Análise de Funções

Extremos Pontos Críticos (De) Crescimento Teste da derivada 1a Concavidade Teste da derivada 2a

Aula de Cálculo 1

Aplicações das Derivadas

“ Há dois labirintos do espírito humano: um respeita à composiçãodo contínuo, o outro à natureza da liberdade; e ambos têm origem

no mesmo infinito. ”

Gottfried Wilhelm Leibniz

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Classificação de Máximos e Mínimos

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Extremos Absolutos (ou Globais)

Seja f um função f : D −→ R. Então f (c) é:

o máximo absoluto de f se f (x) ≤ f (c), para todo x em D.

o mínimo absoluto de f se f (x) ≥ f (c), para todo x em D.

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Extremos Locais (ou Relativos)

Seja f um função f : D −→ R. Então f (c) será:

um máximo local de f se f (x) ≤ f (c), para todo x emalgum intervalo aberto que contenha c .

um mínimo local de f se f (x) ≥ f (c), para todo x emalgum intervalo aberto que contenha c .

Todo extremo absoluto é um extremo local.

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Resultados Importantes

Teorema: Seja f : [a, b] −→ R uma função contínua.Então, f possui o máximo (global) e o mínimo (global) em [a, b].

Teorema: Seja f : [a, b] −→ R uma função contínua.Se f tem um máximo local (ou mínimo local) em c ∈ (a, b), eentão f ′(c) = 0 ou não existe f ′(c).

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Pontos Críticos

Definição: Seja f : [a, b] −→ R uma função. Dizemos c ∈ (a, b) éum ponto crítico se f ′(c) = 0 ou não existe f ′(c).

Os extremos locais de uma função ocorrem nos pontos críticos.

Mas nem todo ponto crítico é extremo local.

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Como determinar os extremos globais de uma funçãocontínua f em intervalo fechado I = [a, b]

Assim, os únicos pontos onde uma função f pode ter valoresextremos globais são:

pontos interiores onde f ′ = 0.pontos interiores onde não existe.extremidades do domínio de f .

Tome o maior e o menor dentre esses valores.

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Pontos Críticos

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Crescimento e Decrescimento

Seja f um função f : I −→ R. Então,

f é crescente se, para todos os pontos x1 e x2 em I ,

x1 < x2 =⇒ f (x1) < f (x2)

f é decrescente se, para todos os pontos x1 e x2 em I ,

x1 < x2 =⇒ f (x2) < f (x1)

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Resultado Importante

Teorema: Seja f : [a, b] −→ R uma função contínua em [a, b] ederivável em (a, b).

Se f ′(x) > 0, ∀x ∈ (a, b), então f é crescente em [a, b].

Se f ′(x) < 0, ∀x ∈ (a, b), então f é decrescente em [a, b].

Se f ′(x) = 0, ∀x ∈ (a, b), então f é constante em [a, b].

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Teste da Derivada Primeira para Extremos Locais

A derivada primeira nos diz como a curva sobe ou desce.

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Teste da Derivada Primeira para Extremos Locais

Seja f contínua em um ponto crítico c .

Se f ′ passa de positiva para negavita em c , entãof (c) é um máximo local de f .

Se f ′ passa de negativa para positiva em c , entãof (c) é um mínimo local de f .

Se f ′ não muda de sinal em c , entãof (c) não é extremo local de f .

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Concavidade

O gráfico de uma função derivável f : I −→ R é:

côncavo para cima em I , se f ′ é crescente em I .

côncavo para baixo em I , se f ′ é decrescente em I .

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Resultado Importante

Teorema: O gráfico de uma função f duplamente derivável é:

côncavo para cima em qualquer intervalo onde f ′′ < 0.

côncavo para baixo em qualquer intervalo onde f ′′ < 0.

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Pontos de Inflexão

Um ponto de inflexão é um ponto do gráfico da função quepossui uma tangente e onde há mudança de concavidade.

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Teste da Derivada Segunda para Extremos Locais

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Teste da Derivada Segunda para Extremos Locais

Teorema: Seja f uma função duplamente derivável em c e tal quef ′(c) = 0. Então,

Se f ′′(c) < 0, então f (c) é um máximo local de f .

Se f ′′(c) > 0, então f (c) é um mínimo local de f .

Se f ′′(c) = 0, então nada podemos concluir.

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Roteiro esboçar o gráfico de função

Domínio

Intersecções com os eixos

Simetria (par, ímpar e periódica)

Assíntotas (horizontais, verticais e obíquas)

Intervalos de crescimento e decrescimento

Valores máximos e mínimos locais

Concavidade e pontos de inflexão

Esboçar a curva

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