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un punto de vista matematico de los circuitos
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Tema III:Análisis de circuitos mediante
la transformada de Fourier
Planteamiento del problema .................................................................................................. 83Determinación de los coeficientes de Fourier.................................................................... 86
Procedimiento general .......................................................................................................... 86Ejemplo ................................................................................................................................ 87Casos particulares ................................................................................................................ 88
Forma trigonométrica de la serie de Fourier..................................................................... 90Formulación ......................................................................................................................... 90Ejemplo 1 de formulación trigonométrica............................................................................. 91Ejemplo 2 de formulación trigonométrica............................................................................. 92Ejemplo 3 de formulación trigonométrica............................................................................. 93Ejemplo 1 de aplicación a un circuito ................................................................................... 94Ejemplo 2 de aplicación a un circuito ................................................................................... 96Cálculos de potencia media .................................................................................................. 98
Formulación exponencial ....................................................................................................... 99Ejemplo 1 de formulación exponencial................................................................................. 99Ejemplo 2 de formulación exponencial................................................................................. 100Error cuadrático medio ......................................................................................................... 101Espectros de amplitud y fase ................................................................................................ 102
La transformada de Fourier .................................................................................................. 104Consideraciones generales ................................................................................................... 104Definición ............................................................................................................................ 105Condiciones de existencia .................................................................................................... 106Ejemplo de cálculo ............................................................................................................... 107
Transformadas de Fourier...................................................................................................... 108Transformadas de Fourier de funciones elementales............................................................ 108Transformadas de Fourier operacionales.............................................................................. 109Cálculo alternativo de la transformada de Fourier................................................................. 111Utilización de transformadas de Laplace para hallar transformadas de Fourier .................... 113
Aplicación en circuitos ............................................................................................................ 119Comparación con la transformada de Laplace ...................................................................... 119Ejemplo 1............................................................................................................................. 120Ejemplo 2............................................................................................................................. 121
Teorema de Parseval ............................................................................................................... 122Ejemplo 1............................................................................................................................. 123Ejemplo 2............................................................................................................................. 125Ejemplo 3............................................................................................................................. 127
Teorema de Plancherel ........................................................................................................... 128
82 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Planteamiento del problemax(t) periódica ⇔ x(t) = x(t + nT0) ∀t; n: número entero, T0: periodo fundamental
Ejemplos de funciones periódicas
Vm
v(t)
tT0 2T0 3T0 4T0
Vm
v(t)
tT0 2T0
Vm
v(t)
tT0
2T0-Vm
Vm
v(t)
t3T0T0 2T0
Vm
v(t)
tT0
2T0
Rectificaciónde onda completa
Rectificación
de media onda
Onda cuadrada
Onda triangular
Pulso rectangular
Obtenidas
por saturaciónde transistores
Proporcionadas por
generadores de ondas
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 83
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
En ingeniería de circuitos tienen interés práctico muchas excitaciones periódicasque no son sinusoidales.
Los generadores de potencia ideales tienen que proporcionar sinusoides puras.
En la práctica proporcionan sinusoides distorsionadas, pero periódicas.
Las no linealidades en circuitos provocan la aparición de funciones periódicas lineales.
El análisis de Fourier permite tratar cualquier función periódicacomo una suma infinita de funciones sinusoidales relacionadas armónicamente.
Una función periódica puede expresarse como serie de Fourier en la forma
f(t) = av + [akcos(kω0t)∑k=1
∞
+ bksen(kω0t)]
siendo
k: número natural.
av, ak, bk: coeficientes de Fourier.
ω0 = 2π/T0: frecuencia angular fundamental.
kω0: frecuencia de la componente armónica de orden k.
f(t) se expresa como la suma de una componente continua
y diversas componentes sinusoidales.
Si representa la excitación de un circuito,la salida de éste puede ser calculada aplicando el principio de superposición.
84 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Para que una función pueda ser expresada como serie de Fourier,ha de cumplir las condiciones de Dirichlet:
f(t) tiene un valor único para cualquier valor de t.
f(t) tiene un número finito de discontinuidades en el intervalo de un periodo.f(t) tiene un número finito de máximos y mínimo en el intervalo de un periodo.
La integral f(t)dtt0
t0+T0
existe.
Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias.
No se sabe cuáles son las condiciones necesarias.
Una función puede no cumplir las condiciones de Dirichlet
y ser expresable como serie de Fourier.
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 85
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Determinación de los coeficientes de Fourier
Procedimiento general
av = 1T0
f(t)dtt0
t0+T0
ak = 2T0
f(t)cos(kω0t)dtt0
t0+T0
bk = 2T0
f(t)sen(kω0t)dtt0
t0+T0
t0 es cualquier valor del tiempo elegido arbitrariamente.
Obsérvese que av es el valor medio de f(t) en un periodo,lo cual proporciona un medio alternativo de calcular este coeficiente.
86 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo
v(t)
Vm
Vm/3
2T0/3 T0 4T0/3 2T00 t
Vm = 9π V
Se desea obtener los coeficientes de Fourier
de la expansión en serie de Fourierde la tensión mostrada en la figura adjunta.
Suponiendo que T0 = 125.66 ms,se desea obtener los cinco primeros términos
de la citada expansión.
