-
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:1
1. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 400 gra-
mos de café de Chiapas y 600 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 600 gramos de
café de Chiapas y 400 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 70 paquetes
de Café Económico y 30 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 40
paquetes de Café Económico y 60 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 6 contenedores para el norte del páıs y
4 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 714. kilogramos de café de Chiapas y
786. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
2. Se ha monitoreado el nivel de ĺıquido h(t) en un reactor
qúımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 4
1 10
6 11
8 11
Por el método de mı́nimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadrático:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c aśı como el nivel
pronósticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
3. Si:
A =
[7 −42 −1
]
B =
[−3 −4−1 −3
]
C =
[−6 20−3 10
]
D =
[0 −4−1 1
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobación, reporte el renglón 2.
Respuesta:
4. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos más cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Aśı por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T4 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 16o, Tb = 21
o, Tc = 16o
Td = 25o, Te = 28
o, Tf = 23o
Reporte sólo el valor de T1.
Respuesta:
-
2
5. Para la función:
f(x, y) = 12x− 14x3 − 18 y2 + y4
clasifique los siguientes puntos:
a) (4, 0)
b) (4, 3)
c) (−4, 0)d) (2,−3)e) (−4, 3)
respecto a las opciones:
1) Punto cŕıtico: máximo relativo
2) No punto cŕıtico
3) Punto cŕıtico: punto silla
4) Punto cŕıtico sin información por el criterio de la
Hes-
siana
5) Punto cŕıtico: mı́nimo relativo
Respuesta:
6. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 5 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 507 As, 373 Bs y 389 Cs;
para armar 3 Xs, 2 Ys y 4 Zs se requirieron en total 394
As, 294 Bs y 303 Cs; y que para armar 2 Xs, 2 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 354 As, 262 Bs y 272 Cs. Además,
se sabe que para obtener un M se requieren 5 As, 5 Bs y
4 Cs; para un N se requieren 4 As, 2 Bs y 3 Cs y para
un P se requieren 4 As, 3 Bs y 3 Cs. Indique, en orden,
cuántas piezas A y cuántas B se requieren para armar un
X y cuántas piezas M y cuántas N para armar un X.
Respuesta:
7. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R1 ← 5R12. R2 ↔ R33. R4 ← R4 − 4R24. R3 ← R3 + 5R1
la convierten en la matriz:2 5 5 1 1
0 0 1 3 3
0 3 4 1 1
0 0 0 2 3
0 0 0 −8 −8
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
8. Para la transformación lineal de R4 en R4 definida como
T
x
y
z
w
=
3w − 18x + 2 y + z−4w + 16x
27w − 144x + 12 y + 6 z12w − 72x + 8 y + 4 z
clasifique los vectores
a.
−2−86
−8
b.
−11
−8−4
c.
2
−518
9
d.
1
−18
4
e.
−615
−54−27
de acuerdo a la siguiente lista
1) Tanto en el núcleo como en la imagen de T.
2) En el núcleo pero no en la imagen de T.
3) En la imagen pero no en el núcleo de T.
4) Ni en la imagen ni en el núcleo de T.
Respuesta:
9. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −7x + 6 y
y′ = −9x + 8 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
10. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[−3 1−4 1
]
C =
[−1 1
1 −3
]
D =
[7 −4−6 10
]Resuelva para X la siguiente ecuación:
A (B X)T − 3 C = D
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
-
MA1010, Examen Final, Tipo: 1 3
11. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x + 3 y − 2 z = 4−x + 3 y − 3 z = 73x− 9 y + 8 z = −18−2x + 6 y
− 5 z = 11
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mı́nimos cuadrados y la fórmula general para ellas
es xyz
= 20
2
+ y 41
0
2 El sistema es inconsistente y tiene como solución úni-
ca de mı́nimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 20
0
+y 31
0
+z 40
1
4 Tiene solución única y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 20
3
+ y 41
0
Indique su selección y reporte los números que completan
la respuesta.
Respuesta:
12. Indique la dimensión del subespacio . . .
(1) generado por{−2 + 2x− x3, 2 + 2x− 3x3,−1 + x2 + x3, 3 + 3x+
3x2
}
(2) generado por{[2 −1
−2 0
],
[1 −2
−2 2
],
[0 −2
−1 2
],
[−2 2−2 −2
]}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 4 4 45 8 51 1 4
x = 00
0
Respuesta:
13. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B
esuna base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un
conjunto linealmente independiente de V , D es unconjunto
linealmente dependiente de V , C es un conjuntode elementos de V y
9 es la dimensión de V . Indique cómo
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene 9 elementos, entonces D genera a V .b) B tiene mas
de 9 elementos.c) I tiene al menos 9 elementos.d) D tiene mas de 9
elementos.e) G tiene menos de 9 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente información
Respuesta:
14. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de
vectores:
a)
2410
, 49−1
, −11−2
b)
−59−1
, 80−1
, −727−4
c)
0−48
, 24
3
, 51
4
, −4−12
2
d)
212
, 99
9
e)
7−12
, 110
10
, 12
9
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opción que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las
siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
15. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
-
4
a) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lución, entonces A es invertible.
b) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solución única, enton-
ces A es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solución única.
e) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces
A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
-
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:2
1. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B
esuna base para V , G es un conjunto generador para V , I esun
conjunto linealmente independiente de V , D es un con-junto
linealmente dependiente de V , C es un conjunto deelementos de V y
15 es la dimensión de V . Indique cómo
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene menos de 15 elementos.
b) B tiene 15 elementos.
c) Si I tiene 15 elementos, entonces I genera a V .
d) Si D tiene mas de 15 elementos, entonces D genera aV .
e) I tiene a lo mas 15 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente información
Respuesta:
2. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
4x + 2 y + 3 z = 2
3x + 5 y + 4 z = 3
3x + 2 y + 5 z = 3
5x + y + 3 z = 4
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mı́nimos cuadrados y la fórmula general para ellas
es xyz
= 20
3
+ y 41
0
2 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 20
0
+y 31
0
+z 40
1
3 Tiene solución única y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene como solución úni-
ca de mı́nimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 2
3
0
+ y 4
5
1
Indique su selección y reporte los números que completan
la respuesta.
