Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszékewkiss.web.elte.hu/.../2017/02/Alg2n2_prez_3.pdf · Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25 A lineáris

Algebra2, normál 3. előadás 1 / 25

Algebra2, normálELTE Algebra és Számelmélet Tanszék

Előadó: Kiss Emilhttp://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress

[email protected]

3. előadás

Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25

A lineáris leképezés fogalma

Definíció (F5.1.1. Definíció)

Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.




Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, ha




Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó,




Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);




Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó,




Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó, azaz v ∈ V és λ ∈ T esetén A(λv) = λA(v).




Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó, azaz v ∈ V és λ ∈ T esetén A(λv) = λA(v).Az A : V → W lineáris leképezések halmaza Hom(V ,W ).





Állítás (F5.1.2. Tétel)

Minden lineáris leképezés nullát nullába,






Minden lineáris leképezés nullát nullába,azaz A(0V ) = 0W






Minden lineáris leképezés nullát nullába, ellentettet ellentettbe visz,azaz A(0V ) = 0W






Minden lineáris leképezés nullát nullába, ellentettet ellentettbe visz,azaz A(0V ) = 0W és A(−v) = −A(v).







Bizonyítási ötlet az első állításra

A(0V + 0V ) = A(0V ) + A(0V ),








A(0V ) = A(0V + 0V ) = A(0V ) + A(0V ),








A(0V ) = A(0V + 0V ) = A(0V ) + A(0V ), adjunk hozzá −A(0V )-t.


Példák lineáris leképezésre

(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi



(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).




(2) V = T n és W = Tm a T fölött,




(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.




(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv .




(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.





(3) V = W = T [x ] a T fölött,





(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′





(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).






(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.






(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3)






(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).







(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.







(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben







(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v ]B .








(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött,








(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re.








(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re. Ez a nulla leképezés,








(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re. Ez a nulla leképezés, jele 0.









(7) V = W tetszőleges vektortér,









(7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v .









(7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v .Ez az identikus leképezés,









(7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v .Ez az identikus leképezés, jele I









(7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v .Ez az identikus leképezés, jele I vagy IV .


Tükrözés egyenesre

PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.




✲

✻




✲

✻y = x




✲

✻y = x




✲

✻y = x

[

10

]




✲

✻y = x

[

10

]

R

([

10

])

=




✲

✻y = x

[

10

]

R

([

10

])

=




✲

✻y = x

[

10

]

R

([

10

])

=




✲

✻y = x

[

10

]

[

01

]

R

([

10

])

=




✲

✻y = x

[

10

]

[

01

]

R

([

10

])

=

[

01

]




✲

✻y = x

[

10

]

[

01

]

R

([

01

])

=

R

([

10

])

=

[

01

]




✲

✻y = x

[

10

]

[

01

]

R

([

01

])

=

[

10

]

R

([

10

])

=

[

01

]




✲

✻y = x

[

10

]

[

01

]

R

([

01

])

=

[

10

]

R

([

10

])

=

[

01

]




✲

✻y = x

[

12

]

[

10

]

[

01

]

R

([

01

])

=

[

10

]

R

([

10

])

=

[

01

]




✲

✻y = x

[

12

]

[

10

]

[

01

]

R

([

01

])

=

[

10

]

R

([

10

])

=

[

01

]

R

([

12

])

=




✲

✻y = x

[

12

]

[

10

]

[

01

]

R

([

01

])

=

[

10

]

R

([

10

])

=

[

01

]

R

([

12

])

=




✲

✻y = x

[

12

]

[

10

]

[

01

]

R

([

01

])

=

[

10

]

R

([

10

])

=

[

01

]

R

([

12

])

=




✲

✻y = x

[

21

]

[

12

]

[

10

]

[

01

]

R

([

01

])

=

[

10

]

R

([

10

])

=

[

01

]

R

([

12

])

=




✲

✻y = x

[

21

]

[

12

]

[

10

]

[

01

]

R

([

01

])

=

[

10

]

R

([

10

])

=

[

01

]

R

([

12

])

=

[

21

]


A tükrözés képlete

Kérdés

Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés.



Kérdés

Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R

([

x

y

])

= ?



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

=



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

=



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

= R

([

x

0

])

+



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

= R

([

x

0

])

+ R

([

0y

])

,



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

= R

([

x

0

])

+ R

([

0y

])

,

hiszen R összegtartó.