La tensión representada en la figura puede ser expresada matemáticamente como
v(t) = Vm ∀t ⊥ t0 ≤ t ≤ t0 + 2T0/3 v(t) = Vm/3 ∀t ⊥ t0 + 2T0/3 ≤ t ≤ t0 + T0
Haciendo t0 = 0 s, y utilizando las expresiones generales y el valor de Vm, se tiene
av = 1T0
v(t)dt =0
T0
1T0
Vmdt0
2T0/3
+ 1T0
Vm
3dt
2T0/3
T0
= 7π V
ak = 2T0
v(t)cos 2πktT0
dt =
0
T0
2T0
Vmcos 2πktT0
dt
0
2T0/3
+ 2T0
Vm3
cos 2πktT0
dt
2T0/3
T0
= 6k
sen 4πk3
V
bk = 2T0
v(t)sen 2πktT0
dt =
0
T0
2T0
Vmsen 2πktT0
dt
0
2T0/3
+ 2T0
Vm3
sen 2πktT0
dt
2T0/3
T0
= 6k
1 - cos 4πk3
V
Utilizando estas expresiones y el valor de T0, la serie queda
v(t) = 7π - 5.2cos(50t) + 9sen(50t) + 2.6cos(100t) + 4.5sen(100t) + ... V
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 87
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Casos particulares
Simetría par
f(t) = f(-t) T0
T0/20 t
-T0/2
-T0
A
-A
f(t) av = 2T0
f(t)dt0
T0/2
ak = 4T0
f(t)cos(kω0t)dt0
T0/2
bk = 0
Simetría imparf(t) = - f(-t)
T0
0 t-T0/2
-T0
A
-A
f(t)
T0/2
av = 0
ak = 0
bk = 4T0
f(t)sen(kω0t)dt0
T0/2
A una función periódica dada se la puede dotar de simetría par o imparcon sólo elegir adecuadamente el origen de tiempos.
88 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Simetría
de media ondaf(t) = - f(t - T0/2)
av = 0
k par ⇒ ak = 0 = bk
k impar ⇒
⇒ ak = 4T0
f(t)cos(kω0t)dt0
T0/2
⇒ bk = 4T0
f(t)sen(kω0t)dt0
T0/2
Simetría
de cuarto de onday función par
(simetría en tornoal punto medio
de cadasemiciclo)
av = 0
k par ⇒ ak = 0
k impar ⇒ ak = 8T0
f(t)cos(kω0t)dt0
T0/4
bk = 0
Simetríade cuarto de onda
y función impar(simetría en torno
al punto mediode cada
semiciclo)
av = 0
ak = 0
k par ⇒ bk = 0
k impar ⇒ bk = 8T0
f(t)sen(kω0t)dt0
T0/4
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 89
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Forma trigonométrica de la serie de Fourier
Formulación
Definiendo
zk = ak - jbk Ak = zk = ak2 + bk
2 ϕk = arctgbkak
puede establecerse que
f(t) = av + [akcos(kω0t)∑k=1
∞
+ bksen(kω0t)] = av + Akcos(kω0t - ϕk)∑k=1
∞
Es decir, los términos en seno y coseno de cada armónico de la seriese combinan en un único término de tipo sinusoidal,
lo cual permite tratar la función como una superposiciónde una componente continua y una suma de señales sinusoidales de distintas frecuencias.
Obsérvese que
f(t) par ⇒ Ak = ak, ϕk = 0 °
f(t) impar ⇒ Ak = bk, ϕk = 90 °
90 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 1 de formulación trigonométrica
v(t)
Vm
Vm/3
2T0/3 T0 4T0/3 2T00 t
Vm = 9π V
Se desea expresar en forma trigonométrica(sólo tres términos significativos)
el desarrollo en serie de Fourierde la tensión representada
en la figura adjunta.
Supóngase que T0 = 125.66 ms.
Como se indicó en un ejemplo anterior,
v(t) = Vm ∀t ⊥ t0 ≤ t ≤ t0 + 2T0/3 v(t) = Vm/3 ∀t ⊥ t0 + 2T0/3 ≤ t ≤ t0 + T0
con lo que
av = 7π V ak = 6k
sen 4πk3
V bk = 6k
1 - cos 4πk3
V
En consecuencia, es posible elaborar la siguiente tabla:
k ak (V) bk (V) Ak (V) ϕϕϕϕk (º)
1
2
- 5.22
2.61
9
4.5
10.4
5.2
120
60
con lo que la formulación pedida queda en la forma
v(t) = 7π + 10.4cos(50t - 120 º) + 5.2cos(100t - 60 º) V, t en s
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 91
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 2 de formulación trigonométrica
v(t)Vm
tT 2T 3T
0 ≤ t ≤ T ⇒ v(t) = Vm
Tt
La tensión periódica mostrada en la figurapuede expresarse como la suma
de una componente continua y una serie deFourier infinita de términos cosenoidales;
cada uno de éstos queda definido por un módulo, una frecuencia angular y una
fase. Se desea obtener la componente continua y los parámetros que definen los términos
cosenoidales.
