”Mathematics is the art of giving the same name to different things.”

Henri Poincare

3Spatii vectoriale

Exemple din practica de vectori n-dimensionali

∙ Un om de stiinta face un experiment care consta in 𝑛 masuratori 𝑚1,𝑚2, . . . ,𝑚𝑛

ale temperaturii unui dispozitiv. Atunci rezultatul fiecarui experiment poate fivazut ca un vector 𝑛-dimensional 𝑣 = (𝑚1,𝑚2, . . . ,𝑚𝑛)

∙ un anumit tip de microprocesor este conceput pentru a primi patru tipuride voltaje de intrare si sa produca trei tipuri de voltaje de iesire ca raspuns.Voltajele de intrare pot fi considerate ca vectori din R4 iar cele de iesire cavectori din R3. Astfel microprocesorul poate fi considerat ca un dispozitiv caretransforma un vector de intrare 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4) ∈ R4 intr-un vector de iesire𝑤 = (𝑤1, 𝑤2, 𝑤3) ∈ R3.

1

∙ O metoda prin care imaginile colorate sunt create pe ecranul unui computereste aceea prin care se ataseaza fiecarui pixel de pe ecran trei numere care de-scriu: nuanta, saturatia si luminozitatea pixelului. Astfel o imagine color poatefi gandita ca o multime de vectori 5-dimensionali de forma 𝑣 = (𝑥, 𝑦,𝑁, 𝑆, 𝐿)unde 𝑥 si 𝑦 sunt coordonatele de pe ecran ale pixelului iar 𝑁,𝑆, 𝐿 sunt nuanta,saturatia si luminozitatea sa.

Sinteza teorie

∙ o colectie de vectori 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑝} ai unui spatiu vectorial se numesteliniar independenta daca:

𝜆1𝑣1 + 𝜆2𝑣2 + . . . + 𝜆𝑝𝑣𝑝 = 𝜃 =⇒ 𝜆1 = 𝜆2 = . . . = 𝜆𝑝 = 0.

Practic vectorii din 𝑆 sunt liniar independenti daca niciunul nu se poate exprimaca o combinatie liniara de ceilalti vectori din 𝑆.

∙ un colectie de vectori 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑝} se numeste sistem de gener-atori a spatiului vectorial 𝑉 daca pentru orice vector 𝑣 ∈ 𝑉 exista scalarii𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑝 ∈ K astfel ca:

𝑣 = 𝜆1𝑣1 + 𝜆2𝑣2 + . . . + 𝜆𝑝𝑣𝑝.

Adica orice vector al spatiului se poate exprima ca o combinatie liniara a vec-torilor din 𝑆.

∙ spatiul vectorial generat de vectorii 𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑘 se noteaza 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑘}si este multimea tututor combinatiilor liniare posibile intre vectorii 𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑘.

In R3 putem vizualiza usor unele subspatii generate de o multime de vec-tori. De exemplu daca 𝑣 este un vector care are originea in originea repe-rului 𝑂𝑥𝑦𝑧 atunci 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣} = {𝑘𝑣 : 𝑘 ∈ R} este dreapta prin origine dedirectie 𝑣. Daca 𝑣1, 𝑣2 sunt doi vectori necoliniari cu originea in origineareperului atunci 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣1, 𝑣2} = {𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 : 𝑘1, 𝑘2 ∈ R} este planulprin originea reperului de directie 𝑣1, 𝑣2

Remarca:

2

Mod practic de studiu al sistemelor de generatori:Pentru a stabili daca o multime de 𝑝 vectori din spatiul euclidian (R𝑛,+, ·,R)

𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑝}

este un sistem de generatori se construieste matricea formata cu coordonateleacestor vectori pe care o notam cu 𝐴. Daca:

rang(𝐴) = dimensiunea spatiului = 𝑛

atunci 𝑆 este sistem de generatori.

Mod practic de studiu al liniar independentei:Pentru a stabili daca o multime de 𝑝 vectori din spatiul euclidian (R𝑛,+, ·,R)

𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑝}

este liniar independenta se construieste matricea formata cu coordonatele aces-tor vectori pe care o notam cu 𝐴. Daca:

rang(𝐴) = numar de vectori ai multimii S = 𝑝

atunci 𝑆 este liniar independent.

