Álgebra - ADUNI 2

8/15/2019 Álgebra - ADUNI 2

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22Preguntas propuestasPreguntas propuestas


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Álgebra

2

Factorización de polinomios

NIVEL BÁSICO

1. Calcule la suma de los factores primos de

P( x; y)=(1+ xy)2 – ( x+ y)2.

A) 2( x+ y)

B) x+ y+1

C) 2 x+2 y – 1

D) x+ y+2

E) x+ y

2. Sea f ( x+2)= x. Si f ( x) es factor primo de P( x)+3,

donde P( x)=ax3 – 2ax2 – bx – 1; ab≠0, calcule el

valor de b.

A) – 1 B) 1/2 C) 1

D) –1/2 E) 0

3. Determine la suma de los factores primos del

siguiente polinomio.

M (a; b)=36a4 – 61a2 b2+25 b2

A) 14a

B) 12a+12 b

C) 25aD) 7a+6 b

E) 5a – 2 b

4. Indique el término independiente de un factor

primo del siguiente polinomio.

P( x)=( x – 23)2+3 x – 67

A) 25 B) 4 C) – 22

D) – 20 E) – 16

5. Si 2 es raíz del polinomio P( x)= x3– 5 x+a, en-

tonces determine el factor primo de mayor tér-

mino independiente.

A) f ( x)= x – 2

B) f ( x)= x – 4

C) f ( x)= x2– 2

D) f ( x)= x2 – 2 x – 1

E) f ( x)= x2+2 x – 1

NIVEL INTERMEDIO

6. Factorice el siguiente polinomio e indique un

factor primo.

P(a; b; c; d )=a2

–c2

+ b2

– d 2

+2(ab –cd )

A) a+ b+c – d

B) a+3 b+c+2 d

C) a – b+c – d

D) a+ b+c+ d

E) a+2 b+c+ d

7. Sea el siguiente polinomio de dos variables.

P( x; a)=2 x2 –a+2 x –ab+2 xb – ax.

Halle un factor primo.

A) x+ b B) ax+ b C) 2 x+ b

D) 2 x–a E) a+ b

8. Dados los polinomios

P( x)=( x2 – 2 x+1)( x2– x – 6)

3

Q( x)=( x – 1)2( x – 3)2( x – 4)2

indique el grado del máximo común divisor de

P( x) y Q( x).

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

9. Si f ( x) es un factor primo del polinomio

P( x)=( x+3)( x+2)( x+1) x – 8, calcule el mayor

valor de f (1).

A) 8 B) 7 C) 3

D) 2 E) 1

10. Factorice el siguiente polinomio cuártico.

P( x)= x4+ x2+1

A) P( x)=( x2+ x+1)( x2 – x+1)

B) P( x)=( x2+1)( x2 – x+1)

C) P( x)=(2 x+1)( x – 1)( x+1)(2 x – 1)

D) P( x)=( x2+ x – 1)( x2 – x – 1)

E) P( x)=( x2 – x – 1)( x2 – x+1)


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Álgebra

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NIVEL AVANZADO

11. Dado el polinomio

Q( x; y; z; w)=( x+ y+ z+ )( x+ y+ z+ w+5) – 24;

señale el factor primo de mayor términoindependiente.

A) x+ y+ z+ w – 2

B) x+ y+ z+ w – 3

C) x+ y+ z+ w+8

D) x+ y – z– w+1

E) x– y+ z – w+12

12. Si f ( x)= x+ b es un factor primo del polinomio

P( x)=(a2 – b2) x2 – 2 bx – 1 definido sobre Z, indique lo correcto.

A) P( x) es un trinomio cuadrado perfecto.

B) P( x) tiene solo una raíz.

C) g( x)= x– b es un factor de P( x).

D) – P( x) es un trinomio cuadrado perfecto.

E) P( x) tiene 3 factores primos lineales.

13. Factorice el siguiente polinomio sobre Z e indi-

que cuántos factores primos tiene.

P( x; y)=( x+ y)2( x2+3 xy+ y2) – 6 xy( x2+ xy+ y2)

A) 2 B) 3 C) 4

D) 1 E) 5

14. Si S( x) es la suma de factores primos del

polinomio

P( x)=6 x4– 5 x3 – 6 x2+3 x+2, halle S( x).

A) 2 x+1 B) 2( x+2) C) 3 x+2

D) 3 x E) 2(3 x+1)

15. Si –2 es una raíz del polinomio

f ( x)= x5+ x4+ mx3+ x2+ x+ m indique el factor primo cuadrático de f ( x).