Se trata de expresar la función como desarrollo en serie de Fourier de la forma
v(t) = av + Akcos(kω0t - ϕk)∑k = 1
∞
ω0 = 2πT
av = 1T
v(t)dt0
T
= 1T
Vm
Ttdt
0
T
= Vm
2
ak = 2T
v(t)cos(kω0t)dt0
T
= 2T
Vm
Ttcos(kω0t)dt
0
T
= 2Vm
T2
cos(kω0t)
(kω0)2
+ tsen(kω0t)
kω0 0
T
= 0 V
bk = 2T
v(t)sen(kω0t)dt0
T
= 2T
Vm
Ttsen(kω0t)dt
0
T
= 2Vm
T2
sen(kω0t)
(kω0)2
- tcos(kω0t)
kω0 0
T
= - Vm
kπ
Ak = ak2 + bk
2 = Vm
kπϕk = arctg
bkak
= - 90 °
92 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 3 de formulación trigonométrica
v(t)Vm
tT 2T 3T
0 ≤ t ≤ T ⇒ v(t) = Vm - Vm
Tt
La tensión periódica mostrada en la figurapuede expresarse como la suma
de una componente continua y una serie deFourier infinita de términos cosenoidales;
cada uno de éstos queda definido por un módulo, una frecuencia angular y una
fase. Se desea obtener la componente continua y los parámetros que definen los términos
cosenoidales.
Se trata de expresar la función como desarrollo en serie de Fourier de la forma
v(t) = av + Akcos(kω0t - ϕk)∑k = 1
∞ω0 = 2π/T
av = 1T
v(t)dt0
T
= 1T
Vmdt0
T
- 1T
Vm
Ttdt
0
T
= Vm
2
ak = 2T
v(t)cos(kω0t)dt0
T
= 2T
Vmcos(kω0t)dt0
T
- 2T
Vm
Ttcos(kω0t)dt
0
T
=
= Vm
kπ[sen(kω0t)]0
T - 2Vm
T2
cos(kω0t)
(kω0)2
+ tsen(kω0t)
kω0 0
T
= 0 V
bk = 2T
v(t)sen(kω0t)dt0
T
= 2T
Vmsen(kω0t)dt0
T
- 2T
Vm
Ttsen(kω0t)dt
0
T
=
= - Vm
kπ[cos(kω0t)]0
T - 2Vm
T2
sen(kω0t)
(kω0)2
- tcos(kω0t)
kω0 0
T
= Vm
kπ
Ak = ak2 + bk
2 = Vm
kπϕk = arctg
bkak
= 90 °
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 93
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 1 de aplicación a un circuito
R
CvG(t)
+vC(t)
-
vG(t)
t
T0
Vm
-Vm
Dado el circuito de la figura, sometido a la excitación indicada,
se desea obtener la expresión temporal de vC(t).
La excitación tiene simetría imparen media onda
y en cuarto de onda,con lo que
av = 0ak = 0
bk = 0, k par
bk = 8T0
Vmsen(kω0t)dt0
T0/4
= 4Vm
πk, k impar
La excitación puede ser expresada como serie de Fourier con formulación trigonométrica.
vG(t) = 4Vmπ
cos[(2i - 1)ω0t - 90°]2i - 1∑
i=1
∞La excitación es equivalentea un número infinito de fuentes sinusoidales
conectadas en serie.
94 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Se aplica el principio de superposición teniendo en cuenta que para cada excitación individual y utilizando notación fasorial se cumple
VC = VG
1 + jωRC
Aplicando este resultado a cada componente de la excitación
los fasores de las distintas respuestas individuales están dados por
Primer armónico(i = 1)
⇒ VC1 = 4Vm
π 1 + (ω0RC)2∠- 90° - θ1
, θ1 = arctg(ω0RC)
Tercer armónico(i = 2)
⇒ VC3 = 4Vm
π 1 + (3ω0RC)2∠- 90° - θ3
, θ3 = arctg(3ω0RC)
Generalizando, puede deducirse que la respuesta pedida es
vC(t) = 4Vmπ
cos[(2i - 1)ω0t - θ2i-1]
(2i - 1) 1 + [(2i - 1)ω0RC]2∑i=1
∞
, θ2i-1 = 90º - arctg[(2i - 1)ω0RC]
Obsérvese que
C muy grande (cortocircuito) ⇒ θ2i-1 ≈ 90 ° ⇒ vC(t) ≈ - 4Vm
πω0RCcos[(2i - 1)ω0t]
(2i - 1)2∑i=1
∞
Los armónicos de salida decrecen en amplitud en la proporción 1/i2,
mientras que los de la entrada lo hacen en la proporción 1/i(hay gran distorsión -distorsión de fase-).
C muy pequeño (circuito abierto) ⇒ θ2i-1 ≈ 0 ° ⇒ vC(t) ≈ vG(t)
poca distorsión.
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 95
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 2 de aplicación a un circuito
R
CvG(t)
+v0(t)
-
LT0/2 t
vG(t)
Vm
-Vm
T0
Dado el circuito de la figura, sometido a la excitación indicada,
se desea obtener la expresión temporal de v0(t).
La expresión matemática de la excitación es
vG(t) = Vm, 0 < t < T0/4 vG(t) = -Vm, T0/4 < t < 3T0/4 vG(t) = Vm, 3T0/4 < t < T0
La excitación tiene simetría de cuarto de onda y función par, con lo que
av = 0 V bk = 0 V ak = 0 V, k par
k impar ⇒ ak = 8T0
vG(t)cos(kω0t)dt0
T0/4
= 4Vm
πksen πk
2 =
4Vm
πkcos πk
2 - 90 º
96 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
En términos fasoriales, la excitación se expresa como
VGk = 4Vm
πk ∠ -90 º
= - j4Vm
πk
En términos fasoriales y de impedancias, la salida del circuito es
V0k = jωLVGk
R(1 - ω2LC) + jωL =
8LVm
RT0 1 - 2πkT0
2
LC + j2πkLT0
= V0k ∠ ϕk
con lo que la expresión temporal pedida es
v0(t) = V0kcos 2πktT0
+ ϕk∑k = 1, impar
∞
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 97
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Cálculos de potencia media
Sea un elemento de un circuito lineal,en el que la tensión y la corriente son funciones periódicas
expresadas mediante series de Fourier.
v(t) = VDC + VKcos(kω0t - ϕvk)∑k=1
∞
i(t) = IDC + IKcos(kω0t - ϕ ik)∑k=1
∞
Se supone que la corriente entra en el elementopor el terminal marcado como positivo para la tensión.
