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Variedades diferenciáveis, variedades com bordo, variedades orientáveis. Partição da unidade. Aplicação: Teorema do mergulho de Whitney para variedades compactas. Fibrado tangente, cotangente. Aplicações diferenciáveis, valores regulares. Formas alternadas, formas diferenciais, diferencial exterior. Integrais de superfícies. Teorema de Stokes. Cohomologia de De Rham. Sequência de Mayer-Vietoris. Invariância por Homotopia. Campos de vetores como seções e como derivações. Tensores. Aplicações.
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Analise em variedades
Luis Florit ([email protected], sala 404)
Versao: 1412181325Baixar a ultima versao daqui: http://luis.impa.br/aulas/anvar/aulas.pdf
§1. Variedades
Espaco topologico, vizinhanca, cobrimento
Base enumeravel
Hausdorff (separavel)
OBS: Base enumeravel e Hausdorff sao herdados por subespacos.
Espaco topologico localmente Euclideano: cartas, coordenadas.
Dimensao, notacao: dim Mn = n
Variedade topologica = Espaco topologico + localmente Eucli-
deano + Base enumeravel + Hausdorff
Exemplos: Rn, cuspide
Cartas (C∞–)compatıveis, funcoes de transicao, atlas (C∞)
Exemplo: Sn
Estrutura diferenciavel = Atlas maximal
Variedade = Variedade diferenciavel = Variedade topologica +
Atlas maximal
Exemplos: Rn, Sn, U ⊂ Mn, GL(n,R), graficos, var. produto
§2. Funcoes diferenciaveis entre variedades
Definicao, composicao, difeomorfismo, difeomorfismo local
1
Exemplos: funcao a e desde produto
Grupos de Lie, exemplos: GL(n,R), S1, S3.
Derivadas parciais, matriz Jacobiana, Jacobiano
§3. Quocientes
Exercıcio: Mostre que em qualquer quociente de espaco topo-
logico existe uma unica estrutura topologica maximal, chamada
topologia quociente, tal que a projecao e continua. (Mas o quo-
ciente de uma variedade nao necessariamente e uma variedade...)
Exemplos: Faixa Mobius, T 2, [0, 1]/0, 1 = S1.
Relacoes de equivalencia abertas: condicoes para quociente ser
Hausdorff e de base enumeravel.
Exemplo: RPn.
Acoes propriamente discontınuas
§4. Espaco tangente
Germes de funcoes: Fp(M) = f : U ⊂ M → R : p ∈ U/ ∼TpM , x : Up ⊂ Mn → R
n carta ⇒ ∂∂xi
|p ∈ TpM , 1 ≤ i ≤ n
Diferencial de funcoes ⇒ regra da cadeia.
f difeomorfismo local ⇒ f∗p isomorfismo ⇒ a dimensao e preser-
vada por difeomorfismos locais
Teorema da funcao inversa
Como toda carta x e difeomorfismo com imagem e como
x∗p(∂
∂xi|p) =
∂
∂ui|x(p) ∀1 ≤ i ≤ n,
entao ∂∂x1
|p, . . . ,∂
∂xn|p e base de TpM ⇒ dimTpM = dimM
Imersao, submersao
2
Expressao local da diferencial
Curvas: velocidade, expressao local.
Diferencial usando curvas: todo vetor e derivada de curva
Posto de f em p para f : M → N .
Identificacao do espaco tangente do produto de variedades:
TpM × Tp′M′ ∼= T(p,p′)(M ×M ′)
Definicao 1. Um ponto p ∈ M se diz um ponto crıtico de
f : M → N se f∗p nao for sobrejetiva. Caso contrario, p se diz
ponto regular. Um ponto q ∈ N e um valor crıtico de f se
for imagem de algum ponto crıtico. Caso contrario, e um valor
regular de f . (Em particular, q ∈ N, q 6∈ Im (f) ⇒ q e valor regular de f)
§5. Subvariedades
Subvariedades regulares S ⊂ M , cartas adaptadas ϕS.
Codimensao. Topologia.
Exemplos: sin(1/t) ∪ I , pontos e abertos.
As ϕS dao atlas de S.
Conjuntos de nıvel: f−1(q). Conjuntos de nıvel regulares.
Exemplos: Sn, SL(n,R): usar curva t 7→ det(tA) !!
Teorema 2. Se q ∈ Im (f ) ⊂ Nn e um valor regular de
f : Mm → Nn, entao f−1(q) ⊂ Mm e uma subvariedade
regular de Mm de dimensao m− n.
Prova: Seja p ∈ Mm com f (p) = q e cartas locais (x, U) e
(y, V ) em p e q. Podemos supor que y(q) = 0, f (U) ⊂ V e que
spanf∗p(∂∂xi
|p) : i = 1, . . . , n = TqN . Defina ϕ : U → Rm por
ϕ = (y f, xn+1, . . . , xm). Entao, como ϕ∗p e um isomorfismo,
3
existe U ′ ⊂ U tal que x′ = ϕ|U ′ : U ′ → Rm e uma carta de Mm
em p. Alem disso, como f−1(q) ∩ U ′ coincide com o conjunto
x′1 = · · · = x′n = 0 (y f x′−1 = πn) temos que f−1(q) e uma
subvariedade regular, e que x′ e uma carta adaptada.
Exercıcio: Adaptando a prova do Teorema 2, prove o seguinte:
Seja f : Mm → Nn uma funcao que tem posto constante k numa
vizinhanca de p ∈ M . Entao existem cartas em p e em f (p) tais
que a expressao de f nessas coordenadas e dada por
πk := (x1, . . . , xm) 7→ (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0) ∈ Rn.
Obtenha disto a forma normal das imersoes e submersoes.
Exercıcio: Conclua do exercıcio anterior que se f tem posto
constante k numa vizinhanca de f−1(q), entao f−1(q) e uma sub-
variedade regular de Mm de dimensao m− k.
Exemplo: f : GL(n,R) → GL(n,R), f (A) = AtA tem posto
constante n(n+ 1)/2 (pois f LC = LC RCt f ∀C) ⇒ O(n)
subvariedade dimensao n(n− 1)/2 (Nao precisava posto constante, basta ver
que Im (f) ⊂ Sim(n,R) e I e valor regular).
OBS: Como “ter posto maximo” e uma condicao aberta, se uma
funcao f e uma imersao (ou uma submersao) num ponto p, entao
e uma imersao (ou uma submersao) numa vizinhanca de p.
Mergulhos. Subvariedades imersas e mergulhadas. Figura 8.
Identificar: p∈S ⊂ M ⇒ TpS ⊂ TpM ; S ⊂ Rn ⇒ TpS ⊂ R
n.
Funcoes diferenciaveis sobre subvariedades ⇒ SL(n,R), SO(n),
O(n), S3, U(n),... sao todos grupos de Lie.
4
§6. Fibrado tangente, fibrados vetoriais, fibrados
Estrutura topologica e diferenciavel de TM .