Respuesta:
3. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de
vectores:
a)
100−1
, 13−1
, 113−2
b)
77−3
, 5−3
4
, 30
3
c)
525
, −58
8
d)
4−2−2
, 1−3
2
, 1−3
4
, 3−9
10
e)
943
, 0−2−3
, 2−2
6
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opción que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las
siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
-
2
4. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 4 Ys
y 5 Zs se requirieron en total 328 As, 480 Bs y 386 Cs;
para armar 3 Xs, 2 Ys y 5 Zs se requirieron en total 301
As, 438 Bs y 350 Cs; y que para armar 3 Xs, 4 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 329 As, 480 Bs y 388 Cs. Además,
se sabe que para obtener un M se requieren 4 As, 5 Bs y
3 Cs; para un N se requieren 2 As, 4 Bs y 3 Cs y para
un P se requieren 3 As, 4 Bs y 5 Cs. Indique, en orden,
cuántas piezas A y cuántas B se requieren para armar un
X y cuántas piezas M y cuántas N para armar un X.
Respuesta:
5. Si:
A =
[−4 −1−3 −1
]
B =
[0 1
2 1
]
C =
[7 −8−4 4
]
D =
[−4 −1−2 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobación, reporte el renglón 2.
Respuesta:
6. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −18x + 5 y
y′ = −60x + 17 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
7. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R4 ← R4 − 3R22. R1 ← −4R13. R3 ← R3 − 3R14. R2 ↔ R3
la convierten en la matriz:3 4 5 5 1
0 2 3 2 4
0 8 16 11 19
0 0 0 0 2
0 0 0 2 2
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
8. Indique la dimensión del subespacio . . .
(1) generado por{[2 0
−2 1
],
[−1 −55 2
],
[1 1
1 −1
],
[1 −22 1
]}
(2) generado por{−2− 4x+ 4x2 − 6x3, 3 + 6x− 6x2 + 9x3,2 + 4x−
4x2 + 6x3, −1− 2x+ 2x2 − 3x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 3 3 35 8 51 1 4
x = 00
0
Respuesta:
9. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[3 1
−4 −1
]
C =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuación:(
(A X)T
B)T
= C
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
10. Para la función:
f(x, y) = 12x− 14x3 − 2 y2 + y4
clasifique los siguientes puntos:
a) (2, 1)
b) (4, 0)
c) (−4,−1)d) (4,−1)e) (4, 1)
respecto a las opciones:
-
MA1010, Examen Final, Tipo: 2 3
1) Punto cŕıtico: mı́nimo relativo
2) Punto cŕıtico: máximo relativo
3) Punto cŕıtico: punto silla
4) No punto cŕıtico
5) Punto cŕıtico sin información por el criterio de la
Hes-
siana
Respuesta:
11. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 250 gra-
mos de café de Chiapas y 750 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 750 gramos de
café de Chiapas y 250 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 70 paquetes
de Café Económico y 30 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 20
paquetes de Café Económico y 80 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 6 contenedores para el norte del páıs y
4 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 740. kilogramos de café de Chiapas y
860. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
12. Se ha monitoreado el nivel de ĺıquido h(t) en un
reactor
qúımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 3
2 13
4 14
7 14
Por el método de mı́nimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadrático:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c aśı como el nivel
pronósticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
13. Para la transformación lineal de R4 en R4 definida como
T
x
y
z
w
=
−w − 5x− 4 y + z−3w − 9x
−13w − 43x− 8 y + 2 z3w + 15x + 12 y − 3 z
clasifique los vectores
a.
5
6
40
−14
b.
15
−9−3
−45
c.
−31
−29
d.
−93
−627
e.
3
0
6
−9
de acuerdo a la siguiente lista
1) Tanto en el núcleo como en la imagen de T.
2) En el núcleo pero no en la imagen de T.
3) En la imagen pero no en el núcleo de T.
4) Ni en la imagen ni en el núcleo de T.
Respuesta:
14. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos más cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Aśı por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 16o, Tb = 33
o, Tc = 34o
Td = 34o, Te = 18
o, Tf = 29o
Reporte sólo el valor de T5.
Respuesta:
15. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz AT no es invertible, entonces A x = 0
tiene infinitas soluciones.
-
4
b) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0tiene
solución única.
c) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solución única.
d) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
e) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lución, entonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
-
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:3
1. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
c) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solución única.
d) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces
A es invertible.
e) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solución única.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
2. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[3 −41 −1
]
C =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuación:(
(A X)T
B)
C−B = 0
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
3. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 400 gra-
mos de café de Chiapas y 600 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 650 gramos de
café de Chiapas y 350 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 70 paquetes
de Café Económico y 30 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 20
paquetes de Café Económico y 80 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 5 contenedores para el norte del páıs y
5 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 775. kilogramos de café de Chiapas y
725. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
4. Se ha monitoreado el nivel de ĺıquido h(t) en un reactor
qúımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 3
1 15
3 18
9 18
Por el método de mı́nimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadrático:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c aśı como el nivel
pronósticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
5. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
-
2
cuatro nodos más cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Aśı por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 15o, Tb = 13
o, Tc = 29o
Td = 13o, Te = 21
o, Tf = 24o
Reporte sólo el valor de T5.
Respuesta:
6. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 4 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 188 As, 360 Bs y 386 Cs;
para armar 4 Xs, 2 Ys y 4 Zs se requirieron en total 244
As, 450 Bs y 484 Cs; y que para armar 2 Xs, 2 Ys y 3 Zs
se requirieron en total 171 As, 317 Bs y 340 Cs. Además,
se sabe que para obtener un M se requieren 3 As, 4 Bs y
4 Cs; para un N se requieren 2 As, 5 Bs y 5 Cs y para
un P se requieren 2 As, 4 Bs y 5 Cs. Indique, en orden,
cuántas piezas A y cuántas B se requieren para armar un
X y cuántas piezas M y cuántas N para armar un X.
Respuesta:
7. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B
esuna base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un
conjunto linealmente independiente de V , D es unconjunto
linealmente dependiente de V , C es un conjuntode elementos de V y
8 es la dimensión de V . Indique cómo
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene al menos 8 elementos.
b) Si I tiene menos de 8 elementos, entonces I generaa V .
c) G tiene a lo mas 8 elementos.
d) B tiene menos de 8 elementos.
e) D tiene mas de 8 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente información
Respuesta:
8. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
4x + 3 y + 10 z = 2
3x + 5 y + 13 z = 1
x + 4 y + 9 z = 4
2x + 4 y + 10 z = 2
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 2
3
0
+ y 4
5
1
2 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 20
0
+y 31
0
+z 40
1
3 Tiene solución única y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mı́nimos cuadrados y la fórmula general para ellas
es xyz
= 2
3
0
+ z 4
5
1
5 El sistema es inconsistente y tiene como solución úni-
ca de mı́nimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su selección y reporte los números que completan
la respuesta.
