Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS · 2010. 2. 17. · Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS. 07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 2 Jadwal Kuliah Hari I jam Hari II jam Sistem

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 1

AljabarAljabar Linear Linear ElementerElementerMA1223 MA1223

3 SKS3 SKS


JadwalJadwal KuliahKuliahHariHari I I jamjamHariHari IIII jamjam

SistemSistem PenilaianPenilaianUTSUTS 40%40%UASUAS 40%40%QuisQuis 20%20%


Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen


REFERENSI :• Anton H., Rorres, C., 1995, Elementary Linear

Algebra : Applications Version, 6th edition, John Willey and Sons, New York

• Arifin, A., 2001, Aljabar Linear, edisi kedua, Penerbit ITB, Bandung

• Durbin, J. R., 1992, Modern Algebra : An Introduction, 3rd edition, John Willey and Sons, Singapore

• Kreyszig E., , 1993, Advanced EnginereengMathematics, 8th edition, John Willey & Sons, Toronto

• Leon, S. J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, terjemahan Penerbit Erlangga, Jakarta


1. Matriks dan Operasinya

Sub Pokok Bahasan– Matriks dan Jenisnya– Operasi Matriks– Operasi Baris Elementer– Matriks Invers (Balikan)

Beberapa Aplikasi MatriksRepresentasi image (citra) Chanel/Frequency assignmentOperation Researchdan lain-lain.


1. Matriks dan Jenisnya

Notasi Matriks

Matriks A berukuran (Ordo) mxn

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

L

MOMM

L

L

11

21111

11111 Baris pertama

Kolom kedua

Unsur / entri /elemen ke-mn(baris m kolom n)


Misalkan A dan B adalah matriks berukuran samaA dan B dikatakan sama (notasi A = B)

jika

aij = bij untuk setiap i dan j

Jenis-jenis Matriks• Matriks bujur sangkar (persegi)

Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya adalah sama (n x n)Contoh :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

210121012

B Unsur diagonal


Matriks segi tigaAda dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah.

• Matriks segi tiga atasMatriks yang semua unsur dibawah unsur diagonal

pada kolom yang bersesuaian adalah nol.

• Matriks segi tiga bawahMatriks yang semua unsur diatas unsur diagonal

pada kolom yang bersesuaian adalah nol.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

8 0 0 7 1 0

3 9 5 E

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2 0 3 0 1 5 0 0 2

F


• Matriks DiagonalMatriks bujur sangkar dimana setiap unsuryang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.

• Matriks satuan (Identitas)Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnyaadalah satu.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1 0 0 0 2 0 0 0 3

D

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1 0 0 0 1 0 0 0 1

I


• Transpos MatriksMatriks transpos diperoleh dengan menukarbaris matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya. Notasi At (hasil transpos matriks A)

Contoh :

maka

Jika matriks A = At maka matriks A dinamakanmatriks Simetri.Contoh :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

0 1- 2- 3 1 2

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0 2- 1 1- 3 2 tA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3112

A


2. Operasi Matriks

Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :

1. Penjumlahan Matriks

2. Perkalian Matriks

• Perkalian skalar dengan matriks

• Perkalian matriks dengan matriks

3. Operasi Baris Elementer (OBE)


• Penjumlahan MatriksSyarat : Dua matriks berordo sama dapat

dijumlahkanContoha.

+

b.

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

hgfe

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=hdgcfbea

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ 4 3 2 1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡8 7 6 5

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

106 8

12


Perkalian Matriks• Perkalian Skalar dengan Matriks

Contoh :

=

• Perkalian Matriks dengan MatriksMisalkan A berordo pxq dan B berordo mxnSyarat : A X B haruslah q = m

hasil perkalian AB berordo pxn

B X A haruslah n = phasil perkalian BA berordo mxq

Contoh :Diketahui

dan

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡srqp

k ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡skrkqkpk

32

xfedcba

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

23

xurtqsp

B⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=


Maka hasil kali A dan B adalah :

Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran samadan α, β merupakan unsur bilangan Riil, Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :1. A + B = B + A2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C3. α ( A + B ) = αA + αB4. (α + β ) ( A ) = αA + βA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2332

xx ur

tqsp

fedcba

ABap+bq+crdp+eq+fr

as+bt+cuds+et+fu 2x2


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

0 1- 2- 3 1 2

A

Contoh :Diketahui matriks :

Tentukana. A At

b. At A


Jawab :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0 2- 1 1- 3 2 tA

maka

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

0 1- 2- 3 1 2

tAA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0 2- 1 1- 3 2

sedangkan

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

0 1- 2- 3 1 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0 2- 1 1- 3 2

AAt

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

5-2

-213

-2-31-3

4

-4

-4 5

14


• Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi baris elementer meliputi :1. Pertukaran Baris2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan

konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan barisyang lain.

