Análisis combinatorio

Reflexiones Matemáticas Nagua, Rep. Dom.

Reflexiones Matemáticas. Prof. Joel Amauris Gelabert S. 829-292-9484.

Análisis Combinatorio.

El análisis combinatorio es una herramienta de las matemáticas que estudia los distintos arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado. Principio Fundamental. El principio fundamental del análisis combinatorio establece que: Si un hecho ocurre de k maneras diferentes y otro hecho ocurre de m maneras diferentes, al final los hechos ocurrirán de (k).(m) maneras diferentes. Ejemplo 1. Si en una tienda hay 3 puertas para entrar y dos puertas para salir. ¿De cuantas formas distintas puede una persona entrar o salir de la tienda? Solución: k=3 una persona puede entrar o salir de la tienda de (k).(m) m=2 diferentes, es decir: (3)(2)= 6 maneras diferentes.

Variaciones. Las variaciones son distintos arreglos de n elementos que se pueden hacer con los m elementos de un conjunto dado, en donde cada formación se diferencia de la otra en el orden de colocación de los elementos, en la naturaleza de al menos uno de ellos o en ambas cosas a la vez. Las variaciones pueden ser sin repetición y con repetición.

Variaciones sin repetición. Como su nombre lo indica, en este tipo de variación los elementos de los arreglos deben ser diferentes. Para calcular el número de arreglos o variaciones que se pueden hacer con los n elementos de un conjunto de m elementos podemos usar las expresiones: = m (m )(m )(m )…..m (m ) ó

=

)

Ejemplo 1. ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos del número

4,258 ?

Solución: m=4 Aplicando la segunda formula tenemos que: n=3

Con los dígitos del número 4,258 se pueden formar 24 números de 3 cifras distintas.

=

)

=

) =

=

=24



Los números de 3 dígitos que se pueden formar con los dígitos de 4,258 son:

Ejemplo 2. ¿Cuántas palabras de dos letras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra CAMINO ? Solución: m=6 n=2

Las palabras de 3 letras distintas que se pueden formar con las letras de la palabra camino son:

Ejemplo 3. ¿Cuántos números de dos dígitos diferentes se pueden formar con los dígitos del número 573 ? Solución: m=3 n=2

Los números de 2 cifras diferentes que se pueden formar con los dígitos del número 573 son:

Ejemplo 4. ¿Cuántas palabras de 3 letras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra AMOR ? Solución: m=4 n=3

1.- 245 7.- 425 13.- 524 19.- 845 2.- 254 8.- 452 14.- 548 20.- 854 3.- 258 9.- 458 15.- 542 21.- 852 4.- 285 10.- 485 16.- 584 22.- 842 5.- 248 11.- 428 17.- 582 23.- 824 6.- 284 12.- 482 18.- 528 24.- 825

=

)

=

) =

=

=30

1.- CA 7.- CM 13.- CO 19.- AN 25.- MO 2.- AC 8.- MC 14.- OC 20.- NA 26.- OM 3.- MI 9.- CI 15.- AM 21.- AO 27.- IN 4.- IM 10.- IC 16.- MA 22.- OA 28.- NI 5.- NO 11.- CN 17.- AI 23.- MN 29.- IO 6.- 0N 12.- NC 18.- IA 24.- NM 30.- OI

=

)

=

) =

=

= 6

1.- 57 4.- 35 2.- 53 5.- 73 3.- 75 6.- 37

=

)

=

) =

=

=24



Las palabras de 3 letras diferentes que se pueden hacer con las letras de palabra AMOR son:

Variaciones Con Repetición. Es el tipo de variación en el que los elementos de los arreglos pueden repetirse.

