ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ

İYİ UYUM TESTİ

Prof.Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

İYİ UYUM TESTİ

Rassal değişkenin olasılık yoğunluk

fonksiyonunun ve parametresinin

bilinmediği, ancak belirli bir parametre

ile ilgili dağılımın test edildiği yöntemdir.

Ki- Kare Testi

Bir değişkenin kendi sınıflandırmasına göre, gözlenen

frekanslarının teorik(beklenen) frekanslar ile

uygunluk gösterip göstermediğinin ortaya konmasıdır.

Bir paranın 1000 kez atılması, bir zarın 600 kez

atılması, günlük gazete satışlarının dağılımı gibi.

X rassal değişkeninden n birimlik rastgele örnekler alınmış olsun. Bu

örneklerin ’ k ‘adet sınıfta histogramı çizilsin.

𝑂𝑖 : i. Sınıftaki gözlenen frekans (birim sayısı)

𝐸𝑖 : i. sınıftaki beklenen frekans olmak üzere,

(Bu oranın dağılımı serbestlik derecesi k-p-1 olan yaklaşık 𝜒2 ‘dağılımıdır.

k: sınıf sayısı

p: örnekten tahmin edilen parametre sayısı

𝜒2 yaklaşımı n büyüdükçe gelişir. )

Test istatistiği : 𝜒02 = 𝑖=1

𝑘 (𝑂𝑖−𝐸𝑖)2

𝐸𝑖

Ki- Kare Testi

Hipotezler :

𝐻0 : Gözlenen ve beklenen frekanslar arasında fark yoktur , eşittir.

𝐻𝑎 : Gözlenen ve beklenen frekanslar arasında fark vardır.

𝐻0 : Örnek ortalaması …., standart sapması … olan Normal dağılımdır.

𝐻𝑎 : Örnek ortalaması …., standart sapması … olan Normal dağılım

değildir.

NOT: Eğer gözlenen frekans çok

küçük ise, 𝜒2 dağılımı beklenen ile

gözlenen frekansların farkların

dağılımını temsil etmez. Eğer

gözlenen frekans 3,4,5 gibi küçük

sayılar ise bunları uygun sınıflar ile

birleştirmek gerekiyor.

Karar kuralı:

𝜒02 > 𝜒𝛼,𝑘−𝑝−1

2……………………….. 𝐻0 red

edilir.

Ki- Kare Testi

Test istatistiği : 𝜒02 = 𝑖=1

𝑘 (𝑂𝑖−𝐸𝑖)2

𝐸𝑖

ÖRNEK-1:

Bir bilgisayar programını test etmek için 0-9 arasında 1000 adet

rassal tamsayı türetilmiştir. Aşağıdaki tabloda her bir değerden

türetilen sayıların adetleri verilmiştir. Buna göre rassal sayı türetimi

doğru çalışmakta mıdır? (α =0,05)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Gözlenen

frekans (𝑂𝑖)

94 93 112 101 104 95 100 99 108 94

Beklenen

frekans (𝐸𝑖)

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

Ki- Kare Testi

ÇÖZÜM-1: Hipotezler:

𝐻0 : Rassal sayılar düzgün dağılmıştır.

𝐻𝑎 : Rassal sayılar düzgün dağılmamıştır.

Test istatistiği

χ02 =

𝑂𝑖−𝐸𝑖2

𝐸𝑖

Karar Kuralı

χ02 > χ2α,k−p−1 ……………………… 𝐻0 red

Ki- Kare Testi

İşlemler

χ02 =

94−100 2

100+ ……………….+

94−100 2

100

χ02 = 3,72

Sonuç:

i-) χ02 = 3,72 < χ20.05,9= 16,92 ……………..𝐻0 red

edilemez.

ii-) %95 güven seviyesinde rassal sayılar düzgün

dağılmıştır.

ÇÖZÜM-1:

Ki- Kare Testi

ÖRNEK-2:

Bir mağazada bir yıllık televizyon satışları incelenmiş ve

aylara göre sayıları aşağıdaki gibi bulunmuştur. Buna göre;

mağazanın aylık televizyon satışları arasında fark olup

olmadığını bulunuz. α=0,05

Ki- Kare Testi

ÇÖZÜM-2: Hipotezler:

𝐻0 : Aylara göre satılan TV sayıları arasında fark yoktur.

