Ing. Mario Carranza Liza Análisis de la Partícula - 9

3. FUERZAS EN EL ESPACIO

3.1. COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA EN EL ESPACIO

Fig. 11. Fuerza F que actúa en el origen O.

Considere una fuerza F que actúa en el origen O del sis-

tema de coordenadas rectangulares x, y, z. Para definir

la dirección de F , se traza el plano vertical OBAC que

contiene a F y que se muestra en la Fig. 11.

Fig. 12. Descomposición de la fuerza F

Este plano pasa a través del eje vertical y; su orientación

está definida por el ángulo que forma con el plano xy,

mientras que la dirección de F dentro del plano está de-

finida por el ángulo y que forma F con el eje y. La

fuerza F puede descomponerse en una componente ver-

tical y

F y un a componente horizontal h

F ; esta opera-

ción, mostrada en la Fig. 12, se realiza en el plano OBAC. Las componentes escalares correspondientes son:

(7) y y

F F.cos h y

F F.sen

Fig. 13. Descomposición de la fuerza F

La h

F puede descomponerse en sus dos componentes

rectangulares xF y

zF a lo largo de los ejes x y z, res-

pectivamente. Esta operación, mostrada en la Fig. 13, se

realiza en el plano xz. De esta manera se obtienen las

expresiones siguientes para las componentes escalares correspondientes

(8) x h y

z h y

F F .cos F sen cos

F F .s en F sen sen

La fuerza F se ha descompuesto en tres componentes

vectoriales rectangulares xF ,

yF y zF , dirigidas a lo lar-

go de los tres ejes coordenados.

Se puede obtener la siguiente relación entre la magnitud

de F y sus componentes rectangulares escalares

(9) 2 2 2

x y zF F F F

La relación que existe entre la fuerza F y sus tres com-

ponentes xF , yF y

zF se presenta más fácil si se traza

"una caja" que tiene por aristas xF , yF y

zF , como se

muestra en la Fig. 14. La fuerza F está representada por la diagonal OA de esta caja.

(a) (b)

| (c)

Fig. 14. Relación entre la fuerza F y sus tres componentes

xF , yF y zF

De la Fig. 14 se tiene

(10) x x

F F.cos , y y

F F.cos y z zF F.cos

Los tres ángulos x

, y

y z

definen la dirección de la

fuerza F , y son más usados que los ángulos y

y .

A los cosenos de x

, y

y z

se conocen como los co-

senos directores de la fuerza F .

Con el uso de los vectores unitarios i , j ky , dirigidos

a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente, se puede

expresar F en la forma

(11) x y z

i j kF F F F

Ing. Mario Carranza Liza Análisis de la Partícula - 10

Ejemplo 5. Una fuerza de 500 N forma ángulos de

60°, 45° y 120° con los ejes x, y y z, respectivamen-

te. Encuentre las componentes Fx , Fy y Fz de la fuerza.

Resolución: Si se sustituye en la ecuación (11) las expresiones obte-nidas para Fx , Fy y Fz en (10), se escribe

(12) i j kx y z

F F cos cos cos

Que muestra que la fuerza F puede expresarse como el

producto del escalar F y del vector

(13) i j kx y z

cos cos cos

El vector es un vector de magnitud 1 y de la misma

dirección que F .

(14) x xcos y ycos z zcos

Se observa que los valores de los tres ángulos no son in-dependientes.

2 2 2

x y z 1

Sustituyendo

(15) x y z

2 2 2cos cos cos 1

La relación (12) puede expresarse

(16) xx

Fcos

F

y

y

Fcos

F z

z

Fcos

F

y obtener los ángulos x , y y z que caracterizan a la

dirección de F .

Ejemplo 6. Una fuerza F tiene las componentes

x lbF 20 ,

y lbF 30 y

z lbF 60 . Determine la

magnitud de F y los ángulos x ,

y y z que forma

con los ejes coordenados.

Resolución

Ing. Mario Carranza Liza Análisis de la Partícula - 11

4. SISTEMA DE FUERZAS TRIDIMENSIONALES

En la sección 1.1 establecimos que la condición necesaria y suficiente para el equilibrio de una partícula es

F 0 .

Fig. 15. Partícula sometida a un sistema de fuerzas tridimensionales.

En el caso de un sistema de fuerza tridimensional, como el de la Fig. 15 podemos descomponer las fuerzas en sus

respectivas componentes i , j ky , de manera que

i j kx y z

F F F 0 . Para satisfacer esta

ecuación requerimos:

(17)

x

y

z

F 0

F 0

F 0

Estas tres ecuaciones establecen que la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas que actúan so-bre la partícula a lo largo de cada uno de los ejes coor-denados debe ser igual a cero. Si las utilizamos, podre-mos resolver un máximo de tres incógnitas que por lo común se representan como ángulos o magnitudes de fuerzas los cuales se muestran en el DCL de la partícula.

4.1. PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS

Los problemas de equilibrio de fuerzas tridimensionales para una partícula pueden resolverse por el siguiente procedimiento.

A. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Establezca los ejes x, y y z en cualquier orientación

adecuada.

Marque todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas conocidas y desconocidas sobre el DCL.

El sentido de una fuerza de magnitud desconocida puede suponerse.

B. ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Aplique las ecuaciones escalares de equilibrio

xF 0 , yF 0 y zF 0 .

Si la geometría tridimensional le es difícil, entonces exprese cada fuerza como un vector cartesiano en el

DCL, sustituyendo esos vectores en F 0 , y des-

pués iguale a cero las componentes i , j ky .

Si la solución para una fuerza da un resultado nega-tivo, esto indica que el sentido de la fuerza es el in-verso del mostrado en el DCL.

Fig. 16. Si el electroimán y su carga tienen un peso W, en-

tonces la fuerza del gancho será W.

Ejemplo 7. Una carga de 90 lb está suspendida del gancho que se muestra en la figura. Si la carga se sostiene mediante dos cables y un resorte con rigidez k=500 lb/pie, determine la fuerza presente en los ca-bles y el alargamiento del resorte para lograr la posi-ción de equilibrio. El cablea D se encuentra en el plano x-y y el cable AC está en plano x-z.

Resolución:

Ing. Mario Carranza Liza Análisis de la Partícula - 12

1. Determine la masa máxima que puede tener la caja si la

tensión desarrollada en cada cable no debe exceder kN3 .

H-12 – 3.46

2. El alambre de una torre está anclado en A por medio de un perno. La tensión en el alambre es de 2500 N. Deter-

mine las componentes X

F ,Y

F ,Z

F , de la fuerza que actúa

sobre el perno y los ángulos X

,Y

,Z , que definen la

dirección de la fuerza.

B_9–prob 2.7

3. El tractor de la figura ejerce una fuerza i kipF  2 en

A. ¿Cuáles son las tensiones en los cables AB, AC y AD?

BW_5 – 3.67

4. Un bloque está suspendido de un sistema de cables tal como se indica en la figura. El peso del bloque es de 500 N. Determinar las tensiones de los cables A, B y C.

R – prob 3.6

5. Determine la fuerza necesaria en cada uno de los tres cables para elevar el tractor cuya masa es de 8 Mg.

H-12 – 3.52

6. Determine a) las componentes x, y y z de la fuerza de

N900 y b) los ángulos x

, y y

z que forma la fuerza

con los ejes coordenados.

B_12 – 2.72

Ing. Mario Carranza Liza Análisis de la Partícula - 13

7. El automóvil de la figura y la plataforma que lo sostiene pesan 3000 lb. Están soportados por cuatro cables AB, AC, AD y AE. Las ubicaciones de los puntos de unión so-bre la plataforma se muestran en la figura. Las tensiones en los cables AB y AE son iguales. Determine las tensio-nes en los cables.

BW_5 – 3.71

8. El punto representado en la figura se halla en equilibrio bajo la acción de las cuatro fuerzas que se indican en el diagrama de sólido libre. Determinar el módulo de la

fuerza 4F y los ángulos que forma con los ejes de coor-

denadas.

R – 3.21

9. Los extremos de los tres cables están unidos a un anillo localizado en A, al borde de una placa uniforme de

kg150 . Determine la tensión necesaria en cada uno de

los tres cables para lograr el equilibrio.

H-12 – 3.46

10. El extremo del cable coaxial AE se une al poste AB, el cual está sostenido por los tirantes de alambre AC y AD. Si se sabe que la tensión en el alambre AD es de 85 lb, determine a) las componentes de la fuerza ejercida por

este alambre sobre el poste, b) los ángulos X

,Y

y Z

que forma la fuerza con los ejes coordenados.

B_9 – 2.78

11. El collarín de 200 kg en A es mantenido en su lugar sobre la barra vertical lisa mediante el cable AB.

a) Determine la tensión en el cable.

a) Determine la fuerza ejercida por la barra sobre el co-llarín.

BW_5 – 3.78

12. El semáforo representado en la figura pende de un sistema de cables. Determinar las tensiones de los cables A, B y C si el semáforo tiene una masa de 75 kg.

R – 3.24

Ing. Mario Carranza Liza Análisis de la Partícula - 14

13. Cada uno de los tres bloques exteriores tiene una masa de kg2 , y el bloque central E tiene una masa de kg3 .

Determine la flecha “s” necesaria para el equilibrio del sistema.

H-12– 3.68

14. Una torre de transmisión se sostiene mediante tres

alambres, los cuales están anclados por medio de pernos en B, C y D. Si la tensión en el alambre AD es de 315 lb, determine la componente de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno en D.

B_9 – 2.86

15. El sistema que se muestra en la figura ancla un puntal de

un techo suspendido por cables. Si la tensión en el cable AB es de kN900 , ¿cuáles son las tensiones en los cables

EF y EG?

BW_5 – 3.76

16. La fuerza F necesaria para mantener la placa de hormi-

gón de 25 kN en el plano xy, tal como se indica en la fi-

gura, es igual a su peso. Determinar las tensiones en los cables A, B y C utilizados para soportar dicha placa

R – 3.27

5. BIBLIOGRAFÍA

a) BEDFORD, Anthony y FOWLER, Wallace (2008). Me-cánica para Ingeniería - Estática (5° edición). México: Pearson Educación.

b) BEER, Ferdinand P. y otros (2010). Mecánica vectorial para ingenieros – Estática (9° edición). China: Mc Graw Hill Educación.

c) BEER, Ferdinand P. y otros (2011). Estática (1° edi-ción). México: Mc Graw Hill Educación.

d) HIBBELER, Russell C. (2010). Ingeniería Mecánica- Estática (12° edición). México: Pearson Educación.

e) RILEY, William y STURGES, Leroy (Reimpresión 2004). Ingeniería Mecánica – Estática. España: Edito-rial Reverte S.A.