La potencia media en el elemento está dada por
P = 1T0
v(t)i(t)dtt0
t0+T0
= V DCIDC + V KIKcos(ϕvk - ϕik)
2∑k=1
∞
Es decir, en el caso de una interacción entre una tensión periódica
y la correspondiente corriente periódica,la potencia media total es la suma de las potencias medias
originadas por corrientes y tensiones de la misma frecuencia.
Las corrientes y tensiones de distintas frecuencias no interaccionanpara dar lugar a potencia media.
98 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Formulación exponencial
Una función periódica también puede desarrollarse en serie de Fourier mediante la expresión
f(t) = Ckejkω0t∑
-∞
∞
siendo
Ck = 1T0
f(t)e-jkω0tdtt0
t0+T0
= ak - jbk
2 =
Ak
2 ∠-ϕk
, Ak = ak2 + bk
2 , ϕk = arctgbkak
Ejemplo 1 de formulación exponencial
v(t)Vm
tT0T0-τ/2-τ/2 τ/20
Se desea expresar
la tensión indicada en la figura adjunta como serie de Fourier
con formulación exponencial.
Ck = 1T0
Vme-jkω0tdt-τ/2
τ/2
= Vm
Te-jkω0t
-jkω0 -τ/2
τ/2
= Vmτ
T sen(kω0τ/2)
kω0τ/2
v(t) = VmτTo
sen(kω0τ/2)kω0τ/2
∑k = -∞
∞
ejkω0t
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 99
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 2 de formulación exponencial
vi(t)
Vh
Vl
0 t
T0
t0
-t0/2 t0/2
Vh = 2π V, Vl = π V, T0 = 1 s, t0 = 0.25 s
Se desea expresar la tensión indicada
en la figura adjunta como serie de Fourier
con formulación exponencial.
vi(t) = Ckejkω0t, ω 0 = 2π
T0
= 2π rad/s∑- ∞
∞
Ck = vi(t)e-jkω0tdt
t0
t0 + T0
= 1T0
Vhe-jkω0tdt
-t0/2
t0/2
+ 1T0
Vle-jkω0tdt
t0/2
T0 - t0/2
=
= (Vh - Vl)t0
T0
sen(kπt0/T0)
kπt0/T0
Dada la simetría par de la función sen(x)/x, únicamente es necesario calcular los términoscorrespondientes a valores positivos de k; los correspondientes a valores negativos de kcoinciden con sus equivalentes en el intervalo positivo. Obsérvese, además, que todos loscoeficientes son reales, con lo que el espectro de fases es nulo (fase nula para cualquiercomponente). Así, los primeros coeficientes de la serie son
k kππππt0/T0 Ck
0
+ 1+ 2
+ 3+ 4
0
0.25π0.5π
0.75ππ
0.79 V
0.71 V0.5 V
0.24 V0 V
El coeficiente correspondiente a k = 0 se ha obtenido aplicando la regla de l’Hôpital.
100 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Error cuadrático medio
En aplicaciones prácticas, al utilizar una serie de Fourier
para representar una función periódica es preciso truncar la serie,
ya que no es posible trabajar con un número infinito de términos.
Así, se supone que la función ideal f(t) es aproximada por la función práctica fN(t).
f(t) ≈ fN(t) = Ckejω0t∑
k= -N
N
con lo que se comete un error dado por
ε(t) = f(t) - fN(t)
de modo que el error cuadrático medio de la aproximación es
ε2 = 1T0
ε2(t)dtt0
t0+T0
f(t) también puede ser expresada mediante otras series trigonométricasen las que los coeficientes son distintos de los correspondientes a la serie de Fourier.
Puede demostrarse que el error cuadrático medio es mínimoprecisamente cuando los coeficientes son los de la serie de Fourier.
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 101
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Espectros de amplitud y fase
Conocidos los coeficientes de Fourier y el periodo de una función,en teoría es posible reconstruir dicha función.
Ocurre lo mismo si se conocen las amplitudes y las fases
de la formulación exponencial.
Sin embargo, ello requiere una gran potencia de cálculo (series infinitas).
Una alternativa (simplemente indicativa) consiste en representarlas amplitudes y las fases de la formulación exponencial,
como se muestra en las figuras adjuntas.
k, ω0
Ck
Esp
ectr
ode
am
plitu
dE
spec
tro
de f
ase
k, ω0
ϕk
fase
= 0
º
fase
= 0
º
fase
= 0
º
fase
= 0
º
fases no definidaspor ser nulas
las amplitudes
Si se desplaza la funciónun intervalo temporal,
f(t - t0) = Ckejkω0(t - t0)∑
k = -∞
∞
=
= (Cke-jkω0t0)ejkω0t∑
k = -∞
∞
el espectro de amplitud no cambia,el espectro de fase sí cambia.
102 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Los espectros de amplitud y fase también pueden ser representados con ayuda del desarrollo en serie expresado con la formulación trigonométrica.
Obsérvese la relación entre ambas formulaciones:
Formulación exponencial Formulación trigonométrica
f(t) = Ckejkω0t∑
-∞
∞
Ck = Ak
2 ∠-ϕk
f(t) = av + Akcos(kω0t - ϕk)∑k=1
∞
Ak = ak2 + bk
2 , ϕk = arctgbkak
av = 1T0
f(t)dtt0
t0+T0
ak = 2T0
f(t)cos(kω0t)dtt0
t0+T0
bk = 2T0
f(t)sen(kω0t)dtt0
t0+T0
El espectro trigonométrico tiene una amplitud doble que el exponencial.
El espectro de amplitudes trigonométrico sólo tiene componentes
correspondientes a valores positivos de k.
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 103
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La transformada de Fourier
Consideraciones generales
La serie de Fourier permite describir una función periódica del tiempoen el dominio de la frecuencia por medio de los atributos de amplitud y fase.
La transformada de Fourier permite extender esta idea a funciones no periódicas.
Esto ya está cubierto por la transformada de Laplace.
La transformada de Fourier es un caso particular (parte real de la frecuencia compleja, s, nula) de la transformada de Laplace bilateral.
Sin embargo, la transformada de Fourier tiene una interpretación física más sencilla.
104 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Definición
Dada una función periódica f(t), de periodo T0, a medida que éste se hace más grandese verifica (como puede comprobarse a partir de las expresiones de la serie de Fourier)
f(t) va convirtiéndose en no periódica.
La frecuencia pasa de ser una variable discreta (kω0)
a ser una variable continua (ω).
Los espectros de amplitud y fase dejan de ser representaciones discretas de líneaspara convertirse en las envolventes de las líneas que los constituyen.
Para contemplar estas circunstancias se define la transformada de Fourier
de la función f(t), no necesariamente periódica, mediante la expresión
F(ω) = Ff(t) = f(t)e-jωtdt ⇒-∞
∞
f(t) = 12π
F(ω)ejωtdω-∞
∞
dominiode la frecuencia
dominiodel tiempo
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 105
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Condiciones de existencia
f(t) tiene transformada de Fourier si converge la integral que la define.
f(t) converge si es una función bien condicionada que difiere de 0 en un intervalo finito.
f(t) está bien condicionada si hay un solo valor de f para cada valor de t,y define un área finita en el intervalo de integración.
Si f(t) es distinta de 0 en un intervalo infinito, hay convergencia si
Hay un solo valor de f para cada valor de t.
Tiene un número finito de discontinuidades.
La integral f(t)dt-∞
∞
existe.
Hay funciones de interés práctico que carecen de transformada de Fourier.
En un caso de ese tipo se crea una función en el dominio del tiempoque sí tenga transformada
y que esté tan arbitrariamente próxima a la original como se desee,y se asume que la transformada de Fourier de la función original
coincide con la de la función creada.
106 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Ejemplo de cálculo
Vm
v(t)
tτ
0 ≤ t ≤ τ ⇒ v(t) = Vm - Vmτ t
Se desea obtener la transformada de Fourierdel pulso de tensión mostrado en la figura.
F(ω) = v(t)e-jωtdt - ∞
∞
= Vme-jωtdt 0
τ
- Vmtτe-jωtdt
0
τ
=
= - Vm
jωe-jωt
0
τ -
Vmτ
e-jωt
(- jω)2 (- jωt - 1)
0
τ
= Vm
τω2 - j
Vmω -
Vm
τω2e-jωτ =
= Vm
τω2 [1 - cos(ωτ)] + j
Vmω
sen(ωτ)ωτ - 1
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 107
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Transformadas de Fourier
Transformadas de Fourier de funciones elementales
Función matemática Transformadade Fourier
Delta de Dirac (impulso unitario)
Escalón unitario
Constante
Signo (-1 para todo t < 0, 1 para todo t > 0)
Seno
Coseno
Exponencial positiva
Exponencial negativa
Exponencial positiva-negativa
Exponencial compleja
δ(t)
u(t)
A
sgn(t)
sen(ω0t)
cos(ω0t)
e-atu(t), a > 0
eatu(-t), a > 0
e-amod(t), a > 0mod: módulo
ejω0t
1
πδ(ω) + 1jω
2πAδ(ω)
2jω
jπ[δ(ω + ω0) - δ(ω - ω0)]
π[δ(ω + ω0) + δ(ω - ω0)]
1a + jω
1a - jω
2aa2 + ω2
2πδ(ω - ω0)
108 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Transformadas de Fourier operacionales
Operación matemática Transformadade Fourier
Multiplicaciónpor una constante
Suma
Derivada
Integral
Escalado
Desplazamiento
Convolución
Kf(t)
f1(t) + f2(t) + f3(t) + ...
dnf(t)dtn
f(τ)dτ-∞
t
f(at), a > 0
f(t - t0)
ejω0tf(t)
f(t)cos(ω0t)
x(τ)h(t - τ)dτ-∞
∞
f1(t)f2(t)
tnf(t)
KF(ω)
F1(ω) + F2(ω) + F3(ω) + ...
(jω)nF(ω)
F(ω)jω
1aF ω
a
e-jωt0F(ω)
F(ω - ω0)
F(ω0 - ω) + F(ω + ω0)2
X(ω)H(ω)
12π
F1(u)F2(ω - u)du-∞
∞
jndnF(ω)dωn
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 109
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Ejemplo
Se desea obtener la función f(t) sabiendo que su transformada de Fourier es
F(ω) = e-jωt0
a + jω
La multiplicación por el término exp(-jωt0)es indicativa de un desplazamiento temporal en un intervalo t0.
Por otro lado, el término 1/(a + jω) es la transformada de Fourierde la función exp(-at).
Combinando ambos razonamientos se llega a
f(t) = F-1F(ω) = e-a(t - t0)
110 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Cálculo alternativo de la transformada de Fourier
La transformada de Fourier de una función también puede calcularsemediante el siguiente procedimiento.
F(ω) = f(t)e-jωtdt = A(ω) - jB(ω) = F(ω)e-jϕ(ω)
-∞
∞
, F(-ω) = F*(ω)
A(ω) = f(t)cos(ωt)dt-∞
∞
, función par de ω
B(ω) = f(t)sen(ωt)dt-∞
∞
, función impar de ω
F(ω) = A2(ω) + B2(ω), función par de ω
ϕ(ω) = arctg B(ω)A(ω)
, función impar de ω
F(-ω) = F*(ω)
Si f(t) es una función par, F(ω) es una función par real.
A(ω) = 2 f(t)cos(ωt)dt0
∞
, B(ω) = 0, f(t) = 22π
A(ω)cos(ωt)dω0
∞
Las funciones f(t) y A(ω) son intercambiables, salvo por un factor de escala.
Si f(t) es una función impar, F(ω) es una función impar imaginaria.
A(ω) = 0, B(ω) = 2 f(t)sen(ωt)dt0
∞
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 111
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Ejemplo
Vhvi(t)
t- t0/2 t0/2
Vh = 2π V, t0 = 0.25 s
Se desea obtener la transformada de Fourierdel pulso de tensión mostrado en la figura.
Vi(ω) = vi(t)e-jωtdt
-∞
∞
= A(ω) - jB(ω)
vi(t) es una función con simetría par, con lo que
B(ω) = 0
A(ω) = 2 vi
0
∞
(t)cos(ωt)dt = 2 Vh
0
t0/2
cos(ωt)dt = 4πω sen 0.125ω V
112 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Utilización de transformadas de Laplacepara hallar transformadas de Fourier
Pueden utilizarse transformadas de Laplace unilaterales
para hallar las correspondientes transformadas de Fourier que converjan.
La integral que define la transformada de Fourier
converge si todos los polos de F(s) están en el semiplano izquierdo.Si hay polos en el semiplano derecho o a lo largo del eje imaginario
no se cumple la condición relativa a la integralque figura en las condiciones de existencia.
Esta técnica resulta particularmente útil para obtener
la variación con la frecuencia de la función de transferencia de un circuito.
f(t) es una función positiva en el tiempo Ff(t) = Lf(t)s=jω
Ejemplo
f(t) = 0 ∀t ≤ 0-
f(t) = e-atcos(ω0t) ∀t ≥ 0-
⇒ Ff(t) = s + a(s + a)2 + ω0
2s=jω
= jω + a
(jω + a)2 + ω02
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 113
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f(t) es una función negativa en el tiempo Ff(t) = Lf(-t)s= -jω
Ejemplo
f(t) = 0 ∀t ≥ 0+
f(t) = eatcos(ω0t) ∀t ≤ 0-⇒
Ff(t) = L f(-t)s = -jω =
= s + a(s + a)2 + ω0
2s= -jω
= - jω + a
(- jω + a)2 + ω02
f(t) es una función distinta de cero
f+(t) = f(t) ∀t > 0
f-(t) = f(t) ∀t < 0
Ff(t) = Lf+(t)s=jω + Lf-(-t)s=-jω
f(t) par ⇒ Ff(t) = Lf(t)s=jω + Lf(t)s= -jω
f(t) impar ⇒ Ff(t) = Lf(t)s=jω - Lf(t)s= -jω
Ejemplo
f+(t) = e-at
f-(t) = eat
⇒
Lf+(t) = 1s + a, Lf-(-t) = 1
s + a
Fe-amod(t) = 1s + a s=jω
+ 1s + a s= -jω
= 2aω2 + a2
114 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Ejemplo 1
H(s) = 0.5(s2 + 1012)
s2 + 0.5×106s + 1012
La transformada de Laplace de la función de transferenciade un circuito es la indicada en el recuadro adjunto.
Se desea representar cualitativamente la variacióndel módulo de la función de transferencia
con la frecuencia angular cuando el circuito funcionaen régimen sinusoidal permanente.
Se desea obtener los valores a los que tiende la fasede la función de transferencia
cuando la frecuencia angular tiende a 0 y a ∞ rad/s.
La función de transferencia en régimen sinusoidal permanente es la indicada en el
enunciado haciendo la transformación s = jω, con lo que queda
H(ω) = H(s) s = jω = 0.5(1012 - ω2)
(1012 - ω2) + j0.5×106ω = N(ω)
D(ω)
H(ω) = 0.5 1012 - ω2
(1012 - ω2)2 + 0.25×1012ω2
Una representación de esta función
es la mostrada en la figura adjunta.
100
102
104
106
108
1010
1012
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
frecuencia angular (rads/s)
mód
ulo
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 115
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Con relación a la variación de la fase, es posible hacer los siguientes razonamientos.