π : TM → M . Campos de vetores sobre M :
X (M) = X : M → TM : π X = IdM.
Diferenciabilidade, estrutura de modulo de X (M).
Campos de vetores em M ∼= Derivacoes em M :
D(M) = X ∈ End(F(M)) : X(fg) = X(f )g + fX(g)
Colchete: X (M) e algebra de Lie: [ · , · ] e bilinear, antisimetrico
e satisfaz identidade de Jacobi.
Campos f -relacionados.
Curvas integrais, fluxo local e Teorema Fundamental EDO.
Fibrados vetoriais, trivializacoes locais. TM .
Fibrado trivial, fibrado produto.
Soma de Whitney de fibrados vetoriais.
Pull-back de fibrados vetoriais: f ∗(E).
Aplicacoes de fibrados. Exemplos: diferencial f∗ e pull-back f ∗.
Secoes. Smooth Frames. Diferenciabilidade.
Fibrado cotangente: T ∗M , dxi, i = 1, . . . , n.Fibrados gerais e G-fibrados. Reducao.
§7. Particoes da unidade
Suporte de funcoes. Bump functions.
Extensoes globais de campos e funcoes C∞ locais.
Particoes da unidade subordinadas a cobrimentos.
Existencia de particoes da unidade para variedades compactas.
5
Aplicacao: Teorema(s) de mergulho de Whitney (ver aqui).
Exercıcio: Ler (e entender!) a prova da existencia de particoes
da unidade em geral (melhor que no Tu, ver aqui).
§8. Orientacao
Orientabilidade... fibrado! Exemplo: TM e orientavel
§9. 1–formas diferenciais
Ω1(M) = Γ(T ∗M)
f ∈ F(M) ⇒ df ∈ Ω1(M), e df ∼= f∗.
(x, U) carta ⇒ ∂∂x1
|p, . . . ,∂
∂xn|p e base TpM cuja base dual e
dx1|p, . . . , dxn|p (i.e., base de T ∗pM)
dx1, . . . , dxn sao entao um frame de T ∗U : expressao local
Exemplo: Forma de Liouville em T ∗M (cuidado: λ ∈ Ω1(T ∗M)):
λw(Xw) := w(π∗(Xw))
Pull back (⇒ λw = π∗w). Importancia!
Restricao de 1-formas a subvariedade i : S → M : w|S = i∗w
§10. Algebra multilinear
Sejam V e V ′R–espacos vetoriais. V ∗ = Hom(V ,R)
Funcoes bi/multi lineares em espacos vetoriais
Tensores e k–formas em V : Bil(V × V′) = (V ⊗ V
′)∗
V ⊗ V , V ⊗ V′, V ∧ V , ∧0
V = V⊗0 := R,
V⊗k := V ⊗ · · · ⊗ V , dimV
⊗k = (dimV )k
6
∧kV := V ∧ · · · ∧ V ⊂ V
⊗k, dim∧kV =
(dimV
k
)
Operadores ⊗ e ∧ (bil., assoc.) sobre aplicacoes multilineares:
σ ∈ ∧kV , ω ∈ ∧s
V ⇒ ω ∧ σ :=1
k!s!A(ω ⊗ σ) ∈ ∧(k+s)
V
OBS: ω ∧ σ = (−1)ks σ ∧ ω
§11. k – formas diferenciais e campos tensoriais
A algebra multilinear extende-se a fibrados vetoriais: Hom(E,E ′)
Exemplos: T ∗M ; metrica Riemanniana: 〈 , 〉|U =∑
gijdxi⊗dxjCampos tensoriais (tensores) e k-formas (diferenciais):
X k(Mn), Ωk(Mn)
sao simplesmente as secoes dos fibrados (T ∗M)⊗k, Λk(T ∗M)
Tensores = aplicacoes F(M)-multilineares (bump-functions)
OBS: Ω0(M) = X 0(M) = F(M), Ω1(M) = X 1(M)
Notacao: Ik,n := (i1, . . . , ik) : 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, e paraI = (i1, . . . , ik) ∈ Ik,n, dxI := dxi1 ∧ · · · ∧ dxikExpressoes locais:
df1 ∧ · · · ∧ dfn = det([∂fi/∂xj]1≤i,j≤n) dx1 ∧ · · · ∧ dxn
e, para J = (j1, . . . , jk) ∈ Ik,n e y1, . . . , yk ∈ F(M),
dyJ =∑
I∈Ik,n
det([∂yjr/∂xis]1≤r,s≤k) dxI
Operador ∧ : Ωk(M)× Ωs(M) → Ωk+s(M) bilinear, tensorial
Ω•(M) :=
n⊕
k=0
Ωk(M)
7
e uma algebra graduada com ∧.
Pull back de tensores e formas: linear, tensorial, respeita ∧:F ∗f := f F, ∀f ∈ F(M); F ∗(ω ∧ σ) = F ∗ω ∧ F ∗σ;
(F G)∗ = G∗ F ∗
§12. Orientacao e n – formas
Lembrar: Se B = v1, . . . , vn e B′ = v′1, . . . , v′n sao bases de
Vn, β(v1, . . . , vn) = detC(B,B′)β(v′1, . . . , v
′n), ∀ β ∈ Λn(V n).
Dizemos que β determina a orientacao [B] se β(v1, . . . , vn) > 0.
OBS: Mn orientavel ⇔ existe β ∈ V , onde
V = σ ∈ Ωn(Mn) : σ(p) 6= 0, ∀ p ∈ Mn
Orientacoes de M ∼= V/F+(M)
Difeos que preservam/revertem orientacao
Faixa de Moebius: truque papel, no: top. intrınseca vs extrınseca
§13. Derivada exterior: VIP!!
Definicao 3. A derivada exterior em Ω•(M) e a aplicacao li-
near d : Ω•(M) → Ω•(M) que satisfaz as seguintes propriedades:
1. d(Ωk(M)) ⊂ Ωk+1(M)
2. f ∈ F(M) = Ω0(M) ⇒ df (X) = X(f ), ∀X ∈ X (M)
3. ∀ ω ∈ Ωk(M), σ ∈ Ω•(M)⇒ d(ω∧σ) = dω∧σ+(−1)kω∧dσ
4. d2 = 0.
OBS: Props (2) + (3) + bump func.: ω|U = 0 ⇒ dω|U = 0.
Logo, dω|U = d(ω|U), e podemos fazer contas localmente.
8
OBS: Props (3) + (4) + inducao ⇒ d(df1 ∧ · · · ∧ dfk) = 0
OBS: d existe e e unica: expressao em coordenadas
Para toda F : M → N vale que (ver primeiro para Ω0):
F ∗ d = d F ∗
i.e., F ∗ : Ω•(N) → Ω•(M) e um morfismo de algebras diferen-
ciais graduadas (i.e., preserva grau e comuta com d).
