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ANALISI MATEMATICA II6 luglio 2010 Versione A
Nome, Cognome: Matricola Codice corso
Docente: Corso di Laurea:
Analisi II 7,5 cr. Analisi D Analisi II V.O. Analisi Ces. 1,2,3 es. 2,4,5 es 1,2,4 es. 1, es. 3 pinti b), c) e d).
ESERCIZIO 1 Si consideri la serie di funzioni∞∑
n=0
(16− x2)n2
n!,
a) determinarne l’insieme A di convergenza puntuale e la funzione somma,
b) individuare almeno un insieme su cui la serie converge uniformemente, motivando adeguatamentela risposta,
c) la serie converge uniformemente su A?
ESERCIZIO 2 Usando il teorema di Stokes, calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale F : R3 →R3 definito da
F(x, y, z) =(−x2y, x3 + z2, arctan ex+y+z
)
attraverso la superficie
Σ :
{x2 + y2 + z2 = 4z ≥ 0
orientata secondo i versori uscenti dall’origine.
ESERCIZIO 3 Si consideri il sistema differenziale lineare
X ′ =(
0 21 1
)X +
(1t
)dove X(t) =
(x(t)y(t)
),
a) studiare la stabilita della soluzione nulla per il sistema omogeneo associato,
b) calcolare l’integrale generale del sistema omogeneo associato,
c) verificare che
X(t) =( −1
0
)t +
(1−1
)
e una soluzione del sistema completo,
d) scrivere l’integrale generale del sistema completo.
.
ESERCIZIO 4 Sia data la seguente funzione:
f(x, y) = x2y2 − 10x2y − 4xy2 + 40xy,
a) determinarne i punti critici o stazionari,
b) determinare se i punti critici sono di massimo, di minimo o di sella.
ESERCIZIO 5 Calcolare il seguente integrale di linea:∫
γ
F(x, y) · τ,
ove F(x, y) = (x3, y) e γ e la curva x2 + 4y2 = 1 con x ≥ 0 e y ≥ 0, percorsa in senso antiorario.
1 Svolgimento Versione A
Esercizio 1 a) Il dominio comune a tutti i termini fn (x) = 16− x2 n/2/n! della serie è l’intervallo [−4, 4]; infatti, i termini
con n pari sono in effetti definiti per ogni x ∈ R, ma per i termini con n dispari deve essere 16 − x2 ≥ 0, cioè−4 ≤ x ≤ 4. Dunque A sarà un sottoinsieme di [−4, 4], eventualmente [−4, 4] stesso.Tramite la sostituzione t = 16− x2 1/2, la serie data si riconduce alla serie esponenziale e si ottiene
∞
n=0
16− x2 n2
n!=∞
n=0
tn
n!= et = e
√16−x2 per ogni t ∈ R.
La serie converge quindi ad e√16−x2 per ogni x per cui i suoi termini hanno senso, ossia risulta A = [−4, 4] e la
somma della serie è S (x) = e√16−x2 per ogni x ∈ [−4, 4].
b) Siccome la serie esponenziale ∞n=0
tn
n! converge uniformemente su ogni intervallo chiuso e limitato [a, b], laserie data converge uniformemente su ogni insieme del tipo x ∈ [−4, 4] : √16− x2 ∈ [a, b] con a, b ∈ R.Prendendo ad esempio a = 0 e b = 1, risulta
16− x2 ∈ [0, 1] ⇔ 0 ≤ 16− x2 ≤ 1 ⇔ 16− x2 ≥ 016− x2 ≤ 1 ⇔
−4 ≤ x ≤ 4x ≤ −√15 ∨ x ≥ √15 ,
che significa −4 ≤ x ≤ −√15 oppure √15 ≤ x ≤ 4. I due intervalli −4,−√15 e√15, 4 sono quindi
esempi di intervalli su cui la serie converge uniformemente.
c) Lo stesso ragionamento del punto b) prova che la serie data converge uniformemente su tutto A = [−4, 4].Infatti, ripetendo i conti con a = 0 e b = 16 (ma un qualunque b > 16 servirebbe allo scopo), si ottiene
16− x2 ∈ [0, 16] ⇔ 0 ≤ 16− x2 ≤ 16 ⇔ 16− x2 ≥ 016− x2 ≤ 16 ⇔ x2 ≤ 16
x2 ≥ 0 ⇔ x2 ≤ 16,che significa −4 ≤ x ≤ 4, cioè x ∈ A.