Baza a spatiului vectorial=multime de vectori care este sistem de generatorisi liniar independenta

O baza canonica a spatiului IR3 este:

𝑒1 = (1, 0, 0), 𝑒2 = (0, 1, 0), 𝑒3 = (0, 0, 1)

O baza canonica a spatiului IR2[𝑋] este:

𝑒1 = 𝑋2, 𝑒2 = 𝑋, 𝑒3 = 1.

O baza canonica a spatiului 𝑀2(IR) este:

𝐸1 =

⎛⎝1 0

0 0

⎞⎠ , 𝐸2 =

⎛⎝0 1

0 0

⎞⎠ , 𝐸3 =

⎛⎝0 0

1 0

⎞⎠ , 𝐸4 =

⎛⎝0 0

0 1

⎞⎠

Remarca:

3

O submultime 𝑆 a unui spatiu vectorial 𝑉 este subspatiu vectorial dacasi numai daca:

∀ 𝛼 ∈ K, 𝑣, �� ∈ 𝑆 =⇒ 𝑣 + �� ∈ 𝑆 si 𝛼𝑣 ∈ 𝑆

Asadar 𝑆 trebuie sa fie inchisa relativ la adunarea vectorilor si relativ lascalarea lor.

∙ notiunea de subspatiu vectorial ne ajuta sa gasim noi spatii vectorialeplecand de la un spatiu vectorial cunoscut, caci un subspatiu vectorial este larandul sau spatiu vectorial

Schimbari de coordonate

∙ daca relativ la o baza 𝐵 = {𝑒1, 𝑒2, . . . , 𝑒𝑛} avem scrierea:

𝑣 = 𝛼1𝑒1 + 𝛼2𝑒2 + . . . + 𝛼𝑛𝑒𝑛

numim 𝛼1, 𝛼2, . . . , 𝛼𝑛 coordonate ale vectorului 𝑣 relativ la baza 𝐵 si notam:

[𝑣]𝐵 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝛼1

𝛼2

...

𝛼𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

∙ daca 𝐵1 = {𝑒1, 𝑒2, . . . , 𝑒𝑛} si 𝐵2 = {𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑛} sunt baze in (𝑉,+, ·,K)si:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

𝑓1 = 𝑎11𝑒1 + 𝑎21𝑒2 + . . . + 𝑎𝑛1𝑒𝑛

𝑓2 = 𝑎12𝑒1 + 𝑎22𝑒2 + . . . + 𝑎𝑛2𝑒𝑛

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝑓𝑛 = 𝑎1𝑛𝑒1 + 𝑎2𝑛𝑒2 + . . . + 𝑎𝑛𝑛𝑒𝑛

adica exprimam vectorii bazei 𝐵2

in functie de cei ai lui 𝐵1

se numeste matricea de trecere de la baza 𝐵1 la baza 𝐵2 matricea:

𝑇𝐵1𝐵2 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛...

... . . ....

𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 . . . 𝑎𝑛𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠∙ daca 𝑇𝐵1𝐵2

este matricea de trecere de la baza 𝐵1 la baza 𝐵2 atunci auloc relatiile:

𝑇𝐵1𝐵2= 𝑇−1

𝐵2𝐵1

𝑇𝐵1𝐵2 = 𝑇𝐵1𝐵 · 𝑇𝐵𝐵2

∙ formula de schimbare a coordonatelor unui vector este:

[𝑣]𝐵1 = 𝑇𝐵1𝐵2 [𝑣]𝐵2 .

4

Probleme rezolvate

Problema 1. Putem forma o baza a lui R3 care sa contina vectorii:

𝑣1 = (1, 2, 3) si 𝑣2 = (1, 1, 0) ?

Solutie: Spatiul vectorial R3 are dimensiunea 3 si vom avea nevoie de treivectori pentru a forma o baza a sa. Daca dorim ca acesti doi vectori sa facaparte din aceasta baza (pe care trebuie sa o construim) atunci 𝑣1 si 𝑣2 trebuie safie liniar independenti. Verificam liniar independenta acestora folosind criteriulpractic de studiu al liniar independentei .