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

= R

([

x

0

])

+ R

([

0y

])

,

hiszen R összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

= R

([

x

0

])

+ R

([

0y

])

,


R

(

x

[

10

])

+



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

= R

([

x

0

])

+ R

([

0y

])

,


R

(

x

[

10

])

+ R

(

y

[

01

])

=



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

= R

([

x

0

])

+ R

([

0y

])

,


R

(

x

[

10

])

+ R

(

y

[

01

])

= xR

([

10

])

+



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

= R

([

x

0

])

+ R

([

0y

])

,


R

(

x

[

10

])

+ R

(

y

[

01

])

= xR

([

10

])

+ yR

([

01

])

=



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

= R

([

x

0

])

+ R

([

0y

])

,


R

(

x

[

10

])

+ R

(

y

[

01

])

= xR

([

10

])

+ yR

([

01

])

=

= x

[

01

]

+



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

= R

([

x

0

])

+ R

([

0y

])

,


R

(

x

[

10

])

+ R

(

y

[

01

])

= xR

([

10

])

+ yR

([

01

])

=

= x

[

01

]

+ y

[

10

]



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

= R

([

x

0

])

+ R

([

0y

])

,


R

(

x

[

10

])

+ R

(

y

[

01

])

= xR

([

10

])

+ yR

([

01

])

=

= x

[

01

]

+ y

[

10

]

=

[

0x

]

+



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

= R

([

x

0

])

+ R

([

0y

])

,


R

(

x

[

10

])

+ R

(

y

[

01

])

= xR

([

10

])

+ yR

([

01

])

=

= x

[

01

]

+ y

[

10

]

=

[

0x

]

+

[

y

0

]



Kérdés


([

x

y

])

= ?

Láttuk: R

([

10

])

=

[

01

]

és R

([

01

])

=

[

10

]

. Ezért

R

([

x

y

])

= R

([

x

0

]

+

[

0y

])

= R

([

x

0

])

+ R

([

0y

])

,


R

(

x

[

10

])

+ R

(

y

[

01

])

= xR

([

10

])

+ yR

([

01

])

=

= x

[

01

]

+ y

[

10

]

=

[

0x

]

+

[

y

0

]

=

[

y

x

]

.


Vektor képe általános transzformációnál

Kérdés

Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

,



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

=



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,

hiszen A összegtartó.



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,

hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,


A

(

x

[

10

])

+



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,


A

(

x

[

10

])

+ A

(

y

[

01

])

=



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,


A

(

x

[

10

])

+ A

(

y

[

01

])

= xA

([

10

])

+



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,


A

(

x

[

10

])

+ A

(

y

[

01

])

= xA

([

10

])

+ yA

([

01

])

=



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,


A

(

x

[

10

])

+ A

(

y

[

01

])

= xA

([

10

])

+ yA

([

01

])

=

= x

[

a

b

]

+



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,


A

(

x

[

10

])

+ A

(

y

[

01

])

= xA

([

10

])

+ yA

([

01

])

=

= x

[

a

b

]

+ y

[

c

d

]



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,


A

(

x

[

10

])

+ A

(

y

[

01

])

= xA

([

10

])

+ yA

([

01

])

=

= x

[

a

b

]

+ y

[

c

d

]

=

[

ax

bx

]

+



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,


A

(

x

[

10

])

+ A

(

y

[

01

])

= xA

([

10

])

+ yA

([

01

])

=

= x

[

a

b

]

+ y

[

c

d

]

=

[

ax

bx

]

+

[

cy

dy

]



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,


A

(

x

[

10

])

+ A

(

y

[

01

])

= xA

([

10

])

+ yA

([

01

])

=

= x

[

a

b

]

+ y

[

c

d

]

=

[

ax

bx

]

+

[

cy

dy

]

=

[

ax + cy

bx + dy

]

.



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,


A

(

x

[

10

])

+ A

(

y

[

01

])

= xA

([

10

])

+ yA

([

01

])

=

= x

[

a

b

]

+ y

[

c

d

]

=

[

ax

bx

]

+

[

cy

dy

]

=

[

ax + cy

bx + dy

]

.

Tehát minden vektor képét ki tudjuk számolni,



Kérdés


Ha A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

= ?

A

([

x

y

])

= A

([

x

0

]

+

[

0y

])

= A

([

x

0

])

+ A

([

0y

])

,


A

(

x

[

10

])

+ A

(

y

[

01

])

= xA

([

10

])

+ yA

([

01

])

=

= x

[

a

b

]

+ y

[

c

d

]

=

[

ax

bx

]

+

[

cy

dy

]

=

[

ax + cy

bx + dy

]

.

Tehát minden vektor képét ki tudjuk számolni, ha ismerjüka, b, c , d értékét.


Lineáris transzformáció mátrixa

Láttuk




Láttuk

Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha

A

([

10

])

=

[

a

b

]



Láttuk


A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

,



Láttuk


A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

=

[

ax + cy

bx + dy

]

.



Láttuk


A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

=

[

ax + cy

bx + dy

]

.

