SVEUČILIŠTE U RIJECI

TEHNIČKI FAKULTET

Preddiplomski stručni studij elektrotehnike

Završni rad

ANALIZA ELEKTRIČNIH VELIČINA U TROFAZNOM

SUSTAVU

Rijeka, ožujak 2016. Zlatko Krmpotić

0069058257

SVEUČILIŠTE U RIJECI

TEHNIČKI FAKULTET

Preddiplomski stručni studij elektrotehnike

Završni rad

ANALIZA ELEKTRIČNIH VELIČINA U TROFAZNOM

SUSTAVU

Mentor: mr. sc. Branka Dobraš, v. pred.

Rijeka, ožujak 2016. Zlatko Krmpotić

0069058257

IZJAVA

Sukladno s člankom 9. Pravilnika o završnom radu, završnom ispitu i završetku stručnih studija

Tehničkog fakulteta Sveučilišta u Rijeci, od lipnja 2011., izjavljujem da sam samostalno izradio

završni rad prema zadatku br. 602-04/15-14/14 od 6.03.2015.

Rijeka, ožujak 2016.

Zlatko Krmpotić

SADRŽAJ

1. UVOD ....................................................................................................................................... 1

2. TROFAZNI SUSTAVI IZMJENIČNE STRUJE ..................................................................... 3

2.1. Magnetsko polje trofazne struje ........................................................................................ 3

2.2. Trofazni generator izmjenične struje ................................................................................. 5

2.3. Trofazna trošila izmjenične struje ..................................................................................... 9

2.4. Fazni i linijski naponi i struje i njihovi odnosi u trokut i zvijezda spoju ........................ 10

2.4.1. Spoj zvijezda trofaznog generatora .......................................................................... 10

2.4.2. Spoj trokut trofaznog generatora ............................................................................. 12

2.5. Vrste spojeva trofaznoggeneratora i trošila ..................................................................... 13

2.5.1. Nevezani i vezani trofazni sustav ............................................................................ 13

2.5.2. Trofazni sustav spojen u zvijezda, trokut i miješani spoj ........................................ 16

2.6. Snaga trofaznog sustava .................................................................................................. 20

2.6.1. Simetrično i nesimetrično opterećenje ..................................................................... 21

2.7. Millmanov teorem za spoj zvijezda ................................................................................. 23

2.8. Indikator redoslijeda faza ................................................................................................ 25

2.9. Umjetna nultočka ............................................................................................................. 25

3. SIMETRIČNE KOMPONENTE TROFAZNOG SUSTAVA ................................................ 27

3.1. Simetrični trofazni sustav ................................................................................................ 27

3.2. Nesimetrični trofazni sustav ............................................................................................ 29

4. MJERENJE SNAGE TROFAZNOG SUSTAVA .................................................................. 33

4.1. Mjerenje djelatne snage u trofaznom sustavu.................................................................. 33

4.1.1. Aronov spoj .............................................................................................................. 34

4.2. Mjerenje jalove snage u trofaznom sustavu .................................................................... 37

4.3. Poluizravna i posredna mjerenja snage ........................................................................... 39

5. ANALIZA ELEKTRIČNIH VELIČINA ZA NESIMETRIČNA TROŠILA ......................... 42

5.1. Računski dio .................................................................................................................... 42

5.1.1. Promjena otpora u fazi R od 0 do ∞ za čisti djelatni otpor ...................................... 42

5.1.2. Promjena otpora u fazi R od 0 do ∞ za RLC spoj ................................................... 48

5.2. Simulacijski dio ............................................................................................................... 51

5.2.1. Promjena otpora u fazi R od 0 do ∞ za čisti djelatni otpor (Y-Y) ........................... 52

5.2.2. Promjena otpora u fazi R od 0 do ∞ za RLC spoj (Y-Y) ......................................... 54

5.2.3. Promjena otpora u fazi R za čisti djelatni otpor (Y-Δ) ............................................ 56

5.3. Mjerenja u laboratoriju .................................................................................................... 58

5.3.1. Promjena otpora u fazi R za čisti djelatni otpor (Y-Y) ............................................ 59

5.3.2. Promjena otpora u fazi R za čisti djelatni otpor (Y-Δ) ............................................ 60

5.3.3. Usporedba računskog dijela, simulacije i mjerenja u laboratoriju za U0'0............... 60

6. ZAKLJUČAK ......................................................................................................................... 62

LITERATURA ............................................................................................................................ 64

SAŽETAK ................................................................................................................................... 65

PRILOZI ...................................................................................................................................... 66

1

1. UVOD

Trofazni sustav napajanja predstavlja sustav napajanja koji se sastoji od tri međusobno

zavisna izvora izmjeničnog sinusoidalnog napona i koji su međusobno fazno pomaknuti za

trećinu periode odnosno za 120º [42]. Ti izvori napajanja daju napone koji imaju međusobno

jednake amplitude (UR = US = UT) te imaju međusobno jednake frekvencije. (fR = fS = fT), a kao

što je i prethodno navedeno kutevi se pomiču od 0 do 240º, svaki za po 120º. Tako da za napon

svake faze od 230 V imamo za UR = 230<0º V, za US = 230<120º V, UT = 230<240º V.

Trofazni sustavi imaju u raspodjeli i proizvodnji električne energije puno više prednosti u

odnosu na jednofazne sustave:

1. Prijenos iste snage s manjim brojem vodiča

2. Prijenos snage koja je u vremenu konstantna: p(t) = konst.

3. Smanjenje jačine struje po provodniku

4. Povećanje ukupne prenesene snage

Simetrični trofazni sustavi su sustavi kod kojih su pak svi iznosi veličina jednaki (struja,

napon, impedancija) i također su jednaki i fazni pomaci između veličina (između napona faza i

između struja pojedinih faza). Zbroj napona svih izvora u sustavu je jednak nuli (1.1):

𝑈𝑅 + 𝑈𝑆 + 𝑈𝑇 = 0 (1.1)

gdje su:

UR, US, UT naponi faza

Jednofazni izvori i trošila povezuju se u dva osnovna trofazna spoja: spoj u zvijezdu i spoj

u trokut. Danas su skoro svi generatori izmjenične struje trofazni, imaju tri posebna namotaja

koja su kao što je već prije rečeno pomaknuta za 120º. U praksi se na trofazne generatore obično

priključuju jednofazni potrošači (grijalice, lampe, električni uređaji) i trofazni potrošači (trofazne

električne grijalice, elektromotori).