O baza canonica in R3 este:

𝐵𝑐 = {𝑒1 = (1, 0, 0), 𝑒2 = (0, 1, 0), 𝑒3 = (0, 0, 1)}

In functie de acesti vectori avem urmatoarele reprezentari:

𝑣1 = 1 · 𝑒1 + 2 · 𝑒2 + 3 · 𝑒3

𝑣2 = 1 · 𝑒1 + 1 · 𝑒2 + 0 · 𝑒3

Coordonatele lui 𝑣1, 𝑣2 relativ la baza canonica se colecteaza in matricea:

𝐴 =

⎛⎜⎜⎜⎝1 1

2 1

3 0

⎞⎟⎟⎟⎠Deoarece rang 𝐴 = 2 = numar de vectori =⇒ 𝑣1, 𝑣2 sunt liniar independenti.

Orice sistem de vectori liniar independenti poate fi completat la o baza aspatiului vectorial.

Vom afla vectorul lipsa notand-ul 𝑣3 = (𝑎, 𝑏, 𝑐). Daca dorim ca 𝑣1, 𝑣2 si 𝑣3sa formeze o baza aceasti vectori trebuie sa formeze impreuna un sistem liniarindependent si un sistem de generatori. Oricare dintre aceste doua conditii setraduc, datorit criteriilor enuntate anterior in fisa seminarului, prin:

𝑑𝑒𝑡

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 𝑎

2 1 𝑏

3 0 𝑐

⎞⎟⎟⎟⎠ = 0

caci doar astfel rangul matricei, formate cu coordonatele vectorilor relativ labaza canonica, este 3=numar de vectori=dimensiunea spatiului.

Gasim destul de usor ca pentru 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0 se obtine un determinantnenul. Asadar putem completa cu 𝑣3 = (1, 0, 0) cei doi vectori pentru a formabaza 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3}.

5

Problema 2. Sa se scrie matricea de trecere de la baza

𝐵1 = {3𝑋 + 1, 5𝑋 + 2}

la baza𝐵2 = {𝑋 + 3,−𝑋 + 2}

din R1[𝑋].

Solutie: Metoda 1:Scriem vectorii din baza 𝐵2 in functie de vectorii din baza 𝐵1:

𝑋 + 3 = 𝛼(3𝑋 + 1) + 𝛽(5𝑋 + 2)

si dupa ce identificam coeficientii obtinem sistemul de ecuatii:{1 = 3𝛼 + 5𝛽

3 = 𝛼 + 2𝛽

cu solutia 𝛼 = −13, 𝛽 = 8Analog

−𝑋 + 2 = 𝛾(3𝑋 + 1) + 𝛿(5𝑋 + 2)

si dupa ce identificam coeficientii:{−1 = 3𝛾 + 5𝛿

2 = 𝛾 + 2𝛿

cu solutia 𝛼 = −12, 𝛽 = 7Prin urmare matricea de trecere este:

𝑇𝐵1𝐵2=

⎛⎝−13 −12

8 7

⎞⎠Metoda 2: Intotdeauna putem afla usor matricea de trecere de la baza

canonica a spatiului la o baza data In acest caz baza canonica este 𝐵𝑐 = {1, 𝑋}si matricea de trecere de la baza 𝐵𝑐 la baza 𝐵1 este:

𝑇𝐵𝑐𝐵1=

⎛⎝3 5

1 2

⎞⎠iar de la 𝐵𝑐 la 𝐵2 :

𝑇𝐵𝑐𝐵2 =

⎛⎝1 −1

3 2

⎞⎠Putem afla matricea de trecere de la baza 𝐵1 la 𝐵2 folosind formula:

𝑇𝐵1𝐵2= 𝑇𝐵1𝐵𝑐

𝑇𝐵𝑐𝐵2

dar noi stim 𝑇𝐵𝑐𝐵1, legatura cu 𝑇𝐵1𝐵𝑐

este:

𝑇𝐵1𝐵𝑐= 𝑇−1

𝐵𝑐𝐵1

6

deci:

𝑇𝐵1𝐵2 = 𝑇𝐵1𝐵𝑐𝑇𝐵𝑐𝐵2 = 𝑇−1𝐵𝑐𝐵1

𝑇𝐵𝑐𝐵2 =

⎛⎝3 5

1 2

⎞⎠−1 ⎛⎝1 −1

3 2

⎞⎠ =

⎛⎝−13 −12

8 7

⎞⎠Metoda 3: Identificam spatiul R1[𝑋] cu R2 caci orice polinom de grad cel

mult unu, 𝑝 = 𝑎𝑋 + 𝑏, poate fi vizualizat ca un vector 2-dimensional 𝑣 = (𝑎, 𝑏).