𝐻𝑎 : Aylara göre satılan TV sayıları arasında fark vardır.

Test istatistiği

χ02 =

𝑂𝑖−𝐸𝑖2

𝐸𝑖

Karar Kuralı

χ02 >χ2α,k−p−1……………………… 𝐻0 red

Ki- Kare Testi

ÇÖZÜM-2: İşlemler:

Beklenen TV satış sayısı= 276

12= 23 adet

TV satışları 𝐸1= 𝐸2=……..= 𝐸12 = 23

χ02 =

18−23 2

23+ 19−23 2

23+ …….+

21−23 2

23

= 15,3

Sonuç:

i-) χ02 = 15,3 < χ20,05;10 = 18,3 ……………..𝐻0 red edilemez.

ii-) %95 güven seviyesinde aylara göre TV satışı arasında fark yoktur.

Ki- Kare Testi

Paket ağırlıklarına ilişkin yapılan bir çalışma

için 1000 adet örnek alınmış ve ortalaması

99gr, standart sapması 1,63 gr olarak

örnekten bulunmuştur. Paket ağırlıkları

sınıflandırılmış ve aşağıda verilmiştir. Buna

göre paket ağırlıklarının verilen ortalama ve

standart sapma ile normal dağılıp

dağılmadığını %99,5 güven seviyesinde test

ediniz.

ÖRNEK-3:

Ki- Kare Testi

Sınıflar (paket ağırlıkları gr) Frekans

94 ≤ X < 96 100

96 ≤ X < 98 200

98 ≤ X < 100 500

100 ≤ X < 102 150

102 ≤ X < 104 40

104 ≤ X < 106 10

ÇÖZÜM-3: Hipotezler:

𝐻0 : Paket ağırlıkları (99;2,66) ile Normal dağılmaktadır.

𝐻𝑎 : Paket ağırlıkları (99;2,66) ile Normal dağılmamaktadır.

Test istatistiği

χ02 =

𝑂𝑖−𝐸𝑖2

𝐸𝑖

Karar Kuralı

χ02 > χ2α,k−p−1……………………… 𝐻0 red

Ki- Kare Testi

ÇÖZÜM-3:

𝑃1= P(94<X<96)= P(94−99

1,63<z<

96−99

1,63) = P(-3,067<z<-1,84)

= 0,4989-0,4671 = 0,0318

𝑃2= P(96<X98) = P(-1,84<z<-0,61) = 0,4671-0,2291= 0,238

Ki- Kare Testi

Sonuç:

i-) 𝜒02 = 195,94 > χ20,005; 2=10,6 ……………….𝐻0 red

ii-) %99,5 güven seviyesinde paket ağırlıkları

(99;2,66) ile normal dağılmamaktadır.

ÇÖZÜM-3:

Kolmogorov –Smirnov Testi

Gözlenen frekanslar ile beklenen

frekansların birbirlerine ne düzeyde

benzeştiğine dayanır. Ancak burada her

gözlenen ve beklenen frekans yerine,

birikimli frekansların dağılımının birbirine

benzeşimi araştırılır.

F(x)= P(X ≤ x) x rassal değişken değerinin χ değerine eşit ya da ondan küçük olması olasılığı )

𝐻𝑜 hipotezi ile her sınıfa düşen birikimli frekansların gözlenen-beklenen büyüklüklerinin birbirine eşit olduğu, aralarındaki farkın (D değerleri) tesadüfen ortaya çıkabilecek derecede küçük, önemsiz farklar olduğu biçimindedir.

D değerlerine ilişkin olasılıklar tablolaştırılmıştır.

𝐷0 = max 𝐹0 𝑥 − 𝑆𝑛(𝑥)

𝐹0 𝑥 =Beklenen birikimli frekans oranı

𝑆𝑛(𝑥) = Gözlenen birikimli frekans oranı

Kolmogorov –Smirnov Testi

Hipotezler :

𝐻0 : Gözlenen ve beklenen frekanslar arasında fark yoktur, eşittir.

𝐻𝑎 : Gözlenen ve beklenen frekanslar arasında fark vardır.