∠H(ω) = ∠N(ω) - ∠D(ω)
ω ≤ 106 rad/s ⇒ ∠N(ω) = 0 °, ∠D(ω) = arctg 0.5×106ω
1012 - ω2
ω → 0 rad/s ⇒ ∠N(ω) = 0 °, ∠D(ω) → 0 ° ⇒ ∠H(ω) → 0 °
ω ≥ 106 rad/s ⇒ ∠N(ω) = 180 °, ∠D(ω) = arctg 0.5×106ω
1012 - ω2
ω → ∞ rad/s ⇒ ∠N(ω) = 180 °, ∠D(ω) → 180 ° ⇒ ∠H(ω) → 0 °
116 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Ejemplo 2
H(s) = 106ss2 + 2×106s + 1012
La transformada de Laplace de la función de transferenciade un circuito es la indicada en el recuadro adjunto.
Se desea representar cualitativamente la variacióndel módulo de la función de transferencia
con la frecuencia angular cuando el circuito funcionaen régimen sinusoidal permanente.
Se desea obtener los valores a los que tiende la fasede la función de transferencia
cuando la frecuencia angular tiende a 0 y a ∞ rad/s.
La función de transferencia en régimen sinusoidal permanente es la indicada en el
enunciado haciendo la transformación s = jω, con lo que queda
H(ω) = H(s)s = jω = j106ω
(1012 - ω2) + j2×106ω = N(ω)
D(ω)
H(ω) = 106ω
(1012 - ω2)2 + 4×1012ω2
= 106ωω2 + 1012
Una representación de esta función
es la mostrada en la figura adjunta.
100
102
104
106
108
1010
1012
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
frecuencia angular (rads/s)
mód
ulo
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 117
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Con relación a la variación de la fase, es posible hacer los siguientes razonamientos.
∠H(ω) = ∠N(ω) - ∠D(ω)
∠N(ω) = 90 ° ∠D(ω) = arctg 2×106ω
1012 - ω2
ω → 0 rad/s ⇒ ∠D(ω) → 0 ° ⇒ ∠H(ω) → 90 °
ω → ∞ rad/s ⇒ ∠D(ω) → 180 ° ⇒ ∠H(ω) → - 90 °
118 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Aplicación en circuitos
Comparación con la transformada de Laplace
Transformada de Laplace (TL) Transformada de Fourier (TF)
Converge para más funciones de excitación
que la TF.
Permite la inclusión directa
de condiciones iniciales.
La TL unilateral es adecuadapara tratar problemas con condiciones
iniciales que se desarrollan en t > 0.
Proporciona directamente la respuesta
en régimen permanentea una excitación sinusoidal.
Permite considerar funciones negativas
en el tiempo, con lo que es adecuadapara tratar eventos que comiencen
en t = - ∞.
En análisis de circuitos utilizando la transformada de Fourier,
los elementos pasivos tienen el mismo tratamientoque cuando se emplean fasores e impedancias.
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 119
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Ejemplo 1
iG(t)
R1 R2
L
i0(t)
+v0(t)
-
Se desea obtener i0(t)utilizando transformadas de Fourier.
iG(t) = Igcos(ω0t), Ig = 50 A, ω0 = 3 rad/s
R1 = 1 Ω, R2 = 3 Ω, L = 1 H
Utilizando las tablas de transformadas de Fourier,
IG(ω0) = FiG(t) = Igπ[δ(ω - ω0) + δ(ω + ω0)]
Observando que el circuito es un divisor de corriente
y utilizando notación fasorial e impedancias,la función de transferencia es
H(ω) = I0
IG
= R1
R1 + (R2 + jωL) = 1
4 + jω
I0(ω0) = IG(ω0)H(ω0) = 50πδ(ω - ω0) + δ(ω + ω0)
4 + jω0
A
i0(t) = F -1I0(ω0) = 50π
2πδ(ω - ω0) + δ(ω + ω0)
4 + jω0
ejωtdt-∞
∞
=
= 25 ejω0t
4 + jω0
+ e-jω0t
4 - jω0
= 25 ejω0te -jϕ0t
5 + e
-jω0te jϕ0t
5 = 10cos(ω0t - ϕ0) A, ϕ0 = 36.87 º
120 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 2
iG(t)
R1 R2
L
i0(t)
+v0(t)
-
Se desea obtener v0(t)utilizando transformadas de Fourier.
iG(t) = Igsgn(t), Ig = 10 A
R1 = 4 Ω, R2 = 1 Ω, L = 1 H
Utilizando las tablas de transformadas de Fourier,
IG(ω) = FiG(t) = 2Ig
jω = 20
jω A
Observando que el circuito es un divisor de corriente
y utilizando notación fasorial e impedancias,la función de transferencia es
H(ω) = V0
IG
= I0jωL
IG
= R1jωLR1 + (R2 + jωL)
= j4ω5 + jω
Ω
V0(ω0) = IG(ω0)H(ω0) = 805 + jω0
V
v0(t) = F -1V0(ω0) = 80e-5t V, t en s
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 121
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Teorema de Parseval
JustificaciónLa potencia media de señales de energía finita en el dominio del tiempo es nula.
Por tanto, para comparar señales de este tipo, se recurre a la energía de las señales.
Teorema de Parseval(se cumple si ambas integrales existen)
Las dimensiones de F(ω) son [J/Hz] = [Js]
La energía asociada con una función f(t) relacionada con una resistencia de 1 Ω es
f2(t)dt-∞
∞
= 12π
F(ω) 2dω-∞
∞
Si se trata de una resistencia de valor R,se multiplican ambos miembros de la última ecuación por tal valor.
La energía de la señal, referida a 1 Ω, en un intervalo de frecuencias es
1π F(ω) 2dω
ω 1
ω 2
Interpretación gráfica
ω
F(ω)2
ω1 ω20
0- ω1- ω2
W1Ω = 1π F(ω) 2dωω 1
ω 2
=
= 12π
F(ω) 2dω−ω1
−ω2
+ 12π
F(ω) 2dωω 1
ω 2
El teorema de Parseval permite calcular la energía disponible a la salida de un filtrosin necesidad de determinar la expresión temporal de la tensión en dicha salida.
122 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Ejemplo 1
Un circuito (un filtro paso banda ideal) es tal que la salida reproduce exactamente la entrada para todas las frecuencias comprendidas entre ω1 y ω2
y no deja pasar ninguna frecuencia fuera de ese intervalo (banda de paso).
Se desea obtener una representación gráfica cualitativa de mod2[V(ω)] y mod2[V0(ω)],
siendo v(t) y v0(t) las señales de entrada y salida, respectivamente,
y calcular el porcentaje del contenido de energía total referido a una resistencia de 1 Ω de la señal de entrada que está disponible a la salida.
v(t) = Ae-atu(t), A = 120 V, a = 24 s-1, ω1 = 24 rad/s, ω2 = 48 rad/s
v(t) = Ae-atu(t) ⇒
⇒ V(ω) = Aa + jω
⇒ V(ω)2 = A 2
a2 + ω2
ωω1 ω20
0
- ω1- ω2
V(ω)2
La salida es igual a la entrada
en la banda de pasoy nula para cualquier otra frecuencia
ωω1 ω20
0
- ω1- ω2
V0(ω)2
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 123
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Energía total disponible a la entrada:
Wi = 1πA2
a2 + ω2dω
0
∞
= A2
π1aarctg ω
a 0
∞ = 300 J
Energía disponible a la salida:
W0 = 1πA2
a2 + ω2dω
ω 1
ω 2
= A2
π1aarctg ω
a ω 1
ω2
= 61.45 J
Porcentaje de energía disponible a la salida:
W0
Wi
= 20.48 %
124 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Ejemplo 2
R
C
+vi(t)
-
+v0(t)
-
Dado el circuito de la figura, se desea determinar el porcentaje
de la energía asociada a una resistencia de 1 Ω disponible en la señal de entrada
que está disponible a la salida, y el porcentaje de energía de la señal de salida
que está comprendida en el rango 0 < ω < ω0.
vi(t) = Ae-atu(t), A = 15 V, a = 5 s-1, ω0 = 10 rad/s
R = 10 kΩ, C = 10 µF
vi(t) = Ae-atu(t) ⇒ Vi(ω) = Aa + jω
⇒ Vi(ω) 2 = A2
a2 + ω2
Energía total disponible a la entrada: Wi = 1πA2
a2 + ω2dω
0
∞
= A2
π1aarctg ω
a 0
∞ = 22.5 J
Función de transferencia (divisor de tensión): H(ω) = 1/(jωC)R + 1/(jωC)
Transformada de Fourier
de la señal de salida:V0(ω) = Vi(ω)H(ω) = 1/(RC)
[1/(RC) + jω] A2
(a2 + ω2)
Energía disponible a la salida: W0 = 1π V0(ω) 2dω0
∞
= 15 J
Porcentaje de energía disponible a la salida:W0
Wi
= 66.67 %
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 125
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Energía disponible a la salida
en el intervalo 0 - ω0:W0-ω0
= 1π V0(ω) 2dω0
ω 0
= 13.64 J
Porcentaje de energía disponible a la salida
en el intervalo 0 - ω0:
W0-ω0
W0
= 90.97 %
126 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Ejemplo 3
Sea un pulso rectangular de tensióncomo el indicado en la figura
Vmvi(t)
t- t0/2 t0/2
Su transformada de Fourier es de la formaindicada en la figura siguiente
0
0
Vmt0
Vmt0sinc(ωt0/2)
ω2π/t0
4π/t0- 4π/t0- 2π/t0
Cuanto más estrecho es el pulso,mayor es el intervalo dominantede frecuencias.
Para transmitirlo, el ancho de banda del sistemadebe ser suficiente para incluir al menosla parte dominante del espectro;es decir, la dada por la relación
0 ≤ ω ≤ 2πt0
Teniendo en cuentaque la transformada de Fourier del pulsoestá dada por
V(ω) = Vmt0sen(ωt0/2)ωt0/2
la energía contenida en la parte dominante es
W = 1π V(ω) 2dω =0
2π/t0
(utilizando una tabla de integrales)
= 2Vm
2 t0(1.41815)π
La energía total del pulso es
Wt = 1π V(ω) 2dω =0
∞
Vm2 t0
En consecuencia, la fracción de energía total del pulso contenida en la parte dominante es
WWt
= 90.28 %
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Teorema de Plancherel
Relaciona la convolución y las transformadas de Fourier de dos funciones.
Fx(t)*h(t) = Fx(t) Fh(t)
Fx(t) h(t) = Fx(t)*Fh(t)
Con ayuda del teorema de Plancherel es posible mostrar que,
si el espectro de la señal x(t) tiene un ancho de banda W,
el espectro de la señal xn(t) tiene un ancho de banda nW.
Es decir, elevar una señal a una potencia crea componentes espectrales nuevas,
lo cual es de aplicación práctica en la implementación de generadores de armónicos.
128 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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