Respuesta:
9. Indique la dimensión del subespacio . . .
(1) generado por{[−3 11 1
],
[1 0
−2 −1
],
[2 −11 0
],
[−2 2−6 −2
]}
(2) generado por{−2− 3x− 2x2 + 3x3, 8 + 6x− 2x2 − 6x3,2− 3x2, 6
+ 3x− 4x2 − 3x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 5 5 155 6 152 2
6
x = 00
0
Respuesta:
-
MA1010, Examen Final, Tipo: 3 3
10. Para la función:
f(x, y) = 12x− 14x3 − 8 y2 + y4
clasifique los siguientes puntos:
a) (4, 2)
b) (−4, 0)
c) (4, 0)
d) (−4, 2)
e) (−2, 2)
respecto a las opciones:
1) Punto cŕıtico: máximo relativo
2) Punto cŕıtico: punto silla
3) No punto cŕıtico
4) Punto cŕıtico sin información por el criterio de la
Hes-
siana
5) Punto cŕıtico: mı́nimo relativo
Respuesta:
11. Si:
A =
[10 −3−3 1
]
B =
[−4 −4−1 −3
]
C =
[6 22
4 14
]
D =
[−3 −1
1 −1
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobación, reporte el renglón 1.
Respuesta:
12. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de
vectores:
a)
−580
, 81−3
, −4−4−4
b)
65−2
, 49−2
, 2224−8
c)
2−57
, 310
2
, −7−35
1
d)
378
, 63
9
e)
550
, 97
2
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opción que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las
siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
13. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R3 ← R3 − 5R12. R2 ↔ R33. R4 ← R4 − 2R24. R1 ← 2R1
la convierten en la matriz:3 3 4 5 4
0 2 1 4 5
0 −6 −1 −9 −140 0 0 0 5
0 0 0 1 4
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
14. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −27x + 12 y
y′ = −56x + 25 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 3, y(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
15. Para la transformación lineal de R4 en R4 definida como
T
x
y
z
w
=
−3w − 20x− 4 y + z−w − 5x
−18w − 115x− 20 y + 5 z15w + 100x + 20 y − 5 z
-
4
clasifique los vectores
a.
−10−2
−5650
b.
6
1
34
−30
c.
−6−1
−3430
d.
1
−3−5−6
e.
1
0
5
−5
de acuerdo a la siguiente lista
1) Tanto en el núcleo como en la imagen de T.
2) En el núcleo pero no en la imagen de T.
3) En la imagen pero no en el núcleo de T.
4) Ni en la imagen ni en el núcleo de T.
Respuesta:
-
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:4
1. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x + 4 y + 11 z = 2
x + y + 3 z = 1
3x + 5 y + 13 z = 2
4x + 3 y + 10 z = 1
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solución úni-
ca de mı́nimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mı́nimos cuadrados y la fórmula general para ellas
es xyz
= 2
3
0
+ z 4
5
1
3 Tiene solución única y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 20
0
+y 31
0
+z 40
1
5 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 2
3
0
+ y 4
5
1
Indique su selección y reporte los números que completan
la respuesta.
Respuesta:
2. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B
esuna base para V , G es un conjunto generador para V , I esun
conjunto linealmente independiente de V , D es un con-junto
linealmente dependiente de V , C es un conjunto deelementos de V y
17 es la dimensión de V . Indique cómo
son cada una de las afirmaciones
a) B tiene mas de 17 elementos.
b) D tiene al menos 17 elementos.c) Si G tiene 17 elementos,
entonces I es linealmente
independiente.
d) G tiene a lo mas 17 elementos.e) I tiene mas de 17
elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente información
Respuesta:
3. Si:
A =
[−3 1−4 1
]
B =
[2 −31 −1
]
C =
[−1 2−2 1
]
D =
[4 −31 −3
]Resuelva para X la siguiente ecuación:
A (X B)T − 2 C = D
Reporte el renglón 1.
Respuesta:
4. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −9x + 8 y
y′ = −12x + 11 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = 3
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
5. Indique la dimensión del subespacio . . .
(1) generado por{[−1 0−2 2
],
[−1 2−1 0
],
[0 −2
−2 0
],
[2 −41 −2
]}
-
2
(2) generado por{−10 + 5x− 4x2 − 2x3, −2 + x2 − 3x3,−2 + x− 2x2
+ x3, −2x− x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 2 2 24 7 44 4 6
x = 00
0
Respuesta:
6. Para la transformación lineal de R4 en R4 definida como
T
x
y
z
w
=
4w + 27x + 4 y + z
6w + 36x
−35w − 219x− 12 y − 3 z−24w − 162x− 24 y − 6 z
clasifique los vectores
a.
3
6
−32−18
b.
2
−617
−11
c.
6
1
−22−36
d.
4
−1234
−22
e.
1
0
−3−6
de acuerdo a la siguiente lista
1) Tanto en el núcleo como en la imagen de T.
2) En el núcleo pero no en la imagen de T.
3) En la imagen pero no en el núcleo de T.
4) Ni en la imagen ni en el núcleo de T.
Respuesta:
7. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos más cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Aśı por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T4 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 19o, Tb = 20
o, Tc = 29o
Td = 17o, Te = 10
o, Tf = 20o
Reporte sólo el valor de T6.