Test istatistiği:

𝐷0 = max 𝐹0 𝑥 − 𝑆𝑛(𝑥)

Karar kuralı:

𝐷0 > 𝐷𝛼;𝑛 …………………..𝐻0 red

Kolmogorov –Smirnov Testi

Satış teknikleri ile ilgili bir çalışmada,

ürün tercihlerine rafların etkisinin olup

olmadığı araştırılmaktadır. Aynı ürün 5

rafa yerleştirilmiş ve alınan ürün

miktarları gözlemlenmiştir. Buna göre

rafların konumunun ürün tercihinde

farklılık yaratıp yaratmadığını α= 0,05

anlam düzeyinde test ediniz.

ÖRNEK-1:

Raflar Ürün miktarı

1 0

2 2

3 0

4 10

5 8

Kolmogorov –Smirnov Testi

Hipotezler :

𝐻0 : Beş raftaki alıcı sayıları arasında fark yoktur, eşittir.

𝐻𝑎 : Beş raftaki alıcı sayıları arasında fark vardır.

Test istatistiği:

𝐷0 = max 𝐹0 𝑥 − 𝑆𝑛(𝑥)

Karar kuralı:

𝐷0 > 𝐷𝛼;𝑛 …………………..𝐻0 red

ÇÖZÜM-1:

Kolmogorov –Smirnov Testi

ÇÖZÜM-1:

Raf no 𝑂İ 𝐸İ 𝑆20(𝑥) 𝐹0(𝑥) D

1 0 4 0/20=0 4/20=0,2 0,2

2 2 4 2/20=0,1 8/20=0,4 0,3

3 0 4 2/20=0,1 12/20=0,6 0,5

4 10 4 12/20=0,6 16/20=0,8 0,2

5 8 4 20/20=1 20/20=1 0

𝐷0 = max 𝐹0 𝑥 − 𝑆𝑛(𝑥) = O,5

Kolmogorov –Smirnov Testi

20

ÇÖZÜM-1:

Sonuç:

i-) 𝐷0 = 0,5 >𝐷0,05;20 =0,294……………….𝐻0 red edilir.

ii-) % 95 güven seviyesinde raf konumları arasındaki

farkların ürün tercihlerine etkisi vardır.

Kolmogorov –Smirnov Testi

Bağımsızlık Testi

𝝌𝟐 Testi:

İki değişken arasında bir ilişki söz konusu ise, bu

ilişkinin varlığını ortaya koymak üzere Bağımsızlık testi

adı altında χ2 testi kullanılır.

Bir ana kütleden alınan n birimlik örnek iki farklı kritere

göre sınıflandırılmış olabilir. Bu test iki kriterin birbirleri

ile istatistiksel olarak bağımsızlığının olup olmadığını

ortaya koyar.

Örnek olarak, futbol maçı izleme ile cinsiyetin

ilişkisinin olup olmadığı (bağımlılık bulunup

bulunmadığı) ; televizyonda tercih edilen

program türü ile öğrenim düzeyi arasında bir

bağlantı olup olmadığı; çocuk sayısı ile annenin

çalışma durumu, trafik cezaları ile bayan/erkek

sürücü arasında bağlantı olup olmadığı gibi.

Kriterler 1 2 ………….. C

1 𝑂11/E11 𝑂12/E12 𝑂1𝑐

2 𝑂21/E21

.

.

.

.

r 𝑂𝑟𝑛 𝑂𝑟𝑐/Erc

Bağımsızlık Testi- 𝝌𝟐 Testi

Hipotezler:

𝐻0 : 1. Kriter ile 2. Kriter birbirinden bağımsızdır.

𝐻𝑎: 1. Kriter ile 2. Kriter birbirinden bağımlıdır.

Test istatistiği:

χo2 = 𝑖=1

𝑟 𝑗=1𝑐 (𝑂𝑖𝑗− 𝐸𝑖𝑗)

2

𝐸𝑖𝑗

Karar kuralı:

χo2 > χ2 α;(r−1)(c−1) ……………………… 𝐻0 red

Bağımsızlık Testi- 𝝌𝟐 Testi

ÖRNEK-1:

Bir firmada 3 farklı emekli planı

bulunmaktadır. Bu emekli planları

tercihleri ile kişilerin saat ücretli ve

maaşlı çalışması arasında ilişki olup

olmadığını, yani iki kriterin

birbirinden bağımsız olup

olmadığını α=0,05 anlam düzeyinde

test ediniz.