A) x2 – x+1

B) x2+ x+1

C) x2 – x– 1

D) x2+ x – 1

E) x2+ x – 2


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Álgebra

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Teoría de ecuaciones

NIVEL BÁSICO

1. Si x0 es una solución de la ecuación

x2+7 x–5=0, determine el valor de

x x

x0

2

0

0

17

1 2

+

+

A) 5 B) –1 C) 0

D) 1 E) 10

2. Sea la ecuación polinomial

( x+2)( x – 1)2 · x3 · (2 x+6)4=0

Halle (a –b) si a es la suma de soluciones y b es la suma de raíces.

A) 2 B) 4 C) 6

D) 8 E) 10

3. Resuelva la ecuación lineal de incógnita x.

x

a

x

b

a

b

ab b

aba b+ = +

+≠

2 2

;

A) {a+ b} B) {a – b} C) {ab}

D) {ab–1} E) { b – a}

4. Determine el valor de x para que los tres nú-

meros siguientes estén en progresión aritmé-

tica.

3 – x; x+1; 2 x+1

A) 1/2 B) 2 C) 3/2

D) 4 E) 5/2

5. Si P( x+2)=2 x+1, entonces determine la solu-

ción x.

P( x – 2)+ P( x)=6

A) 4 B) 5 C) 6

D) 8 E) 7

NIVEL INTERMEDIO

6. Si b es solución de la ecuación x4+4=0, calcu-

le el valor deβ

β2

1 2

+

A) 1/4 B) 1/2 C) 1

D) 2 E) 4

7. Calcule el valor de m – n si se sabe que 2 es una

raíz doble en la ecuación

x6 – 9 x4+ mx2+ nx+8=0

A) 5 B) – 6 C) 49D) 54 E) 64

8. Dada la secuencia de ecuaciones

2 x– 3=1

3 x– 7=2

4 x – 13=3

5 x– 21=4

halle la solución de la novena ecuación.

A) 9 B) 10 C) 11

D) 12 E) 13

9. Resuelva la siguiente ecuación lineal de incóg-

nita x.

ax

bax

b

b

++ =

+1 2; ab≠ 0 ∧ b≠–1

A) {a–1} B) { b–1} C) {a}

D) { b} E) {a+ b}

10. Determine el valor de x que cumpla lo siguiente

2 3

2010

6 4

2011

6 9

20120

x x x−+

−+

−=

A) 1,5 B) –1,7 C) 1,8

D) 1,2 E) 1


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Álgebra

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NIVEL AVANZADO

11. Dada la ecuación polinomial

x x x x x x2 2 2

20

2 6 12− −( ) − −( ) − −( )... factores cuadráticos

= 0

determine la suma de raíces de dicha ecuación.

A) 19 B) 21 C) – 21

D) 20 E) – 20

12. En la ecuación polinomial

(2 x+1) n+3( x+ n)3( x+1)– n=0

la suma de soluciones de 1/2.

Calcule la suma de raíces de la ecuación.

A) 5 B) 4,5 C) 4D) 3,5 E) 3

13. Resuelva la siguiente ecuación si se sabe que

p > 0.

p p

p p

x p p+

−

=

+

1 1 3

2

3 3

2

2 2

A)1

3

1

3 p

p

+

B)1

3

1

3 p

p−

C)2

3

1

2 p

p−

D)3

2

1

2 p

p+

E)2

3

12 p

p+

UNMSM 2004 - I

14. Si x0 es la solución de la ecuación

x x x

1156

64 34

9248

34

64=

++

−

calcule el valor de 3 1 103 x − − .

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 8

15. Resuelva la siguiente ecuación lineal

x x x−+

−+

−= + +

2

15

3

10

5

6

2

5

2

2

2

3

A) 5 2 3− +{ }

B) 30{ }

C) 2 3+{ }

D) 2 3 5+ +{ }

E) 6 10 15+ +{ }


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Álgebra

6

Ecuación cuadrática

NIVEL BÁSICO

1. Halle el producto de las raíces de la décima

ecuación x2+ x–1=0

x2+8 x – 8=0

x2+27 x– 27=0

A) 729 B) 1000 C) –1000

D) – 729 E) 812

UNMSM 2000

2. Si la ecuación kx2+ x2– 4 x+3 k – 7=0 tiene raí-

ces recíprocas, entonces halle el valor de k.