Respuesta:
8. Para la función:
f(x, y) = 12x− 14x3 − 18 y2 + y4
clasifique los siguientes puntos:
a) (−4, 0)b) (−4, 3)c) (4, 0)
d) (−2, 3)e) (4,−3)
respecto a las opciones:
1) Punto cŕıtico: máximo relativo
2) Punto cŕıtico: punto silla
3) No punto cŕıtico
4) Punto cŕıtico sin información por el criterio de la
Hes-
siana
5) Punto cŕıtico: mı́nimo relativo
Respuesta:
9. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R3 ← R3 + 3R12. R1 ← 4R13. R2 ↔ R34. R4 ← R4 + 6R2
la convierten en la matriz:1 4 4 2 5
0 4 1 4 2
0 8 7 12 9
0 0 0 0 5
0 0 0 4 1
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
-
MA1010, Examen Final, Tipo: 4 3
10. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 3 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 372 As, 379 Bs y 386 Cs;
para armar 3 Xs, 2 Ys y 4 Zs se requirieron en total 389
As, 392 Bs y 397 Cs; y que para armar 2 Xs, 5 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 545 As, 552 Bs y 553 Cs. Además,
se sabe que para obtener un M se requieren 5 As, 4 Bs y
4 Cs; para un N se requieren 5 As, 5 Bs y 4 Cs y para
un P se requieren 3 As, 4 Bs y 5 Cs. Indique, en orden,
cuántas piezas A y cuántas B se requieren para armar un
X y cuántas piezas M y cuántas N para armar un X.
Respuesta:
11. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de
vectores:
a)
6−11
, −58
2
b)
900
, −44
6
, 17−8−12
c)
−358
, −42−1
, −3−4−3
d)
−36−3
, 78
10
, −110−1
, 438
7
e)
−5−210
, 1−1
5
, −12
0
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opción que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las
siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
12. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 150 gra-
mos de café de Chiapas y 850 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 650 gramos de
café de Chiapas y 350 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 60 paquetes
de Café Económico y 40 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 30
paquetes de Café Económico y 70 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 6 contenedores para el norte del páıs y
4 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 620. kilogramos de café de Chiapas y
980. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
13. Si:
A =
[4 −1−3 1
]
B =
[10 −1−9 1
]
C =
[4 −3−1 1
]
D =
[−3 1−4 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 2Y = D
Reporte el renglón 1.
Respuesta:
14. Se ha monitoreado el nivel de ĺıquido h(t) en un
reactor
qúımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 3
1 10
5 14
7 14
Por el método de mı́nimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadrático:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c aśı como el nivel
pronósticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
15. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución
única, entonces A no es invertible.
-
4
b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solución única.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0tiene
infinitas soluciones.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces AT x = 0
tiene solución única.
e) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces
A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
-
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:5
1. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B
esuna base para V , G es un conjunto generador para V , I esun
conjunto linealmente independiente de V , D es un con-junto
linealmente dependiente de V , C es un conjunto deelementos de V y
13 es la dimensión de V . Indique cómo
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene menos de 14 elementos.b) Si D tiene menos de 13
elementos, entonces D es base.c) G tiene a lo mas 13 elementos.d) D
tiene a lo mas 13 elementos.e) Si I tiene 13 elementos, entonces I
genera a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente información
Respuesta:
2. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[3 −41 −1
]
C =
[4 −1−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuación:(
(A X)T
B)T
= C
Reporte el renglón 1.
Respuesta:
3. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 200 gra-
mos de café de Chiapas y 800 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 600 gramos de
café de Chiapas y 400 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 60 paquetes
de Café Económico y 40 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 30
paquetes de Café Económico y 70 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 5 contenedores para el norte del páıs y
5 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 600. kilogramos de café de Chiapas y
900. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
4. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 3 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 548 As, 364 Bs y 437 Cs;
para armar 3 Xs, 3 Ys y 2 Zs se requirieron en total 396
As, 264 Bs y 314 Cs; y que para armar 5 Xs, 2 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 400 As, 268 Bs y 317 Cs. Además,
se sabe que para obtener un M se requieren 4 As, 4 Bs y
3 Cs; para un N se requieren 5 As, 3 Bs y 3 Cs y para
un P se requieren 5 As, 2 Bs y 5 Cs. Indique, en orden,
cuántas piezas A y cuántas B se requieren para armar un
X y cuántas piezas M y cuántas N para armar un X.
Respuesta:
5. Se ha monitoreado el nivel de ĺıquido h(t) en un reactor
qúımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
2 14
5 17
9 17
Por el método de mı́nimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadrático:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c aśı como el nivel
pronósticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
-
2
6. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R32. R3 ← R3 − 4R13. R4 ← R4 − 5R24. R1 ← 6R1
la convierten en la matriz:4 1 4 5 2
0 0 3 5 5
0 5 3 4 2
0 0 0 5 1
0 0 0 15 6
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
7. Si:
A =
[−3 1−4 1
]
B =
[−6 −1−11 2
]
C =
[3 1
−4 −1
]
D =
[−4 −1−3 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
8. Para la función:
f(x, y) = 12x− 14x3 − 8 y2 + y4
clasifique los siguientes puntos:
a) (4, 2)
b) (−2,−2)c) (4, 0)
d) (4,−2)e) (2,−2)
respecto a las opciones:
1) Punto cŕıtico: máximo relativo
2) Punto cŕıtico sin información por el criterio de la
Hes-
siana
3) No punto cŕıtico
4) Punto cŕıtico: mı́nimo relativo
5) Punto cŕıtico: punto silla
Respuesta:
9. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x + 6 y + 4 z = 2
2x + 6 y + 7 z = −13x + 9 y + 4 z = 5
2x + 6 y + 6 z = 0
se puede decir que:
1 Tiene solución única y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene como solución úni-
ca de mı́nimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 20
3
+ y 41
0
4 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 20
0
+y 31
0
+z 40
1
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mı́nimos cuadrados y la fórmula general para ellas
es xyz
= 20
2
+ y 41
0
Indique su selección y reporte los números que completan
la respuesta.
Respuesta:
10. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lución, entonces A es invertible.
b) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0tiene
infinitas soluciones.
c) Si la matriz A es invertible, entonces AT x = 0 tiene
infinitas soluciones.
d) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces
A es invertible.
-
MA1010, Examen Final, Tipo: 5 3
e) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solución única.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
11. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de
vectores:
a)
2−4−3
, 17
0
, 7−5−9
b)
266
, −19
10
, −133
36
c)
2−56
, 4−4
4
, 108−2
, −26−28
10
d)
8−34
, 106−5
e)
−2−3−1
, 03
0
, −49
0
, −26−1
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opción que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las
siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
12. Indique la dimensión del subespacio . . .
(1) generado por{3 + 2x+ 3x2 + 2x3, 3 + 15x+ 12x2 + 9x3,
2− 3x− x2 − x3, −12 + 5x− 3x2 − x3
}
(2) generado por{[2 −11 2
],
[−2 −2−1 1
],
[−10 0−8 −2
],
[−1 1−2 0
]}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 5 5 51 4 11 1 3
x = 00
0
Respuesta:
13. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −27x + 12 y
y′ = −56x + 25 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = 3
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
14. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos más cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Aśı por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 30o, Tb = 27
o, Tc = 30o
Td = 23o, Te = 38
o, Tf = 37o
Reporte sólo el valor de T4.
Respuesta:
15. Para la transformación lineal de R4 en R4 definida como
T
x
y
z
w
=
−6w + 34x + 5 y + z−3w + 18x
4w − 28x + 10 y + 2 z−36w + 204x + 30 y + 6 z
-
4
clasifique los vectores
a.
1
0
2
6
b.
2
6
−2812
c.
−15−3
−15−90
d.
−30
−6−18
e.
4
12
−4226
de acuerdo a la siguiente lista
1) Tanto en el núcleo como en la imagen de T.
2) En el núcleo pero no en la imagen de T.
3) En la imagen pero no en el núcleo de T.
4) Ni en la imagen ni en el núcleo de T.
Respuesta:
-
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:6
1. Indique la dimensión del subespacio . . .
(1) generado por{3 + 6x− 4x3, 3− 3x− 3x2 + 2x3,9− 3x− 7x2 + 2x3,
−3x− x2 + 2x3
}
(2) generado por{[0 1
2 −1
],
[0 1
2 −1
],
[0 −2
−4 2
],
[0 2
4 −2
]}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 4 4 41 2 14 4 6
x = 00
0
Respuesta:
2. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de
vectores:
a)
6−11
, 05
10
, 182
13
b)
−5106
, 87−2
, −37
6
c)
−2−19
, 3−4
1
, −1111
6
d)
8105
, 61
5
, 60−1
, 29
0
e)
24−5
, 69
8
, 6−1
4
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opción que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las
siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
3. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces AT x = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
c) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0tiene
solución única.
d) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
e) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solución única.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
4. Si:
A =
[−2 1−3 1
]
B =
[−14 2−16 4
]
C =
[3 1
−4 −1
]
D =
[3 −41 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:
A X + B Y = C
X + 5Y = D
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
-
2
5. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[2 1
−3 −1
]
C =
[−2 −3
1 −2
]
D =
[8 5
−5 5
]Resuelva para X la siguiente ecuación:
A (X B)T − 2 C = D
Reporte el renglón 1.
Respuesta:
6. Se ha monitoreado el nivel de ĺıquido h(t) en un reactor
qúımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
2 14
4 16
9 16
Por el método de mı́nimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadrático:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c aśı como el nivel
pronósticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
7. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos más cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Aśı por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T4 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 19o, Tb = 32
o, Tc = 15o
Td = 30o, Te = 14
o, Tf = 32o
Reporte sólo el valor de T3.
Respuesta:
8. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −15x + 12 y
y′ = −18x + 15 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 3, y(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
9. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B
esuna base para V , G es un conjunto generador para V , I esun
conjunto linealmente independiente de V , D es un con-junto
linealmente dependiente de V , C es un conjunto deelementos de V y
12 es la dimensión de V . Indique cómo
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene 12 elementos, entonces D es base.
b) D tiene mas de 12 elementos.
c) G tiene mas de 12 elementos.
d) I tiene al menos 12 elementos.
e) Si I tiene 12 elementos, entonces I es base.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente información
Respuesta:
10. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x + y + 3 z = 4
x + 2 y + 5 z = 2
4x + 4 y + 12 z = 4
3x + 3 y + 9 z = 1
se puede decir que:
1 Tiene solución única y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
-
MA1010, Examen Final, Tipo: 6 3
2 El sistema es inconsistente y tiene como solución úni-
ca de mı́nimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mı́nimos cuadrados y la fórmula general para ellas
es xyz
= 2
3
0
+ z 4
5
1
4 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 20
0
+y 31
0
+z 40
1
5 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 2
3
0
+ y 4
5
1
Indique su selección y reporte los números que completan
la respuesta.
Respuesta:
11. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 2 Ys
y 5 Zs se requirieron en total 511 As, 489 Bs y 276 Cs;
para armar 5 Xs, 3 Ys y 3 Zs se requirieron en total 440
As, 425 Bs y 238 Cs; y que para armar 4 Xs, 2 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 422 As, 404 Bs y 228 Cs. Además,
se sabe que para obtener un M se requieren 3 As, 2 Bs y
2 Cs; para un N se requieren 4 As, 5 Bs y 2 Cs y para
un P se requieren 4 As, 3 Bs y 2 Cs. Indique, en orden,
cuántas piezas A y cuántas B se requieren para armar un
X y cuántas piezas M y cuántas N para armar un X.
Respuesta:
12. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 150 gra-
mos de café de Chiapas y 850 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 600 gramos de
café de Chiapas y 400 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 60 paquetes
de Café Económico y 40 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 20
paquetes de Café Económico y 80 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 5 contenedores para el norte del páıs y
5 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 585. kilogramos de café de Chiapas y
915. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
13. Para la transformación lineal de R4 en R4 definida como
T
x
y
z
w
=
8w − 21x− 6 y + z4w − 8x
65w − 155x− 30 y + 5 z16w − 42x− 12 y + 2 z
clasifique los vectores
a.
5
5
49
11
b.
2
4
35
4
c.
−30
−15−6
d.
−5−5
−49−11
e.
6
3
48
12
de acuerdo a la siguiente lista
1) Tanto en el núcleo como en la imagen de T.
2) En el núcleo pero no en la imagen de T.
3) En la imagen pero no en el núcleo de T.
4) Ni en la imagen ni en el núcleo de T.