Esercizio 2 Il teorema di Stokes assicura che il flussoΦΣ (rotF) del rotore rotF diF attraverso la calotta orientataΣ coincidecon il lavoro del campo F lungo il bordo Γ di Σ orientato coerentemente con Σ (cioè secondo il verso di unosservatore che, disposto come il campo normale che orienta Σ, percorre Γ vedendo Σ alla sua sinistra).La superficie Σ è la semisfera di centro l’origine e raggio 2 contenuta nel semispazio z ≥ 0 e dunque il suo bordoΓ è la circonferenza del piano xy di centro l’origine e raggio 2, che ammette la rappresentazione parametrica
Γ :
x = 2 cos t
y = 2 sin t
z = 0
, t ∈ [0, 2π] .
Tale rappresentazione risulta coerente con l’orientamento di Σ, in quanto, al crescere di t, il punto P (t) =(2 cos t, 2 sin t, 0) si muove lungo Γ come in figura. Dunque, poiché
F (P (t)) = F (2 cos t, 2 sin t, 0) = −8 cos2 t sin t, 8 cos3 t, arctan e2 cos t+2 sin t ,P (t) = (−2 sin t, 2 cos t, 0) ,
si ha
ΦΣ (rotF) =Γ
F · dP =2π
0
F (P (t)) · P (t) dt =2π
0
16 cos2 t sin2 t+ 16 cos4 t dt
= 162π
0
cos 2 t sin 2 t + cos2 t dt = 16
2π
0
cos2 t dt = 16t+ cos t sin t
2
2π
0
= 16π.
Esercizio 3 a) La matrice del sistema è
A :=0 21 1
ed il suo polinomio caratteristico è
P (λ) =−λ 21 1− λ
= λ2 − λ− 2.Risolvendo l’equazione λ2 − λ− 2 = 0, si trovano gli autovalori distinti
λ1 = −1 e λ2 = 2,
di cui uno è positivo e pertanto la soluzione nulla del sistema omogeneo X = AX è instabile (v. teorema distabilità lineare).
b) Poiché gli autovalori λ1,λ2 di A sono reali distinti, l’integrale generale del sistema lineare omogeneo X =AX è
XO (t) = c1eλ1tV1 + c2e
λ2tV2 per ogni t ∈ Rcon c1, c2 costanti reali arbitrarie e V1, V2 autovettori qualsiasi associati a λ1,λ2 rispettivamente. Determini-amo una coppia di autovettori V1 e V2. Poiché
(A− λ1I2)xy
=00
⇔ 1 21 2
xy
=00
⇔ x = −2y,possiamo scegliere V1 = (−2, 1). Poiché
(A− λ2I2)xy
=00
⇔ −2 21 −1
xy
=00
⇔ x = y,
possiamo scegliere V2 = (1, 1). Dunque l’integrale generale del sistema lineare omogeneo X = AX è
XO (t) = c1e−t −2
1+ c2e
2t 11
=−2c1e−t + c2e2tc1e−t + c2e2t
per ogni t ∈ R (1)
con c1, c2 costanti reali arbitrarie.
c) Dobbiamo verificare cheX (t) = AX (t) +B (t) per ogni t ∈ R, dove B (t) = 1t
. Derivando
X (t) =−10
t+1−1 =
1− t−1 , (2)
si ottieneX (t) =
−10
. (3)
D’altra parte
AX (t) +B (t) =0 21 1
1− t−1 +
1t
=−2−t +
1t
=−10
. (4)
Confrontando (3) e (4), si vede che la verifica è completa.
d) L’integrale generale XC (t) del sistema completo X = AX + B (t) è la somma dell’integrale generale (1)del sistema omogeneo associato e di una soluzione particolare del sistema completo stesso, ad esempio la (2).Dunque
XC (t) = c1e−t −2
1+ c2e
2t 11
+−10
t+1−1 =
−2c1e−t + c2e2t + 1− tc1e−t + c2e2t − 1
per ogni t ∈ R, con c1, c2 costanti reali arbitrarie.