Cu aceasta identificare enuntul problemei devine:

” Sa se scrie matricea de trecere de la baza 𝐵1 = {(3, 1), (5, 2)} la baza𝐵2 = {(1, 3), (−1, 2)} in R3.”

Se procedeaza la fel ca la Metoda 1: scriem vectorii din baza 𝐵2 in functiede vectorii din baza 𝐵1:

(1, 3) = 𝛼(3, 1) + 𝛽(5, 2)

si dupa ce facem adunarile si scalarile vectoriale obtinem sistemul de ecuatii:{1 = 3𝛼 + 5𝛽

3 = 𝛼 + 2𝛽

etc.

Problema 3. Vectorul 𝑣 ∈ R3 are relativ la baza:

𝐵 = {𝑤1 = (1, 1, 0), 𝑤2 = (1, 0, 0), 𝑤3 = (1, 1, 1)}

coordonatele (−1, 2, 1). Care sunt coordonatele sale relativ la baza canon-ica din R3? Care sunt coordonatele sale relativ la baza:

𝐵1 = {𝑢1 = (1, 0,−1), 𝑢2 = (1,√

2, 1), 𝑢3 = (1,−√

2, 1)} ?

Solutie: Din enunt deducem ca:

[𝑣]𝐵 =

⎛⎜⎜⎜⎝−1

2

1

⎞⎟⎟⎟⎠prin urmare, avem reprezentarea:

𝑣 = −1(1, 1, 0) + 2(1, 0, 0) + 1(1, 1, 1) = (0, 0, 1)

Asadar vectorul 𝑣 este de fapt vectorul (0, 0, 1) din R3. Intrucat, in mod natural,vectorii din R3 sunt reprezentati relativ la baza canonica, avem:

[𝑣]𝐵𝑐=

⎛⎜⎜⎜⎝0

0

1

⎞⎟⎟⎟⎠7

Pentru a afla coordonatele lui 𝑣 relativ la baza 𝐵1 putem sa utilizam fiecoordonatele sale relativ la baza 𝐵 fie relativ la baza 𝐵𝑐. Relatiile schimbare acoordonatelor la o schimbare a bazei sunt:

[𝑣]𝐵1 = 𝑇𝐵1𝐵 [𝑣]𝐵 = 𝑇𝐵1𝐵𝑐𝑇𝐵𝑐𝐵 [𝑣]𝐵 = 𝑇−1𝐵𝑐𝐵1

𝑇𝐵𝑐𝐵 [𝑣]𝐵

deci

[𝑣]𝐵1=

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 1

0√

2 −√

2

−1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠−1 ⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 1

1 0 1

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝−1

2

1

⎞⎟⎟⎟⎠Putem folosi coordonatele relativ la baza canonica si atunci:

[𝑣]𝐵1 = 𝑇𝐵1𝐵𝑐 [𝑣]𝐵𝑐 = 𝑇−1𝐵𝑐𝐵1

[𝑣]𝐵𝑐 =

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 1

0√

2 −√

2

−1 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠−1 ⎛⎜⎜⎜⎝

0

0

1

⎞⎟⎟⎟⎠

Motivul pentru care matricea de trecere de la o baza la alta se obtinetrecand coordonatele vectorilor pe coloane tine de cele doua moduri incare putem scrie relatia de mai sus. Daca dorim sa exprimam [𝑣]𝐵1 subforma unei matrice linie [𝑣]𝐵1

= (𝑎, 𝑏, 𝑐) atunci in matricea de trecere de lao baza la alta nu trebuie sa asezam coordonatele pe linii si obtinem relatiide tipul urmator:

[𝑣]𝐵1= [𝑣]𝐵𝑐

𝑇𝐵1𝐵𝑐= [𝑣]𝐵𝑐

𝑇−1𝐵𝑐𝐵1

=(

0 0 1)⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 −1

1√

2 1

1 −√

2 1

⎞⎟⎟⎟⎠−1

Remarca:

In ambele cazuri obtinem:

[𝑣]𝐵1=

⎛⎜⎜⎜⎝− 1

2

14

14

⎞⎟⎟⎟⎠Putem verifica faptul ca:

𝑣 = (0, 0, 1) = −1

2𝑢1 +

1

4𝑢2 +

1

4𝑢3

8

Problema 4. Teoria curbelor Bezier, folosita in animatia 3D, se bazeazape ideea ca urmatoarele polinoame, numite polinoame Bernstein:

𝑝𝑘 = 𝐶𝑘𝑛𝑥

𝑘(1 − 𝑥)𝑛−𝑘, 𝑘 = 0, 𝑛

formeaza o baza pentru multimea R𝑛[𝑋] a polinoamelor de grad cel mult𝑛. Verificati daca:

𝑝0 = (1 −𝑋)2, 𝑝1 = 2𝑋(1 −𝑋) 𝑝2 = 𝑋2,

formeaza o baza in R2[𝑋].

Solutie: Metoda 1:Avand trei vectori 𝑝0, 𝑝1, 𝑝2 intr-un spatiu 3-dimensional este suficient sa

testam ca 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 datorita celor doua criterii de studiu a liniar independenteisi al sistemelor de generatori.

Formam intai matricea coordonatelor relativ la baza canonica 𝐵𝑐 = {𝑋 ,𝑋, 1}:

𝑝0 = 1 ·𝑋2−2 ·𝑋 + 1 · 1

𝑝1 = −2 ·𝑋2 + 2 ·𝑋 + 0 · 1

𝑝2 = 1 ·𝑋2 + 0 ·𝑋 + 0 · 1

Asadar:

𝐴 =

⎛⎜⎜⎜⎝1 −2 1

−2 2 0

1 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠si verificam 𝑑𝑒𝑡𝐴 = −2 = 0 =⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 3=numar de vectori=dim R2[𝑋].

=⇒ 𝑝0, 𝑝1, 𝑝2 formeaza o baza a lui R2[𝑋].Metoda a doua:Putem sa consideram functiile polinomiale asociate celor trei polinoame:

𝑝0(𝑥) = (1 − 𝑥)2, 𝑝1(𝑥) = 2𝑥(1 − 𝑥), 𝑝2(𝑥) = 𝑥2. Pentru a arata ca celetrei functii obtinute sunt liniar independente aratam ca wronskianul asociateste nenul:

𝑊 (𝑝0, 𝑝1, 𝑝2)(𝑥) =

𝑝0(𝑥) 𝑝1(𝑥) 𝑝2(𝑥)

𝑝′0(𝑥) 𝑝′1(𝑥) 𝑝′2(𝑥)

𝑝′′0(𝑥) 𝑝′′1(𝑥) 𝑝′′2(𝑥)

= 0, ∀𝑥 ∈ R

𝑊 (𝑝0, 𝑝1, 𝑝2)(𝑥) =

(1 − 𝑥)2 2𝑥(1 − 𝑥) 𝑥2

−2(1 − 𝑥) −2𝑥 + 2(1 − 𝑥) 2𝑥

2 −4 2

= 4 = 0, ∀𝑥 ∈ R.

Folosim apoi propozitia:

Intr-un spatiu vectorial n-dimensional orice sistem de n vectori liniarindependenti formeaza o baza a sa.

9

Problema 5. Un satelit de cercetare este plasat pe o orbita de forma elip-tica, situata ın planul ecuatorului. Pozitia sa este ınregistrata de catre unsenzor aflat la Cape Canaveral. In trei momente diferite de timp cerceta-torii NASA au ınregistrat urmatorii vectori de pozitie 𝑣𝑡1 = (1,−3, 2),𝑣𝑡2 = (1, 1, 1) si 𝑣𝑡3 = (−1,−9, 1) ai satelitului, dupa care au tras con-cluzia ca sistemul de navigatie al acestuia este avariat. De ce ? Justificati!

Solutie: Va trebui sa desenam problema, rezolvarea sa are o pronuntata com-ponenta geometrica. Ideea problemei este sa utilizam interpretarea geometrica aliniar independentei. Daca 𝑛 vectori 𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛 sunt liniar independenti atunciei genereaza prin combinatii liniare un spatiu vectorial 𝑛-dimensional. Oricaredoi vectori cu originea comuna, liniar independenti, genereaza un plan, conformremarcii anterioare.

Notam cu 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 cele trei pozitii ale satelitului observate pe traiectoriasa eliptica. Notam cu 𝑋 pozitia senzorului aflat la Cape Canaveral.

Cei trei vectori de pozitie, in raport cu polul 𝑋, sunt−−→𝑋𝑃1 = (1,−3, 2),

−−→𝑋𝑃2 =

(1, 1, 1) si−−→𝑋𝑃3 = (−1, 9, 1). Se verifica usor ca acestia sunt liniar dependenti.

Deci exista 𝛼 si 𝛽 astfel ca:

−−→𝑋𝑃3 = 𝛼 ·

−−→𝑋𝑃1 + 𝛽 ·

−−→𝑋𝑃2

Dar doi vectori cu originea comuna, liniar independenti−−→𝑋𝑃1 si

−−→𝑋𝑃2 genereaza

prin combinatii liniare un plan. Prin urmare−−→𝑋𝑃3 se afla in acelasi plan cu aces-

tia! Asadar punctele 𝑋,𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 sunt coplanare. Dar un plan, care nu contineelipsa (Cape Canaveral nu se afla pe ecuator), intersecteaza elipsa in cel multdoua puncte. Contradictie ! Punctele 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 nu pot fi toate pe elipsa, decisatelitul nu se deplaseaza dupa cum a fost programat. Asadar sistemul de nav-igatie este defect.

Probleme propuse

Problema 1. In matematica de liceu apare de multe ori rationamentul numit”identificarea coeficientilor”. De fiecare data in spatele scenei sta ascuns unspatiu vectorial:

In multimea numerelor complexe stim ca:

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ⇐⇒ 𝑎 = 𝑐, 𝑏 = 𝑑

Deci am identicat coeficientii.

10

i) Arati ca 𝑉 = C impreuna cu adunarea numerelor complexe si inmultireacu scalari din K = R este un spatiu vectorial si 𝐵 = {1, 𝑖} este o baza aacestuia.

Doua polinoame de grad trei 𝑝 = 𝑎1𝑋2 + 𝑏1𝑋 + 𝑐1 si 𝑞 = 𝑎2𝑋

2 + 𝑏2𝑋 + 𝑐2 suntegale ⇐⇒ 𝑎1 = 𝑎2, 𝑏1 = 𝑏2 si 𝑐1 = 𝑐2

ii) Arati ca 𝑉 = {𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 : 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R} impreuna cu adunarea poli-noamelor si inmultirea cu scalari din K = R este un spatiu vectorial si𝐵 = {1, 𝑋,𝑋2} este o baza a acestuia.

Doua matrice de ordin doi 𝐴 =

⎛⎝𝑎 𝑏

𝑐 𝑑

⎞⎠ si 𝐵 =

⎛⎝𝑥 𝑦

𝑧 𝑡

⎞⎠ sunt egale ⇐⇒

𝑎 = 𝑥, 𝑏 = 𝑦, 𝑐 = 𝑧 si 𝑑 = 𝑡.

iii) Care este spatiul vectorial care permite aceasta identificare ? Cum aratao baza a sa ? Putem sa interpretam matricele ca fiind vectori multi-dimensionali ?

Problema 2. Aratati ca multimea:

𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ R4 : 2𝑥− 3𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 0}

impreuna cu adunarea si inmultirea cu scalari obisnuite din R4 formeaza unsubspatiu vectorial a lui R4.