A) 4 B) 2 C) 3

D) – 3 E) 5

UNMSM 2004 - I

3. Sean a y b raíces de la ecuación cuadrática.

2 x2– 6 x+14=0. Determine el valor de J .

J =(a – 1)2+(b – 1)2

A) – 11 B) 13 C) – 20D) – 9 E) 2

4. Determine una ecuación cuadrática cuyas raí-

ces sean

5 3

2

5 3+( )

+

y

A) x2– 3 x+5=0

B) x x2 5 2 0− + =

C) x2

– 2 x+4=0D) x x2 3 5 2 0− + =

E) x x2 2 5 2 0− + =

5. Las ecuaciones cuadráticas que se muestran a

continuación son equivalentes.

a x b x

x a x

+( ) + −( ) + =

+ +( ) + =

1 1 1 0

8 1 2 0

2

2

Determine el valor de a+b – 1.

A) 6 B) 3 C) 5

D) 4 E) –5

NIVEL INTERMEDIO

6. Dada la ecuación x2 – 6 x – 10=0, cuyas raíces

reales son a y b, tal que a > b, determine el

valor de (a – 2)2+(b+2)2.

A) 19 3+ B) 64 8 19− C) 64 2 19+

D) 64 72− E) 2 19

7. ¿Cuál es el valor de la suma de las imágenes

según P( x)= x2– 2 x+1 de las raíces de

Q( x)= x2+ x – 1?

A)3

85 B) 7 C) 5

D) 10 E) 0

UNMSM 2004 - I

8. Se sabe que x1 ∧ x2 son las raíces de la ecua-

ción x2–5 x+ m=0; y x3 ∧ x4 son las raíces de la

ecuación x2 – 80 x+ n=0. Si se sabe que los nú-

meros x1, x2, x3 y x4 (en el orden dado) forma

una progresión geométrica creciente, enton-ces halle el valor de m+ n.

A) 256 B) 260 C) 1024

D) 1028 E) 1020

9. Dada la ecuación de raíces no reales

2 x2 – ( m+1) x+( m+1)=0; m∈Z

halle el mínimo valor de m.

A) 0 B) 1 C) –1D) 8 E) 2

10. Si la siguiente ecuación cuadrática en x

2 x2+2(a+1) x+a2 – 1=0; a> 0

tiene una única solución, determine el valor de

dicha solución.

A) 3 B) –2 C) –1

D) 4 E) 2


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Álgebra

7

NIVEL AVANZADO

11. Determine el valor de una raíz de la siguiente

ecuación cuadrática en x.

(a – b)(a+ b) x2

– 2(a3

+ab2

) x+(a2

+ b2

)2

=0

A)a b

a b

2 2+

+

B) a+ b C) a– b

D)a b

a b

−

+

E)a b

a

2 2−

12. Indique la alternativa correcta respecto a la si-

guiente ecuación cuadrática.

cx x b c b2 2 0− + = ∈ ∧ ∈

+ −; R R

A) Tiene raíces no reales.

B) Posee raíces racionales.

C) Tiene raíces reales positivas.

D) Posee una única solución.

E) Tiene raíces reales de signos contrarios.

13. Dada la ecuación 4 x2 – 6 x+26=0, cuyas raíces

son r y s, además se define

S n= r n+ s n; ∀ n ∈ N

Determine el valor de

2 137 5

6

S S

S

+

A) 0 B) 1 C) 6

D) 3 E) 2

14. Sea la ecuación cuadrática

( ) ( ) ; ;a b x x a b a b− − + − = { } ⊂2 2 0 Z

de raíces reales y negativas.

Calcule el valor de la expresióna b

ab

3 3

3 1

−

+

.

A) 0 B) –1 C) 1

D) 2 E) 3

15. Determine el valor de n si la ecuación cuadráti-

ca mx2+ nx – 2=0 tiene por conjunto solución a

α

α

α

α

2013

2013

2013

20131 2 1+ −

; ; a ≠0

A) 2 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7


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Álgebra

8

Ecuación de grado superior

NIVEL BÁSICO

1. Si las raíces de la ecuación cuadrática

x2–3 x+2=0 son también raíces de la ecuación

cúbica x3+( m+9) x2+5 x– 2=0, indique el valor

de m.

A) –10 B) –14 C) 1

D) 10 E) –13

2. Dada la ecuación cúbica

x3 – ( n+1) x2+( n+3) x+ n=0 de raíces x1, x2 y

x3. Si la suma de raíces es 4, determine el valor

de T .

T = x1 x2+ x2 x3+ x1 x3(1+ x2)

A) 4 B) 6 C) – 2

D) 3 E) – 4

3. Si la ecuación x3 – 4 x2+ax – 8=0 tiene dos

raíces que suman 2, determine el valor de a.

A) 8 B) 0 C) 4

D) –1 E) 2

4. Si a, b yc son raíces de la ecuación x3 – 7 x+1=0

entonces halle el valor de

a a

a

b b

b

c c

c

3 3 31 2 1 3 1+ +

+ + +

+ + +

A) 27 B) 30 C) 32D) 36 E) 0

5. Dada la ecuación bicuadrada

134

32

5

2

52 0

4 3 2−( ) + −

+ −

+ −

−

− =

a x

a

x

a

x

a

x a

indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-

ciones:

I. El valor de a es 12.

II. La ecuación tiene dos raíces enteras.

III. La ecuación tiene dos raíces no reales.

A) FFV B) VVV C) VFF

D) FVV E) VFV

NIVEL INTERMEDIO

6. Dado

f ( x)=( x+3)( x – 2)( x – 4)

halle el número de soluciones reales de la

ecuación f ( x2)=0

A) 5 B) 6 C) 2

D) 4 E) 3

7. Si dos de las soluciones de la ecuación bicua-

drada x4 – mx2+ n=0 son 1 y 2, halle la suma

de cuadrados de las soluciones de la ecuación

x2+ mx+ n=0.

A) 25 B) 17 C) 9

D) 41 E) 33

8. Si 2+tan60º es una raíz de la ecuación cúbica x3– 9 x2+ mx+ n=0, { m; n} ⊂ Q, halle el valor de

m+ n.

A) 16 B) 21 C) – 5

D) 17 E) 2 3

9. Determine el intervalo de variación de a, de

modo que la ecuación bicuadrada x4+(1–a)

x2+2(a – 3)=0 tenga solo dos raíces reales.

A) 〈– ∞; 2〉 B) 〈– 6; 7〉 C) R – {5}

D) 〈– ∞; 3〉 E) 〈0; 3〉

10. Las raíces de la ecuación bicuadrada

2 x4 – 40 x2+ m=0 están en progresión aritméti-

ca. Determine el valor de m.

A) 25 B) 72 C) 50

D) 300 E) 150


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Álgebra

9

NIVEL AVANZADO

11. Si A x x x x= ∈ − ={ }Z / 5 35 36 B x x A= ∈ − ∈{ }Z /( )3

halle ( A ∪ B) – ( A ∩ B)

A) {– 3; 6}

B) {–3; 0; 3; 6}

C) {–3; 0; 3}

D) {–3; 3}

E) {0; 3; 6}

12. Si la ecuación cúbica x3 – x+1=0 tiene

CS={a; b; c}, calcule el valor de J .

J a b c

a b b c c a=

−( ) −( ) −( )+( ) +( ) +( )

2 2 21 1 1

A) –1 B) −1

2 C) 0

D) 1 E) 2

13. Sea K a

a

= − +( )

− +( )

1 6

1 6

0 8

0 81 3

,

, /

donde a es raíz de la ecuación x3 – x – 6=0.

Halle la expresión equivalente a K .

A) 1 0 8 16 9+ +a a, /

B) 1 4 3 8 3+ +a a / /

C) 1 0 6 22 3+ +a a, /

D) 1 8 81 16 81+ +a a / /

E) 1 0 8 16 9− +a a, /

UNMSM 2002

14. Determine el valor de n en la ecuación

2 x3 – 18 x2+ nx – 54=0, de modo que sus raíces

sean positivas.

A) 3 B) 9 C) 27

D) 54 E) 81

15. Si la suma de las raíces positivas de la ecuación

bicuadrada x4 – ( m+1) x2+ m=0 es el 75 % del

producto de todas las raíces, calcule el valor

de la menor raíz ( m ∈ Z+).

A) –2 B) 0 C) 1

D) 2 E) 4


10/12

Álgebra

10

Desigualdades e Intervalos

NIVEL BÁSICO

1. Dado el conjunto M ={ t ∈ Z /0 b – a

UNMSM 2000 - I


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Álgebra

11

10. Dé el valor de verdad de las siguientes propo-

siciones

I.1

2

1

6

1

12

1

1101+ + + +


12/12

Semestral SM

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

TEORÍA DE ECUACIONES

ECUACIÓN CUADRÁTICA

ECUACIÓN DE GRADO SUPERIOR

DESIGUALDADES E INTERVALOS

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