Respuesta:
14. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R1 ← 4R12. R4 ← R4 + 6R23. R2 ↔ R34. R3 ← R3 − 2R1
la convierten en la matriz:5 1 3 2 3
0 0 2 1 3
0 2 2 5 2
0 0 0 5 3
0 0 0 −5 2
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
-
4
15. Para la función:
f(x, y) = 12x− 14x3 − 18 y2 + y4
clasifique los siguientes puntos:
a) (−4, 3)b) (−4, 0)c) (4,−3)d) (4, 3)
e) (−2,−3)
respecto a las opciones:
1) Punto cŕıtico: mı́nimo relativo
2) Punto cŕıtico sin información por el criterio de la
Hes-
siana
3) Punto cŕıtico: punto silla
4) Punto cŕıtico: máximo relativo
5) No punto cŕıtico
Respuesta:
-
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:7
1. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B
esuna base para V , G es un conjunto generador para V , I esun
conjunto linealmente independiente de V , D es un con-junto
linealmente dependiente de V , C es un conjunto deelementos de V y
12 es la dimensión de V . Indique cómo
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene mas de 12 elementos.b) B tiene menos de 12
elementos.c) D tiene mas de 12 elementos.d) Si D tiene menos de 12
elementos, entonces D genera
a V .
e) Si G tiene 13 elementos, entonces G es
linealmentedependiente.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente información
Respuesta:
2. Se ha monitoreado el nivel de ĺıquido h(t) en un reactor
qúımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 2
1 11
3 12
7 12
Por el método de mı́nimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadrático:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c aśı como el nivel
pronósticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
3. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x + 4 y + 4 z = 1
2x + y + 5 z = 5
x + 4 y + 3 z = 3
x + 3 y + 4 z = 3
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mı́nimos cuadrados y la fórmula general para ellas
es xyz
= 20
3
+ y 41
0
2 El sistema es inconsistente y tiene como solución úni-
ca de mı́nimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 2
3
0
+ y 4
5
1
4 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 20
0
+y 31
0
+z 40
1
5 Tiene solución única y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su selección y reporte los números que completan
la respuesta.
Respuesta:
4. Para la transformación lineal de R4 en R4 definida como
T
x
y
z
w
=
7w + 22x− 4 y + z−5w − 20x
23w + 56x− 24 y + 6 z−28w − 88x + 16 y − 4 z
clasifique los vectores
a.
−615
21
24
b.
−8−2
−5632
c.
4
1
28
−16
d.
2
−5−7−8
e.
2
0
12
−8
de acuerdo a la siguiente lista
-
2
1) Tanto en el núcleo como en la imagen de T.
2) En el núcleo pero no en la imagen de T.
3) En la imagen pero no en el núcleo de T.
4) Ni en la imagen ni en el núcleo de T.
Respuesta:
5. Para la función:
f(x, y) = 12x− 14x3 − 8 y2 + y4
clasifique los siguientes puntos:
a) (4, 2)
b) (4, 0)
c) (−2, 2)d) (−4, 2)e) (−4, 0)
respecto a las opciones:
1) Punto cŕıtico: punto silla
2) Punto cŕıtico: máximo relativo
3) Punto cŕıtico sin información por el criterio de la
Hes-
siana
4) No punto cŕıtico
5) Punto cŕıtico: mı́nimo relativo
Respuesta:
6. Indique la dimensión del subespacio . . .
(1) generado por{−2− x+ x3, 1 + x2,−4− 4x+ 10x2 + x3, 1 + x−
3x2
}
(2) generado por{[1 −10 1
],
[−2 2−2 1
],
[0 −2
−2 −2
],
[−1 52 6
]}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 5 15 152 6 63 9
9
x = 00
0
Respuesta:
7. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 4 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 317 As, 282 Bs y 280 Cs;
para armar 4 Xs, 5 Ys y 3 Zs se requirieron en total 420
As, 372 Bs y 369 Cs; y que para armar 2 Xs, 3 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 301 As, 264 Bs y 263 Cs. Además,
se sabe que para obtener un M se requieren 4 As, 3 Bs y
2 Cs; para un N se requieren 3 As, 4 Bs y 5 Cs y para
un P se requieren 3 As, 2 Bs y 2 Cs. Indique, en orden,
cuántas piezas A y cuántas B se requieren para armar un
X y cuántas piezas M y cuántas N para armar un X.
Respuesta:
8. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos más cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Aśı por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 27o, Tb = 11
o, Tc = 12o
Td = 16o, Te = 31
o, Tf = 29o
Reporte sólo el valor de T4.
Respuesta:
9. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.d) Si el sistema A x = 0 tiene
infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
e) Si la matriz A es invertible, entonces AT x = 0 tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
-
MA1010, Examen Final, Tipo: 7 3
3) Falso
Respuesta:
10. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −15x + 12 y
y′ = −16x + 13 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
11. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R32. R4 ← R4 − 6R23. R3 ← R3 − 6R14. R1 ← 6R1
la convierten en la matriz:5 3 3 5 5
0 5 2 5 5
0 −5 3 −2 −40 0 0 0 3
0 0 0 1 5
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
12. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[−12 −18
6 6
]
C =
[−2 1−3 1
]
D =
[−3 −4
1 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:
A X + B Y = C
X + 5Y = D
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
13. Si:
A =
[4 −3−1 1
]
B =
[2 −31 −1
]
C =
[2 −1−2 1
]
D =
[−7 3
0 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuación:
A (B X)T − 2 C = D
Reporte el renglón 1.
Respuesta:
14. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de
vectores:
a)
887
, 98
6
b)
438
, 57
2
, 107−5
, −1−4
6
c)
495
, 61
0
, 1419
10
d)
57−4
, 0−2
4
, −15
3
e)
5−5−4
, −410
3
, −3−3−4
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opción que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las
siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
15. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 350 gra-
mos de café de Chiapas y 650 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 700 gramos de
-
4
café de Chiapas y 300 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 60 paquetes
de Café Económico y 40 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 40
paquetes de Café Económico y 60 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 3 contenedores para el norte del páıs y
7 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 784. kilogramos de café de Chiapas y
716. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
-
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:8
1. Si:
A =
[3 1
−4 −1
]
B =
[−4 −1−3 −1
]
C =
[3 −41 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuación:((
A XT)T
B
)T= C
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
2. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 3 Ys
y 5 Zs se requirieron en total 334 As, 347 Bs y 492 Cs;
para armar 4 Xs, 4 Ys y 3 Zs se requirieron en total 328
As, 349 Bs y 491 Cs; y que para armar 4 Xs, 5 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 324 As, 348 Bs y 488 Cs. Además,
se sabe que para obtener un M se requieren 2 As, 4 Bs y
5 Cs; para un N se requieren 4 As, 3 Bs y 3 Cs y para
un P se requieren 2 As, 2 Bs y 5 Cs. Indique, en orden,
cuántas piezas A y cuántas B se requieren para armar un
X y cuántas piezas M y cuántas N para armar un X.