Problema 3. Sa se studieze daca urmatoarele sisteme de vectori sunt liniarindependente. In caz contrar, sa se determine un subsistem 𝑆′ maximal liniarindependent, precum si dependenta liniara a acestora:

a) 𝑆 = {𝑝1 = −𝑋2+7𝑋+8, 𝑝2 = −𝑋2+3𝑋+2, 𝑝3 = 𝑋2−𝑋+1} ⊂ IR2[𝑋].b) 𝑆 = {𝑣1 = (1, 1,−1), 𝑣2 = (1.0, 2), 𝑣3 = (0, 1, 3)} ⊂ IR3

Problema 4. Sa se studieze care din sistemele de vectori date sunt sisteme degeneratori pentru spatiile mentionate:

a) 𝑆 = {𝑝1 = 𝑋2 + 𝑋 + 1, 𝑝2 = 𝑋2 + 𝑋, 𝑝3 = 𝑋2} ⊂ IR2[𝑋]

b) 𝑆 =

⎧⎨⎩𝐴1 =

⎛⎝1

1

⎞⎠ , 𝐴2 =

⎛⎝1

2

⎞⎠ , 𝐴3 =

⎛⎝0

1

⎞⎠⎫⎬⎭ ⊂ 𝑀2,1(IR)

Problema 5. Fie 𝐵𝛼 = {(𝛼, 2, 3), (−1,−1, 𝛼), (1, 0,−𝛼)} ⊂ R3

i) Sa se arate ca pentru orice 𝛼 ∈ R, 𝐵𝛼 formeaza o baza

ii) Sa se determine matricea de trecere de la 𝐵3 la 𝐵1

Problema 6. Verificati daca polinoamele 𝑝1 = 𝑋 − 1, 𝑝2 = (𝑋 − 1)2 si 𝑝3 =(𝑋 − 1)3 genereaza spatiul 𝑉 = R3[𝑋]

11

Problema 7. Fie sistemele de vectori:

𝐵1 = {𝑓1 = (1, 1, 0), 𝑓2 = (1, 0, 0), 𝑓3 = (1, 1, 2)}

𝐵2 = {𝑔1 = (1, 1, 3), 𝑔2 = (1, 1, 2), 𝑔3 = (3, 2, 4)}.

a) Aratati ca 𝐵1 si 𝐵2 sunt baze ale spatiului vectorial IR3

b) Aflati matricea de trecere 𝑇𝐵1𝐵2

c) Sa se determine coordonatele vectorului 𝑣 relativ la baza 𝐵1 daca acestaeste dat prin 𝑣 = −2𝑔1 + 𝑔2 + 3𝑔3.

Problema 8. Fie baza 𝐵 = {𝑣1 = (2, 1), 𝑣2 = (3, 2)} ⊂ IR2. Se cere:

a) Sa se determine baza 𝐵1 ⊂ IR2 stiind ca 𝑇𝐵𝐵1=

⎛⎝1 1

5 6

⎞⎠b) Sa se determine baza 𝐵2 ⊂ IR2 stiind ca 𝑇𝐵2𝐵 =

⎛⎝1 2

4 9

⎞⎠

Problema 9. Sa se arate ca vectorii 𝑣1 = (1,−1,−1), 𝑣2 = (1,−1, 0) si 𝑣3 =(1, 0, 0) formeaza o baza pentru IR3 si sa se determine coordonatele vectorului𝑢 = (1, 2, 3) in aceasta baza.

Problema 10. Sunt vectorii 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 linear independenti ? Discutati cele douacazuri de mai jos.

Problema 11. Spatiul vectorial 𝐻 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{1, 𝑐𝑜𝑠2𝑡, cos4 𝑡, cos6 𝑡} contine func-tiile:

i) 𝑓(𝑡) = 1 − 8 cos2 𝑡 + 8 cos4 𝑡

ii) 𝑔(𝑡) = −1 + 18 cos2 𝑡− 48 cos4 𝑡 + 32 cos6 𝑡.

Studiati graficul lui 𝑓 si 𝑔 pe 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 si incercati sa ghiciti o formula simplapentru cele doua functii.

Hint: folositi acest site pentru a trasa graficul

12

Problema 12. Fie 𝑊 multimea vectorilor de tipul forma (2𝑏+3𝑐,−𝑏, 2𝑐), unde𝑏 si 𝑐 sunt arbitrare. Aflati vectorii 𝑢 si 𝑣 pentru care 𝑊 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢, 𝑣}. Este𝑊 un subspatiu vectorial al lui R3 ?

Problema 13. Aratati ca multimea solutiilor sistemului omogen:⎧⎪⎨⎪⎩𝑥− 𝑦 + 𝑧 = 0

2𝑥− 3𝑦 + 𝑧 = 0

−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0

formeaza un subspatiu vectorial al lui R3.

13