Exercıcio: ∀ k, ∀ω ∈ Ωk(M), ∀Y0, . . . , Yk ∈ X (M),
dw(Y0, . . . , Yk) =
k∑
i=0
(−1)iYiω(Y0, . . . , Yi, . . . , Yk)
+
k∑
0≤i<j≤k
(−1)i+jω([Yi, Yj], Y0, . . . , Yi, . . . , Yj, . . . , Yk).
Dado X ∈ X (M) definimos a multiplicacao interior
iX : Ωk+1(M) → Ωk(M)
por (iXω)(Y1, . . . , Yk) = ω(X, Y1, . . . , Yk).
1) iXω e tensorial (= F(M)-bilinear) em X e em ω
2) ∀ ω ∈ Ωk(M), σ ∈ Ωr(M),
iX(ω ∧ σ) = (iXω) ∧ σ + (−1)kω ∧ (iXσ)
3) iX iX = 0
Ate aqui chega a primeira prova
9
§14. Variedades com bordo
Funcoes C∞ e difeos sobre subconjuntos arbitrarios S ⊂ Mn
Proposicao 4. Seja U ⊂ Mn aberto, S ⊂ Mn arbitrario, e
f : U → S um difeomorfismo. Entao, S e aberto.
Corolario 5. Sejam U, V ⊂ Hn := Rn+, e f : U → V
um difeomorfismo. Entao f leva pontos interiores (resp. de
bordo) em pontos interiores (resp. de bordo).
Variedade com bordo: definicao. (Vaga ideia de orbifold).
Pontos interiores.
Bordo de M = ∂M e variedade de dimensao dim(M)− 1.
Se p ∈ ∂M : Fp(M), T ∗pM , v ∈ TpM (mas pode nao existir
curva com α′(0) = v), TM , orientacao: tudo igual que antes
Se p ∈ ∂M : v ∈ TpM interiores e exteriores
OBS: Numa variedade com bordo M , considerando a inclusao
inc : ∂M → M
existe um campo exterior X ao longo de ∂M (X ∈ Xinc). Logo,
∂M e orientavel se M for, com uma orientacao induzida dada
por inc∗iXω.
Exemplos: Hn, [a, b], Bn, Bn.
∂M vs bordo topologico.
Exemplo: Orientacao σ em Sn−1⊂Bn via Bn⊂R
n e dvRn:
σ = ivec.posdvRn =∑
i
(−1)i−1 xi dx1∧· · ·∧ dxi∧· · ·∧dxn. (1)
10
§15. Integracao (Riemann)
Definicao 6. A ⊂ Rn e um domınio de integracao se A e
limitado, e µ(∂A) = 0.
Teorema 7 (Lebesgue) Uma funcao limitada f : A → R
definida num conjunto limitado A ⊂ Rn e integravel ⇔ o con-
junto de descontinuidades (da extensao) de f tem medida 0.
Corolario 8. Toda funcao contınua e limitada f : A → R
definida sobre um conjunto de integracao A ⊂ Rn e integravel.
vol(A)∫A ω para ω ∈ Ωn(Rn): mudanca de variaveis
F : U ⊂ Rn → V ⊂ R
n difeomorfismo ⇒∫F (A) ω = ±
∫A F
∗ω
Def.: Se Mn esta orientada, ϕ : U ⊂ M → Rn carta orientada,
e w ∈ Ωnc (U) ⇒
∫M ω :=
∫ϕ(U)(ϕ
−1)∗w
Def.: Mn orientada, w ∈ Ωnc (M
n) ⇒∫M ω :=
∑α
∫Uα
ραw∫N F ∗ω =
∫M ω, ∀F ∈ Dif+(N,M), ∀w ∈ Ωn
c (Mn)
Mn orientada, temos o operador linear: ω ∈ Ωnc (M
n) 7→∫M ω
O caso dim M = 0:∫M f =
∑i f (pi)−
∑j f (qj)∫
−M ω = −∫M ω
Teorema 9 (Stokes). Mn orientada, w ∈ Ωn−1c (Mn) ⇒
∫
M
dω =
∫
∂M
ω
Ideia subjacente: Somar integrais em cubos pequenos, que as
faces interiores cancelam devido a orientacao (ver dim 1 e 2).
Cor.: Mn compacta orientada ⇒∫M dω = 0, ∀ω ∈ Ωn−1(M)
Exercıcio: Os teoremas classicos do calculo seguem de Stokes
11
OBS (!!): i : Nk ⊂ M , Nk compacta orientada, e ω ∈ Ωk(M),
⇒∫N ω (=
∫N i∗ω). Faz sentido entao para qualquer funcao
diferenciavel i:∫iw (mesmo que M nao seja orientavel!)
Curiosidade: Teorema de Palais. Seja D : Ωk → Ωr tal que Df∗ = f∗D, para toda f : M → N .
Entao, ou k = l e D = cId, ou r = k + 1 e D = c d, ou k = dimM , r = 0, e D = c∫M.
15.1 Um outro modo de ver a integracao (Spivak, v.1, cap 8)
Se Ik: [0, 1]k → Rk e k-cubo, c: [0, 1]k → M e k-cubo singular.
c k-cubo singular, ω ∈ Ωk(M) ⇒∫c ω :=
∫[0,1]k c
∗ω (=∫cρ ω).
Ck(M) = Ck(M ;G) := k-cadeias de M = G-modulo livre sobre
os cubos singulares, para G = Z ou R (ou grupo abeliano).∫: Ck(M)× Ωk(M) → R esta definido ∀M e e bilinear!
In(i,α)(x1, . . . , xn−1) :=In(x1, . . . , xi−1, α, xi, . . . , xn−1)), α = 0,1.
c(i,α) := c In(i,α), ∂c =∑n
i=1
∑1α=0(−1)i+αc(i,α) (desenho dim 2).
Extendemos: ∂ : Ck(M) → Ck−1(M), e ∂c e o bordo de c.
Defs: c e fechada se ∂c = 0; c e um bordo se c = ∂c.
Exemplos: c1, c2 1-cubos. c1 e fechado⇔ c1(0)=c1(1); c = c1−c2e fechada ⇔ c1(0)=c2(0) e c1(1)=c2(1), ou c1 e c2 fechados.
Como (In(i,α))(j,β) = (In(j+1,β))(i,α) ∀ 1 ≤ i ≤ j ≤ n−1 ⇒ ∂2 = 0
O que provamos no Teorema 9 na verdade e o seguinte:
Teorema 10 (Stokes, versao 2). Para toda variedade dife-
renciavel M , toda w ∈ Ωk−1(M), e toda c ∈ Ck(M), temos∫
c
dω =
∫
∂c
ω.
Logo, ∂ nas k-cadeias (sobre R) e o dual (com relacao a∫) de d.
Vale tudo igual considerando k-simplex em lugar de k-cubos.
FAZER EXERCICIOS DOS CAP. 8 E 11 DO SPIVAK!!