Definíció

A fenti A mátrixa [A] =

[

a c

b d

]

.



Láttuk


A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

=

[

ax + cy

bx + dy

]

.

Definíció


[

a c

b d

]

. (Az oszlopok

[

10

]



Láttuk


A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

=

[

ax + cy

bx + dy

]

.

Definíció


[

a c

b d

]

. (Az oszlopok

[

10

]

és

[

01

]

képei.)



Láttuk


A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

=

[

ax + cy

bx + dy

]

.

Definíció


[

a c

b d

]

. (Az oszlopok

[

10

]

és

[

01

]

képei.)

A mátrix-vektor szorzás definíciójának indoka:[

a c

b d

]



Láttuk


A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

=

[

ax + cy

bx + dy

]

.

Definíció


[

a c

b d

]

. (Az oszlopok

[

10

]

és

[

01

]

képei.)


a c

b d

] [

x

y

]

=



Láttuk


A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

=

[

ax + cy

bx + dy

]

.

Definíció


[

a c

b d

]

. (Az oszlopok

[

10

]

és

[

01

]

képei.)


a c

b d

] [

x

y

]

=

[

ax + cy

bx + dy

]



Láttuk


A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

=

[

ax + cy

bx + dy

]

.

Definíció


[

a c

b d

]

. (Az oszlopok

[

10

]

és

[

01

]

képei.)


a c

b d

] [

x

y

]

=

[

ax + cy

bx + dy

]

(így lehet kiszámolni egy vektor képét).



Láttuk


A

([

10

])

=

[

a

b

]

és A

([

01

])

=

[

c

d

]

, akkor A

([

x

y

])

=

[

ax + cy

bx + dy

]

.

Definíció


[

a c

b d

]

. (Az oszlopok

[

10

]

és

[

01

]

képei.)


a c

b d

] [

x

y

]

=

[

ax + cy

bx + dy

]

(így lehet kiszámolni egy vektor képét).

Azaz A(v) = [A]v .


A forgatás mátrixa

Példa

Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa



Példa

Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=

[

cosα − sinαsinα cosα

]

.



Példa


[


]

.

A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.



Példa


[


]

.

A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal:



Példa


[


]

.

A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cosα+ i sinα-val.



Példa


[


]

.


Az x + iy számnak az

[

x

y

]

felel meg:



Példa


[


]

.



[

x

y

]

felel meg:

[

10

]

↔ 1



Példa


[


]

.



[

x

y

]

felel meg:

[

10

]

↔ 1 és

[

01

]

↔ i .



Példa


[


]

.



[

x

y

]

felel meg:

[

10

]

↔ 1 és

[

01

]

↔ i .

A [F ] első oszlopa:



Példa


[


]

.



[

x

y

]

felel meg:

[

10

]

↔ 1 és

[

01

]

↔ i .

A [F ] első oszlopa: 1(cosα+ i sinα)



Példa


[


]

.



[

x

y

]

felel meg:

[

10

]

↔ 1 és

[

01

]

↔ i .

A [F ] első oszlopa: 1(cosα+ i sinα) ↔

[

cosαsinα

]

.



Példa


[


]

.



[

x

y

]

felel meg:

[

10

]

↔ 1 és

[

01

]

↔ i .


[

cosαsinα

]

.

A második:



Példa


[


]

.



[

x

y

]

felel meg:

[

10

]

↔ 1 és

[

01

]

↔ i .


[

cosαsinα

]

.

A második: i(cosα+ i sinα) =



Példa


[


]

.



[

x

y

]

felel meg:

[

10

]

↔ 1 és

[

01

]

↔ i .


[

cosαsinα

]

.

A második: i(cosα+ i sinα) = − sinα+ i cosα



Példa


[


]

.



[

x

y

]

felel meg:

[

10

]

↔ 1 és

[

01

]

↔ i .


[

cosαsinα

]

.

A második: i(cosα+ i sinα) = − sinα+ i cosα ↔

[

− sinαcosα

]

.


Mátrix bázispárban


b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben,




b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.




b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.Ha A : V → W lineáris leképezés,




b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.Ha A : V → W lineáris leképezés, akkor A mátrixa

a (b,d) bázispárban





a (b,d) bázispárban [A]d/b =[

[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d

]

∈ Tm×n.






[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d

]

∈ Tm×n.

A mátrix j-edik oszlopába A(bj) koordinátáit írjuk a d bázisban.






[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d

]

∈ Tm×n.


Azaz [A]d/b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

azt jelenti, hogy






[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d

]

∈ Tm×n.


Azaz [A]d/b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

azt jelenti, hogy

A(b1) = λ11d1 + . . .+ λm1dm,






[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d

]

∈ Tm×n.


Azaz [A]d/b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

azt jelenti, hogy

A(b1) = λ11d1 + . . .+ λm1dm,. . . ,A(bn) = λ1nd1 + . . .+ λmndm.






[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d

]

∈ Tm×n.


Azaz [A]d/b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

azt jelenti, hogy

A(b1) = λ11d1 + . . .+ λm1dm,. . . ,A(bn) = λ1nd1 + . . .+ λmndm.

Az előbbi példákban a sík szokásos bázisa szerepelt.


Vektor képének kiszámítása

Tétel (F5.7.3. Tétel)

Legyen b bázis V -ben,




Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben,




Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )




Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V .




Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.





Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b





Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b („kiesik” a b).






Bizonyítás

Legyen [A]d/b = ((λij))






Bizonyítás

Legyen [A]d/b = ((λij)) és [v ]b = ((µj)).






Bizonyítás

Legyen [A]d/b = ((λij)) és [v ]b = ((µj)). Ekkor

[A]d/b[v ]b =






Bizonyítás


[A]d/b[v ]b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

µ1

...µn

=






Bizonyítás


[A]d/b[v ]b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

µ1

...µn

=

λ11µ1 + . . .+ λ1nµn

...λm1µ1 + . . .+ λmnµn






Bizonyítás


[A]d/b[v ]b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

µ1

...µn

=

λ11µ1 + . . .+ λ1nµn

...λm1µ1 + . . .+ λmnµn

Tudjuk: A(v) = A(µ1b1 + . . .+ µnbn) =






Bizonyítás


[A]d/b[v ]b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

µ1

...µn

=

λ11µ1 + . . .+ λ1nµn

...λm1µ1 + . . .+ λmnµn

Tudjuk: A(v) = A(µ1b1 + . . .+ µnbn) = µ1A(b1) + . . .+ µnA(bn),






Bizonyítás


[A]d/b[v ]b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

µ1

...µn

=

λ11µ1 + . . .+ λ1nµn

...λm1µ1 + . . .+ λmnµn

Tudjuk: A(v) = A(µ1b1 + . . .+ µnbn) = µ1A(b1) + . . .+ µnA(bn),és A(bj) = λ1jd1 + . . .+ λmjdm.






Bizonyítás


[A]d/b[v ]b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

µ1

...µn

=

λ11µ1 + . . .+ λ1nµn

...λm1µ1 + . . .+ λmnµn

Tudjuk: A(v) = A(µ1b1 + . . .+ µnbn) = µ1A(b1) + . . .+ µnA(bn),és A(bj) = λ1jd1 + . . .+ λmjdm. Behelyettesítve és átrendezveA(v) = (λ11µ1 + . . .+ λ1nµn)d1 + . . .+ (λm1µ1 + . . .+ λmnµn)dm.

Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25

Példa kompozícióra

KérdésMelyik transzformációt kapjuk,



KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre,



KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?



KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója



KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).




[

x

y

]

7→




[

x

y

]

7→ R

([

x

y

])

=




[

x

y

]

7→ R

([

x

y

])

=

[

y

x

]

.




[

x

y

]

7→ R

([

x

y

])

=

[

y

x

]

.

Mivel [F ] =

[

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

]

=




[

x

y

]

7→ R

([

x

y

])

=

[

y

x

]

.

Mivel [F ] =

[

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

]

=

[

0 −11 0

]

,




[

x

y

]

7→ R

([

x

y

])

=

[

y

x

]

.

Mivel [F ] =

[

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

]

=

[

0 −11 0

]

, ezért

[

y

x

]

képe




[

x

y

]

7→ R

([

x

y

])

=

[

y

x

]

.

Mivel [F ] =

[

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

]

=

[

0 −11 0

]

, ezért

[

y

x

]

képe

F

([

y

x

])

=




[

x

y

]

7→ R

([

x

y

])

=

[

y

x

]

.

Mivel [F ] =

[

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

]

=

[

0 −11 0

]

, ezért

[

y

x

]

képe

F

([

y

x

])

=

[

0 −11 0

]




[

x

y

]

7→ R

([

x

y

])

=

[

y

x

]

.

Mivel [F ] =

[

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

]

=

[

0 −11 0

]

, ezért

[

y

x

]

képe

F

([

y

x

])

=

[

0 −11 0

] [

y

x

]

=




[

x

y

]

7→ R

([

x

y

])

=

[

y

x

]

.

Mivel [F ] =

[

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

]

=

[

0 −11 0

]

, ezért

[

y

x

]

képe

F

([

y

x

])

=

[

0 −11 0

] [

y

x

]

=

[

0y + (−1)x1y + 0x

]

=




[

x

y

]

7→ R

([

x

y

])

=

[

y

x

]

.

Mivel [F ] =

[

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

]

=

[

0 −11 0

]

, ezért

[

y

x

]

képe

F

([

y

x

])

=

[

0 −11 0

] [

y

x

]

=

[

0y + (−1)x1y + 0x

]

=

[

−x

y

]

.




[

x

y

]

7→ R

([

x

y

])

=

[

y

x

]

.

Mivel [F ] =

[

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

]

=

[

0 −11 0

]

, ezért

[

y

x

]

képe

F

([

y

x

])

=

[

0 −11 0

] [

y

x

]

=

[

0y + (−1)x1y + 0x

]

=

[

−x

y

]

.

Az eredmény az y -tengelyre való tükrözés (HF).


A kompozíció mátrixa

Definíció

Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk,



Definíció

Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk(A ◦ B)(v) = A

(

B(v))

tetszőleges v ∈ T 2 esetén.



Definíció


(

B(v))

tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény:



Definíció


(

B(v))

tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény: először B-t,



Definíció


(

B(v))

tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény: először B-t, utána A-t alkalmazzuk.



Definíció


(

B(v))


Tétel

Ha [A] =

[

a c

b d

]

,



Definíció


(

B(v))


Tétel

Ha [A] =

[

a c

b d

]

, és [B] =

[

a′ c ′

b′ d ′

]

,



Definíció


(

B(v))


Tétel

Ha [A] =

[

a c

b d

]

, és [B] =

[

a′ c ′

b′ d ′

]

, akkor

[A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.



Definíció


(

B(v))


Tétel

Ha [A] =

[

a c

b d

]

, és [B] =

[

a′ c ′

b′ d ′

]

, akkor

[A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Tehát [A ◦ B] = [A][B]:



Definíció


(

B(v))


Tétel

Ha [A] =

[

a c

b d

]

, és [B] =

[

a′ c ′

b′ d ′

]

, akkor

[A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Tehát [A ◦ B] = [A][B]: kompozíció mátrixa a mátrixok szorzata.



Definíció


(

B(v))


Tétel

Ha [A] =

[

a c

b d

]

, és [B] =

[

a′ c ′

b′ d ′

]

, akkor

[A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Tehát [A ◦ B] = [A][B]: kompozíció mátrixa a mátrixok szorzata.

A mátrixok szorzását azért definiáltuk ezekkel a képletekkel,hogy ez az összefüggés igaz legyen.


A kompozíció mátrixának kiszámítása

Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

,



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

=



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

]



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=

[

aa′ + cb′

ba′ + db′

]

.



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=

[

aa′ + cb′

ba′ + db′

]

.

Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=

[

aa′ + cb′

ba′ + db′

]

.


A

(

B

[

01

])

=



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=

[

aa′ + cb′

ba′ + db′

]

.


A

(

B

[

01

])

= A

([

c ′

d ′

])

=



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=

[

aa′ + cb′

ba′ + db′

]

.


A

(

B

[

01

])

= A

([

c ′

d ′

])

=

[

a c

b d

]



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=

[

aa′ + cb′

ba′ + db′

]

.


A

(

B

[

01

])

= A

([

c ′

d ′

])

=

[

a c

b d

] [

c ′

d ′

]

=



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=

[

aa′ + cb′

ba′ + db′

]

.


A

(

B

[

01

])

= A

([

c ′

d ′

])

=

[

a c

b d

] [

c ′

d ′

]

=

[

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

]

.



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=

[

aa′ + cb′

ba′ + db′

]

.


A

(

B

[

01

])

= A

([

c ′

d ′

])

=

[

a c

b d

] [

c ′

d ′

]

=

[

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

]

.

Ezért A ◦ B második oszlopa is megfelelő.



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=

[

aa′ + cb′

ba′ + db′

]

.


A

(

B

[

01

])

= A

([

c ′

d ′

])

=

[

a c

b d

] [

c ′

d ′

]

=

[

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

]

.


Példa: [F ◦ R] =



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=

[

aa′ + cb′

ba′ + db′

]

.


A

(

B

[

01

])

= A

([

c ′

d ′

])

=

[

a c

b d

] [

c ′

d ′

]

=

[

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

]

.


Példa: [F ◦ R] = [F ][R] =



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=

[

aa′ + cb′

ba′ + db′

]

.


A

(

B

[

01

])

= A

([

c ′

d ′

])

=

[

a c

b d

] [

c ′

d ′

]

=

[

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

]

.


Példa: [F ◦ R] = [F ][R] =

[

0 −11 0

]



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=

[

aa′ + cb′

ba′ + db′

]

.


A

(

B

[

01

])

= A

([

c ′

d ′

])

=

[

a c

b d

] [

c ′

d ′

]

=

[

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

]

.


Példa: [F ◦ R] = [F ][R] =

[

0 −11 0

] [

0 11 0

]

=



Tétel

[A]=

[

a c

b d

]

, [B]=

[

a′ c ′

b′ d ′

]

=⇒ [A ◦ B]=

[

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

]

.

Bizonyítás

A

(

B

[

10

])

= A

([

a′

b′

])

=

[

a c

b d

] [

a′

b′

]

=

[

aa′ + cb′

ba′ + db′

]

.


A

(

B

[

01

])

= A

([

c ′

d ′

])

=

[

a c

b d

] [

c ′

d ′

]

=

[

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

]

.


Példa: [F ◦ R] = [F ][R] =

[

0 −11 0

] [

0 11 0

]

=

[

−1 00 1

]

.


Kompozíció az általános esetben


Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.




Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata




Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A

(

B(u))

minden u ∈ U-ra.





(

B(u))

minden u ∈ U-ra.


Ha A és B lineáris, akkor AB is az.





(

B(u))

minden u ∈ U-ra.



Bizonyítás

AB skalárszoros-tartó:AB(λu)





(

B(u))

minden u ∈ U-ra.



Bizonyítás

AB skalárszoros-tartó:AB(λu)

A kompozíció definíciója miatt.





(

B(u))

minden u ∈ U-ra.



Bizonyítás

AB skalárszoros-tartó:AB(λu) = A

(

B(λu))






(

B(u))

minden u ∈ U-ra.



Bizonyítás


(

B(λu))

B skalárszoros-tartása miatt.





(

B(u))

minden u ∈ U-ra.



Bizonyítás


(

B(λu))

= A(

λB(u))

B skalárszoros-tartása miatt.





(

B(u))

minden u ∈ U-ra.



Bizonyítás


(

B(λu))

= A(

λB(u))

A skalárszoros-tartása miatt.





(

B(u))

minden u ∈ U-ra.



Bizonyítás


(

B(λu))

= A(

λB(u))

= λA(

B(u))

A skalárszoros-tartása miatt.





(

B(u))

minden u ∈ U-ra.



Bizonyítás


(

B(λu))

= A(

λB(u))

= λA(

B(u))






(

B(u))

minden u ∈ U-ra.



Bizonyítás


(

B(λu))

= A(

λB(u))

= λA(

B(u))

= λAB(u).






(

B(u))

minden u ∈ U-ra.



Bizonyítás


(

B(λu))

= A(

λB(u))

= λA(

B(u))

= λAB(u).

HF: AB összegtartó.


Általános kompozíció mátrixa


Legyen a bázis U-ban,




Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben,




Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,




Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W )




Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ).




Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ). Ekkor[AB]d/a = [A]d/b[B]b/a.





Bizonyítás: HF.





Bizonyítás: HF.Bázisok megjegyzése: d/a = (d/b)(b/a)





Bizonyítás: HF.Bázisok megjegyzése: d/a = (d/b)(b/a) („kiesik” a b).






Következmény

Inverz leképezés mátrixa a mátrix inverze:






Következmény

Inverz leképezés mátrixa a mátrix inverze: [A−1]b/d = [A]−1

d/b.






Következmény


d/b.

Bizonyítás

[A−1]b/d[A]d/b = [A−1A]b/b =






Következmény


d/b.

Bizonyítás

[A−1]b/d[A]d/b = [A−1A]b/b = [I ]b/b,






Következmény


d/b.

Bizonyítás

[A−1]b/d[A]d/b = [A−1A]b/b = [I ]b/b, ami az egységmátrix.






Következmény


d/b.

Bizonyítás

[A−1]b/d[A]d/b = [A−1A]b/b = [I ]b/b, ami az egységmátrix.Hasonlóan [A]d/b[A

−1]b/d is az egységmátrix.

Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25

Pontonkénti műveletek

Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,




Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések




Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .





(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.






(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(

A(v))

minden v ∈ V -re.







A(v))

minden v ∈ V -re.


A+ B és λA is lineáris transzformáció.







A(v))

minden v ∈ V -re.



Mintabizonyítás: λA összegtartó

(λA)(u + v)







A(v))

minden v ∈ V -re.




(λA)(u + v)

A λA definíciója miatt.







A(v))

minden v ∈ V -re.




(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

=

A λA definíciója miatt.







A(v))

minden v ∈ V -re.




(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

=

Az A összegtartása miatt.







A(v))

minden v ∈ V -re.




(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

= λ(

A(u) + A(v))

=

Az A összegtartása miatt.







A(v))

minden v ∈ V -re.




(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

= λ(

A(u) + A(v))

=

A skalárral szorzás tulajdonsága (vektortéraxióma) miatt.







A(v))

minden v ∈ V -re.




(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

= λ(

A(u) + A(v))

== λ

(

A(u))

+ λ(

A(v))

A skalárral szorzás tulajdonsága (vektortéraxióma) miatt.







A(v))

minden v ∈ V -re.




(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

= λ(

A(u) + A(v))

== λ

(

A(u))

+ λ(

A(v))

A λA definíciója miatt (kétszer alkalmazva).







A(v))

minden v ∈ V -re.




(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

= λ(

A(u) + A(v))

== λ

(

A(u))

+ λ(

A(v))

= (λA)(u) + (λA)(v).

A λA definíciója miatt (kétszer alkalmazva).







A(v))

minden v ∈ V -re.




(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

= λ(

A(u) + A(v))

== λ

(

A(u))

+ λ(

A(v))

= (λA)(u) + (λA)(v).

A másik három állítás bizonyítása HF.


Az összeg mátrixa


Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezés


Az összeg mátrixa


Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésösszegtartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.


Az összeg mátrixa


Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésösszegtartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz összeg mátrixa a mátrixok összege.


Az összeg mátrixa



Bizonyítás

w 7→ [w ]d összegtartó W és Tm között.


Az összeg mátrixa



Bizonyítás


Ha A,B ∈ Hom(V ,W ),


Az összeg mátrixa



Bizonyítás


Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt.


Az összeg mátrixa



Bizonyítás


Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt. Így[(A+ B)(bi )]d = [A(bi ) + B(bi )]d =


Az összeg mátrixa



Bizonyítás


Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt. Így[(A+ B)(bi )]d = [A(bi ) + B(bi )]d = [A(bi )]d + [B(bi )]d.


Az összeg mátrixa



Bizonyítás


Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt. Így[(A+ B)(bi )]d = [A(bi ) + B(bi )]d = [A(bi )]d + [B(bi )]d.Vagyis A+ B mátrixának oszlopai az A, illetve a B mátrixábólvett megfelelő oszlopok összegei.


Az összeg mátrixa



Bizonyítás


Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt. Így[(A+ B)(bi )]d = [A(bi ) + B(bi )]d = [A(bi )]d + [B(bi )]d.Vagyis A+ B mátrixának oszlopai az A, illetve a B mátrixábólvett megfelelő oszlopok összegei. A mátrixok összeadásánakdefiníciója miatt tehát [A+ B]d/b = [A]d/b + [B]d/b.


A skalárszoros mátrixa






Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésskalárszoros-tartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.




Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésskalárszoros-tartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa.





Bizonyítás

w 7→ [w ]d skalárszorostartó W és Tm között.





Bizonyítás


Ha A ∈ Hom(V ,W ),





Bizonyítás


Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt.





Bizonyítás


Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt. Így[(λA)(bi )]d = [λA(bi )]d =





Bizonyítás


Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt. Így[(λA)(bi )]d = [λA(bi )]d = λ[A(bi )]d.





Bizonyítás


Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt. Így[(λA)(bi )]d = [λA(bi )]d = λ[A(bi )]d.Vagyis λA mátrixának oszlopai az A mátrixábólvett megfelelő oszlopok λ-szorosai.





Bizonyítás


Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt. Így[(λA)(bi )]d = [λA(bi )]d = λ[A(bi )]d.Vagyis λA mátrixának oszlopai az A mátrixábólvett megfelelő oszlopok λ-szorosai. A mátrixok λ-szorosánakdefiníciója miatt tehát [λA]d/b = λ[A]d/b.


A műveletek tulajdonságai

JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ),



JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.




Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.





Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.





Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés.





Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).





Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,





Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B





Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B = A(λB)





Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B = A(λB) (A,B ∈ Hom(V ), λ ∈ T ).





Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B = A(λB) (A,B ∈ Hom(V ), λ ∈ T ).Az egységelem az identikus transzformáció.






FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonyítást!






FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonyítást!Különösen ajánlom a két disztributív azonosság levezetését:






FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonyítást!Különösen ajánlom a két disztributív azonosság levezetését:A(B + C ) = AB + AC






FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonyítást!Különösen ajánlom a két disztributív azonosság levezetését:A(B + C ) = AB + AC és (B + C )A = BA+ CA.

Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25

Példák izomorfizmusra


Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus,




Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.




Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek,




Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus.




Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus.Jele: V ∼=W .





Két fontos példa

Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben,





Két fontos példa

Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben,akkor v 7→ [v ]b izomorfizmus V és T n között.





Két fontos példa

Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben,akkor v 7→ [v ]b izomorfizmus V és T n között.Ezért minden V vektortér izomorf T dim(V )-vel.





Két fontos példa


Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben.





Két fontos példa


Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben.Ekkor A 7→ [A]d/b izomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.





Két fontos példa



Vagyis Hom(V ,W )∼=T dim(W )×dim(V ).





Két fontos példa



Vagyis Hom(V ,W )∼=T dim(W )×dim(V ).A művelettartást láttuk, az egyértelműséget most bebizonyítjuk.


Az előírhatósági tétel


Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,




Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben,




Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.




Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.Ekkor pontosan egy olyan A : V → W lineáris leképezés van,melyre A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.





Bizonyítás: egyértelműség

Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn)






Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),






Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó,






Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) =






Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) =mert A skalárszorostartó.






Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) = λ1c1 + . . .+ λncn,mert A skalárszorostartó.






Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) = λ1c1 + . . .+ λncn,mert A skalárszorostartó. Azaz A értékét V minden eleménki tudjuk számítani,






Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) = λ1c1 + . . .+ λncn,mert A skalárszorostartó. Azaz A értékét V minden eleménki tudjuk számítani, és így csak egy megfelelő A leképezéslétezhet.






Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) = λ1c1 + . . .+ λncn,mert A skalárszorostartó. Azaz A értékét V minden eleménki tudjuk számítani, és így csak egy megfelelő A leképezéslétezhet. Az egyértelműséget tehát beláttuk.


Az előírhatósági tétel: létezés

Bizonyítás: létezés

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.




Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.




Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó,




Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn




Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn,




Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn,




Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.




Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),




Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).




Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).A skalárszorostartás bizonyítása hasonló: HF.




Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).A skalárszorostartás bizonyítása hasonló: HF.Mivel b1 = 1 · b1 + 0 · b2 + . . .+ 0 · bn,




Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).A skalárszorostartás bizonyítása hasonló: HF.Mivel b1 = 1 · b1 + 0 · b2 + . . .+ 0 · bn,ezért A(b1) = 1 · c1 + 0 · c2 + . . .+ 0 · cn = c1.




Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).A skalárszorostartás bizonyítása hasonló: HF.Mivel b1 = 1 · b1 + 0 · b2 + . . .+ 0 · bn,ezért A(b1) = 1 · c1 + 0 · c2 + . . .+ 0 · cn = c1.Hasonlóan A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.


Mátrixok és leképezések: egyértelműség






Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésizomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.





Bizonyítás

w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között,





Bizonyítás

w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között, hiszen W

minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.





Bizonyítás


minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor





Bizonyítás


minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor

A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér.





Bizonyítás


minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér.





Bizonyítás


minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek,





Bizonyítás


minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző.





Bizonyítás


minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző.Ha adott egy M ∈ Tm×n mátrix,





Bizonyítás


minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző.Ha adott egy M ∈ Tm×n mátrix, akkor annak oszlopvektoraiegy c1, . . . , cm vektorrendszert adnak W -ben,





Bizonyítás


minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző.Ha adott egy M ∈ Tm×n mátrix, akkor annak oszlopvektoraiegy c1, . . . , cm vektorrendszert adnak W -ben, és azelőírhatósági tételből kapott A leképezésnek M lesz a mátrixa.


Az izomorfizmus jellemzése


Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf,




Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.




Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim

(

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).





(

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.





(

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben





(

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.





(

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések,





(

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj





(

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.





(

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.





(

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.Megfordítva: ha A : V → W izomorfizmus





(

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.Megfordítva: ha A : V → W izomorfizmus és b1, . . . , bnbázis V -ben,





(

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.Megfordítva: ha A : V → W izomorfizmus és b1, . . . , bnbázis V -ben, akkor HF: A(b1), . . . ,A(bn) bázis W -ben.





(

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.Megfordítva: ha A : V → W izomorfizmus és b1, . . . , bnbázis V -ben, akkor HF: A(b1), . . . ,A(bn) bázis W -ben.Ezért a két dimenzió megegyezik.

Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25

A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Összegtartás,



Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás,



Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.



Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa,



Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege,



Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa,



Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.



Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.



Fogalmak


TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.



Fogalmak


TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.



Fogalmak


TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.



Fogalmak


TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris;



Fogalmak


TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.



Fogalmak


TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér



Fogalmak


TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.



Fogalmak


TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű,



Fogalmak


TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű, és a megfeleltetés T n×n-nel szorzattartó.



Fogalmak


TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű, és a megfeleltetés T n×n-nel szorzattartó.Vektortér-izomorfia jellemzése a dimenzióval.



Fogalmak


TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű, és a megfeleltetés T n×n-nel szorzattartó.Vektortér-izomorfia jellemzése a dimenzióval.Hom(V ,W ) dimenziója.



Fogalmak


TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű, és a megfeleltetés T n×n-nel szorzattartó.Vektortér-izomorfia jellemzése a dimenzióval.Hom(V ,W ) dimenziója. Az előírhatósági tétel.

Documents

Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszékewkiss.web.elte.hu/.../2017/02/Alg2n2_prez_3.pdf · Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25 A lineáris