Analiza 2

Ispitivanje toka i crtanje grafika funkcija

23. 02. 2011. god.

6. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

f(x) = xe1x .

◭

1) Df = {x|x ∈ R\{0}}.

2) (a) Nema nula.

(b) Znakx ∈ (−∞, 0) (0,+∞)

x − +

f(x) − +

(c) Iz f(−1) = −1e6= ±f(1) = ±e slijedi da funkcija nije ni parna ni neparna. Nije periodicna.

Nema presjeka sa Oy osom.

3) (a) limx→0−

f(x) = limx→0−

xe1x = 0.

limx→0+

f(x) = limx→0+

xe1x = (0 · ∞) = lim

x→0+

e1x

1x

=

(∞∞

)

= limx→0+

e1x (− 1

x2 )

− 1x2

= +∞. Pa je prava

x = 0 vertikalna asimptota desnoj grani krive.

(b) limx→±∞

f(x) = limx→±∞

xe1x = ±∞.

(c) limx→±∞

f(x)

x= lim

x→±∞e

1x = 1 = k,

limx→±∞

(f(x)− k · x) = limx→±∞

(

xe1x − x

)

= limx→±∞

x ·(

e1x − 1

)

= (∞ · 0) = limx→±∞

e1x − 11x

=

(

0

0

)

= limx→±∞

e1x

(

− 1x2

)

− 1x2

= e0 = 1 = n. Prava y = x+ 1 je kosa asimptota sa obije strane.

4) (a) f ′(x) = e1x

(

x−1x

)

.

x ∈ (−∞, 0) (0, 1) (1,+∞)

x− 1 − − +

x − + +

f ′(x) + − +

f(x) ր ց րfmin = f(1) = e.

(b) f ′′(x) =e 1x

x3 .

x ∈ (−∞, 0) (0,+∞)

x3 − +

f ′′(x) − +

f(x) a `

Nema prevojnih tacaka.

5) Grafik

0 1 2 3 4−1−2−3−4

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

x

y

◮

7. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije

f(x) = arcsin2x

x2 + 1.

◭

1) Df ={

x| − 1 ≤ 2xx2+1 ≤ 1

}

={

x|0 ≤ 2xx2+1 + 1 ∧ 2x

x2+1 − 1 ≤ 0}

={

x|0 ≤ (x+1)2

x2+1 ∧− (x−1)2

x2+1 ≤ 0}

=R

2) (a) f(x) = 0 ⇐⇒ 2xx2+1 = 0 ⇐⇒ x = 0.

(b) ∀x ∈ R : f(−x) = arcsin −2xx2+1 = − arcsin 2x

x2+1 = −f(x). Tj. funkcija je neparna. Presjeksa Oy osom je tacka (0, f(0)) = (0, 0). Nije periodicna.

(c) Znak

x ∈ (−∞, 0) (0,+∞)

2x − +

f(x) − +

3) (a) Nema vertikalnih asimptota.(Zasto?)

(b) Iz limx→±∞

arcsin2x

x2 + 1= arcsin 0 = 0 slijedi da je prava y = 0 horizontalna asimptota i sa

lijeve i sa desne strane.

(c) Nema kosih asmptota.(Zasto?)

4) (a) f ′(x) = 1√

1− 4x2

(x2+1)2

·2(x2+1)−2x·2x(x2+1)2 = x2+1√

(x2−1)2·2(1−x2)(x2+1)2 = 2(1−x2)

(x2+1)·|x2−1| =

{

2x2+1 , x ∈ (−1, 1)

− 2x2+1 , x /∈ (−1, 1)

x ∈ (−∞,−1) (−1, 1) (1,+∞)

f ′(x) − + −f(x) ց ր ց

fmin = f(−1) = −π2 , fmax = f(1) = π

2 .

(b) f ′′(x) =

{ − 4x(x2+1)2 , x ∈ (−1, 1)4x

(x2+1)2 , x /∈ (−1, 1)

x ∈ (−1, 0) (0, 1)

−4x + −f ′′(x) + −

x ∈ (−∞,−1) (1,+∞)

4x − +

f ′′(x) − +

Dakle,x ∈ (−∞,−1) (−1, 0) (0, 1) (1,+∞)

f ′′(x) − + − +

f(x) a ` a `

Prevojne tacke su P1(−1,−π2 ), P2(0, 0) i P3(1,

π2 ).

5) Grafik funkcije

0 1 2 3 4−1−2−3−4

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

x

y

◮