12
§16. Cohomologia de de Rham (Spivak, v1 cap8)
Sew ∈ Ω1(Rn), quandow = df para certa f ∈ F(Rn)? Condicao
necessaria: dw = 0. E suficiente?? SIM: pegando 1-cubo sin-
gular c, c(0) = 0, c(1) = p, definimos f (p) =∫cw. Bem
definida por Stokes(!), ja que toda curva fechada em Rn e bordo:
cs(t) = sc1(t) + (1 − s)c0(t). Ou seja, a solucao de uma EDPs
tem a ver com a topologia do espaco.
Lema de Poincare (veremos depois): Zk(Rn) = Bk(Rn)
Localmente: sempre da, mas globalmente depende da topologia!
Sistemas EDP lineares: Condicao de integrabilidade
Obstrucoes para resolver EDPs, ou globalizar certos objetos locais
Zk(M) := Ker dk = Formas fechadas (condicao local)
Bk(M) := Im dk−1 = Formas exatas (condicao global!)
Definicao: A k-esima cohomologia de de Rham da variedade
M (com ou sem bordo) e
Hk(M) := Zk(M)/Bk(M).
H0(M) = Rr, onde r = # componentes conexas de M
Hn(Mn) 6= 0 se Mn e variedade compacta e orientavel (Stokes)
Hn+k(Mn) = 0, ∀ k ≥ 1
Ex: dimHk(T n) ≥(nk
): se ωI := [dθi1∧· · ·∧dθik ] ⇒
∫TJwI = δIJ .
Pull-back: F : M → N ⇒ F ∗ : Hk(N) → Hk(M)
(F G)∗ = G∗ F ∗ ⇒ Hk(M) invariante da est. diferenciavel(!)
∧ : Hk(M)×Hr(M) → Hk+r(M), [ω] ∧ [σ] := [ω ∧ σ] (boa)
H•(M) := ⊕k∈ZHk(M) e o anel de cohomologia de M
De fato, H•(M) e uma algebra graduada anticomutativa, e F ∗
e um homomorfismo de algebras graduadas
13
§17. Invariancia por homotopia (Spivak, v1 cap8)
Definicao 11. f, g : M → N sao (diferenciavelmente) ho-
motopicas se existe uma funcao suave T :M× [0, 1] → N tal que
T0 := T i0 = f , T1 := T i1 = g, onde is(p) = (p, s).
E relacao de equivalencia nas funcoes: f ∼ g
Exemplo: M e contratil ⇔ IdM ∼ cte
Proposicao 12. Para todo k existe uma aplicacao linear
I : Ωk(M × [0, 1]) → Ωk−1(M) tal que
i∗1ω − i∗0ω = dIω + Idω, ∀ω ∈ Ωk(M × [0, 1]).
Prova: Defina I(ω) =∫ 1
0 i∗s(i∂/∂t(ω))ds. Basta ver dois ca-
sos (identifiquemos via π∗1 e π∗
2). Se ω = fdxI , dω = · · · +(∂f/∂t)dt ∧ dxI , e portanto e o TFC. Se ω = fdt ∧ dxI , entao
i∗1ω = i∗0ω = 0, e continha ⇒ dIω + Idω = 0.
Mais do que diferenciavel: H•(M) e invariante homotopico:
Teorema 13 (!!!!!!). f ∼ g ⇒ f ∗ = g∗ (em H•(M)).
Prova: Imediata da Proposicao 12.
Corolario 14. M contratil ⇒ Hk(M) = 0, ∀ k ≥ 1.
⇒ Lema de Poincare.
Corolario 15. Mn comp. orient. n>0 ⇒ Mn nao contratil.
Definicao 16. f : M → N e uma equivalencia homotopica
se existe g : N → M tal que g f ∼ IdM e f g ∼ IdN . Nesse
caso, dizemos que M e N sao homotopicamente equivalentes,
ou que M e N tem o mesmo tipo homotopico: M ∼ N .
14
Corolario 17 (!!!!!). Se M ∼ N via uma equivalencia ho-
motopica f , entao f ∗ : H•(M) → H•(N) e um isomorfismo.
Definicao 18. Dado S ⊂ M , um retrato de M a S e uma
funcao F : M → S tal que F |S (= F incS) = IdS. S e
chamado de retrato de M . (⇒ F ∗ e injetiva, e inc∗S e sobre)
Corolario 19. (Teorema de Brouwer) Se B ⊂ Rn e uma bola
fechada (ou conjunto compacto convexo), entao toda funcao
diferenciavel (ou contınua) f :B→B possui pontos fixos.
Definicao 20. Um retrato por deformacao de M a S ⊂ M e
uma funcao T : M× [0, 1] → M tal que T0 = IdM , Im (T1) ⊆ S,
e T1|S = IdS. (i.e., retrato T1 ∼ T0 = IdM ⇒ T ∗1 e inc∗S sao iso)
Em outras palavras, um retrato por deformacao e uma homotopia
entre retrato de M a S e a identidade de M . Em particular, se
S e um retrato por deformacao de M , entao M ∼ S.
Definicao 21. Um retrato por deformacao forte e um retrato
por deformacao T como na Definicao 20 tal que Tt|S = IdS, ∀ t ∈[0, 1]. (e.g, H embaixo)
Exemplo: Rn \ 0 ∼ Sn−1 6∼ R
n: H(x, t)=((1− t) + t/‖x‖)x
Exemplo: Faixa Mobius F ∼ S1 (⇒ H2(F ) = 0).
§18. Integrando em cohomologia: grau (Spivak, v1 cap8)
Para M nao compactas trabalhamos tambem com
Hkc (M) := Zk
c (M)/Bkc (M), k ∈ Z.
OBS: Mn orientavel ⇒∫: Hn
c (Mn) → R bem definida e linear.
15
Teorema 22. Mn conexa e orientavel ⇒∫: Hn
c (Mn) → R
e um isomorfismo (⇒ dimHnc (M
n) = 1).
Prova: Temos que ver que se∫M ω = 0, entao ω = dβ com β
com suporte compacto.
(a) Vale para M = R. Se g(t) =∫ t
−∞ ω ⇒ ω = dg.
(b) Se vale para Sn−1, vale para R
n. Se ω ∈ Ωnc (R
n) ⊂Ωn(Rn), como R
n e contratil ω = dη para alguma η ∈ Ωn−1(Rn)
(mas η nao tem nec. sup. compacto!). Agora, se ω tem sup.
compacto (SPG, na bola Dn1 ) e
∫Rn ω = 0, temos
∫Sn−1 j
∗η′ =∫Sn−1 i
∗η =∫Rn ω = 0, onde i : S
n−1 → Rn e j : S
n−1 →R
n \ 0 sao as inclusoes, e η′ = η|Rn\0. Logo, por hipotese,
j∗[η′] = 0. Mas j∗ e um isomorfismo pois Sn−1 e retrato por
deformacao de Rn \ 0. Concluımos que η′ = dλ para alguma
λ ∈ Ωn−2(Rn\0). Em particular, se h : Rn → R satisfaz h ≡ 1
fora de Dn1 e h ≡ 0 em viz. de 0, β = η − d(hλ) ∈ Ωn−1(Rn)
tem suporte em Dn1 , e ω = dβ.
Uma outra prova, mais explıcita, de (b): Se ω = fdvRn ∈ Ωn(Rn) tem sup. compacto (SPG,em bola Dn
1 ), entao definimos g : Rn → R por g(p) =∫1
0tn−1f(tp)dt, r : Rn \ 0 → S
n−1,r(x) = x/‖x‖ (retracao), i : Sn−1 → R
n a inclusao e σ = iXdvRn ∈ Ωn−1(Rn) como em (1).• Conta ⇒ w = d(gσ) (porem gσ nao tem nec. sup. compacto!)•∫Sn−1(g i)i∗σ =
∫Dn
fdvRn =∫Rn
ω = 0 ⇒ i∗(gσ) = dλ (hip.)• gσ = r∗(i∗(gσ)) = d(r∗λ) fora de Dn
1 , pois (i r)∗p = ‖p‖−1Πp⊥ , (i r)∗σ(p) = ‖p‖−nσ(p), e
g(p) = ‖p‖−n(g i r)(p), se ‖p‖ ≥ 1.• Se β := gσ − d(hr∗λ) ⇒ w = d(gσ) = dβ, com sup(β) ⊆ Dn
1 .
(c) (!!!) Se vale para Rn vale para toda Mn. Seja qualquer
ω com sup. comp. contido em U ⊂ M difeo a Rn tal que∫
M ω 6= 0. Seja w′ com sup. comp. qualquer. Vejamos que
existe a ∈ R e η tais que w′ = aw + dη. Pegando part. da
unidade podemos supor que sup(w′) ⊂ V , V difeo a Rn. Como
M e conexa, existe uma sequencia Vi, 1 ≤ i ≤ m, Vi difeo a
16
Rn com V1 = U , Vm = V , Vi ∩ Vi+1 6= ∅. Seja wi com suporte
compacto, sup(ωi) ⊂ Vi ∩ Vi+1, e tal que∫M wi 6= 0. Como vale
para Rn ∼= Vi+1, wi+1 − ci+1wi = dηi+1. Pronto!
Teorema 23. Mn conexa nao orientavel ⇒ Hnc (M
n) = 0.
Teorema 24. Mn conexa nao compacta ⇒ Hn(Mn) = 0.
Provas: Usar a ideia em (c) acima (nao precisa cobrimento).
Pelo Teorema 22, para qualquer funcao diferenciavel propria en-
tre variedades conexas orientadas, f : Mn → Nn (mesma di-
mensao!), existe um numero deg(f ) ∈ R, o grau de f , tal que∫
M
f ∗ω = deg(f )
∫
N
ω, ∀ ω ∈ Hnc (N
n).
Teorema 25. Nas hipoteses acima, se q ∈ Nn e um valor
regular de f e f (p) = q, definimos signf(p) = ±1, de acordo
a se f∗p preserva ou reverte a orientacao. Entao,
deg(f ) =∑
p∈f−1(q)
signf(p).
Em particular, deg(f ) ∈ Z, e deg(f ) = 0 se f nao for sobre.
OBS: Valores regulares e aberto e denso, e a soma e finita.
Prova: Se p1, . . . , pk = f−1(q), escolhamos vizinhancas pe-
quenas e disjuntas Ui de pi e V de q tais que f : Ui → V e
difeo. Seja ω com suporte compacto em V e tal que∫N ω 6= 0.
Entao,∫Uif ∗ω = signf(pi)
∫V ω. Logo, o resultado e imediato...
se valesse que sup(f ∗ω) ⊂ U1 ∪ · · · ∪Uk. Mas se conserta assim:
17
Seja W ⊂ V compacto tal que q ∈ W o. Entao, W ′ = f−1(W ) \(U1 ∪ · · · ∪ Uk) e compacto, e logo f (W ′) e fechado e nao con-
tem q. Basta agora trocar V por qualquer V ⊂ W o \ f (W ′) que
automaticamente satisfaz f−1(V ) ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Uk.
Corolario 26. f, g : Mn → Nn, f ∼ g ⇒ deg(f ) = deg(g).
Exemplo: deg(−IdSn) = (−1)n+1.
Corolario 27. Teorema do cachorro peludo 2n-dimensional.
OBS: Podemos sempre pentear cachorros de dimensao ımpar.
§19. Motivacao do conceito de sequencia exata
Sejam U, V ⊂ M abertos tais que M = U ∪ V , k ∈ Z ⇒iU : U → M , jU : U ∩ V → U ⇒ i∗U : Ωk(M) → Ωk(U),
j∗U : Ωk(U) → Ωk(U ∩ V ). Idem para iV , jV . Temos entao:
i = i∗U ⊕ i∗V : Ωk(M) → Ωk(U)⊕ Ωk(V ),
j = j∗V π2 − j∗U π1 : Ωk(U)⊕ Ωk(V ) → Ωk(U ∩ V ),
i.e., i(ω) = (ω|U , ω|V ), j(σ, ω) = j∗Vω − j∗Uσ = ω|U∩V − σ|U∩V .
Juntando, temos
0 → Ωk(M)i→ Ωk(U)⊕ Ωk(V )
j→ Ωk(U ∩ V ) → 0, (2)
com cada imagem contida no nucleo da seguinte. Agora, o ponto
importante e que, de fato, sao iguais! (o unico nao obvio e que
j e sobre, mas, se ρU , ρV e particao da unidade subordinada
a U, V e ω ∈ Ωk(U ∩ V ), entao ωU := ρVω ∈ Ωk(U), ωV :=
ρUω ∈ Ωk(V ), e j(−ωU , ωV ) = ω).
18
§20. Complexos e sequencias exatas (Spivak, v1, cap.11)
Sequencias exatas: exata curta, exata longa.
Exercıcio. O dual de uma sequencia exata e exata.
Af→ B → 0 ⇔ f epimorfismo
0 → Af→ B ⇔ f monomorfismo
0 → Af→ B → 0 ⇔ f isomorfismo
Af→ B → C → 0 ⇒ C ∼= B/Im f
0 → A → B → C → 0 ⇒ C ∼= B/A
Proposicao 28. (Teorema da dimensao na algebra linear) Se
0α→ V 1
β→ V 2→· · ·→V k→0 e exata ⇒
∑i(−1)i dimV i = 0.
Prova: Inducao em k, trocando por 0→V 2/Imαβ[ ]→ V
3 → · · ·
Complexo de cocadeias: C = Ckk∈Z + ‘diferenciais’ dkk∈Z:
· · ·C−1 d−1→ C0 d0→ C1 d1→ C2 · · · , dk dk−1 = 0.
Soma direta de complexos de cocadeias
a ∈ Ck e uma k−cocadeia de Ca ∈ Zk(C) := Ker dk ⊂ Ck e um k−cociclo de Ca ∈ Bk(C) := Im dk−1 ⊂ Ck e um k−cobordo de Ck-esima cohomologia de C := Hk(C) := Zk(C)/Bk(C)Se a∈ Zk(C) ⇒ [a] ∈ Hk(C) e a classe de cohomologia de a
Um mapa de cocadeias ϕ : A → B e uma sequencia ϕk:Ak →
Bkk∈Z tais que d ϕk = ϕk+1 d ⇒ ϕ∗ : H•(A) → H•(B)
0 → Ai→ B
j→ C → 0 e exata curta se em cada nıvel k e exata
⇒ Neste caso, Hk(A)i∗→ Hk(B)
j∗→ Hk(C) e exata para todo k.
Mas nao e exata com 0 a direita ou a esquerda... Porem:
19
Teorema 29 (!!!!!!!). Se 0 → Ai→ B
j→ C → 0 e exata
curta, entao existem homomorfismos (explıcitos e naturais!)
δ∗ : Hk(C) → Hk+1(A),
chamados homomorfismos de conexao, e que dao origem a
seguinte sequencia longa de cohomologia:
Prova: (“Perseguicao”: fazer com alunos) Dada c ∈ Zk(C), existe b ∈ Bk
tal que jb = c. Mas entao db ∈ Ker j (jdb = djb = dc = 0), e,
como Ker j = Im i, existe a ∈ Ak+1 tal que db = ia (dada b, a e
unica pois i e injetiva). Agora, ida = dia = d2b = 0 ⇒ da = 0.
Definimos entao δ∗[c] := [a] (independe das escolhas de b e c).
Vejamos agora, e.g., que a sequencia longa e exata em Hk(C).• Im j∗ ⊂ Ker δ∗: Para [b] ∈ Hk(B), temos δ∗j∗[b] = δ∗[jb]. Pela
definicao de δ∗, podemos pegar como o b que leva a c = jb o
proprio b. Mas b e um cociclo: db = 0. Portanto, na definicao de
δ∗, ia = db = 0, de onde a = 0. Logo, δ∗[jb] = [0] = 0.
• Ker δ∗ ⊂ Im j∗: Se δ∗[c] = 0, o a na definicao de δ∗ e um
cobordo e o b um cociclo: a = da′, pelo que db = ida′ = dia′, i.e.,
d(b− ia′) = 0. Mas entao j∗[b− ia′] = [jb− jia′] = [jb] = [c].
20
§21. A sequencia de Mayer-Vietoris
Como vimos, (2) e exata para todo k, logo temos como corolario:
Teorema 30 (!!!!). A seguinte sequencia longa de coho-
mologia, chamada de sequencia de Mayer-Vietoris, e exata:
0 → H0(M)i∗→ H0(U)⊕H0(V )
j∗→ H0(U ∩ V )
δ∗→ · · ·
· · ·
· · ·δ∗→ Hk(M)
i∗→ Hk(U)⊕Hk(V )
j∗→ Hk(U ∩ V )
δ∗→
δ∗→ Hk+1(M)
i∗→ Hk+1(U)⊕Hk+1(V )
j∗→ Hk+1(U ∩ V )
δ∗→ · · ·
E, pelo mesmo preco, temos uma receita para construir δ∗:
• Se ω ∈ Ωk(U ∩ V ), com part. da unidade conseguimos formas
ωU e ωV em U e V tais que j(−ωU , ωV ) = ωV |U∩V +ωU |U∩V = ω;
• Agora, se ω for fechada, −dωU e dωV coincidem em U ∩V (!!!),
ja que j(−dωU , dωV ) = dj(−ωU , ωV ) = dω = 0;
• Logo, −dωU e dωV definem uma forma σ ∈ Ωk+1(M), que
e obviamente fechada (mas nao necessariamente exata!). Entao,
temos que δ∗[ω] = [σ] ∈ Hk+1(M).
OBS: Se U, V e U ∩ V sao conexos comecamos em k = 1. Isto e,
0 → H0(M)i∗→ H0(U)⊕H0(V )
j∗→ H0(U ∩ V ) → 0
e
0 → H1(M)i∗→ H1(U)⊕H1(V )
j∗→ · · ·
sao exatas (pois M e conexa, e H0(U ∩V )δ∗→ H1(M) e a funcao
nula, ja que j∗ : H0(U)⊕H0(V ) → H0(U ∩ V ) e sobre).
Exemplos: M =⋃
iMi disjunta ⇒ Hk(M) = ⊕iHk(Mi),
H•(Sn), H•(T 2).
21
§22. A caracterıstica de Euler
Nesta secao vamos supor que todas as cohomologias de M tem
dimensao finita (veremos que isto acontece se M for compacta).
Definicao 31. A caracterıstica de Euler de M e o invariante
homotopico
χ(M) :=∑
i
(−1)ibi(M) ∈ Z,
onde bk(M) :=dimHk(M) e o k-esimo numero de Betti de M .
Mayer-Vietoris + Proposicao 28 ⇒
χ(M)=χ(U)+χ(V )−χ(U ∩ V ). (3)
Simplex ⇒ triangulacoes: sempre existe (pela base enumeravel).
Teorema 32. Para qualquer triangulacao de Mn vale que
χ(Mn) =
n∑
i=0
(−1)iαk,
onde αk = αk(T ) e o numero de k-simplex em T .
Prova: Para cada n-simplex σi de T , sejam pi ∈ σoi e uma
bolinha pi ∈ Bpi ⊂ σoi (pensar pi como bolinha tambem). Seja U1
a uniao disjunta destas αn bolinhas, e Vn−1 = M \p1, . . . , pαn.Logo, (3) ⇒ χ(Mn) = χ(Vn−1) + (−1)nαn.
Agora, para cada (n−1)-face τj de T , pegue uma bolinha “longa”
Bτj unindo as duasBpi’s de cada n-simplex adjacente a τj. Chame
de U2 a uniao destas αn−1 bolinhas (disjuntas). Pegue tambem
um arco (dentro de Bτj) unindo os bordos das duas Bpi’s , e
22
seja Vn−2 o complemento destes αn−1 arcos. De novo, (3) ⇒χ(Vn−1) = χ(Vn−2) + (−1)n−1αn−1.
Indutivamente, temos Vn−3, · · · , V0, este ultimo sendo uma uniao
de α0 conjuntos contrateis (cada um vizinhanca de um vertice
de T ), de onde χ(V0) = α0 e χ(Vk) = χ(Vk−1) + (−1)kαk.
Corolario 33. (Descartes-Euler) Se um poliedro convexo
tem V vertices, F faces, e E arestas, entao V − E + F = 2.
Corolario 34. So existem 5 solidos Pitagoricos.
Prova: Se r ≥ 3 e o numero de arestas (= vertices) em cada
face, e s ≥ 3 e o numero de arestas (= faces) que chegam a
cada vertice, temos que rF = 2E = sV . Mas V − E + F =
2 ⇒ 1/s + 1/r = 1/E + 1/2 > 1/2, ou (r − 2)(s − 2) < 4.
Como F = 4s/(2s + 2r − sr) temos (r, s) = (3,3) = tetraedro
= Fogo, (4,3) = cubo = Terra, (3,4) = octaedro = Ar, (3,5) =
icosaedro = Agua, e (5,3) = dodecaedro... que, segundo Platao,
foi “...usado por Deus para distribuir as (12!) constelacoes no
Universo” (nao consegui completar a prova desta afirmacao).
Modelo Platonico do sistema solar por Kepler; Circogonia icosahedra; Pedras de 2000 AC
OBS: Em dimensao n = 4 tem 6 solidos regulares (tem um com 24
faces), e para n ≥ 5 tem so 3: o simplex (tetraedro), o hipercubo
(claro), e o hiperoctaedro, que e a capsula convexa de ±ei.
23
§23. Mayer-Vietoris para suporte compacto
Nao podemos simplesmente trocarHk porHkc emMayer-Vietoris,
pois ω ∈ Ωkc (M) 6⇒ i∗U(ω) ∈ Ωk
c (U). Porem, se ω ∈ Ωkc (U), a
extensao como 0 de ω, iU(ω), satisfaz iU(ω) ∈ Ωkc (M). E isto
funciona! (j := jU ⊕−jV , i := iU + iV ):
Lema 35. A seguinte sequencia e exata ∀k (exercıcio facil):
0 → Ωkc (U ∩ V )
j→ Ωk
c (U)⊕ Ωkc (V )
i→ Ωk
c (M) → 0.
Logo, Teorema 29 + Lema 35 ⇒
Teorema 36. A seguinte sequencia longa e exata:
· · ·δ∗→ Hk
c (U ∩ V )j∗→ Hk
c (U)⊕Hkc (V )
i∗→ Hk
c (M)δ∗→
δ∗→ Hk+1
c (U ∩ V )j∗→ Hk+1
c (U)⊕Hk+1c (V )
i∗→ Hk+1
c (M)δ∗→ · · ·
OBS: Comparar as duas Mayer-Vietoris.
OBS: CUIDADO PARA NAO MISTURAR/CONFUNDIR!!!
OBS: O Teorema 29 e uma fabrica de teoremas!
§24. Mayer-Vietoris para pares
Seja i : N → M uma subvariedade compacta e mergulhada, e
k ∈ Z. Entao, W = M \N e uma variedade e portanto temos
Ωkc (M \N)
jW→ Ωkc (M)
i∗→ Ωk(N).
Mas esta nao e exata em Ωkc (M): o nucleo de i∗ sao as formas
que se anulam em N , enquanto que a imagem de jW sao as que
se anulam em vizinhanca de N . Mas isto se conserta assim:
24
Seja V uma viz. tubular com fecho compacto de N , j : N → V
a inclusao, e π : V → N um retrato por deformacao, i.e.,
π j = idN , j π ∼ idV (para ver a existencia, usar o teo-
rema de mergulho de Whitney, ou metricas Riemannianas). Con-
struımos agora uma sequencia de tais V , V = V1 ⊃ V2 ⊃ · · ·com ∩iVi = N . Entao, dizemos que ω ∈ Ωk(Vi) e ω′ ∈ Ωk(Vj)
sao equivalentes se existe r > i, j tal que ω|Vr = ω′|Vr. O con-
junto destas classes forma um espaco vetorial Gk(N), o dos “ger-
mes de k-formas definidas numa vizinhanca de N”, que tem
seu diferencial obvio induzido por d, e e portanto um complexo
de cocadeias G = (G•(N), d). Isto da um mapa de cocadeias
Ωkc (M)
i∗→ Gk(N), onde i∗(ω) = classe de ω|V1.
Lema 37. A seguinte sequencia e exata (outro exercıcio):
0 → Ωkc (M \N)
jW→ Ωkc (M)
i∗→ Gk(N) → 0.
Agora, como j∗ : Hk(Vi) → Hk(N) e isomorfismo para todo i
e para todo k, Hk(N) e isomorfo a Hk(G) (exercıcio). Logo,
Teorema 29 + Lema 37 ⇒
Teorema 38. Existe uma sequencia longa exata:
· · · → Hkc (M\N) → Hk
c (M) → Hk(N)δ∗→ Hk+1
c (M\N) → · · ·
De maneira totalmente analoga ao Teorema 38, temos:
Teorema 39. Seja M uma variedade com bordo compacto.
Entao existe uma sequencia longa exata:
· · ·→Hkc (M\∂M)→Hk
c (M)→Hk(∂M)δ∗→ Hk+1
c (M\∂M)→· · ·
25
OBS: SeM e variedade com bordo eM o = M\∂M o seu interior,
retirando viz. tubulares Vi do bordo como na definicao de G temos
Mi = M\Vi, e inclusoesMoi → Mi → M o → M . MasMi ∼ M
e M oi ∼ M o, o que induz dois isomorfismos em cohomologia, e o
que nos permite concluir que H•(M) ∼= H•(M \ ∂M).
Aplicacao: Se B ⊂ Rn e bola aberta, Hk
c (Rn) = Hk
c (B) ∼=Hk
c (B) = Hk(B) = Hk(B) = 0, ∀ k 6= n. Em particular,
Hkc (R
n) ∼= Hn−k(Rn) ∼= (Hn−k(Rn))∗ ∀ k.Exercıcio: Calcular H•(Sn × S
m). Sug: Sn × Sm = ∂(B × S
m).
§25. Aplicacao: o Teorema de Jordan generalizado
Teorema 40 (Jordan generalizado). Seja Mn ⊂ Rn+1
uma hipersuperfıcie compacta, conexa e mergulhada. Entao,
Mn e orientavel, Rn+1\Mn tem exatamente 2 comp. conexas,
uma limitada e a outra nao, e Mn e o bordo de cada uma.
Prova: Pela aplicacao acima e o Teorema 38, temos
0 ∼= Hnc (R
n+1) → Hn(Mn) → Hn+1c (Rn+1 \M) → Hn+1
c (Rn+1) ∼= R → 0.
Isto e, dimHn(Mn) + 1 = # comp.conexas de Rn+1 \Mn ≥ 2
(exercıcios 23 a 26 Spivak cap.8 sobre winding numbers mod 2).
Portanto, pelo Teorema 22 e Teorema 23, Hn(Mn) ∼= R, Mn
e orientavel, e # comp.conexas de Rn+1 \ Mn = 2. Ainda pelo
26
mesmo argumento com winding numbers, todo ponto deMn esta
arbitrariamente perto de pontos nas duas componentes conexas.
Corolario 41. Nem a garrafa de Klein, nem o plano proje-
tivo possuem mergulhos em R3.
§26. Homologia singular
Como vimos na Secao 15.1, temos um operador de bordo entre
cadeias (de simplex) com qualquer grupo abeliano G como coefi-
cientes, ∂k : Ck(M) → Ck−1(M), que satisfaz ∂2 = 0. Isto e, as
cadeias formam um complexo (para qualquer espaco topologico).
A homologia desse complexo e chamada de homologia singular
de M :
Hk(M) = Hk(M ;G) := Ker ∂k/Im ∂k+1.
Agora, seM = U∪V , compondo cadeias com as inclusoes, temos
a seguinte sequencia obviamente exata de Mayer-Vietoris:
0 → Ck(U ∩ V ) → Ck(U)⊕ Ck(V ) → Ck(U + V ) → 0,
onde Ck(U + V ) sao as k-cadeias de M que se decompoem como
soma de k-cadeias em U e V . Pelo Teorema 29 temos entao a
sequencia longa correspondente em homologia. Mas, com uma
ideia conceitualmente similar a que levou a construcao de G (“de-
composicao baricentrica”) se prova com algum trabalho que
H•(M) ∼= H•(U + V ).
Logo, temos a sequencia longa exata de homologia singular:
· · ·Hk+1(M) → Hk(U ∩ V ) → Hk(U)⊕Hk(V ) → Hk(M) → Hk−1(U ∩ V ) → · · · (4)
Comparar com o Teorema 36 e usar Teorema 10!
27
§27. Dualidade de Poincare e Teorema de deRham
Seja U ⊂ Rn aberto, limitado e estrelado em relacao a 0, i.e.,
U = Uρ = tx : 0 ≤ t < ρ(x), x ∈ Sn−1
para alguma funcao limitada ρ : Sn−1 → R>0.
Lema 42. Se ρ ∈ C∞, U e difeomorfo a Rn.
Prova: SPG, ρ ≥ 1, e basta pegar h : B1 → U como h(tx) =
(t + (ρ(x) − 1)f (t))x, para qualquer funcao diferenciavel f com
f = 0 em [0, ǫ), f ′ ≥ 0, f (1) = 1.
Agora, ρ pode nem mesmo ser contınua... Mas e semicontinua:
Lema 43. Dado x ∈ Sn−1 e ǫ > 0, existe viz. Vx = V (x, ǫ)
de x tal que ρ|Vx > ρ(x)− ǫ. (Prova: U e aberto).
Lema 44. H•(U) ∼= H•(Rn) e H•c (U) ∼= H•
c (Rn). (De fato,
sao difeo mesmo que ρ nao seja C∞).
Prova: O primeiro e obvio pois U e contratil. Basta ver entao
Hkc (U) = 0 para k < n pela aplicacao anterior (pag. 26). Mas
se [ω] ∈ Hkc (U), suponhamos que existe ρ ∈ C∞(R) tal que
K = sup(ω) ⊂ Uρ ⊂ U (isto e, ρ < ρ). Entao Uρ∼= R
n e
[ω] ∈ Hkc (Uρ) = 0. Logo, existe η ∈ Ωk−1
c (Uρ) ⊂ Ωk−1c (U) tal
que ω = dη.
Para provar que existe tal ρ, seja 2ǫ = d(K,Rn \ U) > 0 e, para
x ∈ Sn−1, t(x) := maxt : tx ∈ K ≤ ρ(x) − 2ǫ. Em viz.
Vx de x temos que t|Vx < ρ(x) − ǫ < ρ|Vx pelo Lema 43 e a
definicao de ǫ. Pegamos um subcobrimento finito Vxi de Sn−1
28
e uma particao da unidade ϕi subordinada a ele, e definimos
ρ =∑
i(ρ(xi)− ǫ)ϕi. Logo, t < ρ < ρ− ǫ < ρ.
Definicao 45. Dizemos que Mn tem tipo finito se existe um
cobrimento finito U de Mn tal que toda intersecao V nao vazia
de elementos de U satisfaz que H•(V ) = H•(Rn) e H•c (V ) =
H•c (R
n). Um tal cobrimento U se diz bacana.
Lema 46. Toda variedade compacta tem cobrimento bacana.
Prova: Viz. totalmente normais (Geometria Riemanniana).
Proposicao 47. Se M tem tipo finito (e.g. M compacta),
entao H•(M) e H•c (M) tem dimensao finita.
Prova: Inducao em # U usando Mayer-Vietoris.
Agora, observando que Hk(M) ∧Hrc (M) ⊂ Hk+r
c (M), temos:
Teorema 48 (Dualidade de Poincare). Se Mn e conexa
e orientavel, a funcao linear PD:Hk(M) → (Hn−kc (M))∗,
PD([ω])([σ]) :=
∫
M
ω ∧ σ
e um isomorfismo, para todo k.
Prova: A prova para variedades de tipo finito (ver aqui um
argumento geral) segue por inducao no numero de elementos de
um cobrimento bacana usando o seguinte Lema.
Lema 49. Se U e V sao abertos tais que PD e isomorfismo
para todo k em U , V e U ∩ V , entao PD e isomorfismo para
todo k em U ∪ V .
29
Prova: Seja M = U ∪ V e l = n− k. Mayer-Vietoris nos diz
Hk−1(U)⊕Hk−1(V ) → Hk−1(U ∩ V ) → Hk(M) → Hk(U)⊕Hk(V ) → Hk(U ∩ V )
↓ PD ⊕ PD ↓ PD ↓ PD ↓ PD ⊕ PD ↓ PD
(H l+1c (U)⊕H l+1
c (V ))∗ → H l+1c (U ∩ V )∗ → H l
c(M)∗ → (H lc(U)⊕H l
c(V ))∗ → H lc(U ∩ V )∗
onde todos os mapas verticais sao isomorfismos (menos talvez o
do meio). Mais ainda, todos os quadrados comutam a menos de
sinal (exercıcio), e portanto trocando os sinais de alguns PD tudo
comuta. O Lema segue entao do Lema dos cinco (provar), que diz
precisamente que o do meio tambem tem que ser isomorfismo.
Corolario 50. Se Mn e compacta, conexa e orientavel ⇒bk(M
n)=bn−k(Mn). Em particular χ(Mn)=0 se n for ımpar.
Para a homologia singular (diferenciavel) com coeficientes em R,
H•(M ;R), pelo teorema de Stokes e de maneira analoga a Dual-
idade de Poincare (Lema 49 e Teorema 48), se prova (ver Secao
26 e Secao 15.1):
Teorema 51 (Teorema de deRham). Para todo k e para
toda variedade M , a funcao linear DR :Hk(M ;R)→Hk(M)∗,
DR([c])([ω]) =
∫
c
ω
e um isomorfismo.
Fim. :o)
30