ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Sommario

1 Parte: SPAZIDI HILBERT

2 Parte: SPAZIDI BANACH

3 Parte: SPAZIDI SOBOLEV

RIFERIMENTIBIBLIOGRAFICI

ANALISI FUNZIONALEOvvero: presentazione di Analisi Funzionale

Diego Averna?

? Dipartimento di Matematica e InformaticaFacoltà di Scienze MM.FF.NN.

Via Archirafi, 34-90123 Palermo (Italy)

averna@math.unipa.ithttp://www.math.unipa.it/averna/

01 ottobre 2013

http://www.math.unipa.it/averna/

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Sommario

1 Parte: SPAZIDI HILBERT

2 Parte: SPAZIDI BANACH

3 Parte: SPAZIDI SOBOLEV

RIFERIMENTIBIBLIOGRAFICI

SPAZI DI HILBERT

Foto di David HilbertChe cosa è uno Spazio di Hilbert?

1 Dispensa SPAZI DI HILBERTSpazi di HilbertGeometria degli spazi di HilbertOperatori lineari e limitati

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Sommario

1 Parte: SPAZIDI HILBERT

2 Parte: SPAZIDI BANACH

3 Parte: SPAZIDI SOBOLEV

RIFERIMENTIBIBLIOGRAFICI

SPAZI DI BANACH

Foto di Stefan BanachChe cosa è uno Spazio di Banach?

2 Dispensa SPAZI DI BANACHContenuti

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Sommario

1 Parte: SPAZIDI HILBERT

2 Parte: SPAZIDI BANACH

3 Parte: SPAZIDI SOBOLEV

RIFERIMENTIBIBLIOGRAFICI

SPAZI DI SOBOLEV

Foto di Sergej L’vovič SobolevChe cosa è uno Spazio di Sobolev?

3 Dispensa SPAZI DI SOBOLEV e formulazione variazionale deiproblemi ai limiti (cenni)

Contenuti

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Sommario

1 Parte: SPAZIDI HILBERT

2 Parte: SPAZIDI BANACH

3 Parte: SPAZIDI SOBOLEV

RIFERIMENTIBIBLIOGRAFICI

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

4 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Parte I

SPAZI DI HILBERT

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

SPAZI DI HILBERT

David Hilbert (1862-1943)

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

SPAZI DI HILBERT

Uno spazio di Hilbert è uno spazio che generalizza la nozione dispazio euclideo. Gli spazi di Hilbert sono stati introdotti dal celebrematematico David Hilbert all’inizio del XX secolo, ed hanno fornitoun enorme contributo allo sviluppo dell’analisi funzionale.L’interesse della nozione introdotta da Hilbert risiede nel fatto cheessa evidenzia la conservazione di alcune proprietà degli spazi euclideiin spazi di funzioni infinito dimensionali.Uno spazio di Hilbert è un insieme con una struttura lineare (spaziovettoriale), su cui è definito un prodotto interno (in particolare,quindi, è possibile parlare di distanza o metrica indotta dalla normache a sua volta è indotta dal prodotto interno, che a sua volta induceanche gli angoli, e l’ortogonalità), e tale che sia garantita lacompletezza (ossia, che non vi siano dei comportamenti patologici nelprocesso di passaggio al limite).

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Spazi di Hilbert

• Spazi pre-hilbertiani• Spazi lineari normati• Lo spazio di Hilbert l2• Lo spazio di Hilbert L2

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Spazi di Hilbert

• Spazi pre-hilbertiani• Spazi lineari normati• Lo spazio di Hilbert l2• Lo spazio di Hilbert L2

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Spazi di Hilbert

• Spazi pre-hilbertiani• Spazi lineari normati• Lo spazio di Hilbert l2• Lo spazio di Hilbert L2

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Spazi di Hilbert

• Spazi pre-hilbertiani• Spazi lineari normati• Lo spazio di Hilbert l2• Lo spazio di Hilbert L2

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Geometria degli spazi di Hilbert

• Sottospazi• Sottospazi ortogonali• Basi• Isomorfismi

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Geometria degli spazi di Hilbert

• Sottospazi• Sottospazi ortogonali• Basi• Isomorfismi

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Geometria degli spazi di Hilbert

• Sottospazi• Sottospazi ortogonali• Basi• Isomorfismi

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Geometria degli spazi di Hilbert

• Sottospazi• Sottospazi ortogonali• Basi• Isomorfismi

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Operatori lineari e limitati

• Applicazioni (Operatori) lineari e limitate• Operatori lineari• Forme bilineari• Operatori aggiunti• Operatori di proiezione

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Operatori lineari e limitati

• Applicazioni (Operatori) lineari e limitate• Operatori lineari• Forme bilineari• Operatori aggiunti• Operatori di proiezione

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Operatori lineari e limitati

• Applicazioni (Operatori) lineari e limitate• Operatori lineari• Forme bilineari• Operatori aggiunti• Operatori di proiezione

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Operatori lineari e limitati

• Applicazioni (Operatori) lineari e limitate• Operatori lineari• Forme bilineari• Operatori aggiunti• Operatori di proiezione

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di DavidHilbert

Che cosa è unoSpazio diHilbert?