ANALISI MATEMATICA II6 luglio 2010 Versione B
Nome, Cognome: Matricola Codice corso
Docente: Corso di Laurea:
Analisi II 7,5 cr. Analisi D Analisi II V.O. Analisi Ces. 1,2,3 es. 2,4,5 es 1,2,4 es. 1, es. 3 pinti b), c) e d).
ESERCIZIO 1 Si consideri la serie di funzioni∞∑
n=0
(25− x2)n2
n!,
a) determinarne l’insieme A di convergenza puntuale e la funzione somma,
b) individuare almeno un insieme su cui la serie converge uniformemente, motivando adeguatamentela risposta,
c) la serie converge uniformemente su A?
ESERCIZIO 2 Usando il teorema di Stokes, calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale F : R3 →R3 definito da
F(x, y, z) =(−(1/2)x2y, (1/2)x3 + z2, arctan ex+y+z
)
attraverso la superficie
Σ :
{x2 + y2 + z2 = 4z ≥ 0
orientata secondo i versori uscenti dall’origine.
ESERCIZIO 3 Si consideri il sistema differenziale lineare
X ′ =( −1 −1−2 0
)X +
(1t
)dove X(t) =
(x(t)y(t)
),
a) studiare la stabilita della soluzione nulla per il sistema omogeneo associato,
b) calcolare l’integrale generale del sistema omogeneo associato,
c) verificare che
X(t) =(
1/2−1/2
)t +
(1/41/4
)
e una soluzione del sistema completo,
d) scrivere l’integrale generale del sistema completo.
.
ESERCIZIO 4 Sia data la seguente funzione:
f(x, y) = x2y2 − 8x2y − 6xy2 + 48xy,
a) determinarne i punti critici o stazionari,
b) determinare se i punti critici sono di massimo, di minimo o di sella.
ESERCIZIO 5 Calcolare il seguente integrale di linea:∫
γ
F(x, y) · τ,
ove F(x, y) = x, y3) e γ e la curva 4x2 + y2 = 1 con x ≥ 0 e y ≥ 0, percorsa in senso antiorario.
2 Svolgimento Versione B
Esercizio 1 a) Il dominio comune a tutti i termini fn (x) = 25− x2 n/2/n! della serie è l’intervallo [−5, 5]; infatti, i termini
con n pari sono in effetti definiti per ogni x ∈ R, ma per i termini con n dispari deve essere 25 − x2 ≥ 0, cioè−5 ≤ x ≤ 5. Dunque A sarà un sottoinsieme di [−5, 5], eventualmente [−5, 5] stesso.Tramite la sostituzione t = 25− x2 1/2, la serie data si riconduce alla serie esponenziale e si ottiene
∞
n=0
25− x2 n2
n!=∞
n=0
tn
n!= et = e
√25−x2 per ogni t ∈ R.
La serie converge quindi ad e√25−x2 per ogni x per cui i suoi termini hanno senso, ossia risulta A = [−5, 5] e la
somma della serie è S (x) = e√25−x2 per ogni x ∈ [−5, 5].
b) Siccome la serie esponenziale ∞n=0
tn
n! converge uniformemente su ogni intervallo chiuso e limitato [a, b], laserie data converge uniformemente su ogni insieme del tipo x ∈ [−5, 5] : √25− x2 ∈ [a, b] con a, b ∈ R.Prendendo ad esempio a = 0 e b = 1, risulta
25− x2 ∈ [0, 1] ⇔ 0 ≤ 25− x2 ≤ 1 ⇔ 25− x2 ≥ 025− x2 ≤ 1 ⇔
−5 ≤ x ≤ 5x ≤ −√24 ∨ x ≥ √24 ,
che significa −5 ≤ x ≤ −√24 oppure √24 ≤ x ≤ 5. I due intervalli −5,−√24 e√24, 5 sono quindi
esempi di intervalli su cui la serie converge uniformemente.
c) Lo stesso ragionamento del punto b) prova che la serie data converge uniformemente su tutto A = [−5, 5].Infatti, ripetendo i conti con a = 0 e b = 25 (ma un qualunque b > 25 servirebbe allo scopo), si ottiene
25− x2 ∈ [0, 25] ⇔ 0 ≤ 25− x2 ≤ 25 ⇔ 25− x2 ≥ 025− x2 ≤ 25 ⇔ x2 ≤ 25
x2 ≥ 0 ⇔ x2 ≤ 25,che significa −5 ≤ x ≤ 5, cioè x ∈ A.
Esercizio 2 Il teorema di Stokes assicura che il flussoΦΣ (rotF) del rotore rotF diF attraverso la calotta orientataΣ coincidecon il lavoro del campo F lungo il bordo Γ di Σ orientato coerentemente con Σ (cioè secondo il verso di unosservatore che, disposto come il campo normale che orienta Σ, percorre Γ vedendo Σ alla sua sinistra).La superficie Σ è la semisfera di centro l’origine e raggio 2 contenuta nel semispazio z ≥ 0 e dunque il suo bordoΓ è la circonferenza del piano xy di centro l’origine e raggio 2, che ammette la rappresentazione parametrica
Γ :
x = 2 cos t
y = 2 sin t
z = 0
, t ∈ [0, 2π] .
Tale rappresentazione risulta coerente con l’orientamento di Σ, in quanto, al crescere di t, il punto P (t) =(2 cos t, 2 sin t, 0) si muove lungo Γ come in figura. Dunque, poiché
F (P (t)) = F (2 cos t, 2 sin t, 0) = −4 cos2 t sin t, 4 cos3 t, arctan e2 cos t+2 sin t ,P (t) = (−2 sin t, 2 cos t, 0) ,
si ha
ΦΣ (rotF) =Γ
F · dP =2π
0
F (P (t)) · P (t) dt =2π
0
8 cos2 t sin2 t+ 8 cos4 t dt
= 82π
0
cos 2 t sin 2 t + cos2 t dt = 8
2π
0
cos2 t dt = 8t+ cos t sin t
2
2π
0
= 8π.
Esercizio 3 a) La matrice del sistema è
A :=−1 −1−2 0
ed il suo polinomio caratteristico è
P (λ) =−1− λ −1−2 −λ = λ2 + λ− 2.
Risolvendo l’equazione λ2 + λ− 2 = 0, si trovano gli autovalori distintiλ1 = −2 e λ2 = 1,
di cui uno è positivo e pertanto la soluzione nulla del sistema omogeneo X = AX è instabile (v. teorema distabilità lineare).
b) Poiché gli autovalori λ1,λ2 di A sono reali distinti, l’integrale generale del sistema lineare omogeneo X =AX è
XO (t) = c1eλ1tV1 + c2e
λ2tV2 per ogni t ∈ Rcon c1, c2 costanti reali arbitrarie e V1, V2 autovettori qualsiasi associati a λ1,λ2 rispettivamente. Determini-amo una coppia di autovettori V1 e V2. Poiché
(A− λ1I2)xy
=00
⇔ 1 −1−2 2
xy
=00
⇔ x = y,
possiamo scegliere V1 = (1, 1). Poiché
(A− λ2I2)xy
=00
⇔ −2 −1−2 −1
xy
=00
⇔ y = −2x,possiamo scegliere V2 = (1,−2). Dunque l’integrale generale del sistema lineare omogeneoX = AX è
XO (t) = c1e−2t 1
1+ c2e
t 1−2 =
c1e−2t + c2et
c1e−2t − 2c2et per ogni t ∈ R (5)
con c1, c2 costanti reali arbitrarie.
c) Dobbiamo verificare cheX (t) = AX (t) +B (t) per ogni t ∈ R, dove B (t) = 1t
. Derivando
X (t) =1/2−1/2 t+
1/41/4
=t/2 + 1/4−t/2 + 1/4 , (6)
si ottieneX (t) =
1/2−1/2 . (7)
D’altra parte
AX (t) +B (t) =−1 −1−2 0
t/2 + 1/4−t/2 + 1/4 +
1t
=1/2−1/2 . (8)
Confrontando (7) e (8), si vede che la verifica è completa.
d) L’integrale generale XC (t) del sistema completo X = AX + B (t) è la somma dell’integrale generale (5)del sistema omogeneo associato e di una soluzione particolare del sistema completo stesso, ad esempio la (6).Dunque
XC (t) = c1e−2t 1
1+ c2e
t 1−2 +
1/2−1/2 t+
1/41/4
=c1e−2t + c2et + t/2 + 1/4
c1e−2t − 2c2et − t/2 + 1/4
per ogni t ∈ R, con c1, c2 costanti reali arbitrarie.
ANALISI MATEMATICA II6 luglio 2010 Versione C
Nome, Cognome: Matricola Codice corso
Docente: Corso di Laurea:
Analisi II 7,5 cr. Analisi D Analisi II V.O. Analisi Ces. 1,2,3 es. 2,4,5 es 1,2,4 es. 1, es. 3 pinti b), c) e d).
ESERCIZIO 1 Si consideri la serie di funzioni∞∑
n=0
(9− x2)n2
n!,
a) determinarne l’insieme A di convergenza puntuale e la funzione somma,
b) individuare almeno un insieme su cui la serie converge uniformemente, motivando adeguatamentela risposta,
c) la serie converge uniformemente su A?
ESERCIZIO 2 Usando il teorema di Stokes, calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale F : R3 →R3 definito da
F(x, y, z) =(−(1/4)x2y, (1/4)x3 + z2, arctan ex+y+z
)
attraverso la superficie
Σ :
{x2 + y2 + z2 = 4z ≥ 0
orientata secondo i versori uscenti dall’origine.
ESERCIZIO 3 Si consideri il sistema differenziale lineare
X ′ =( −1 −2−3 0
)X +
(t1
)dove X(t) =
(x(t)y(t)
),
a) studiare la stabilita della soluzione nulla per il sistema omogeneo associato,
b) calcolare l’integrale generale del sistema omogeneo associato,
c) verificare che
X(t) =(
01/2
)t +
(1/6−1/12
)
e una soluzione del sistema completo,
d) scrivere l’integrale generale del sistema completo.
.
ESERCIZIO 4 Sia data la seguente funzione:
f(x, y) = x2y2 − 14x2y − 8xy2 + 112xy,
a) determinarne i punti critici o stazionari,
b) determinare se i punti critici sono di massimo, di minimo o di sella.
ESERCIZIO 5 Calcolare il seguente integrale di linea:∫
γ
F(x, y) · τ,
ove F(x, y) = (x2, y) e γ e la curva x2 + 9y2 = 1 con x ≥ 0 e y ≥ 0, percorsa in senso antiorario.
3 Svolgimento Versione C
Esercizio 1 a) Il dominio comune a tutti i termini fn (x) = 9− x2 n/2/n! della serie è l’intervallo [−3, 3]; infatti, i termini
con n pari sono in effetti definiti per ogni x ∈ R, ma per i termini con n dispari deve essere 9 − x2 ≥ 0, cioè−3 ≤ x ≤ 3. Dunque A sarà un sottoinsieme di [−3, 3], eventualmente [−3, 3] stesso.Tramite la sostituzione t = 9− x2 1/2, la serie data si riconduce alla serie esponenziale e si ottiene
∞
n=0
9− x2 n2
n!=∞
n=0
tn
n!= et = e
√9−x2 per ogni t ∈ R.
La serie converge quindi ad e√9−x2 per ogni x per cui i suoi termini hanno senso, ossia risulta A = [−3, 3] e la
somma della serie è S (x) = e√9−x2 per ogni x ∈ [−3, 3].
b) Siccome la serie esponenziale ∞n=0
tn
n! converge uniformemente su ogni intervallo chiuso e limitato [a, b], laserie data converge uniformemente su ogni insieme del tipo x ∈ [−3, 3] : √9− x2 ∈ [a, b] con a, b ∈ R.Prendendo ad esempio a = 0 e b = 1, risulta
9− x2 ∈ [0, 1] ⇔ 0 ≤ 9− x2 ≤ 1 ⇔ 9− x2 ≥ 09− x2 ≤ 1 ⇔
−3 ≤ x ≤ 3x ≤ −√8 ∨ x ≥ √8 ,
che significa −3 ≤ x ≤ −√8 oppure√8 ≤ x ≤ 3. I due intervalli −3,−√8 e√8, 3 sono quindi esempi
di intervalli su cui la serie converge uniformemente.
c) Lo stesso ragionamento del punto b) prova che la serie data converge uniformemente su tutto A = [−3, 3].Infatti, ripetendo i conti con a = 0 e b = 9 (ma un qualunque b > 9 servirebbe allo scopo), si ottiene
9− x2 ∈ [0, 9] ⇔ 0 ≤ 9− x2 ≤ 9 ⇔ 9− x2 ≥ 09− x2 ≤ 9 ⇔ x2 ≤ 9
x2 ≥ 0 ⇔ x2 ≤ 9,che significa −3 ≤ x ≤ 3, cioè x ∈ A.
Esercizio 2 Il teorema di Stokes assicura che il flussoΦΣ (rotF) del rotore rotF diF attraverso la calotta orientataΣ coincidecon il lavoro del campo F lungo il bordo Γ di Σ orientato coerentemente con Σ (cioè secondo il verso di unosservatore che, disposto come il campo normale che orienta Σ, percorre Γ vedendo Σ alla sua sinistra).La superficie Σ è la semisfera di centro l’origine e raggio 2 contenuta nel semispazio z ≥ 0 e dunque il suo bordoΓ è la circonferenza del piano xy di centro l’origine e raggio 2, che ammette la rappresentazione parametrica
Γ :
x = 2 cos t
y = 2 sin t
z = 0
, t ∈ [0, 2π] .
Tale rappresentazione risulta coerente con l’orientamento di Σ, in quanto, al crescere di t, il punto P (t) =(2 cos t, 2 sin t, 0) si muove lungo Γ come in figura. Dunque, poiché
F (P (t)) = F (2 cos t, 2 sin t, 0) = −2 cos2 t sin t, 2 cos3 t, arctan e2 cos t+2 sin t ,P (t) = (−2 sin t, 2 cos t, 0) ,
si ha
ΦΣ (rotF) =Γ
F · dP =2π
0
F (P (t)) · P (t) dt =2π
0
4 cos2 t sin2 t+ 4 cos4 t dt
= 42π
0
cos 2 t sin 2 t + cos2 t dt = 4
2π
0
cos2 t dt = 4t+ cos t sin t
2
2π
0
= 4π.
Esercizio 3 a) La matrice del sistema è
A :=−1 −2−3 0
.
ed il suo polinomio caratteristico è
P (λ) =−1− λ −2−3 −λ = λ2 + λ− 6.
Risolvendo l’equazione λ2 + λ− 6 = 0, si trovano gli autovalori distintiλ1 = −3 e λ2 = 2,
di cui uno è positivo e pertanto la soluzione nulla del sistema omogeneo X = AX è instabile (v. teorema distabilità lineare).
b) Poiché gli autovalori λ1,λ2 di A sono reali distinti, l’integrale generale del sistema lineare omogeneo X =AX è
XO (t) = c1eλ1tV1 + c2e
λ2tV2 per ogni t ∈ Rcon c1, c2 costanti reali arbitrarie e V1, V2 autovettori qualsiasi associati a λ1,λ2 rispettivamente. Determini-amo una coppia di autovettori V1 e V2. Poiché
(A− λ1I2)xy
=00
⇔ 2 −2−3 3
xy
=00
⇔ x = y,
possiamo scegliere V1 = (1, 1). Poiché
(A− λ2I2)xy
=00
⇔ −3 −2−3 −2
xy
=00
⇔ −3x− 2y = 0,possiamo scegliere V2 = (2,−3). Dunque l’integrale generale del sistema lineare omogeneoX = AX è
XO (t) = c1e−3t 1
1+ c2e
2t 2−3 =
c1e−3t + 2c2e2t
c1e−3t − 3c2e2t per ogni t ∈ R (9)
con c1, c2 costanti reali arbitrarie.
c) Dobbiamo verificare cheX (t) = AX (t) +B (t) per ogni t ∈ R, dove B (t) = t1
. Derivando
X (t) =01/2
t+1/6−1/12 =
1/6t/2− 1/12 , (10)
si ottieneX (t) =
01/2
. (11)
D’altra parte
AX (t) +B (t) =−1 −2−3 0
1/6t/2− 1/12 +
t1
=01/2
. (12)
Confrontando (11) e (12), si vede che la verifica è completa.
d) L’integrale generale XC (t) del sistema completo X = AX + B (t) è la somma dell’integrale generale (9)del sistema omogeneo associato e di una soluzione particolare del sistema completo stesso, ad esempio la (10).Dunque
XC (t) = c1e−3t 1
1+c2e
2t 2−3 +
01/2
t+1/6−1/12 =
c1e−3t + 2c2e2t + 1/6
c1e−3t − 3c2e2t + t/2− 1/12
per ogni t ∈ R, con c1, c2 costanti reali arbitrarie.
ANALISI MATEMATICA II6 luglio 2010 Versione D
Nome, Cognome: Matricola Codice corso
Docente: Corso di Laurea:
Analisi II 7,5 cr. Analisi D Analisi II V.O. Analisi Ces. 1,2,3 es. 2,4,5 es 1,2,4 es. 1, es. 3 pinti b), c) e d).
ESERCIZIO 1 Si consideri la serie di funzioni∞∑
n=0
(4− x2)n2
n!,
a) determinarne l’insieme A di convergenza puntuale e la funzione somma,
b) individuare almeno un insieme su cui la serie converge uniformemente, motivando adeguatamentela risposta,
c) la serie converge uniformemente su A?
ESERCIZIO 2 Usando il teorema di Stokes, calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale F : R3 →R3 definito da
F(x, y, z) =(−(1/8)x2y, (1/8)x3 + z2, arctan ex+y+z
)
attraverso la superficie
Σ :
{x2 + y2 + z2 = 4z ≥ 0
orientata secondo i versori uscenti dall’origine.
ESERCIZIO 3 Si consideri il sistema differenziale lineare
X ′ =(
1 53 3
)X +
(0
12 t
)dove X(t) =
(x(t)y(t)
),
a) studiare la stabilita della soluzione nulla per il sistema omogeneo associato,
b) calcolare l’integrale generale del sistema omogeneo associato,
c) verificare che
X(t) =( −5
1
)t +
(5/3−4/3
)
e una soluzione del sistema completo,
d) scrivere l’integrale generale del sistema completo.
.
ESERCIZIO 4 Sia data la seguente funzione:
f(x, y) = x2y2 − 6x2y − 12xy2 + 72xy,
a) determinarne i punti critici o stazionari,
b) determinare se i punti critici sono di massimo, di minimo o di sella.
ESERCIZIO 5 Calcolare il seguente integrale di linea:∫
γ
F(x, y) · τ,
ove F(x, y) = (x, y2) e γ e la curva 9x2 + y2 = 1 con x ≥ 0 e y ≥ 0, percorsa in senso antiorario.
4 Svolgimento Versione D
Esercizio 1 a) Il dominio comune a tutti i termini fn (x) = 4− x2 n/2/n! della serie è l’intervallo [−2, 2]; infatti, i termini
con n pari sono in effetti definiti per ogni x ∈ R, ma per i termini con n dispari deve essere 4 − x2 ≥ 0, cioè−2 ≤ x ≤ 2. Dunque A sarà un sottoinsieme di [−2, 2], eventualmente [−2, 2] stesso.Tramite la sostituzione t = 4− x2 1/2, la serie data si riconduce alla serie esponenziale e si ottiene
∞
n=0
4− x2 n2
n!=∞
n=0
tn
n!= et = e
√4−x2 per ogni t ∈ R.
La serie converge quindi ad e√4−x2 per ogni x per cui i suoi termini hanno senso, ossia risulta A = [−2, 2] e la
somma della serie è S (x) = e√4−x2 per ogni x ∈ [−2, 2].
b) Siccome la serie esponenziale ∞n=0
tn
n! converge uniformemente su ogni intervallo chiuso e limitato [a, b], laserie data converge uniformemente su ogni insieme del tipo x ∈ [−2, 2] : √4− x2 ∈ [a, b] con a, b ∈ R.Prendendo ad esempio a = 0 e b = 1, risulta
4− x2 ∈ [0, 1] ⇔ 0 ≤ 4− x2 ≤ 1 ⇔ 4− x2 ≥ 04− x2 ≤ 1 ⇔
−2 ≤ x ≤ 2x ≤ −√3 ∨ x ≥ √3 ,
che significa −2 ≤ x ≤ −√3 oppure√3 ≤ x ≤ 2. I due intervalli −2,−√3 e√3, 2 sono quindi esempi
di intervalli su cui la serie converge uniformemente.
c) Lo stesso ragionamento del punto b) prova che la serie data converge uniformemente su tutto A = [−2, 2].Infatti, ripetendo i conti con a = 0 e b = 4 (ma un qualunque b > 4 servirebbe allo scopo), si ottiene
4− x2 ∈ [0, 4] ⇔ 0 ≤ 4− x2 ≤ 4 ⇔ 4− x2 ≥ 04− x2 ≤ 4 ⇔ x2 ≤ 4
x2 ≥ 0 ⇔ x2 ≤ 4,che significa −2 ≤ x ≤ 2, cioè x ∈ A.
Esercizio 2 Il teorema di Stokes assicura che il flussoΦΣ (rotF) del rotore rotF diF attraverso la calotta orientataΣ coincidecon il lavoro del campo F lungo il bordo Γ di Σ orientato coerentemente con Σ (cioè secondo il verso di unosservatore che, disposto come il campo normale che orienta Σ, percorre Γ vedendo Σ alla sua sinistra).La superficie Σ è la semisfera di centro l’origine e raggio 2 contenuta nel semispazio z ≥ 0 e dunque il suo bordoΓ è la circonferenza del piano xy di centro l’origine e raggio 2, che ammette la rappresentazione parametrica
Γ :
x = 2 cos t
y = 2 sin t
z = 0
, t ∈ [0, 2π] .
Tale rappresentazione risulta coerente con l’orientamento di Σ, in quanto, al crescere di t, il punto P (t) =(2 cos t, 2 sin t, 0) si muove lungo Γ come in figura. Dunque, poiché
F (P (t)) = F (2 cos t, 2 sin t, 0) = − cos2 t sin t, cos3 t, arctan e2 cos t+2 sin t ,P (t) = (−2 sin t, 2 cos t, 0) ,
si ha
ΦΣ (rotF) =Γ
F · dP =2π
0
F (P (t)) · P (t) dt =2π
0
2 cos2 t sin2 t+ 2 cos4 t dt
= 22π
0
cos 2 t sin 2 t + cos2 t dt = 2
2π
0
cos2 t dt = 2t+ cos t sin t
2
2π
0
= 2π.
Esercizio 3 a) La matrice del sistema è
A :=1 53 3
.
ed il suo polinomio caratteristico è
P (λ) =1− λ 53 3− λ
= λ2 − 4λ− 12.Risolvendo l’equazione λ2 − 4λ− 12 = 0, si trovano gli autovalori distinti
λ1 = −2 e λ2 = 6,
di cui uno è positivo e pertanto la soluzione nulla del sistema omogeneo X = AX è instabile (v. teorema distabilità lineare).
b) Poiché gli autovalori λ1,λ2 di A sono reali distinti, l’integrale generale del sistema lineare omogeneo X =AX è
XO (t) = c1eλ1tV1 + c2e
λ2tV2 per ogni t ∈ Rcon c1, c2 costanti reali arbitrarie e V1, V2 autovettori qualsiasi associati a λ1,λ2 rispettivamente. Determini-amo una coppia di autovettori V1 e V2. Poiché
(A− λ1I2)xy
=00
⇔ 3 53 5
xy
=00
⇔ 3x+ 5y = 0,
possiamo scegliere V1 = (5,−3). Poiché(A− λ2I2)
xy
=00
⇔ −5 53 −3
xy
=00
⇔ x = y,
possiamo scegliere V2 = (1, 1). Dunque l’integrale generale del sistema lineare omogeneo X = AX è
XO (t) = c1e−2t 5
−3 + c2e6t 1
1=
5c1e−2t + c2e6t
−3c1e−2t + c2e6t per ogni t ∈ R (13)
con c1, c2 costanti reali arbitrarie.
c) Dobbiamo verificare cheX (t) = AX (t) +B (t) per ogni t ∈ R, dove B (t) = 012t
. Derivando
X (t) =−51
t+5/3−4/3 =
−5t+ 5/3t− 4/3 , (14)
si ottieneX (t) =
−51
. (15)
D’altra parte
AX (t) +B (t) =1 53 3
−5t+ 5/3t− 4/3 +
012t
=−51
. (16)
Confrontando (15) e (16), si vede che la verifica è completa.
d) L’integrale generale XC (t) del sistema completo X = AX + B (t) è la somma dell’integrale generale (13)del sistema omogeneo associato e di una soluzione particolare del sistema completo stesso, ad esempio la (14).Dunque
XC (t) = c1e−2t 5
−3 + c2e6t 1
1+
−51
t+5/3−4/3 =
5c1e−2t + c2e6t − 5t+ 5/3
−3c1e−2t + c2e6t + t− 4/3per ogni t ∈ R, con c1, c2 costanti reali arbitrarie.