Para calcular el número de arreglos o formaciones en las variaciones con repetición podemos usar la formula:

=

Ejemplo 1. ¿Cuántos arreglos de 2 letras se pueden hacer con las letras de la palabra AZUL ? Solución: m=4 n=2

Ejemplo 2. ¿Cuántos arreglos de 3 números se pueden hacer con los dígitos del número 368 ? Solución: m=3 n=3

Los arreglos que se pueden hacer son:

Ejemplo 3. ¿Cuántos arreglos de 2 números se pueden hacer con las cifras del número 345 ? Solución: m=3 Los arreglos que pueden hacerse son: n=2

1.- AMO 7.- MOR 13.- RAM 19.- AOR 2.- OMA 8.- MRO 14.- MRA 20.- AOM 3.- OAM 9.- ORM 15.- MAR 21.- ORA 4.- AMR 10.- OMR 16.- MAO 22.- OAR 5.- ARM 11.- RMO 17.- MOA 23.- RAO 6.- RMA 12.- ROM 18.- ARO 24.- ROA

= m

=

= 16

Los arreglos son:

1.- AZ 9.- UA 2.- AU 10.- UZ 3.- AL 11.- UU 4.- AA 12.- UL 5.- ZA 13.- LA 6.- ZZ 14.- LZ 7.- ZU 15.- LU 8.- ZL 16.- LL

= m

=

= 27

1.- 336 7.- 383 13.- 633 19.- 836 25.- 883 2.- 363 8.- 386 14.- 638 20.- 863 26.- 886 3.- 388 9.- 368 15.- 683 21.- 888 27.- 868 4.- 333 10.- 636 16.- 686 22.- 833 5.- 366 11.- 663 17.- 668 23.- 866 6.- 338 12.- 666 18.- 688 24.- 838

= m

=

= 9

1.- 34 4.- 43 7.- 53 2.- 35 5.- 44 8.- 54 3.- 33 6.- 45 9.- 55



Ejemplo 4. Halle el valor de m sabiendo que:

= 20

Solución: = m (m )

m m =20

m m = 0 Se factoriza este trinomio.

(m )(m+4)= 0 Se iguala cada factor a cero.

1.- m =0 2.- m+4=0

m = 5 m =

El valor de m es 5.

Ejemplo 5. Halle el valor de m en = 16.

Solución: = 16

m ) =16

m2+2m+1=16

m2+2m+1 = 0

m2+2m = 0 Se factoriza este trinomio

(m+5)(m )= 0 Se toma el factor de signo negativo y se iguala a cero.

m = 0

m=3

El valor de m es igual a 3

Ejemplo 6. Halle el valor de m en

= 81.

Solución:

m4 =81

m =

m=3

Ejemplo 7.

Halle el valor de m en =24.

Solución: m (m )(m )=24

m (m2 2m m+2)=24

m (m2 3m+2)=24

m3 3m2 +2m=24

m3 3m2 +2m 4=0

Esta ecuación puede ser resuelta mediante la aplicación de la regla de Ruffini para hallar los ceros de un polinomio.



Buscamos los ceros del polinomio m3 3m2 +2m 4=0 Se verifica que 4 es un cero del polinomio m3 3m2 +2m 4=0 porque al buscar el valor numérico del polinomio sustituyendo a x por 4 nos queda que:

(4)3 –3(4)2 +2(4) 4=0

64 ) 4=0

64 =0

0=0

1 3 2 24

En este caso los factores del polinomio m3 3m2 +2m 4=0 son: (x 4)(x2+x+6)=0 Se igualan a cero estos factores.

x 4=0

x=4

x2+x+6=0 Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales.

Por tanto el valor de m es igual a 4.

Permutaciones.

Son variaciones de m elementos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto, en las que participan todos los elementos del conjunto dado. Para obtener el número de permutaciones de los m elementos de un conjunto podemos usar la fórmula:

= =

) =

) pero n=m, por lo que

=

) =

=

= m!

= m!

Ejemplo 1. Halle el valor de las siguientes permutaciones.

1.- =

Solución:

=6!=6x5x4x3x2x1= 720

2.- =

Solución:

=5!=5x4x3x2x1= 120

3.- =

Solución:

=9!=9x8x7x6x5x4x3x2x1= 362,880

4 4 4 24

1 1 6 0

4.- =

Solución:

=4!=4x3x2x1= 24

5.- =

Solución:

=8!=8x7x6x5x4x3x2x1= 40,320



En el caso de que se disponga de n objetos para colocarlos en r lugares, entonces la formula a aplicar es:

nPr = n (n 1)(n 2)(n )……. n r+1) ó lo que es lo mismo:

nPr =

)

Ejemplo 1.

Calcule el valor de 6P4

Solución:

6P4 =

) =

=

=360

Ejemplo 2.

Halle el valor de 11P7

Solución:

11P7 =

) =

=

= 1,663,200

Ejemplo 3.

Calcule el resultado de 10P5 Solución:

10P5 =

) =

=

= 30,240

Ejemplo 4.

Halle el valor de n en la expresión nP5 =7. nP4 Solución:

n (n 1)(n 2)(n 3)(n 4)=7 n(n 1)(n 2)(n 3)

) ) ) )

) ) ) =

) ) )

) ) )

n 4=7

n=7+4

n=11

Ejemplo 5.

Calcule el valor de n en nP4 =8. n-1P3

Solución:

n (n 1)(n 2)(n 3)=8 (n 1)(n 2)(n 3)

) ) )

) ) ) =

) ) )

) ) )

n= 8



Resolución de problemas mediante permutaciones.

Problema 1. ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse 5 niños en un banco? Solución: m=5 = m!

= 5!=5x4x3x2x1=120

Problema 2.

¿Cuántos arreglos se pueden formar con las letras de la palabra AMOR ?

Solución: m=4 = m!

= 4!=4x3x2x1=24

Problema 3. ¿De cuántas formas pueden ordenarse 6 libros en un estante? m=6 = m!

= 6!=6x5x4x3x2x1=720

Permutaciones con repetición.

Para calcular el número de permutaciones en un conjunto donde hay elementos que se repiten, usamos la formula:

…….. =

) ) )

Ejemplo 1. ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden se pueden hacer con los dígitos del número 525,345? Solución: m=6 =3 Ejemplo 2. ¿Cuántos arreglos distintos se pueden hacer con las letras de la palabra matemática? Solución: m=11 =3 =2 =2

=

=

=

=120

=

=

=

=151,200



Combinaciones.

Las combinaciones son los distintos arreglos de n elementos que se pueden hacer con los m elementos de un conjunto dado, de modo que un arreglo se diferencie de otro en al menos un elemento. Para calcular el número de combinaciones que podemos hacer con m elementos tomados de n en n, podemos usar cualquiera de las formulas:

=

) =

n =

) n =

Ejemplo 1. Calcule el valor de

Solución:

=

) =

=

=35

Ejemplo 2. ¿Cuál es el resultado de ?

Solución:

=

) =

=

=210

Ejemplo 3. ¿Cuántos equipos distintos de 5 personas podemos hacer con 12 personas? Solución: m=12 n=5

Ejemplo 4. ¿De cuantas maneras distintas se pueden escoger 4 niñas y 3 niños para formar un grupo en un salón donde hay 7 niñas y 5 niños? Solución: En este caso se debe calcular la elección de las niñas y luego la elección de los niños. 1.- m=7 n=4 2.- m=5 n=3

El total de maneras distintas para escoger las niñas y los niños como indica el mandato será: . = 35x10=350

Ejemplo 5. ¿Cuántas combinaciones de 3 dígitos podemos hacer con los dígitos del número 8,342 ? Solución: m=4 n=2

=

) =

=

=792

Se pueden formar 792 equipos

=

) =

=

=35

=

) =

=

=10

=

) =

=

=24

Se pueden hacer 24 combinaciones de 3 dígitos.



Combinaciones Con Repetición.

Es el tipo de combinaciones en las que los m elementos dados pueden repetirse. Para calcular el número de combinaciones con repetición se usa la formula:

= )

)

Problema 1. ¿Cuántas combinaciones de dos números con repetición pueden hacerse con los dígitos del número 389 ? Solución: m=3 n=2 Estas combinaciones son: 1.- 38 4.- 99 2.- 39 5.- 88 3.- 89 6.- 33 Problema 2. ¿Cuántas combinaciones de 3 letras con repetición se pueden hacer con las letras de palabra AMaR ? Solución: m=4 n=3

Problema 3. ¿Cuántas combinaciones de 3 con repetición se pueden hacer con las letras de la palabra CALOR ? Solución: m=5 n=3

Problema 4. Calcule el valor de m=8 n=4

= )

) =

=

=

= 6

Se pueden hacer 6 combinaciones.

= )

) =

=

=

=20


Estas combinaciones son:

1.- AMa 6.- AAA 11.- MMA 16.- AAM 2.- AaR 7.- MMM 12.- RRM 17.- AAR 3.- MRa 8.- RRR 13.- RRa 18.- MMa 4.- AaM 9.- aaa 14.- aaM 19.- AAa 5.- RMA 10.- RRA 15.- aaR 20.- aaA

= )

) =

=

=35


= )

) =

.

=

=

=2,310



Número Combinatorio.

Es el número de combinaciones de m elementos tomados de n en n. Por lo general un número combinatorio se representa por:

mn donde debe cumplirse siempre que n m

La fórmula que se usa para calcular el número combinatorio es:

mn =

)

Ejemplo 1.

Halle el numero combinatorio que resulta de

Solución: m=8 n=5 Ejemplo 3. m= 12 n= 9

Ejemplo 4.

Hallar el resultado de +

Solución:

+

=

) +

) =

+

=

+

= 120+126 =246

Propiedades de los números combinatorios.

1.- Si dos números combinatorios tienen el mismo índice y la suma de sus órdenes es igual al índice, entonces son iguales. Demostración:

=

) =

=

= 120

=

) =

=

= 120

2.- Un número combinatorio es la suma de otros dos, si se verifica que:

mn =

m n

+ m

n

Demostración:

=

+

= +

=

)

+

)

+

=

+

=

+

= 20+15 =35

=

)

=

=

=35

=

) =

=

=56

=

) =

. =

=22

Los resultados son iguales, lo cual implica que la propiedad se cumple.



Evaluación.

I.- Seleccione la respuesta correcta.

1.- Son los distintos arreglos de n elementos que se pueden hacer con los m elementos de un conjunto dado, de modo que un arreglo se diferencie de otro en al menos un elemento. A.- Variaciones B.- Combinaciones C.- Permutaciones. 2.- Son distintos arreglos de n elementos que se pueden hacer con los m elementos de un conjunto dado, en donde cada formación se diferencia de la otra en el orden de colocación de los elementos, en la naturaleza de al menos uno de ellos o en ambas cosas a la vez. A.- Combinaciones B.- Análisis Combinatorio C.- Variaciones 3.- El resultado de es igual a

A.- 210 B.- 540 C.- 840 4.- ¿Cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los dígitos del número

4,258 ? A.- 12 B.- 20 C.- 10

5.- ¿Cuál es el resultado de ?

A.- 58 B.- 45 C.- 90

6.- El resultado de +

A.- 78 B.- 56 C.- 86

7.- El resultado de + es igual a A.- 840 B.- 720 C.- 120 8.- El resultado de es igual a

A.- 45 B.- 75 C.- 35 9.- Es el número de combinaciones de m elementos tomados de n en n. A.- Permutaciones B.- Número Combinatorio C.- Variaciones.

10.- El resultado de es igual a

A.- 20 B.- 15 C.- 10

II.- Calcule el valor de las siguientes variaciones.

1.- =

2.- =

3.- =

4.- + =

5.- =

III.- Resuelve los siguientes problemas aplicando variaciones sin repetición.

1.- ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos del número 5,748 ? 2.- ¿Cuántas palabras de tres letras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra CAMINO ? 3.- ¿Cuántas variaciones de 4 letras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra CALOR ?



IV.- Calcule el valor de las siguientes variaciones con repetición.

1.- =

2.- =

3.-

=

4.- =

5.- +

=

V.- Resuelve los siguientes problemas con variaciones con repetición.

1.- ¿Cuántos arreglos de 3 números se pueden hacer con las cifras del número 3,452 ? 2.- ¿Cuántas variaciones de 3 letras se pueden formar con las letras de la palabra CALOR ? VI.- Calcule las siguientes permutaciones.

1.- =

2.- =

3.- 11P7=

4.- 8P4+ 9P5=

5.- 10P6+11P8=

VII.- Calcule el valor de m en las siguientes expresiones.

1.- n = 4 n

2.- n-1 = 3n

3.- n = 9 n-1

4.- nP4 = 8 n

VIII.- Calcule el valor de las siguientes combinaciones.

1.- =

2.- =

3.- =

4.- + =

5.- + =

IX.- Calcule los siguientes números combinatorios.

1.- =

2.-

=

3.-

=

4.-

=

6.- =

7.- =

8.- + =

6.-

=

7.-

=

8.-

=

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