Contoh : OBE 1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

4 2 0 3 2 1 1- 2- 3-

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡↔

4 2 0 1- 2- 3- 3 2 1

~21 bb

Baris pertama (b1) ditukardengan baris ke-2 (b2)


OBE ke-2

¼ b1 ~

OBE ke-3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3 1 1- 2 7 1 2 0

4- 0 4- 4 A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3 1 1- 2 7 1 2 0 1- 0 1- 1

Perkalian Baris pertama (b1) dengan bilangan ¼

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3 1 1- 2 7 1 2 0 1- 0 1- 1

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+−

7 1 2 0 1- 0 1- 1

~2 31 bb

Perkalian (–2) dengan b1 lalutambahkan pada baris ke-3 (b3)

0 1 1 5


• Beberapa definisi yang perlu diketahui :

– Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.

– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.

– Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.

– Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

000013003111

B


Sifat matriks hasil OBE :1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1

(dinamakan satu utama).2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah

memuat 1 utama yang lebih ke kanan.3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),

maka ia diletakkan pada baris paling bawah.4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur

yang lainnya adalah nol.

Matriks dinamakan esilon baris jikadipenuhi sifat 1, 2, dan 3

Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jikadipenuhi semua sifat

(Proses Eliminasi Gauss)

(Proses Eliminasi Gauss-Jordan)


Contoh :Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari

Jawab :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3 1 1- 2 7 1 2 0 1- 0 1- 1

A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+−

7 1 2 0 1- 0 1- 1

2~ 31 bbA

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛↔

1- 0 1- 1 ~ 32 bb

0 1 1 5

0 1 1 5 0 2 1 7


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+−

5 1 1 0 1- 0 1- 1

2~ 32 bbA

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

5 1 1 0 1- 0 1- 1

~3b

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+−

3 1 0 0

1- 0 1- 1 ~23 bb

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

3 1 0 0 2 0 1 0

12 bb

0 0 -1 -3

00 1 3

0 2

0

1

1 0 1

0


Perhatikan hasil OBE tadi :

Setiap baris mempunyai satu utama.

Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlahbaris lebih sedikit dari jumlah kolom

(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1


Invers MatriksMisalkan A adalah matriks bujur sangkar.B dinamakan invers dari A jika dipenuhi

A B = I dan B A = ISebaliknya, A juga dinamakan invers dari B.Notasi A = B-1

Cara menentukan invers suatu matriks A adalah

( )1| −AI( )IA |OBE

~

Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriksidentitas maka A dikatakan tidak punya invers


Contoh : Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari :

Jawab :

b1↔b2~

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

122011123

A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

100010001

122011123

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

100001010

122123

011

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ 010011-3b1+b22b1+b3

0 -1 100 21 1

0

0

-1 -3


-b2

-b3+ b2

-b2+ b1

Jadi Invers Matriks A adalah

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

120

010

100

011

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

120

010

100

011

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−120111

100010

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

120031010

100110

011

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=−

120111

1011A

1 1 -1 3 00

10 0 1-1 -1

111 0 0 0


• Perhatikan bahwa :

dan

maka

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=−

120111

1011A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

122011123

A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=−

120111

101

210121012

1AA

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100010001


11 −Ak

Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers :

i. (A-1)-1 = A

ii. Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers

maka (A . B)-1 = B-1 . A-1

iii. Misal k ∈ Riil maka (kA)-1 =

iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1 = (A-1)n


Latihan

Diketahui

, dan

Tentukan (untuk no 1 – 5) matriks hasil operasi berikut ini :1. AB 2. 3CA3. (AB)C 4. (4B)C + 2C

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

112103

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

2014

B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

513241

C


Untuk Soal no. 5 – 7, Diketahui :

dan

5. Tentukan : D + E2 (dimana E2 = EE)6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A,

B, C, D, dan E 7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

2 1 0 1 2 1 0 1 2

D⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

144010023

E

Documents

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS · 2010. 2. 17. · Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS. 07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 2 Jadwal Kuliah Hari I jam Hari II jam Sistem