerkonomerStatistikAften 4

2011.10.11lth@campusvejle.dk

Gennemgang af aflevering Poisson Fordelingen Kontinuerte Fordelinger

◦ Intro til kontinuerte fordelinger◦ Normalfordelingen

Den Centrale Grænseværdisætning Konfidensintervaller

Evaluering

Denne dag

Diskrete FordelingerLad 𝑿 en diskret stokastisk variable Binomial-fordeling.: 𝑿∼ 𝒃(𝒏,𝒑) Stikprøve med tilbagelægning Hypergeometrisk-fordeling.: 𝑿∼ 𝒉(𝑵,𝑺,𝒏) Stikprøve uden tilbagelægning Poisson-fordeling.: 𝑿∼ 𝒑𝒐(𝝀) Antal hændelser i et område (eks. tid)

Poisson Fordeling IAntal hændelser i et område (eks. tid)

.: Intensiteten, der er konstant over hele området

I en poissonproces optræder begivenhederne i en tidsmæssig eller rumlig afgrænsning og følgende krav skal være opfyldt

- Max. 1 begivenhed i meget små intervaller - Sandsynligheden for en begivenhed er proportional med intervallets

længde

- For og forskellige intervaller og samt begivenheder i intervallerne gælder at og er uafhængige

Tæthedsfunktion.:

Poisson Fordeling IIDer gælder

- - -

Tilnærmet til normal for

Poisson(1)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 1 2 3 4 5 6

Poisson(2)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7

Poisson(5)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Poisson(10)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Poisson Fordeling IIIEksempel 10.:I gennemsnit kommer 3 biler forbi et vejkryds i minuttet, hvad er ss. for derkommer flere end 3 biler forbi ?

Excell.:=POISSON(x ; Middelværdi ; Kum. [0,1])

BeWI.:2.: Sandsynlighedsfordelinger og fraktilerb.: Poissonfordeling, indtast intensitet og evt. begrænsninger

Kontinuerte Stokastiske VariableTil ethvert tilfældigt eksperiment tildeles en numerisk værdi

og

En kontinuert stokastisk tæthedsfunktion skal opfylde

- er integrabel - for alle værdier af -

Eksempel 12.:

Fordelings & Tæthedsfunktion , KSV

Fordelingsfunktion.: Tæthedsfunktion.:

Sandsynligheder, KSVFor kont. s.v. reelle tal gælder der

- (punktsandsynligheden er ) - - -

Udtrykt ved fordelingsfunktionen

- - -

Regneregler, KSVLad en kontinuert s.v.

- -

-

Husk i det diskrete tilfælde var middelværdien

og variansen

NormalfordelingenLad En kontinuert s.v. med tæthedsfunktion

Kaldes normalfordelt med middelværdi og varians Vi skriver

Standard Normal FordelingLad med Middelværdi.: og Varians.: Så Tæthedsfunktion.:

Fordelingsfunktion.:

Transformation Standard Normal

Lad og reelle tal, da gælder

- Specielt

-

-

-

-fraktilen benævnes (skrives ofte og beregnes ved

Man er ofte interesseret i at finde , idet halen da fjernes i begge ender af fordelingsfkt.

St. Norm og BeregningerTabelopslag, Standard Normal fordeling Lad 𝑿∼ 𝑵(𝟎,𝟏) De fire mest benyttede fraktiler (læg mærke til symmetri), 𝒛𝟗𝟓%,𝒛𝟗𝟕,𝟓%,𝒛𝟓%,𝒛𝟐,𝟓%

BeWIStat.: 2. Sands. & Fordel. -> d. Z-fordel. 2. Sands. & Fordel. -> e. Normal

Excell.:

p=STANDARDNORMFORDELING(Z) Z=STANDARDNORMINV(p) p=NORMFORDELING(x;𝜇;𝜎;𝑘𝑢𝑚[0,1])

Andre 𝒕− 𝑭𝒐𝒓𝒅𝒆𝒍𝒊𝒏𝒈𝒆𝒏 Lad 𝑿∼ 𝑵(𝟎,𝟏) og 𝒀∼ 𝝌𝟐(𝒏) uafh. s.v., da gælder at 𝒁= 𝑿

ඥ𝒀/𝒏∼ 𝒕(𝒏)

Bruges som tilnærmelse til 𝑵(𝝁,𝝈𝟐) når 𝒏≤ 𝟑𝟎 𝜶-fraktilen betegnes 𝒕ሺ𝒏ሻ𝜶 kan også aflæses i tabel i App. D., Excel: p=tfordeling(t,f,[0,1]) t=tinv(p,f)

𝝌𝟐 − 𝑭𝒐𝒓𝒅𝒆𝒍𝒊𝒏𝒈 Hvis vi har 𝑛 uafhængige normalfordelte s.v. 𝑿𝟏,𝑿𝟐,…,𝑿𝒏 ∼ 𝑵𝒏(𝝁,𝝈), da gælder

𝒀= ሺ𝑿𝒊 − 𝝁ሻ𝟐𝝈𝟐𝒏

𝒊=𝟏 ∼ 𝝌𝟐(𝒏)

Sammenhængen med normalfordelingen er 𝑼∼ 𝑵ሺ𝟎,𝟏ሻ⟹𝑼𝟐 ∼ 𝝌𝟐(𝟏) 𝜶-fraktilen betegnes 𝝌𝟐ሺ𝒏ሻ𝜶 = 𝝌𝒏,𝜶𝟐 kan Også aflæses i tabel i App. D., Excel: p=chifordeling(t,f)

t=chiinv(p,f) Vi vender tilbage til denne fordeling

2 Normal FordelingerLad og Y , uafhængige s.v. Da er Lad , da gælder Gennemsnittet.:

Og

Centrale Grænseværdi SætningLad ens fordelte s.v. med

og Da gælder at gennemsnittet er en s.v. så tilnærmelsen

gælder for

Konfidensinterval MiddelværdiKonfidensintervallet for middelværdien beskriver ss. for at populationens sande middelværdi er i nærheden af stikprøvens middelværdi . Sandsynlighedsparametere udtrykkes negativt ved , der er ss. for at ikke er tæt på , vi taler derfor om et konfidensinterval Herunder er og derfor er , altså er der ss. for at ligger inden for det angivne interval omkring .

Hvis populationens sande varians er kendt, da er S

Beregning af Lad den stokastiske variabel: 𝑿∼ 𝑵൫𝝁,𝝈𝟐൯

Kendt varians: 𝝈𝟐 𝟏 − 𝜶= 𝑷(𝑿ഥ− 𝒛𝟏−𝜶/𝟐 ⋅ 𝝈/ξ𝒏 < 𝝁< 𝑿ഥ+ 𝒛𝟏−𝜶/𝟐 ⋅ 𝝈/ξ𝒏 )

Ukendt varians: 𝒔𝟐 𝟏 − 𝜶= 𝑷(𝑿ഥ− 𝒕(𝒏− 𝟏)𝟏−𝜶/𝟐 ⋅ 𝝈/ξ𝒏 < 𝝁< 𝑿ഥ+ 𝒕(𝒏− 𝟏)𝟏−𝜶/𝟐 ⋅ 𝝈/ξ𝒏 )

Bemærk.: For 𝒏≥ 𝟑𝟎 anvendes normalfordelingen og 𝒛𝟏−𝜶/𝟐 fremfor t-fordeling og t(n-1).

Eksempelvis.:

Struktur

Opgaver

Grupper

BeWi Stat

Evaluering