Trofazni sustav je jedan od najkorištenijih i najčešćih višefaznih sustava. Općenito je

simetrični m-fazni sustav skup od m izmjeničnih veličina koje su jedna prema drugoj vremenski

fazno pomaknute za T/m sekunda što odgovara faznom kutu 2π/m. Tako će jednadžba

simetričnog m-faznog sustava struja glasiti (1.2):

𝑖1 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 (1.2)

2

Primjerice dvofazni simetrični sustavi, odnosno dvofazna simetrična struja ne može stvoriti

okretno magnetsko polje dok trofazna može, odnosno mogu svi simetrični višefazni sustavi

struja s m ≥ 3 ( m = broj faza). Vektorski dijagram struja je fazno pomaknut za 90º. U

dvofaznom sustavu za stvaranje toka aktivna je samo polovica amperzavoja.

Daljne razmatranje višefaznih sustava usredotočit će se uglavnom na razjašnjenje trofaznih

sustava jer su takvi sustavi najviše korišteni. Definirana je problematika višefaznih sustava,

posebice trofaznih sustava te će se prikazati načini spajanja generatora i trošila.

Računska i simulacijska analiza električnih veličina za nesimetrična i simetrična trošila i

njihove različite spojeve verificirati će se mjerenjima u laboratoriju te će se napraviti

odgovarajuće tablice, skice, sheme i dijagrami za analizirane veličine.

3

2. TROFAZNI SUSTAVI IZMJENIČNE STRUJE

U definiranju problematike trofaznih sustava će se uglavnom govoriti o izvorima

izmjenične struje odnosno trofaznim generatorima izmjenične struje, faznim i linijskim

naponima i strujama, vrstama spojeva trofaznih sustava, bitnim mjernim veličinama (snaga).

2.1. Magnetsko polje trofazne struje

Tri struje simetričnog trofaznog sustava koje prolaze kroz tri jednaka svitka koji su

prostorno smješteni jedan pokraj drugog, tako da se uz svaki zavoj jednog svitka nalazi jedan

zavoj drugog svitka i jedan zavoj trećeg svitka, stvaraju magnetski tok.

Jednadžba za proračun toka (2.1):

Φ =Θ

Rm (2.1)

gdje je:

𝛷 magnetski tok Wb,

𝛩 sila magnetiziranja lA,

Rm magnetski otpor 1/Ωs.

Sila magnetiziranja će biti jednaka sumi amperzavoja svih triju struja (2.2):

𝛩 = 𝑁1𝑖1 + 𝑁2𝑖2 + 𝑁3𝑖3 (2.2)

gdje je:

N1, N2, N3 broja zavoja pojedinih svitaka l.

Ako svi svici imaju jednak broja zavoja, a suma struja simetričnog sustava je jednaka nuli,

sila magnetiziranja će biti jednaka nuli pa će tako i magnetski tok biti jednak nuli 𝛷 = 0. Ako se

svici pomaknu prostorno jedan od drugoga tada će svaki svitak stvoriti svoje polje i rezultantno

magnetsko polje se dobije vektorskim zbrajanjem svih komponenti.

4

2.1 Svici postavljeni jedan uz drugog [1]

Najzanimljiviji je slučaj kada su svici pomaknuti jedan od drugoga za 120º i takav je

smještaj svitaka svih strojeva trofazne struje.

Potrebno je izračunati rezultantnu uzbudu H za karakteristične trenutke kada struje u

pojedinim fazam dostižu maksimalne vrijednosti. U jednom trenutku struja jedne faze će imati

maksimalnu vrijednost, dok će druge dvije struje imati vrijednost polovice amplitude. Na

sljedećoj slici, za svaku pozitivnu struju smjerovi magnetske uzbude označeni su sa +. Vektori

uzbude ϗa2 i ϗa3 će biti polovica od ϗa1. [2]

2.2 Svici faza prostorno pomaknuti 120º jedan od drugoga [3]

Ukupna uzbuda je jednaka zbroju svih pojedinačnih uzbuda (2.3):

ϗ𝑎 = ϗ𝑎1 + ϗ𝑎2 + ϗ𝑎3 (2.3)

5

Ukupni magnetski tok će biti 50% veći od maksimalnog magnetskog toka i on zadržava tu

vrijednost dok njegova magnetska os rotira u prostoru. I to se magnetsko polje naziva okretno

polje. Pun okret magnetskog polja biti će izvršen kada struja prve faze ponovno dostigne

maksimalnu vrijednost. Broj izvšenih okreta u jedinici vremena naziva se brzina vrtnje i

označava se sa n0 = 60f. Ova formula vrijedi za slučaj jednog para polova. Ako ima više pari

polova onda vrijedi 𝑛𝑝 = 60𝑓

𝑝 o/min. [4]

Ako se u šupljinu statora stavi mala magnetska igla, pa se zavrti u smjeru vrtnje okretnog

polja, igla će biti zahvaćena Coulombovim silama i držati će iglu u rotaciji brzinom n0. Zašto je

bilo bitno objasniti magnetsko polje trofazne struje? Zato jer je na ovom principu zasnovan rad

svih motora trofazne struje. Za što je najviše zaslužan Nikola Tesla.

2.2. Trofazni generator izmjenične struje

Trofazni generator je uređaj koji na načelu elektomagnetske indukcije pretvara mehaničku

energiju u električnu. Već je rečeno kako je taj generator spojen, tri jednaka zavoja na osovini

koji su međusobno povezani, ali razmaknuti za 120º i rotiraju u homognenom magnetskom

polju. Stvarni trofazni generatori izmjenične struje se sastoje od statora i rotora. Na statoru su

smješteni namoti i u njima se inducira napon. Rotor je dio na kojem rotira magnetsko polje

zajedno sa uzbudnim namotom kojim teče struja uzbude.