Bağımsızlık Testi- 𝝌𝟐 Testi

EM1 EM2 EM3 Toplam

Maaşlı 160 140 40 340

Saat ücretli 40 60 60 160

Toplam 200 200 100 500

Hipotezler:

𝐻0 : Çalışma şekli ile tercih edilen emekli planı birbirinden bağımsızdır.

𝐻𝑎: Çalışma şekli ile tercih edilen emekli planı birbirine bağımlıdır.

Test istatistiği:

χo2 = 𝑖=1

𝑟 𝑗=1𝑐 (𝑂𝑖𝑗− 𝐸𝑖𝑗)

2

𝐸𝑖𝑗

Karar kuralı:

χo2 > χ2 α;r−1;c−1 ……………………… 𝐻0 red

ÇÖZÜM-1: Bağımsızlık Testi- 𝝌𝟐 Testi

ÇÖZÜM-1:

İşlemler:

Beklenen değer= 500340

500*

200

500* = 136

χo2 =

(160− 136)2

136+ (140− 136)2

136+………………+

(60− 32)2

32= 49,63

Sonuç:

i-) χo2 =49,63 > χ20,05;2 = 5,99 ……………………… 𝐻0 red

ii-) Çalışma şekli ile tercih edilen emekli planı birbirine

bağımlıdır.

Bağımsızlık Testi- 𝝌𝟐 Testi

EM1 EM2 EM3 Toplam

Maaşlı 160/136 140/136 40/68 340

Saat ücretli 40/64 60/64 60/32 160

Toplam 200 200 100 500

Homojenlik Testi

Bağımsızlık testinde aynı ana kütleden

çekilmiş örnekler söz konusu iken, homojenlik

testinde 𝑛1 , 𝑛2 ,….. büyüklüğündeki

örneklerin farklı ana kütleden çekilmiş olması

söz konusudur.

Hipotezler:

𝐻0 : Sayılar kriterlere homojen dağılmışlardır.

𝐻𝑎: Sayılar kriterlere homojen dağılmamışlardır.

Test istatistiği:

χo2 = 𝑖=1

𝑟 𝑗=1𝑐 (𝑂𝑖𝑗− 𝐸𝑖𝑗)

2

𝐸𝑖𝑗

Karar kuralı:

χo2 > χ2 α;r−1;c−1 ……………………… 𝐻0 red

Homojenlik Testi

Farklı fakültelerde okuyan öğrencilerin,

tiyatroya gidiş sıklıklarının aynı olup olmadığı

incelemek istenmiştir. Bu amaçla Fen

fakültesinden 40 öğrenci, İİBF’den 42 öğrenci,

İletişim fakültesinden 38 öğrenciye tiyatroya

gidiş sıklığı sorulmuştur. Tablodaki verilere

göre öğrencilerin, tiyatroya gidiş sıklıklarının

homojen dağılıp dağılmadığını analiz ediniz.

(α=0,05)

ÖRNEK-1:

Homojenlik Testi

Fen İİBF İletişim Toplam

Sık 6 16 36

Seyrek 25 22 17 64

Hiç 9 6 5 20

Toplam 40 42 38 120

Hipotezler:

𝐻0 :Öğrencilerin tiyatroya gidiş sıklıkları fakültelere homojen dağılmıştır.

𝐻𝑎: Öğrencilerin tiyatroya gidiş sıklıkları fakültelere homojen dağılmamıştır.

Test istatistiği:

χo2 = 𝑖=1

𝑟 𝑗=1𝑐 (𝑂𝑖𝑗− 𝐸𝑖𝑗)

2

𝐸𝑖𝑗

Sonuç:

i-) χo2 =7,4 < χ0,05;4

2 = 9,49 ……………………… 𝐻0 red edilemez

ii-) %5 anlam seviyesinde farklı fakülte öğrencilerin tiyatroya gidiş sıklığı aynıdır.

ÇÖZÜM-1: Homojenlik Testi

Fen İİBF İletişim Toplam

Sık 6/12 16/11,4 36

Seyrek 25/21,3 22/22,4 17/20,3 64

Hiç 9/6,7 6/7 5/6,3 20

Toplam 40 42 38 120