Respuesta:
3. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R4 ← R4 − 4R22. R3 ← R3 − 6R13. R2 ↔ R34. R1 ← −6R1
la convierten en la matriz:1 1 3 1 4
0 0 3 1 3
0 5 4 5 4
0 0 0 3 5
0 0 0 −6 −9
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
4. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lución, entonces A es invertible.
b) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solución única, enton-
ces A es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solución única.
d) Si la matriz AT es invertible, entonces A x = 0 tiene
solución única.
e) Si el sistema A x = 0 tiene solución única, entonces
A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
5. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de
vectores:
a)
9−55
, 3−3
7
, 18−14
26
b)
−2−30
, −5−1
4
c)
446
, 24−1
, −24
1
d)
262
, −12−4
, 99−3
e)
−159
, −19
5
, 0−4
1
, −113
4
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opción que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las
siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
-
2
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
6. Se ha monitoreado el nivel de ĺıquido h(t) en un reactor
qúımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 4
2 12
5 16
7 16
Por el método de mı́nimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadrático:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c aśı como el nivel
pronósticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
7. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 250 gra-
mos de café de Chiapas y 750 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 600 gramos de
café de Chiapas y 400 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 60 paquetes
de Café Económico y 40 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 40
paquetes de Café Económico y 60 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 3 contenedores para el norte del páıs y
7 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 673. kilogramos de café de Chiapas y
927. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
8. Para la función:
f(x, y) = 27x− 19x3 − 8 y2 + y4
clasifique los siguientes puntos:
a) (−9,−2)
b) (9,−2)
c) (9, 2)
d) (−3,−2)
e) (9, 0)
respecto a las opciones:
1) No punto cŕıtico
2) Punto cŕıtico: máximo relativo
3) Punto cŕıtico: punto silla
4) Punto cŕıtico: mı́nimo relativo
5) Punto cŕıtico sin información por el criterio de la
Hes-
siana
Respuesta:
9. Indique la dimensión del subespacio . . .
(1) generado por{2x+ 3x3, 3− 3x+ 2x2 + 3x3,−1− 3x3, −1 + 2x− 2x2
− 2x3
}
(2) generado por{[1 0
1 −2
],
[0 4
−4 10
],
[1 0
−2 1
],
[0 −2
−1 −2
]}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 5 5 304 6 245 5
30
x = 00
0
Respuesta:
10. Si:
A =
[−4 −1−3 −1
]
B =
[−4 −2−4 −3
]
C =
[6 −91 −1
]
D =
[2 4
3 −2
]Resuelva para X el siguiente sistema de ecuaciones:
A X + Y = B
X + C Y = D
Como comprobación, reporte el renglón 1.
Respuesta:
-
MA1010, Examen Final, Tipo: 8 3
11. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −11x + 8 y
y′ = −12x + 9 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = 3
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
12. Para la transformación lineal de R4 en R4 definida como
T
x
y
z
w
=
w − 9x− 4 y + z−w + 4x
2w − 33x− 20 y + 5 z4w − 36x− 16 y + 4 z
clasifique los vectores
a.
−10
−5−4
b.
5
−45
21
c.
4
−116
16
d.
−41
−16−16
e.
−3−1
−18−12
de acuerdo a la siguiente lista
1) Tanto en el núcleo como en la imagen de T.
2) En el núcleo pero no en la imagen de T.
3) En la imagen pero no en el núcleo de T.
4) Ni en la imagen ni en el núcleo de T.
Respuesta:
13. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B
esuna base para V , G es un conjunto generador para V , I esun
conjunto linealmente independiente de V , D es un con-junto
linealmente dependiente de V , C es un conjunto deelementos de V y
14 es la dimensión de V . Indique cómo
son cada una de las afirmaciones
a) D tiene a lo mas 14 elementos.b) Si D tiene menos de 14
elementos, entonces D es base.c) I tiene al menos 14 elementos.d) G
tiene menos de 14 elementos.e) Si I tiene 13 elementos, entonces I
es base.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente información
Respuesta:
14. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos más cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Aśı por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 39o, Tb = 12
o, Tc = 21o
Td = 18o, Te = 29
o, Tf = 36o
Reporte sólo el valor de T5.
Respuesta:
15. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x + 2 y − 2 z = 12x− 4 y + 4 z = −23x− 6 y + 6 z = −33x− 6 y +
6 z = −3
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 2
3
0
+ y 4
5
1
-
4
2 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 20
0
+y 31
0
+z 40
1
3 El sistema es inconsistente y tiene como solución úni-
ca de mı́nimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 Tiene solución única y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mı́nimos cuadrados y la fórmula general para ellas
es xyz
= 20
3
+ y 41
0
Indique su selección y reporte los números que completan
la respuesta.
Respuesta:
-
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:9
1. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de
vectores:
a)
93−4
, −26
1
, 13−9−6
b)
2−10
, −51
7
, 010
2
, −521
11
c)
06−4
, 3−2
0
d)
131
, −10−1
, 10−3−4
, 43
4
e)
10102
, −2−4−5
, −22−24−9
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opción que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las
siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
2. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[−10 −11
1 5
]
C =
[−4 −1−3 −1
]
D =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 4Y = D
Reporte el renglón 1.
Respuesta:
3. Indique la dimensión del subespacio . . .
(1) generado por{[1 3
3 0
],
[0 −2
−2 −2
],
[1 −3
−3 −6
],
[−1 −1−1 2
]}
(2) generado por{1− 3x+ x3, 3− 9x+ 3x3,−3 + 9x− 3x3, 3− 9x+
3x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 1 1 15 7 52 2 4
x = 00
0
Respuesta:
4. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si la matriz A es invertible, entonces AT x = 0 tiene
infinitas soluciones.
d) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
e) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solución única, enton-
ces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
5. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B
esuna base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un
conjunto linealmente independiente de V , D es unconjunto
linealmente dependiente de V , C es un conjuntode elementos de V y
9 es la dimensión de V . Indique cómo
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene menos de 10 elementos.
-
2
b) Si D tiene menos de 9 elementos, entonces D generaa V .
c) G tiene al menos 9 elementos.
d) Si G tiene 9 elementos, entonces I es linealmente
in-dependiente.
e) B tiene mas de 9 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente información
Respuesta:
6. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[2 −31 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuación:
((A XT
)TB
)T= C
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
7. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 300 gra-
mos de café de Chiapas y 700 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 650 gramos de
café de Chiapas y 350 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 70 paquetes
de Café Económico y 30 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 20
paquetes de Café Económico y 80 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 6 contenedores para el norte del páıs y
4 contenedores para el sur del páıs; Además, si un cier-
to d́ıa se utilizaron 718. kilogramos de café de Chiapas y
882. kilogramos de café de Veracruz en total para prepa-
rar contenedores, indique cuántos contenedores del tipo 1
y cuántos contenedores del tipo 2 se armaron. Se esperan
4 números como respuesta.
Respuesta:
8. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 4 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 378 As, 344 Bs y 468 Cs;
para armar 4 Xs, 5 Ys y 2 Zs se requirieron en total 342
As, 307 Bs y 426 Cs; y que para armar 2 Xs, 2 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 184 As, 166 Bs y 228 Cs. Además,
se sabe que para obtener un M se requieren 3 As, 3 Bs y
2 Cs; para un N se requieren 2 As, 3 Bs y 4 Cs y para
un P se requieren 4 As, 2 Bs y 5 Cs. Indique, en orden,
cuántas piezas A y cuántas B se requieren para armar un
X y cuántas piezas M y cuántas N para armar un X.
Respuesta:
9. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de
Calor es determinar la temperatura en estado estable de
una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-
rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos
interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-
madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos más cercanos arriba, abajo, a la derecha, y
a la izquierda. Aśı por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 10o, Tb = 12
o, Tc = 29o
Td = 25o, Te = 15
o, Tf = 20o
Reporte sólo el valor de T1.
Respuesta:
10. Para la función:
f(x, y) = 27x− 14x3 − 2 y2 + y4
clasifique los siguientes puntos:
a) (−6, 1)b) (−6,−1)c) (−6, 0)d) (6, 0)
e) (3,−1)
respecto a las opciones:
-
MA1010, Examen Final, Tipo: 9 3
1) No punto cŕıtico
2) Punto cŕıtico: punto silla
3) Punto cŕıtico: máximo relativo
4) Punto cŕıtico sin información por el criterio de la
Hes-
siana
5) Punto cŕıtico: mı́nimo relativo
Respuesta:
11. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x− 2 y + 3 z = 13x + 6 y − 9 z = −3−x− 2 y + 3 z = 12x + 4 y −
6 z = −2
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 2
3
0
+ y 4
5
1
2 Tiene infinitas soluciones y la fórmula general para
ellas es xyz
= 20
0
+y 31
0
+z 40
1
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mı́nimos cuadrados y la fórmula general para ellas
es xyz
= 20
3
+ y 41
0
4 El sistema es inconsistente y tiene como solución úni-
ca de mı́nimos cuadrados a x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 Tiene solución única y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su selección y reporte los números que completan
la respuesta.
Respuesta:
12. Se ha monitoreado el nivel de ĺıquido h(t) en un
reactor
qúımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
t h(t)
0 5
1 15
5 16
8 16
Por el método de mı́nimos cuadrados, ajuste los datos a
un modelo cuadrático:
h(t) = a + b t + c t2
Reporte en orden los valores de a, b y c aśı como el nivel
pronósticado por el modelo para t = 10
Respuesta:
13. Para la transformación lineal de R4 en R4 definida como
T
x
y
z
w
=
w − 9x + 3 y + z−3w + 18x
13w − 87x + 9 y + 3 z6w − 54x + 18 y + 6 z
clasifique los vectores
a.
3
2
−219
b.
−4−3−2
−24
c.
4
2
6
24
d.
−10
−3−6
e.
−8−6−4
−48
de acuerdo a la siguiente lista
1) Tanto en el núcleo como en la imagen de T.
2) En el núcleo pero no en la imagen de T.
3) En la imagen pero no en el núcleo de T.
4) Ni en la imagen ni en el núcleo de T.
Respuesta:
14. La matriz A es una matriz tal que al aplicarle en orden
las operaciones elementales :
1. R2 ↔ R32. R1 ← −6R13. R3 ← R3 − 4R14. R4 ← R4 − 3R2
la convierten en la matriz:5 3 5 1 1
0 2 3 4 1
0 −2 −1 1 20 0 0 0 4
0 0 0 1 4
-
4
Calcule el determinante de A.
Respuesta:
15. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −48x + 15 y
y′ = −150x + 47 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
-
Algebra LinealExamen Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:10
1. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B
esuna base para V , G es un conjunto generador para V , I esun
conjunto linealmente independiente de V , D es un con-junto
linealmente dependiente de V , C es un conjunto deelementos de V y
18 es la dimensión de V . Indique cómo
son cada una de las afirmaciones
a) D tiene a lo mas 18 elementos.b) I tiene a lo mas 18
elementos.c) Si D tiene menos de 18 elementos, entonces D
genera
a V .
d) B tiene mas de 18 elementos.e) G tiene al menos 18
elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente información
Respuesta:
2. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz AT es invertible, entonces A x = 0 tiene
solución única.
b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solución
única, entonces A no es invertible.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0tiene
infinitas soluciones.
e) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solución única.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
3. Una empresa produce paquetes que son mezclas de café y
prepara diferentes tipos de contenedores con tales paque-
tes. Un paquete de Café Económico consta de 300 gra-
mos de café de Chiapas y 700 gramos de café de Veracruz.
Un paquete de Café Gourmet consta de 750 gramos de
café de Chiapas y 250 gramos de café de Veracruz. Un
contenedor tipo 1 para el norte del páıs tiene 70 paquetes
de Café Económico y 30 paquetes de Café Gourmet. Mien-
tras que un contenedor tipo 2 para el sur del páıs tiene 40
paquetes de Café Económico y 60 paquetes de Café Gour-
met. Indique, en orden, cuántos kilogramos de café de
Chiapas y cuántos de café de Veracruz se requieren en to-
tal para preparar 6 contenedores para el norte del páıs y
4 contenedores
![Álgebra Lineal Ma1010 - cb.mty.itesm.mxcb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-28a.pdf · Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 4/26 Nota Observe que [v]B](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/5b1f498c7f8b9ae6418c8aee/algebra-lineal-ma1010-cbmtyitesmmxcbmtyitesmmxma1010materialesma1010-28apdf.jpg)