Slika 2.3. 1. Generator u presjeku 2. Shema namota s počecima i krajevima 3. Inducirani naponi

[5]

Trofazna struja znači teče pod utjecajem trofaznog napona i on se dobiva u trima svicima

primjenom elektromagnetske indukcije. Na slici 2.4 svaki od svitaka je izvor za jednu struju

trofaznog sustava. Svici su smješteni u konstrukciji trofaznog generatora. Svici se nalaze na

rotoru generatora i pri vrtnji osovine rotora konstantnom brzinom u homogenom magnetskom

6

polju statora u svakom od svitka biti će induciran sinusodalni napon jednake amplitude i

frekvencije. Vremenska fazna razlika induciranih napona koja za simetrične sustave iznosi

trećinu periode postignuta je razmakom svitaka u rotoru za 120º.

Slika 2.4 Principijelni sastav trofaznog generatora [6]

Razlika između prethodno prikazanih slika generatora (2.3 i 2.4) je ta da je na slici 2.3

prikazan generatora sa svicima unutar statora, a na rotoru je smješten namot kojim teče struja

uzbude te se on rotira zajedno sa magnetskim poljem. I time se na svicima statora inducira

napon. Dok su na slici 2.4 svici smješteni na rotoru, a uzbudni namoti na statoru generatora i na

svakom od svitaka inducirati će se sinusoidalni napon. Drugačija je izvedba konstrukcije ova dva

generatora, ali princip na kojem rade je isti. Inducirani naponi i struje u faznim namotima

trofaznog generatora (2.4):

𝑢1 = 𝑈𝑀𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

𝑢2 = 𝑈𝑀𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 − 120°)

𝑢3 = 𝑈𝑀𝑠𝑖 𝑛(𝜔𝑡 − 240°)

𝑖1 = 𝐼𝑀𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

𝑖2 = 𝐼𝑀𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 120°)

𝑖3 = 𝐼𝑀𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 240°) (2.4)

gdje je:

𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 fazni naponi V,

𝑖1,𝑖2,𝑖3 struje simetričnog trofaznog sustava A,

UM maksimalni napon, napon amplitude V,

IM makismalna struja A,

ω kutna frekvencija Hz.

7

Slika 2.5. Vremenski prikaz struje simetričnog trofaznog trošila [7]

Za vrijeme vrtnje rotora u svitcima će se događati ista promjena toka, ali će u magnetskom

polju statora svaki sljedeći svitak doći u iste položaje u koje je došao prethodni svitak, ali sa

zakašnjenjem koje odgovara trećini periode. Efektivna vrijednost induciranog napona u jednom

svitku se izračunava prema sljedećoj jednadžbi (2.5):

𝐸 = 4,44 ∗ 𝑓 ∗ 𝑁 ∗ 𝜙𝑚𝑎𝑥 (2.5)

gdje je :

E inducirani napon u svitku V,

f frekvencija sustava Hz,

N broj namotaja svitka l,

ϕmax makismalni magnetski tok Wb.

Na primjeru trofaznog generatora slikom će se prikazati smjerovi unutarnjeg i vanjskog

napona na stezaljkama svitaka. Unutarnji napon djeluje u smjeru porasta potencijala, dok vanjski

djeluje u smjeru pada potencijala. Slika je napravljena pomoću simulacijskog programa Multisim

12.0.0 koji će se kasnije koristiti za izradu simulacijskog dijela.

8

Slika 2.6. Smjerovi unutarnjeg i vanjskog napona

Osim analitički, naponi se mogu prikazati i vektorski. Kao što se i može vidjeti iz slike

vektori napona su jednakih duljina, jednakih vrijednosti amplituda, ali različitih kuteva.

Slika 2.7. Vektori napona [8]

Trofazni generator je sastavljen od tri ista izmjenična izvora sinusnog napona, a zbroj ta tri

sinusna napona je jednak nuli. Svaki fazni namot je jedna faza generatora i on predstavlja

zaseban izvor izmjeničnog sinusnog napona.

Kod trofaznih generatora postoje dvije vrste spoja. Tri faze generatora međusobno se mogu

spojiti u trokut spoj ili u zvijezda spoj. Zvijezda spoj je spoj u kojemu su međusobno povezani

krajevi faznih namota, a središnja točka u kojoj su spojeni krajevi zove se zvjezdište. Na početke

namota vežu se vodovi prijenosnog sustava. Trokut spoj je spoj u kojem se kraj jednog faznog

namota veže sa početkom drugog faznog namota. Linije odnosno vodovi sustava izlaze iz

spojnih točaka.

utεt

it

9

Slika 2.8. Trofazni generator a) Spojen u zvijezdu b) Spojen u trokut [9]

2.3. Trofazno trošilo izmjenične struje

Trofazno trošilo je sastavljeno od tri jednofazna trošila koja kao i generator mogu biti

spojena u spoj zvijezda ili spoj trokut. Faze su obično prikazane impedancijom Z. Ako su sve

impedancije trofaznog trošila jednake onda se radi o simetričnom trošilu.

Slika 2.9 Trofazno trošilo a) Spojeno u zvijezdu b) Spojeno u trokut [10]

2.4. Fazni i linijski naponi i struje i njihovi odnosi u trokut i zvijezda spoju

U trofaznom izmjeničnom sustavu razlikujemo dvije vrste napona i struja, a to su fazni

naponi (UF) i fazne struje (IF), te linijski naponi (UL) i linijske struje (IL). Fazni naponi i struje su

vrijednosti koje se odnose na svaku pojedinu fazu izvora ili trošila.

Fazna struja prolazi kroz namot jedne faze generatora odnosno kroz otpor jedne faze

trošila. Linijski naponi i struje su vrijednosti koje se odnose na napone i struje između izvora ili

trošila. Linijska struja prolazi jednim vodičem cijele trofazne linije.

10

2.4.1. Spoj zvijezda trofaznog generatora

Slika 2.10 Fazni i linijski naponi trofaznog sustava (spoj zvijezda) [11]

UF1, UF2, UF3 su naponi na faznim namotima generatora, odnosno naponi faznih stezaljki, a

N predstavlja neutralni vodič ili zvjezdište generatora. UL1, UL2 i UL3 predstavljaju napone

između faznih stezaljki između tri izvora. Linijski i fazni naponi se mogu prikazati zajedno

sinusoidalnim krivuljama u vremenskom dijagramu (2.11):

Slika 2.11 Vremenski dijagram faznih i linijskih napona [12]

Ako bi i jedan svitak bio obrnuto spojen nego što su druga dva, među vodičima trofazne

RST linije bismo imali drugačije odnose napona [13]. Primjer: linijski naponi URS i UST bi bili

jednaki faznim naponima. Jedini linijski napon bi tada bio UTR. Ali opet ovisno koji se svitak

obrnuto spoji. U ovo slučaju obrnuto je spojen svitak druge faze (S).