Dispensa SPAZIDI HILBERT

Spazi di Hilbert

Geometria deglispazi di Hilbert

Operatori linearie limitati

Operatori lineari e limitati

• Applicazioni (Operatori) lineari e limitate• Operatori lineari• Forme bilineari• Operatori aggiunti• Operatori di proiezione

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di StefanBanach

Che cosa è unoSpazio diBanach?

Dispensa SPAZIDI BANACH

Contenuti Parte II

SPAZI DI BANACH

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di StefanBanach

Che cosa è unoSpazio diBanach?

Dispensa SPAZIDI BANACH

Contenuti

SPAZI DI BANACH

Stefan Banach (1892-1945)

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di StefanBanach

Che cosa è unoSpazio diBanach?

Dispensa SPAZIDI BANACH

Contenuti

SPAZI DI BANACH

Gli spazi di Banach sono degli spazi studiati inizialmente da StefanBanach e da cui hanno preso il nome. Sono un oggetto di studioimportante dell’analisi funzionale: molti spazi di funzioni sono spazidi Banach.Uno spazio di Banach è uno spazio normato completo rispetto allametrica indotta dalla norma. In altre parole, è uno spazio vettoriale(sul campo dei numeri reali o complessi, la cui dimensione può essereinfinita), su cui è definita una norma, tale che ogni successione diCauchy è convergente (ha cioè un limite) a un elemento dello spazio.

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di StefanBanach

Che cosa è unoSpazio diBanach?

Dispensa SPAZIDI BANACH

Contenuti

Contenuti

• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di StefanBanach

Che cosa è unoSpazio diBanach?

Dispensa SPAZIDI BANACH

Contenuti

Contenuti

• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di StefanBanach

Che cosa è unoSpazio diBanach?

Dispensa SPAZIDI BANACH

Contenuti

Contenuti

• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di StefanBanach

Che cosa è unoSpazio diBanach?

Dispensa SPAZIDI BANACH

Contenuti

Contenuti

• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di StefanBanach

Che cosa è unoSpazio diBanach?

Dispensa SPAZIDI BANACH

Contenuti

Contenuti

• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di StefanBanach

Che cosa è unoSpazio diBanach?

Dispensa SPAZIDI BANACH

Contenuti

Contenuti

• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di StefanBanach

Che cosa è unoSpazio diBanach?

Dispensa SPAZIDI BANACH

Contenuti

Contenuti

• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori

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Diego Averna

Foto di StefanBanach

Che cosa è unoSpazio diBanach?

Dispensa SPAZIDI BANACH

Contenuti

Contenuti

• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di StefanBanach

Che cosa è unoSpazio diBanach?

Dispensa SPAZIDI BANACH

Contenuti

Contenuti

• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori

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Diego Averna

Foto di StefanBanach

Che cosa è unoSpazio diBanach?

Dispensa SPAZIDI BANACH

Contenuti

Contenuti

• Spazi lineari normati• Operatori lineari• Funzionali lineari• Operatori e Funzionali lineari su spazi di dimensione finita• Spazi normati di operatori - Spazio duale• Il teorema di Hahn-Banach• Spazi riflessivi• Teorema di categoria e di uniforme limitatezza• Forte e debole convergenza• Convergenza di successioni di operatori

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di SergejL’vovič Sobolev

Che cosa è unoSpazio diSobolev?

Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)

Contenuti

Parte III

SPAZI DI SOBOLEV

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di SergejL’vovič Sobolev

Che cosa è unoSpazio diSobolev?

Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)

Contenuti

SPAZI DI SOBOLEV

Sergej L’vovič Sobolev (1908-1989)

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Foto di SergejL’vovič Sobolev

Che cosa è unoSpazio diSobolev?

Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)

Contenuti

SPAZI DI SOBOLEV

Uno spazio di Sobolev è uno spazio vettoriale di funzioni munito diuna norma che è combinazione delle norme Lp della funzione stessa edelle sue derivate in senso generalizzato fino ad un certo ordine;rispetto a tale norma lo spazio è completo, e quindi di Banach (ecerte volte anche di Hilbert). Gli spazi di Sobolev devono il proprionome al matematico russo Sergei L’vovič Sobolev.La loro importanza è dovuta al fatto che le soluzioni delle condizionidi Dirichlet o Neumann o ai limiti miste per equazioni alle derivateparziali o ordinarie vengono normalmente cercate in spazi di Sobolevpiuttosto che negli spazi di funzioni continue dotate di derivate intesein senso classico.

ANALISIFUNZIONALE

Diego Averna

Foto di SergejL’vovič Sobolev

Che cosa è unoSpazio diSobolev?

Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)

Contenuti

Contenuti

• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non

omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)

• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann

omogeneo

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Diego Averna

Foto di SergejL’vovič Sobolev

Che cosa è unoSpazio diSobolev?

Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)

Contenuti

Contenuti

• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non

omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)

• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann

omogeneo

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Diego Averna

Foto di SergejL’vovič Sobolev

Che cosa è unoSpazio diSobolev?

Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)

Contenuti

Contenuti

• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non

omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)

• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann

omogeneo

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Foto di SergejL’vovič Sobolev

Che cosa è unoSpazio diSobolev?

Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)

Contenuti

Contenuti

• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non

omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)

• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann

omogeneo

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Foto di SergejL’vovič Sobolev

Che cosa è unoSpazio diSobolev?

Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)

Contenuti

Contenuti

• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non

omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)

• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann

omogeneo

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Foto di SergejL’vovič Sobolev

Che cosa è unoSpazio diSobolev?

Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)

Contenuti

Contenuti

• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non

omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)

• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann

omogeneo

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Che cosa è unoSpazio diSobolev?

Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)

Contenuti

Contenuti

• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non

omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)

• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann

omogeneo

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Che cosa è unoSpazio diSobolev?

Dispensa SPAZIDI SOBOLEV eformulazionevariazionale deiproblemi ai limiti(cenni)

Contenuti

Contenuti

• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non

omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)

• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann

omogeneo

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Che cosa è unoSpazio diSobolev?

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Contenuti

Contenuti

• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non

omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)

• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann

omogeneo

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Contenuti

Contenuti

• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non

omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)

• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann

omogeneo

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Foto di SergejL’vovič Sobolev

Che cosa è unoSpazio diSobolev?

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Contenuti

Contenuti

• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non

omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)

• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann

omogeneo

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Che cosa è unoSpazio diSobolev?

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Contenuti

Contenuti

• Motivazione• Passaggio alla formulazione debole• Passaggio alla formulazione variazionale• Lo spazio di Sobolev W 1,p(I )• Gli spazi di Sobolev W m,p(I )• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (I )• Teorema di Lax-Milgram• Problemi ai limiti (condizione di Dirichlet omogenea o non

omogenea, condizione di Neumann omogenea, condizioni ailimiti miste)

• Lo spazio di Sobolev W 1,p(Ω)• Gli spazi di Sobolev W m,p(Ω)• Lo spazio di Sobolev W 1,p0 (Ω)• Problema di Dirichlet omogeneo, Problema di Neumann

omogeneo

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Diego Averna

RIFERIMENTIBIBLIOGRAFICI

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

D.AVERNA, Analisi Funzionale - Spazi di Hilbert. Dispensa(P.E.2006)

D.AVERNA, Analisi Funzionale - Spazi di Banach. Dispensa(P.E.2006)

D.AVERNA (con ringraziamenti ai Dott. L.BONSIGNORE eM.S.CANDELA), Analisi Funzionale - Spazi di Hilbert,Esempi, Esercizi e Dimostrazioni (che sono indicati e nonrisolti nella dispensa). Dispensa (P.E.2007)

S.M.BUCCELLATO, Spazi di Sobolev e formulazionevariazionale dei problemi ai limiti, Dispensa (P.E.2010)

H.Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editrice (1986)

A.Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali,Springer (2000).

1 Parte: SPAZI DI HILBERT2 Parte: SPAZI DI BANACH3 Parte: SPAZI DI SOBOLEVRIFERIMENTI BIBLIOGRAFICISPAZI DI HILBERTFoto di David HilbertChe cosa è uno Spazio di Hilbert?

Dispensa SPAZI DI HILBERTSpazi di HilbertGeometria degli spazi di HilbertOperatori lineari e limitati

SPAZI DI BANACHFoto di Stefan BanachChe cosa è uno Spazio di Banach?

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SPAZI DI SOBOLEVFoto di Sergej L'vovic SobolevChe cosa è uno Spazio di Sobolev?

Dispensa SPAZI DI SOBOLEV e formulazione variazionale dei problemi ai limiti (cenni)Contenuti

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICIRIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI