BADANIE DYNAMIKI ZJAWISK

Metoda indeksowa

Uwagi ogólne

W trakcie analizy procesów i zjawisk masowych, badacz bardzo często zmuszony

jest do korzystania, obok liczb absolutnych, z liczb względnych zwanych też

stosunkowymi.

Liczba względna powstaje w wyniku porównania ze sobą dwóch liczb (wielkości)

absolutnych. Liczba względna w zależności od tego, jakie liczby absolutne

porównujemy, może być liczbą mianowaną lub niemianowaną.

Przyjmując za kryterium treść liczby względnej, wyróżniamy:

1) Współczynniki natężenia - są to liczby względne uzyskane w wyniku porównania

dwóch różnoimiennych wielkości absolutnych pozostających ze sobą w związku

logicznym. Przykładami mogą być:

miernik ogólnego zadłużenia,

płynność finansową,

współczynnik rentowności sprzedaży, współczynnik rentowności aktywów

2) Wskaźnik struktury - jest to stosunek części danej zbiorowości do całości tej

zbiorowości. Stanowi on relację liczby jednostek danej zbiorowości, posiadających

wyróżnioną kategorię cechy do ogólnej liczby jednostek danej zbiorowości.

Może być wyrażony w postaci niemianowanej lub w procentach. Stosujemy

go w opisie wewnętrznej morfologii badanej zbiorowości, prowadząc analizę

porównawczą w ujęciu tak statycznym jak i dynamicznym.

3) Wskaźnik dynamiki - jest to liczba względna, którą uzyskujemy w wyniku

porównania tego samego zjawiska w kolejnych momentach lub okresach czasu.

W zależności od tego, czy porównanie dotyczy stałego bądź zmiennego punktu

odniesienia, mówimy o:

a) wskaźnikach o podstawie stałej,

b) wskaźnikach o podstawie zmiennej.

W zależności od tego natomiast jakie zjawiska są przedmiotem badania dynamiki

wyróżnia się z reguły:

indeksy indywidualne,

indeksy agregatowe.

1

Wskaźniki dynamiki są specyficznymi liczbami względnymi, w tym sensie, że mają

bezpośrednie zastosowanie do badania zmian w czasie jakim podlegają rozpatrywane

zjawiska. Tą specyfiką nie charakteryzują się ani wskaźniki struktury ani też

współczynniki natężenia.

Indeksy indywidualne

Indeksy indywidualne mają zastosowanie wtedy, kiedy przedmiotem analizy są

zjawiska, które z punktu widzenia celu badania traktowane są jako pewna jednolita

całość. Zjawiska te występują wtedy w postaci pojedynczych szeregów czasowych.

Szeregiem czasowym nazywamy ciąg wielkości statystycznych uporządkowanych wg

kryterium następstwa czasowego.

Jeśli wielkości statystyczne ujęte w szeregu czasowym dotyczą zjawisk ekonomicznych,

mówimy o tzw. ekonomicznym szeregu czasowym.

Wyróżnia się indeksy indywidualne:

jednopodstawowe (o podstawie stałej) − obliczamy je korzystając ze wzoru:

iY

Yttt

00

100 ; t=1, 2, ..., n

gdzie:

− poziom zjawiska w okresie badanym t,

− poziom zjawiska w okresie podstawowym 0.

Warto przy tym zauważyć, że indeksy te powiązane są ściśle z jednopodstawowym

przyrostem względnym. Mamy bowiem :

PY Y

Y

Y

Yit

t tt/ /0

0

0 001 1

Indeksy jednopodstawowe dają nam odpowiedź na dwa pytania:

1. O ile % poziom zjawiska w okresie t wzrósł bądź spadł w stosunku do okresu

podstawowego ( bazowego)?

2. Jaki jest trend rozwojowy zjawiska w analizowanym przedziale czasowym?

2

Podstawowym problemem metodologicznym w procesie konstrukcji indeksów

jednopodstawowych jest wybór podstawy odniesienia. Wydaje się, że trzeba tu wziąć

pod uwagę następujące przesłanki:

a) Podstawa nie powinna odnosić się do okresów, w których badane zjawisko osiąga

bardzo mały bądź bardzo duży poziom.

b) Podstawa odniesienia nie powinna być zbyt odległa w czasie. Dotyczy to

szczególnie porównań długookresowych.

c) Gdy mamy trudności z jednoznacznym wyborem podstawy odniesienia, to

wybieramy przynajmniej 2 lub 3 podstawy.

d) Z przyjętej podstawy odniesienia należy się „wylegitymować”, tj. należy ją

uzasadnić.

Łańcuchowe (o podstawie ruchomej) − obliczamy je z kolei korzystając ze wzoru:

iY

Yt tt

t/

1

1

100 ; t = 2, 3, 4,..., n

gdzie:

− poziom zjawiska w okresie poprzedzającym okres badany t.

Biorąc pod uwagę, że łańcuchowy przyrost względny dany jest relacją:

PY Y

Yit t

t t

tt t/ /

1

1

11 1 ; mamy, że:

i Pt t t t/ / 1 1 1

Oznacza to, że indeks łańcuchowy jest sumą jedności i łańcuchowego przyrostu

względnego. Indeks łańcuchowy pozwala nam znaleźć odpowiedź na następujące

pytania:

1. O ile % wzrósł bądź spadł poziom zjawiska w okresie badanym t w stosunku do

okresu t-1?

2. W jakim tempie z okresu na okres rozwijało się zjawisko w analizowanym

przedziale czasowym?

Znajomość indeksów łańcuchowych dla t = 2, 3, ..., n pozwala na obliczenie tzw.

średniookresowego tempa zmian. Wykorzystujemy wtedy relację:

3

S it t t t/ / 1 1 1; lub

S it t t t/ / 10

0 10

0 100

gdzie:

− średni indeks łańcuchowy, przy czym:

i i i it t n nn

/ / /... 1 2/1 3 2 1

1

gdzie:

− indeksy łańcuchowe ( t = 2, 3, ..., n),

n = liczba okresów badanych.

Warto zauważyć, że wzór nr 1 można zapisać w postaci:

iY

Yit t

nn nn

/ / 11

1 11

gdzie:

− poziom zjawiska w ostatnim okresie badanym,

− poziom zjawiska w pierwszym okresie badanym,

− indeks jednopodstawowy, utworzony poprzez porównanie poziomu zjawiska w

okresie n z poziomem zjawiska w okresie początkowym.

Średniookresowe tempo zmian ( wyrażone w %) określa, jaki jest przeciętny

okresowy przyrost procentowy analizowanego zjawiska w badanym przedziale

czasowym.

Obliczone można wykorzystać w celach prognostycznych. Zakładając, że w

okresie prognostycznym zjawisko badane będzie rozwijać się w tempie

dotychczasowym (czyli, że zasada dynamicznego status quo będzie zachowana) oraz

znając , mamy, że:

gdzie:

T − numer okresu prognozowanego.

Przeprowadzenie szacunku zmiennej Y przy wykorzystaniu powyższej reguły

wymaga jednak, by rozwój dotychczasowy tej zmiennej był jednokierunkowy i by nie

podlegał zbyt dużej zmienności. Stosując tą regułę, nie możemy też ustalić błędu

prognozy.

4

Kolejne zagadnienie, które wiąże się z indeksami indywidualnymi to zamiana

podstaw indeksów. Z problemem tym możemy się spotkać korzystając z danych

publikowanych przez GUS w różnego rodzaju rocznikach. Wiele informacji podanych

jest tam właśnie w postaci indeksów dynamiki (wskaźników dynamiki), nie zawsze

takich, jakie potrzebne są nam do analizy. Wyróżnić tu można trzy sytuacje:

zamiana indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe,

zamiana indeksów łańcuchowych na jednopodstawowe,

zamiana indeksów jednopodstawowych o podstawie K na indeksy jedno-

podstawowe o podstawie M.

1. Zamiana indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe:

Lata Indeks (2000 = 100)

Indeks(rok poprzedni = 100)

20022003200420052006

95 105 110 115 125

.(105/95)100 = 110,53(110/105)100 = 104,76(115/110)100 = 104,55(125/115)100 = 108,70

2. Zamiana indeksów łańcuchowych na jednopodstawowe:

t < t0 :

t > t0 :

gdzie: symbol s oznacza indeks o stałej podstawie, natomiast z o zmiennej

podstawie

Przyjęto t0 = 2003:

Lata Indeksy(rok poprzedni = 1)

Indeksy(2003 = 1)

20012002

.0,80

(1,111 / 0,80) = 1,389(1,00 / 0,90) = 1,111

2003 0,90 1,002004 1,10

5

20052006

1,051,20

3. Zamiana indeksów jednopodstawowych o podstawie „K” na indeksy jedno-

podstawowe o podstawie „M”:

Lata Indeks(1999 = 100)

Indeks(2006 = 100)

20022003200420052006

114,0120,5125,0120,0115,0

(114,0 / 115,0)100 = 99,1(120,5 / 115,0)100 = 104,8(125,0 / 115,0)100 = 108,7(120,0 / 115,0)100 = 104,3(115,0 / 115,0)100 = 100,0

Przykłady

Zadanie 1.

Liczba bezrobotnych zarejestrowanych w Polsce w latach 2000–2006 (w tys.)

przedstawiała się następująco:

Lata 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Liczbabezrobotnych

2703 3115 3217 3176 3000 2773 2309

6

a) Scharakteryzuj dynamikę bezrobocia w Polsce w badanym okresie używając w tym

celu indeksów jednopodstawowych 2000 = 100.

b) Jak zmieniała się liczba bezrobotnych w Polsce w badanych latach z roku na rok?

Rozwiązanie:

Tabela robocza:

Lata Liczbabezrobotnych

Indeksy(2000 = 100)

Indeksy (rok poprzedni = 100)

2000200120022003200420052006

2703311532173176300027732309

100(3115 / 2703)100 = 115,2(3217 / 2703)100 = 119,0(3176 / 2703)100 = 117,5(3000 / 2703)100 = 111,0(2773 / 2703)100 = 102,6(2309 / 2703)100 = 85,4

.(3115 / 2703)100 = 115,2(3217 / 3115)100 = 103,3(3176 / 3217)100 = 98,7(3000 / 3176)100 = 94,5(2773 / 3000)100 = 92,4(2309 / 2773)100 = 83,3

ad a) W kolejnych latach, do roku 2005, liczba bezrobotnych była większa niż w roku

2000. Natomiast w roku 2006 było ich już o 14,6 % mniej niż w roku

wyjściowym. Najwięcej bezrobotnych w porównaniu z rokiem 2000 było w roku

2002 i było to o 19 % więcej.

ad b) W całym badanym okresie nie było jednej tendencji zmian bezrobocia. W latach

2000−2002 liczba bezrobotnych z roku na rok rosła. Najsilniejszy roczny przyrost

bezrobocia miał miejsce w 2001 roku i wyniósł 15,2 % w stosunku do roku 2000.

W latach 2003–2006 bezrobocie z roku na rok spadało, najsilniej w 2006 roku –

o 16,7% w stosunku do roku 2005.

Zadanie 2.

Dynamikę liczby rozwodów w Polsce w latach 2000−2006 przedstawia następujący

szereg indeksów:

Lata Indeksy 2000=100

2000 100,02001 105,82002 106,1

7

2003 113,62004 131,52005 157,92006 167,5

a) Jak zmieniała się liczba rozwodów w Polsce w badanym okresie z roku na rok?

b) Oblicz średnio-roczne tempo zmian liczby rozwodów w Polsce w tym okresie.

c) Jakiej liczby rozwodów można oczekiwać w 2008 r., jeżeli w 2006 r. było ich

w Polsce 71,7 tys.?

Rozwiązanie:

ad a) Odpowiedzi na to pytanie można udzielić po obliczeniu indeksów łańcuchowych:

Lata Indeksy2000 = 100

Indeksyrok poprzedni = 100

2000200120022003200420052006

100105,8106,1113,6131,5157,9167,5

.(105,8 / 100,0)100 = 105,8(106,1 / 105,8)100 = 100,3(113,6 / 106,1)100 = 107,1(131,5 / 113,6)100 = 115,8(157,9 / 131,5)100 = 120,1(167,5 / 157,9)100 = 106,1

Obliczone indeksy łańcuchowe wskazują na stały przyrost liczby rozwodów w Polsce

w badanych latach. Największy roczny przyrost liczby rozwodów w Polsce miał

miejsce w 2005r. i wyniósł 20,1 % w stosunku do roku 2004. Natomiast najmniejszy

przyrost był w 2002 r. Liczba rozwodów wzrosła wówczas w stosunku do roku 2001

tylko o 0,3 %.

ad b) Obliczamy średnio-roczne tempo wzrostu liczby rozwodów:

S it t t t/ / 10

0 10

0 100

i i i it t n nn

/ / /... 1 2/1 3 2 1

1

W latach 2000 – 2006 liczba rozwodów w Polsce wzrastała średnio-rocznie o 9,0 %.

ad c) Wykorzystujemy wcześniej podany wzór:

Yn = 71,7 T = 9 n = 7

Jeżeli tempo wzrostu liczby rozwodów z lat 2000 – 2006 utrzyma się nadal, to w roku

2008 powinno ich być w Polsce 85,2 tys.

8

Zadanie 3.

Dynamikę liczby studentów w Polsce w latach 2000–2006 przedstawia następujący

szereg indeksów:

Lata 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006Indeksyrok poprzedni = 100

. 108,45 104,77 103,22 103,60 101,45 101,18

a) Oblicz średnio-roczne tempo wzrostu liczby studentów w Polsce w badanym

okresie.

b) Oszacuj przypuszczalną liczbę studentów w Polsce w 2008 r., wiedząc, że w 2006

było ich 1977 tys.

c) O ile procent wzrosła liczba studentów w 2006 r. w stosunku do 2002 r. ?

Rozwiązanie:

ad a) Obliczamy średnio-roczne tempo

S it t t t/ / 10

0 10

0 100

i i i it t n nn

/ / /... 1 2/1 3 2 1

1

W latach 2000 – 2006 liczba studentów w Polsce rosła przeciętnie rocznie o 3,75 %.

ad b) Wykorzystujemy wzór:

Jeżeli tempo wzrostu liczby studentów w Polsce z lat 2000–2006 utrzyma się nadal to

liczba studentów w 2008 roku powinna wynieść około 2128 tys. Można jednak

podejrzewać, że jest to liczba zawyżona, gdyż w dwóch ostatnich latach roczne

przyrosty liczby studentów były zdecydowanie niższe.

ad c) Należy zamienić podane indeksy łańcuchowe na indeksy jednopodstawowe

2002=100 (obliczenia w tabeli):

Lata Indeksyrok poprzedni = 100

Indeksy2002 = 100

2000 .

9

200120022003200420052006

108,45104,77103,22103,60101,45101,18

100(100,00 x 103,22)/100 = 103,22(103,22 x 103,60)/100 = 106,94(106,94 x 101,45)/100 = 108,49(108,49 x 101,18)/100 = 109,77

Liczba studentów w 2006 roku wzrosła w stosunku do roku 2002 o 9,77 %.

Indeksy agregatowe

Indeksy agregatowe – mają zastosowanie w przypadku badania dynamiki

zespołów zjawisk tworzących tzw. agregaty. Zjawiska cząstkowe wchodzące w skład

danego agregatu są nieporównywalne, stąd należy znaleźć wspólny dla nich punkt

odniesienia ( wspólny mianownik ). Jest nim pieniądz.

W związku z powyższym, podstawową konstrukcją agregatowego indeksu jest indeks

wartości. Obliczamy go wg wzoru:

gdzie:

10

, - cena jednostkowa zjawiska cząstkowego wchodzącego w skład danego

agregatu w okresie podstawowym 0 i badanym t.

, - fizyczne rozmiary (wolumen, ilość ) zjawiska cząstkowego wchodzącego w

skład danego agregatu w okresie podstawowym 0 i badanym t .

Indeks ten (wyrażony w %) wskazuje o ile % wartość agregatu w okresie

badanym wzrosła bądź spadła w stosunku do okresu podstawowego.

Łatwo więc zauważyć, że indeks wartości ma ograniczone możliwości poznawcze, stąd

stosowany jest jako wskaźnik podstawowy, służący jako punkt wyjścia do dalszych

przeszacowań. Dotyczy to konieczności badania wpływu na dynamikę wartości

agregatu dynamiki cen i dynamiki ilości.

W tym celu tworzymy agregatowe indeksy cen i ilości. Do ich konstrukcji

posługujemy się zasadą naukowego (świadomego) abstrahowania, która polega na tym,

że chcąc określić zmiany w cenach przyjmujemy ilości za stałe (niezmienne)

i odwrotnie. Oznacza to, że chcąc uchwycić dynamikę cen standaryzujemy ilości, chcąc

zaś zbadać dynamikę ilości standaryzujemy ceny.

Standaryzacja może przy tym być prowadzona na różnych poziomach. W szczególności

odbywa się ona na poziomie:

okresu podstawowego,

okresu badanego.

W pierwszym przypadku mówimy o indeksach wg formuły Laspeyresa, w drugim

zaś Paaschego.

Konstrukcja indeksów agregatowych cen i ilości wg powyższych formuł jest

następująca:

1. indeksy wg formuły Paaschego

Iq p

q ppP t t

t

0

; Iq p

q pqP t t

t

0

2. indeksy wg formuły Laspeyresa

Iq p

q pqL t

0

0 0 ; I

q p

q ppL t

0

0 0

Obliczone w podany wyżej sposób indeksy agregatowe mają swoją interpretację

poznawczą, tak np.:

agregatowy indeks cen Paaschego (wyrażony w %) wskazuje o ile % ceny danego

agregatu, w okresie badanym wzrosły bądź spadły w stosunku do okresu

11

podstawowego, przy ceteris paribus fizycznych rozmiarów tego agregatu na

poziomie okresu badanego.

Analogicznie interpretujemy z tym, że wtedy ilości są takie jak w okresie

podstawowym.

agregatowy indeks ilości Laspeyresa określa natomiast o ile % fizyczne rozmiary

agregatu wzrosły bądź spadły w okresie badanym, w stosunku do okresu

podstawowego, przy założeniu stałości cen na poziomie okresu podstawowego.

Podobnie interpretujemy IqP , wtedy jednak zakładamy niezmienność cen na

poziomie okresu badanego.

Warto dalej zauważyć, że pomiędzy indeksem wartości oraz indeksami cen i ilości

zachodzą następujące powiązania:

I I Iw qL

pP

I I Iw qP

pL

Jest to tzw. podwójna równość indeksowa.

Szacowanie agregatowych indeksów cen i ilości w ich klasycznej postaci wymaga

określonej struktury danych. Musimy mianowicie mieć dane empiryczne dotyczące cen

i ilości wszystkich zjawisk cząstkowych składających się na dany agregat.

Nie zawsze taka struktura informacji jest możliwa do uzyskania. Stąd konieczne staje

się korzystanie z nieklasycznych postaci agregatowych indeksów cen i ilości.

Szczególnie przydatne spośród tych postaci są:

Postać średnio-arytmetyczna, którą wykorzystujemy, gdy posiadamy informacje

o wartościach zjawisk cząstkowych wchodzących w skład danego agregatu

w okresie podstawowym oraz indywidualne indeksy cen bądź indywidualne indeksy

ilości:

Iq p i

q ppL p

0 0

0 0 ; i

P

ppt0

Iq p i

q pqL q

0 0

0 0 ; i

q

qqt0

Postać średnio-harmoniczna, którą stosujemy, gdy posiadamy informacje o war-

tościach zjawisk cząstkowych w okresie badanym oraz informacje o indywidu-

alnych indeksach cen bądź ilości.

12

Iq p

q p

i

pP t t

t t

p

; ip

ppt0

Iq p

q p

i

qP t t

t t

q

; iq

qqt0

Interpretacja indeksów obliczanych wg tych postaci jest taka sama jak indeksów

w wersji klasycznej.

Warto ponadto zwrócić uwagę na fakt, że o ile w indeksach obliczonych wg wersji

klasycznej wagami są odpowiednio ceny bądź ilości w okresie badanym lub

podstawowym, to w przypadku obliczania indeksów o postaci średnio-harmonicznej

i średnio-arytmetycznej wagami są wartości z okresu badanego bądź podstawowego

Przykłady

Zadanie 1.

Pewien zakład produkujący zabawki drewniane podał następujące informacje o rozmia-

rach produkcji i cenach jednostkowych trzech rodzajów zabawek produkowanych

w I-ym i II-im półroczu 2006 r.

ZabawkaJednostka

miaryRozmiary produkcji

(tys. jednostek)Cena jednostkowa ( zł.)

I półrocze II półrocze I półrocze II półroczesamochódklockimebelki

sztukapudełkokomplet

3,52,11,2

4,12,01,2

301525

332028

Scharakteryzuj dynamikę wartości, ilości i cen zabawek produkowanych przez ten

zakład w drugim półroczu w porównaniu z półroczem pierwszym.

Rozwiązanie:

13

Oznaczamy ilości i ceny odpowiednimi symbolami i wykonujemy potrzebne

obliczenia:

Zabawka Rozmiary produkcji

Cena (zł) q0p0 qtpt qtp0 q0pt

q0 qt p0 pt

samochódklockimebelki

3,52,11,2

4,12,01,2

301525

332028

105,0 31,5 30,0

135,3 40,0 33,6

123,0 30,0 30,0

115,5 42,0 33,6

X X X X 166,5 208,9 183,0 191,1 Liczymy indeks wartości:

Indeks wartości w procentach: 125,5 %.

Wartościowo produkcja wymienionych zabawek wzrosła w drugim półroczu 2006 r.

w stosunku do pierwszego półrocza o 25,5 %.

Liczymy agregatowe indeksy cen:

- Paaschego:

- Laspeyresa:

Jeżeli przyjąć jako stałe ilości produkcji z drugiego półrocza to ceny zabawek wzrosły

w drugim półroczu w stosunku do pierwszego przeciętnie o 14,2 %.

Jeżeli natomiast przyjmiemy za stałe ilości produkcji z pierwszego półrocza to

przeciętny wzrost cen wyniósł 14,8 %.

Liczymy indeksy ilości:

- Paaschego:

- Laspeyresa:

Przy założeniu stałych cen z drugiego półrocza produkcja ilościowo wzrosła o 9,3 %

w stosunku do półrocza pierwszego. Jeżeli natomiast jako stałe przyjmiemy ceny

z pierwszego półrocza to wówczas wzrost ilości produkcji wynosi 9,9 %.

Zadanie 2.

14

Uzyskano następujące informacje o wartości sprzedaży czterech artykułów

budowlanych przez pewną firmę w 2005 i 2006 r., oraz o zmianach cen tych artykułów

w 2006 r.

Artykuły Wartość sprzedaży (tys. zł.) Zmiana cen1.01.2006 r.2005 r. 2006 r.

ABCD

50 110 80 65

65 120 85 75

- 5,0 %+ 2,5 %- 1,5 %+ 6,5 %

Scharakteryzuj dynamikę wartości, ilości i cen sprzedaży tych artykułów w 2006 roku

w porównaniu z 2005 r.

Rozwiązanie:

Liczymy indeks wartości:

Wartość sprzedaży analizowanych czterech artykułów wzrosła w 2006 r. w stosunku do

2005 r. o 13,1 %.

Informacje o zmianie cen wykorzystujemy do ustalenia indywidualnych

indeksów cen poszczególnych artykułów, a następnie liczymy średnio-

harmoniczną postać indeksu cen Paaschego (potrzebne obliczenia w tabeli):

Artykuł Wartość sprzedaży (tys.zł) Zmiana cen1.01.2006 r. ip

(%)2005 r. 2006 r.

ABCD

50 110 80 65

65 120 85 75

-5,0+2,5-1,5+6,5

95,0 102,5 98,5 106,5

68,42 117,07 86,29 70,42

305 345 X X 342,20

Indeks ten informuje nas, że jeżeli jako stałe przyjmiemy ilości sprzedaży z 2006 r, to

można powiedzieć, że ceny wzrosły przeciętnie o 0,8 % w 2006r. w porównaniu

z rokiem.

Wykorzystując równość indeksową liczymy agregatowy indeks ilości Laspeyresa:

15

Mamy: stąd:

Z tego wynika, że ilościowo sprzedaż tych artykułów wzrosła w 2006 r. w stosunku do

2005 r. przeciętnie o 12,2 % (przy założeniu stałych cen z 2005 r.).

16