11

Slika 2.12 Obrnuto okrenuti svitak faze S i odgovarajući dijagram

Kako bi dokazali da shema odgovara vektorskom dijagramu potkrijepit će se jednadžbama.

Za fazni napon će se uzeti 230 V i svaka faza pomaknuta za 120º kako inače biva u trofaznom

sustavu (2.6):

𝑈𝑅𝑆 = 𝑈𝑅 + 𝑈𝑆

𝑈𝑅𝑆 = 230 < 0° + 230 < 120°

𝑈𝑅𝑆 = 115 + 𝑗200 V

𝑈𝑅𝑆 = 𝑈𝐹 = 230 < 60° V

𝑈𝑆𝑇 = 𝑈𝑆 + 𝑈𝑇

𝑈𝑆𝑇 = −230 < 120° − 230 < 240°

𝑈𝑆𝑇 = 𝑈𝐹 = 𝑈𝑅 = 230 < 0° V

𝑈𝑅𝑇 = 𝑈𝑆 + 𝑈𝑇

𝑈𝑅𝑇 = 230 < 0° − 230 < 240°

𝑈𝑅𝑇 = 345 − 𝑗200 V

𝑈𝑅𝑇 = 400 < −30° V (2.6)

Kao što se može i vidjeti jedini linijski napon je na kraju URT. Okretanjem svitka trofazni

sustav više praktički nije funkcionalan i kao takav ga se ne može više upotrijebiti. Bitno je paziti

pri namještanju svitaka u trofaznom generatoru da su oni postavljeni pravilno, jer u suprotnom

dio linijskih napona neće biti linijski već fazni.

Linijski naponi u simetričnom trofaznom sustavu spojenom u zvijezdu imaju efektivne

vrijednosti za √3 veće od faznih, a linijske struje imaju efektivne vrijednosti jednake faznim

(2.7):

12

𝑈𝐿1 = 𝑈𝐹1 − 𝑈𝐹2 𝑈𝐿 = √3𝑈𝐹

𝑈𝐿2 = 𝑈𝐹2 − 𝑈𝐹3 𝐼𝐿 = 𝐼𝐹 (2.7)

𝑈𝐿3 = 𝑈𝐹3 − 𝑈𝐹1

gdje je:

𝑈𝐿 linijski napon V,

𝑈𝐹 fazni napon V,

𝐼𝐿 linijska struja A,

𝐼𝐹 fazna struja A.

Pa je primjerice u gradskoj razdjelnoj mreži pri faznom naponu od 230 V linijski napon za

√3 puta veći i iznosi 400 V.

2.4.2. Spoj trokut trofaznog generatora

Slika 2.13. Fazni i linijski naponi trofaznog sustava (spoj trokut) [14]

Linijski naponi u simetričnom trofaznom sustavu spojenom u trokut su jedanki faznim

naponima, a linijske struje su √3 puta veće od faznih vrijednosti (2.8):

𝐼𝐿1 = 𝐼𝐹3 − 𝐼𝐹1 𝐼𝐿 = √3𝐼𝐹

𝐼𝐿2 = 𝐼𝐹1 − 𝐼𝐹2 𝑈𝐿 = 𝑈𝐹

𝐼𝐿3 = 𝐼𝐹2 − 𝐼𝐹3 (2.8)

Sve što vrijedi za trofazni generator i što je dosada ustanovljeno za oba spoja generatora

vrijedi i za trofazno trošilo, samo što se umjesto izvora u svakoj fazi nalazi impedancija Z.

13

2.5. Vrste spojeva trofaznog generatora i trošila

Postoje više načina spajanja generatora i trošila i svaki od tih načina ima vlastite

karakteristike, prednosti i mane te je svaki jedinstven na svoj način. Ovisno o vrsti namjene

iskoristiti će se odgovarajuća vrsta spoja između generatora i trošila.

2.5.1. Nevezani i vezani trofazni sustav

Svaki od faznog namota generatora predstavlja izvor napona za strujni krug jedne faze

sustava i on se može preko vodova povezati sa trošilom tj. nekakvim opterećenjem.

Nevezani sustav

Ako se prijenos električne energije odvija tako da svaka faza (izvor) čini strujni krug sa

svojom vlastitom impedancijom, tada su fazni krugovi međusobno odvojeni i takav način

spajanja se naziva nevezani trofazni sustav. Primjerice stezaljke V1 i V2 su međusobno

povezane preko impedancije Z2. To nam govori da se u trofaznom sustavu svaki fazni namot

može povezati sa svojom impedancijom. Sada imamo 3 tri strujna kruga i 6 vodiča i ujedno je iz

sustava uklonjeno zvjezdište. Pretpostavlja se da su otpori jednaki Z1 = Z2 = Z3 = Z.

Slika 2.14 Nevezani trofazni sustav i njegov vektorski dijagram [15]

Sada iz vektorskog dijagrama možemo uočiti i struje pošto imamo trofazni sustav sa

zatvorenim strujnim krugom, odnosno zatvorenim strujnim krugovima. Kao što vidimo iz slike

2.14 struja će ovisiti o pojedinačnom izvoru (fazni napon) i impedanciji pa izraz za struju svakog

strujnog kruga glasi (2.9):

14

𝐼 =𝑈𝐹𝑛

𝑍𝑛 (2.9)

Kako su kutevi izvora konstanti (0, 120, 240), kut struje promijenit će se ovisno o kutu

impedancije. Iz vektorskog dijagrama se jasno vidi da u slučaju prema slici kut svake

impedancije je različit i kutevi struja su manji od kuteva napona. Da su kutevi impedancija nula,

vektori struja bi bili poravnati sa vektorima napona.

Svaki otpor u spojnoj shemi predočuje jedno trošilo koje se naziva jednofaznim trošilom

jer kroz njega teče struja trofaznog generatora, ali samo jednog izvora. To su primjerice žarulje,

radio-aparati, televizori itd. Postoje i trošila koja za rad koriste električnu energiju svih triju

struja od kojih svaka prolazi kroz jedan od tri otpora uključena u jedinstvenoj konstrukciji, a to

su primjerice trofazne elektične peći, trofazne friteze, trofazni motori itd.

Poznato je da se energija trofazne struje ne koristi samo za trofazan trošila, već i za

jednofazana trošila. Napajanje jednofaznih trošila u trofaznom sustavu je mnogo kompliciranije

izvedbe od izvedbe jednofaznih strujnih krugova sa jednim izvorom napajanja. Ako se

pretpostavi da u simetričnom nevezanom trofaznom sustavu, simetrično opterećenim

jednofaznim trošilima u vodičima imamo istu gustoću struje kao i pri jednofaznom napajanju

trošila za izradu vodiča će biti potrebna ista količina bakra, samo što će kompliciranije biti

postavljanje prijenosnog voda sa 6 vodiča nego sa 2 vodiča. Nevezani trofazni sustav baš i nema

neke prednosti pred jednofaznim sustavom.

Vezani sustav

Kako bi smo postigli vezani trofazni sustav krajevi namota koje smo vidjeli i u prethodnoj

slici W2, U2, V2 su međusobno povezani u jednu točku odnosno zvjezdište. Ne dolazi do

nikakve promjene napona i struja po krugovima. Svi vodiči u tom sustavu se mogu prikazati kao

jedan i kroz taj jedan vodič onda teče struja koja je jednaka zbroju svih pojedinih vodiča i to je

ustvari onda struja kroz neutralni vodič IN (2.10):

𝐼𝑁 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 (2.10)

gdje je:

IN ukupna struja kroz sustav A,

I1, I2, I3 struja kroz pojedini vod A.

15

Time se postiže vezani trofazni sustav u kojem tri jednofazna trošila čine jedno trofazno

trošilo. Svako jednofazno trošilo se naziva faza trofaznog trošila. U slučaju da su impedancije

trošila jednake (simetrično trošilo) struja koja teče kroz neutralni vodič (vodič koji spaja

zvjezdišta izvora i trošila) je jednaka nuli IN = 0. I taj se vodič može zanemariti.

Slika 2.15 Vezani trofazni sustav (spoj zvijezda) i vektorski dijagram [16]

U slučaju ovog spoja pri simetričnom opterećenju nije potreban nulvod pa su za prijenos

energije od generatora do trošila dovoljna samo tri fazna vodiča. Ovakav spoj upotrebljava se

samo kod trofaznih trošila koja su sastavljena od tri jednaka elementa koji čine simetričnu

kostrukciju. Kako nema povratnog voda struje se ipak mogu zatvoriti unutar cijele trofazne

mreže. Kad struja faze prođe kroz svoj otpor, za povratak generatoru koristi fazne vodiče druge

dvije preostale faze. Tada vrijedi slijedeća jednadžba (2.11):

𝑖1+𝑖2+𝑖3 = 0

𝑖1 = −(𝑖2+𝑖3) 𝐴 (2.11)

Struja prve faze smatra se da je rastavljena na dvije komponente koje teku kroz vodiče S i

T. Da bi se postigla što manja nesimetrija potrebno je razdjeliti jednofazni teret što jednoličnije

na sve tri faze. To se postiže tako da se jednofazna trošila na četverovodnu trofaznu mrežu

priključuju naizmjenice redom na faze R S T R S T ... itd. [17]. Trofazna trošila se priključuju

na tri fazna vodiča bez nulvoda. Jednofazana trošila se povezuju na jednu fazu i nulvod. Kroz

nulvod tada prolazi neka struja i uzrokuje nesimetriju te se za nulvodič uzima polovica presjeka

faznog vodiča. Četverovodni vezani trofazni sustav ima prednost prijenosa energije jednofaznim

trošilima pred nevezanim trofaznim ili jednofaznim sustavom.

16

Slika 2.16 Priključak jednofaznih i trofaznih trošila na četverovodnu trofaznu mrežu

2.5.2. Trofazni sustav spojen u zvijezda,trokut i miješani spoj

Zvijezda spoj

Na prethodnom potpoglavlju na Slici 2.15 već je prikazan zvijezda spoj i način spajanja

izvora i trošila u takvoj vrsti spoja. Znači sva su trošila jednim krajem vezana za nul vodič i kroz

taj vod teče zbroj svih struja zajedno. Ako je simetrično opterećenje fazni napon trošila i fazni

napon izvora su jednaki. Svi fazni naponi imaju jednake efektivne vrijednosti UF i pomaknuti su

za 120º. I već prije rečeno linijski naponi su √3 puta veći. Također sve prethodno rečeno za

struje za spoj zvijezda vrijedi i u ovom slučaju IL = IF, a struja u neutralnom vodiču je jednaka

nuli ako je simetrično opterećenje (2.12):

𝐼𝐹1 + 𝐼𝐹2 + 𝐼𝐹3 = 0 (2.12)

Može se zaključiti da za simetrično opterećenje nije potreban nul vodič i prijenos energije

se ostvaruje kroz tri fazna vodiča L1, L2, L3 koji čine trofaznu liniju ili trofazni vod.

Kod nesimetričnog opterećenja kada je Z1 ≠ Z2 ≠ Z3 u distribucijskim mrežama u kojima su

trošila spojena na faze ne može se računati na potpunu simetriju struja pa ispada da je zbroj

struja zvijezdišta manji od struja po fazama, ali nikako ne ispada da je jednak nuli. Zato je na

SR

T

N

GENERATOR

230 V 50 Hz

3PH

MOTOR FRITEZA

17

kraju ipak potreban povratni nul-vodič koji će povezivati obje točke zvjezdišta. Prijenos

električne energije se ostvaruje trofaznim vodovima s četiri vodiča. [18]

Trokut spoj

Kao što je i prije rečeno, trokut spoj nastaje spajanjem namota generatora tako da početak

namota jedne faze se spaja s krajem namota susjedne faze. Na sljedećoj slici je prikazan način

spajanja izvora i trošila u spoju trokut.

Slika 2.17 Trofazni sustav spojen u trokut [19]

Slika 2.18 Fazorski dijagram simetričnog opterećenja (spoj trokut) [20]

Kod simetričnog opterećenja fazni i linijski naponi su jednaki ako je u pitanju spoj trokut,

imaju jednake efektivne vrijednosti UL = UF. A linijske struje su √3 puta veće. U slučaju

nesimetričnog opterećenja kad su impedancije trošila različite vrijedi (2.13):

𝐼𝐿1 ≠ 𝐼𝐿2 ≠ 𝐼𝐿3

𝐼𝐹1 ≠ 𝐼𝐹2 ≠ 𝐼𝐹3 (2.13)

18

Ako nema povratnog voda, suma linijskih struja jednaka nuli bez obzira u kakvom je spoju

trofazno trošilo i radi li se o simetričnom ili nesimetričnom opterećenju. Suma svih napona u

trokut spoju je jednaka nuli (2.14):

𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 = 0 (2.14)

Miješani spoj

Do sada smo vidjeli samo iste načine spajanja generatora i trošila, odnosno svici generatora

i otpori trošila su međusobno povezani u istom spoju, ali mogući su i miješani spojevi generatora

i trošila. Za primjer možemo uzeti generator u spoju zvijezda i trošilo u trokutnom spoju.

Pretpostavka za taj spoj mora biti da je u generatoru induciran simetrični sustav napona efektivne

vrijednosti UFgen = 230 V i da su sva tri otpora u trošilu jednaka. Primjerice da je otpor R = 50.

Primjer i simulacija je dana na sljedećoj slici (spoj generator zvijezda i trošilo trokut). Fazni

napon generatora iznosi 220 V na slici.

Slika 2.19 Simulacija miješanog spoja (zvijezda-trokut)

Slika 2.19 pokazuje jednu malu simulaciju. S desne strane su pokazana mjerenja voltmetra

(XMM2) i ampermetra (XMM1). Ampermetar mjeri faznu struju If = 7,624 A, dok voltmetar

mjeri linijski napon 381,051 V. Dobivena mjerenja možemo potkrijepiti i odgovarajućim

formulama (2.15):

𝑈𝐿𝑡𝑟𝑜š = √3𝑈𝑓𝑔𝑒𝑛 = √3 ∗ 220 = 381,051 𝑉 (2.15)

19

Za otpore u spoju trokut linijski napon je ujedno i fazni napon pa struja jedne faze trošila i

linijska struja iznose (2.16):

𝐼𝐹𝑡𝑟𝑜š =𝑈𝑡𝑟𝑜š

𝑅=

381,051

50= 7,621 𝐴

𝐼𝑙 = √3 ∗ 𝐼𝑓𝑡𝑟𝑜š

𝐼𝐿 = √3 ∗ 7,621 = 13,2 𝐴 (2.16)

Također postoji i obrnuti spoj, tako da je generator u spoju trokut, a trošilo u spoju

zvijezda. Ako je fazni napon generatora 220 V u ovom spoju onda je linijski napon generatora,

odnosno linijski napon priključen na otpore UL = 220 V. Pretpostavljena je simetrija opterećenja.

Na svakom otporu će biti fazni napon koji je u spoju zvijezda za √3 puta manji od linijskog

(2.17):

𝑈𝐹𝑡𝑟𝑜š =𝑈𝐿

√3=

220

√3= 127,01 𝑉 (2.17)

Struja kroz otpor od 50 Ω je fazna struja trošila, a to je ujedno i linijska struja trošila jer je

trošilo u spoju zvijezda (2.18):

𝐼𝐹𝑡𝑟𝑜š = 𝐼𝐿 =𝑈𝐹𝑡𝑟𝑜š

𝑅=

127,01

50= 2,54 𝐴 (2.18)

Pa je fazna struja generatora (trokut spoj) za √3 puta manja od linijske struje (2.19):

𝐼𝐹𝑔𝑒𝑛 =𝐼𝐿

√3=

2,54

√3= 1,466 𝐴 (2.19)

20

Slika 2.20 Simulacija mješanog spoja (trokut- zvijezda)

Voltmetar XMM3 sa slike 2.20 prikazuje napon na fazi R, a pošto je sustav simetričan,

napon na svakoj od faza je isti. Ampermetar XMM1 prikazuje faznu struju trošila, a pošto je

trošilo u spoju zvijezda fazna i linijska struja su jednake za trošilo.

2.6. Snaga trofaznog sustava

Snaga trofaznog sustava se definira kao ukupna snaga koja se utroši u trofaznom trošilu

izmjenične struje i jednaka je zbroju snaga koje se troše na pojedinim fazama trošila. Snaga u

trofaznom sustavu je raspodijeljena na 3 pojedinačne snage, a to su djelatna snaga (P), jalova

snaga (Q) i kao najbitnija prividna snaga (S). Snaga trofaznog sustava se na kraju svodi na

prividnu snagu koja se dobije uvrštavanjem i izvodima prethodne dvije snage, jalovom i

djelatnom snagom. Svaka faza ima svoju vlastitu djelatnu i jalovu snagu pa ukupni zbroj te dvije

snage možemo izraziti pomoću sljedećih izraza (2.20):

𝑃 = 𝑃𝐹1+𝑃𝐹2 + 𝑃𝐹3

𝑄 = 𝑄𝐹1+𝑄𝐹2+𝑄𝐹3

𝑆 = √𝑃2+𝑄2 (2.20)

gdje je:

PFn djelatna snaga po pojedinoj fazi W,

QFn jalova snaga po pojedinoj fazi VAr,

S prividna snaga VA.

21

Sve snage i njihovi izvodi mogu se prikazati pomoću trokuta snage koji olakšava

proračunski dio. Prividnu snagu se tako može dobiti pomoću Pitagorina poučka. Dvije stranice

trokuta čine jalova i djelatna snaga, a hipotenuzu sačinjava prividna snaga.

Računski dio preko trokuta snage također koristi trigonometrijske funkcije sinus i kosinus

uz zadani faktor snage. Kut φ se najjednostavnije dobiva iz faktora snage. Utvrđivanjem svih

početnih formula za trofazni sustav dalje je moguće dobiti izvedene formule snaga koje se traže.

U slučaju da faktor snage (cos φ) nije zadan dobiva se iz zadanih snaga (jalova, djelatna,

prividna) [21]. Prikaz trokuta snage:

Slika 2.21 Trokut snaga

Za trokut snaga sa slike 2.21 vrijede najčešće korišteni izrazi (2.21):

𝑐𝑜𝑠 𝜑 =𝑃

𝑆

sin 𝜑 =𝑄

𝑆

𝑆 = √𝑃2+𝑄2 (2.21)

gdje je:

cosφ faktor snage

2.6.1. Simetrično i nesimetrično opterećenje

Simetrično opterećenje

U slučaju ovakvoga opterećenja za trošila spojena u zvijedu i trokut imaju jednake izraze

za računanje snaga pošto vrijedi UF1 = UF2 = UF3 i IF1 = IF2 = IF3. Izraz za spoj zvijezda i spoj

trokut za pojedinu fazu (2.22):

22

𝑃𝐹 = 𝑈𝐹𝐼𝐹 cos 𝜑

𝑄𝐹 = 𝑈𝐹𝐼𝐹 sin 𝜑

𝑆𝐹 = √𝑃𝐹2+𝑄𝐹

2 (2.22)[41]

gdje je:

PF djelatna snaga jedne faze W,

QF jalova snaga jedne faze VAr,

SF prividna snaga jedne faze VA,

UF, IF napon i struja jedne faze V, A.

Ukupna snaga je zbroj svih snaga u trofaznom trošilu, a pošto je prethodno navedeno da

vrijedi ista formula za sve pojedine snage, te su formule jednake za trokut i zvijezda spoj, izraz

tada glasi (2.23):

𝑃 = 3𝑈𝐹𝐼𝐹 cos 𝜑 = 3𝑃𝐹

𝑄 = 3𝑈𝐹𝐼𝐹 sin 𝜑 = 3𝑄𝐹

𝑆 = √𝑃2+𝑄2 (2.23)

gdje je:

P, Q, S ukupne snage trošila W, VAr, VA.

Do sada je prikazano kako se računa ukupna snaga preko faznog napona i struje, odnosno

zbroj triju faznih snaga daje ukupnu snagu trofaznog sustava. Ukupna snaga se također može

izračunati pomoću linijskih napona i struja korištenjem izraza koji vrijede za trokut i zvijezda

spoj i njihovim uvrštavanjem u izraze 2.23.

Za zvijezdu vrijedi: 𝐼𝐹 = 𝐼𝐿, 𝑈𝐹 =𝑈𝐿

√3

Za trokut vrijedi: 𝑈𝐹 = 𝑈𝐿, 𝐼𝐹 =𝐼𝐿

√3

Uvrštavanjem formula koje vrijede za zvijezda spoj u izraze 2.23 dobivamo (2.24):

𝑃 = 3𝑈𝐿

√3𝐼𝐿 cos 𝜑 → 𝑃 = 3

𝑈𝐿

√3

√3

√3𝐼𝐿 cos 𝜑 → 𝑃 = 3

√3𝑈𝐿

3𝐼𝐿 cos 𝜑 → 𝑃 = √3𝑈𝐿𝐼𝐿 cos 𝜑

𝑄 = 3𝑈𝐿

√3𝐼𝐿 sin 𝜑 → 𝑄 = 3

𝑈𝐿

√3

√3

√3𝐼𝐿 sin 𝜑 → 𝑄 = 3

√3𝑈𝐿

3𝐼𝐿 sin 𝜑 → 𝑄 = √3𝑈𝐿𝐼𝐿 sin 𝜑 (2.24)

23

gdje je:

UL linijski napon V,

IL linijska struja A.

Uvrštavanjem izraza trokut spoja u izraze 2.24 dobivamo (2.25):

𝑃 = 3𝑈𝐿

𝐼𝐿

√3cos 𝜑 → 𝑃 = 3𝑈𝐿

𝐼𝐿

√3

√3

√3cos 𝜑 → 𝑃 = 3𝑈𝐿

√3𝐼𝐿

3cos 𝜑 → 𝑃 = √3𝑈𝐿𝐼𝐿 cos 𝜑

𝑄 = 3𝑈𝐿

√3𝐼𝐿 sin 𝜑 → 𝑄 = 3

𝑈𝐿

√3

√3

√3𝐼𝐿 sin 𝜑 → 𝑄 = 3

√3𝑈𝐿

3𝐼𝐿 sin 𝜑 → 𝑄 = √3𝑈𝐿𝐼𝐿 sin 𝜑 (2.25)

Na kraju se može zaključiti da se djelatna, jalova i prividna snaga u simetričnom trofaznom

trošilu bez obzira na spoj tog trošila računa na jednak način i vrijedi da je (2.26):

𝑃𝐹1 = 𝑃𝐹2 = 𝑃𝐹3

𝑄𝐹1 = 𝑄𝐹2 = 𝑄𝐹3 (2.26)

Nesimetrično opterećenje

Kod nesimetričnog opterećenja elemenata trošila, naponi svake faze su različiti, a time i

struje kroz svaku fazu, što znači da će i snaga svake faze biti različita i za ovakvo opterećenje

vrijede sljedeći izrazi (2.27):

𝑈𝐹1 ≠ 𝑈𝐹2 ≠ 𝑈𝐹3

𝐼𝐹1 ≠ 𝐼𝐹2 ≠ 𝐼𝐹3

𝑃𝐹1 ≠ 𝑃𝐹2 ≠ 𝑃𝐹3

𝑄𝐹1 ≠ 𝑄𝐹2 ≠ 𝑄𝐹3 (2.27)

Ukupna snaga trofaznog sustava je jednaka zbroju pojedinih snaga svake faze (2.28):

𝑃 = 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 + 𝑃𝐹3

𝑄 = 𝑄𝐹1 + 𝑄𝐹2 + 𝑄𝐹3

𝑆 = √𝑃2+𝑄2

𝑃𝐹𝑛 = 𝑈𝐹𝑛𝐼𝐹𝑛𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑄𝐹𝑛 = 𝑈𝐹𝑛𝐼𝐹𝑛𝑠𝑖𝑛𝜑 (2.28)

24

Simetrično i nesimetrično opterećenje trošila se razlikuje po tome što simetrično trošilo

ima na svim fazama jednake napone, struje i snage dok kod nesimetričnog to nije slučaj, već su

naponi, struje i snage različiti na svakoj fazi.

2.7. Millmanov teorem za spoj zvijezda

Kod simetričnih trofaznih sustava gdje su naponi i struje u pravilnim odnosima su bili

omogućeni lakši proračuni tih napona i struja, te su formule bile prilično jednostavne. No ako

promatramo neki trofazni sustav koji je nesimetrično opterećen morati će se koristit nova metodu

za računanje struja i napona. Ta metoda je poznata kao Millmanov teorem i koristi se ako su

svici generatora i otpori trošila vezani u zvijezdu. I tada imamo dva zvjezdišta, jedno generatora,

jedno trošila. Obično se označavaju sa 0 i 0'. Određuju se struje i naponi za pojedine grane.

Naponi koji su zadani su UR, US, UT i zadani su otpori trošila ZR, ZS, ZT. [22]

Slika 2.22 Određivanje napona na priključenim otporima pomoću Millmana

Najprije se izračunava napon U0'0 između oba čvora kojeg čine zvjezdište trošila i

generatora (2.29):

𝑈0′0 =

𝑈𝑅

𝑍𝑅+

𝑈𝑆

𝑍𝑆+

𝑈𝑇

𝑍𝑇

1𝑍𝑅

+1𝑍𝑆

+1

𝑍𝑇+

1𝑍0

(2.29)

Ako je jednadžba bez nulvoda onda je Z0 = 0 pa se iz jednadžbe miče 1

𝑍0.

Zr

Zs

Zt

Ur

Us

Ut

R

S

T

0 0'

0'0

Ir

It

IsUr1 Zr1

Ir

U0'0

25

A zatim se prema desnoj shemi na slici 2.15 određuju naponi na priključenim otporima i

pojedine struje (2.30):

𝑈𝑍𝑅= 𝑈𝑅 − 𝑈0′0 , 𝑈𝑍𝑆

= 𝑈𝑆 − 𝑈0′0 , 𝑈𝑍𝑇= 𝑈𝑇 − 𝑈0′0 ,

𝐼𝑅 =𝑈𝑍𝑅

𝑍𝑅, 𝐼𝑆 =

𝑈𝑍𝑆

𝑍𝑆, 𝐼𝑇 =

𝑈𝑍𝑇

𝑍𝑇 , 𝐼0 =

𝑈0′0

𝑍0 (2.30)

gdje su:

𝑈𝑍𝑅, 𝑈𝑍𝑆

, 𝑈𝑍𝑇, 𝑈0′0 naponi na pojedinim fazama trošila V,

𝐼𝑅 , 𝐼𝑆 , 𝐼𝑇 , 𝐼0 struje kroz pojedine faze i nulvod A.

Kako nema nulvoda, suma faznih struja prema 1. Kirchoffovom zakonu je jednaka nuli

𝐼𝑅 + 𝐼𝑆 + 𝐼𝑇 = 0. U trofaznim mrežama koje služe za prijenos električne energije imaju, prema

propisima, simetrični sustav napona, a nesimetriju uzrokuju nejednakosti priključenih otpora.

2.8. Indikator redoslijeda faza

Za nesimetrično opterećenu trofaznu mrežu može se upotrijebiti takozvani indikator

redoslijeda faza pomoću kojega se određuje, kako i samo ime kaže, redoslijed faza ako se

slučajno ne zna kako su postavljene. Indikator izgleda tako da su na faze u spoju zvijezda bez

nulvoda spojeni različiti otpori. U jednoj fazi je kondenzator, a u druge dvije faze su sijalice. Te

sijalice imaju jednak omski otpor. Kondenzator je od 10 μF, a snaga sijalice je 50 W [23].

Naponi na pojedinim fazama trošila i struje određuju se izvedenim jednadžbama, te je potrebno

poznavati napon U0'0. Njega se dobiva prema Millmanovom teoremu.

Slika 2.23 Shema indikatora redoslijeda faza

Ur

Ut

UsS

T

C1

10µF

R

26

Sijalice neće jednako svjetliti, jer i nepotpuna, odnosno bilo kakva nesimetrija uzrokuje

nesimetričnu razdiobu napona na priključenim otporima. Sijalica S je na višem naponu i ona

svjetli, dok je sijalica u fazi T na nižem naponu i jedva svijetli ili uopće ne svijetli. I tako

odredimo redoslijed faza trofaznog sustava. Kreće se od one faze u kojoj je priključen

kondenazator, a iza nje slijedi ona faza u kojoj sijalica jače svjetli.

2.9. Umjetna nultočka

Kao što znamo za simetrični trofazni sustav vrijedi UR + US + UT = 0 i ZR = ZS = ZT = Z.

Tada je napon između zvjezdišta generatora i trošila jednak (2.31):

𝑈0′0 =

𝑈𝑅+𝑈𝑆+𝑈𝑇

𝑍3𝑍

+1

𝑍0

(2.31)

Kroz nulvod ne teče struja, jer je napon na njegovim krajevima jednak nuli. Nul točke

imaju jednake potencijale. Ova se metoda može koristiti u mrežama simetričnog trofaznog

sustava, ako je potreban priključak instrumenta na nultočku, a ona nije prethodno izvedena.

Spojem tri jednaka otpora u spoju zvijezda na trofaznu liniju stvara se umjetna nultočka kao

prema slici. [24]

Slika 2.24 Shema umjetne nultočke i odgovarajući vektorski dijagram

GENERATOR

220 V 50 Hz

3PH

R

0

0'

T

R

S

AA'

B

B'C

C'

0'0

Us

Ur

Ut

27

3. SIMETRIČNE KOMPONENTE TROFAZNOG SUSTAVA

3.1. Simetrični trofazni sustav

Mreža se sastoji od jednakih elemenata u svim fazama, a opterećenja su simetrična.

Proračun u normalnom pogonu mreže dovoljno je provesti za jednu od faza pomoću

ekvivalentne jednofazne sheme. Takve sheme će nam dati potpunu sliku trofaznog simetričnog

sustava. [25]

Simetrični trofazni sustav u sve tri faze ima jednake struje I, jednake impedancije Z i

jednake napone V koji djeluju na impedancije. V je fazni napon. Sve velične koje se izračunaju

za jednu fazu vrijede i za druge dvije, samo što su naponi i struje međusobno pomaknuti za 120º

ili 2𝜋

3. