ALKALMAZOTT MECHANIKA b - amt.sze.hu · 15 64 d 3 3 0 m 0 d ... MD c y z Adott: 800 600 Nm c hz S MM M i k

SZÉCHENYI ISTVÁN ALKALMAZOTT MECHANIKA

EGYETEM TANSZÉK

Tarnai Gábor 1 / 12

11. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.;

Tarnai Gábor mérnöktanár.)

11.1. Prizmatikus rúd összetett igénybevétele (excentrikus húzás-nyomás)

b

a

S

xy

z

F

KD

A

Adott:

Az adott keresztmetszet geometriai

méretei és a keresztmetszet

D pontjában ható terhelés.

20a mm,

40b mm,

6F kN,

0; 10;5D mm.

Feladat:

a) Határozza meg a K keresztmetszet igénybevételét!

b) Rajzolja meg a K keresztmetszet y és z tengelye mentén a feszültségeloszlást!

c) Számítsa ki a zérusvonal egyenletét és ábrázolja a zérusvonalat a K keresztmetszeten!

Határozza meg a keresztmetszet veszélyes pontjait!

d) Számítsa ki a MOHR és a HMH elmélet szerinti maximális redukált feszültséget!

Megoldás:

a) A K keresztmetszet igénybevétele:

Redukáljuk az F erőt az A keresztmetszet S pontjába:

S

x

y

z

F

K

y

z

N F

hzM

hzM

hyM

hyM

A

6 000 NN F ,

0,005 6 000 30 Nmhy DM z F ,

0,01 6 000 60 Nmhz DM y F .

A keresztmetszet igénybevétele:

húzás+ferde hajlítás.


EGYETEM TANSZÉK


zérusvonal

y

z

hyM

ShzM

A

b) Feszültségeloszlás a K keresztmetszet y és z tengelye mentén:

y

z

hyM

ShzM

y y y

z

A

x N

hzx M

hyx M

7,5

11, 25

z

z

x N hzx M

hyx M

0

0

11,25

7,5

11,25

11,25

c) A zérusvonal egyenlete és ábrázolása a K keresztmetszeten:

3 3

420 4026 666,67 mm

12 12y

a bI

,

3 3440 20

106 666,67 mm12 12

z

b aI

.

220 40 800 mmA ab .

0hyhz D D

x

z y z y

MM y F z FN Ny z y z

A I I A I I ,

106 666,67 5 106 666,672 13,33

26 666,67 10 10 800

z D z

y D D

I z Iy y z z z z

I y y A

.

A zérusvonal egyenlete: 2 13,33y y z z .

A veszélyes pont: az A pont.

d) A MOHR és HMH elmélet szerinti maximális redukált feszültség a keresztmetszet

veszélyes pontjában:

2 2

max 4 red red red x xy xA MOHR A ,

2 2

max 3 red red red x xy xA HMH A .

Feszültségeloszlás az A pontban:

3

3

6 0007,5 MPa,

800

60 1020 11,25 MPa,

106 666,67

30 1010 11,25 MPa.

26 666,67

hz

hy

x N

hzAx M

z

hy

Ax My

N

A

My

I

Mz

I

7,5 11,25 11,25 30 MPa.

30 MPa.

hz hyx x N x M x M

red red

red

A

A MOHR

HMH


EGYETEM TANSZÉK


11.2. Excentrikus húzás-nyomás

S

x

y

z

F

K

y

z

A

S

d

/ 2d

Adott:

8 kNF ,

60 mmd .

Feladat:

a) Határozza meg a tartó K keresztmetszetének igénybevételét!

b) Határozza meg a K keresztmetszet veszélyes pontjait! Rajzolja meg a K

keresztmetszet y és z tengelyei mentén a feszültségeloszlást!

c) Határozza meg a zérusvonal egyenletét!

d) Számítsa ki a K keresztmetszeten fellépő maximális x feszültséget!

Megoldás:

a) A tartó K jelű keresztmetszetének igénybevétele:

hzM

hzMS

x

y

z

FK

y

z

AS

d

F

Helyezzük át az F erőt a

keresztmetszet S súlypontjába:

8 kNxN F ,

0,068 000 240 Nm

2 2hz

dM F .

A keresztmetszet igénybevétele:

húzás+ hajlítás.


EGYETEM TANSZÉK


b) A feszültségeloszlás a K keresztmetszet y és z tengelyei mentén:

y

z S hzM

y y

z hzx M

z

x N hzx M

0

x N zérusvonal

c) A zérusvonal egyenlete:

Keresztmetszeti jellemzők: 4 4

460636172,51 mm

64 64z

dI

,

222 827,43 mm

4

dA

,

0hzx

z

MNy

A I ,

3

8 000 636172,517,5

2 827,43 240 10

z

hz

NIy

AM

7,5y y z .

d) A K keresztmetszeten fellépő maximális x feszültség:

3

max

8 000 240 10 602,83 11,32 14,15 MPa

2 827,43 636172,51 2

hzx x A

z

MNA y

A I

.


EGYETEM TANSZÉK


11.3. Csavarás-egyenes hajlítás

S

d

D

y

zhyM

CM

P

Adott:

Adott a keresztmetszet P pontja és a

keresztmetszet S pontjában ható terhelések.

2D d , 30hyM Nm, 20cM Nm,

130meg N/mm2.

Feladat:

e) Határozza meg a P pontbeli feszültségi tenzor mátrixát az R x és az xyz koordináta-

rendszerben.

f) Rajzolja meg a keresztmetszet y és z tengelyei mentén a feszültségeloszlást.

g) Határozza meg a keresztmetszet veszélyes pontjait.

h) Végezze el a tartó méretezését a MOHR és a HMH elmélet szerint.

Megoldás:

e) A P pontbeli feszültségi tenzor mátrixa az R x és az xyz koordináta- rendszerben:

, ,

0 0 0

0 0

0

xP

R x x x

F

,

, ,

0 0

0 0

x xy xz

yxP

x y z zx

F

.


EGYETEM TANSZÉK


f) A feszültségeloszlás a keresztmetszet y és z tengelyei mentén:

S

y

zhyM

CM

x

z

z

yx

x

zxA B

c) Veszélyes keresztmetszet: és .A B

d) A tartó méretezése a MOHR és a HMH elmélet szerinti:

Redukált nyomaték: 2

2

4

Cred hy

MM M ,

Keresztmetszeti jellemző: 4 44 4 322 2 15

64 64 2 64y

d dD d dK

D d

,

Redukált feszültség: redred

y

M

K .

A tényező a MOHR elmélet esetén: 4

22 ( 20)

30 4 36,06 Nm4

redM

.

A méretezés alapjául szolgáló egyenlőtlenség: redred meg meg

y

M

K , azaz

3

3

36,06 10130

15

64

d

3

364 36,06 10

7, 22 mm15 130

d

.

Átmérők: 7,22 mmd , 2 14,44 mmD d .


EGYETEM TANSZÉK


A tényező a HMH elmélet esetén: 3

22 ( 20)

30 3 34,64 Nm4

redM

.

A méretezés alapjául szolgáló egyenlőtlenség: redred meg meg

y

M

K , azaz

3

3

34,64 10130

15

64

d

3

364 34,64 10

7,13 mm15 130

d

.

Átmérők: 7,13 mmd , 2 14,26 mmD d .

A biztonság felé térünk el, amennyiben a nagyobb átmérőket választjuk:

Végleges átmérők: 7,22 mmd , 2 14,44 mmD d .


EGYETEM TANSZÉK


11.4. Húzás-nyomás és csavarás

y

l

x

y

S

CM

CMCMF F

d

P

z

Adott:

Adott a keresztmetszet P pontja és a keresztmetszet S pontjában ható terhelések.

120F kN, 1cM kNm, 50d mm, 80G GPa, 0 3 .

Feladat:

a) A feszültségeloszlás ábrázolása a rúd tetszőleges keresztmetszetén.

b) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása és szemléltetése az elemi kocka

valamint a Mohr-féle kördiagram segítségével.

c) A főfeszültségek és a redukált feszültségek meghatározása a P pontban.

d) Az alakváltozási állapot meghatározása a P pontban.

Megoldás:

a) A feszültségeloszlás ábrázolása a rúd tetszőleges keresztmetszetén:

x

N

A ,

Cxy

P

Mz

I

Cxz

P

My

I

Cx

P

MR

I .

b) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása és szemléltetése az elemi kocka

valamint a Mohr-féle kördiagram segítségével:

0

0 0

0 0 0

x xy

yxPF

5

2 2

1, 2 1061,1 MPa

50 3,14

4 4

x

N F

dA


EGYETEM TANSZÉK


6

4 4

1025 40,7 MPa

50 3,14

32 32

c cxy P P

p

M MP z z

dI

, 40,7 MPaxy P .

P

z

x

y 0xy

0x

nm

n

1x

23

yP

xP

y

x

m

n

61,1 40,7 0

40,7 0 0 MPa

0 0 0

PF .

c) A főfeszültségek és a redukált feszültségek meghatározása a P pontban:

A főfeszültségek: 2 2

2 2

1

61,1 61,140,7 81,44 MPa

2 2 2 2

x xxy

,

2 0z MPa,

2 2

2 2

3

61,1 61,140,7 20,34

2 2 2 2

x xxy

MPa.

Redukált feszültség Coulomb szerint: 1 81,44 MPared .

Redukált feszültség Mohr szerint:

1 3 81,44 20,34 101,78red MPa, vagy

2 2 2 2( ) 4 61,1 4 40,7 101,78red x xy MPa.

Redukált feszültség Huber-Mises-Hencky szerint:

2 2 2 2( ) 3 61,1 3 40,7 93 29red x xy MPa.


EGYETEM TANSZÉK


d) Az alakváltozási állapot meghatározása a P pontban:

1

2 1IP P

A F F EG

61,1I x y zF MPa,

4

5

1 1 0 361,1 61,1 2 86 10

2 1 1 6 10 1 3x x IF

G

,

4

5

1 1 0 30 61,1 0 88 10

2 1 1 6 10 1 3y y IF

G

,

4

5

1 1 0 30 61,1 0 88 10

2 1 1 6 10 1 3z z IF

G

,

4

5

1 1 40,70 2,544 10

2 2 1 2 2 0,8 10

xy

xy xy IFG G

,

1 10 0

2 2 1 2

xzxz xz IF

G G

1 10 0

2 2 1 2

yz

yz yz IFG G

12

412

0 2 86 2,544 0

0 2,544 0 88 0 10

0 0 0 0 0 88

x xy

yx yP

z

A

.

Az alakváltozási

állapot szemléltetése:

410

0,88

j i

k 2,860,88

2,544

2,544


EGYETEM TANSZÉK


11.5. Egyenes hajlítás és csavarás

d ShzM

cM

D

y

z

Adott:

800 600 Nmc hz

S

M M

M i k

,

80 MPameg ,

2D d .

Feladat:

a) Ábrázolja a feszültségeloszlást a 0z keresztmetszeten!

b) Határozza meg a veszélyes pontokat!

c) Számítsa ki a Mohr elmélet szerinti redM redukált nyomatékot!

d) Végezze el a tartó méretezését Mohr szerint!

Megoldás:

a) A feszültségeloszlás ábrázolása a rúd z = 0 keresztmetszetén:

ShzM

cM

y

z

A

B

x xz

y y

hzx

z

My

I ,

cxy

p

Mz

I

cxz

p

My

I .

b) Veszélyes pontok:

A és B .

c) Az redM redukált nyomaték Mohr elmélet szerint 4 :

max

2 22 2

2 2

,

4

2

hz chz c red

red x xA B

z z z z

M MM M M

K K K K

,

2 z pK K

2 2 436 64 10 1000 Nmred hz cM Mohr M M .


EGYETEM TANSZÉK


d) Végezze el a tartó méretezését Mohr szerint!

redmeg

z

M

K ,

ahol 4 4

2

64

z

D dK

D

, és 2D d behelyettesítésével:

4

316 1 15

64 64z

dK d

d

.

redz

meg

MK

315

64

red

meg

Md

6

333

64 1 64 1010 16,977 25,7 mm

15 15 80 3,14

red

meg

Md

,

26 mmd , 52 mmD .

Documents

ALKALMAZOTT MECHANIKA b - amt.sze.hu · 15 64 d 3 3 0 m 0 d ... MD c y z Adott: 800 600 Nm c hz S MM M i k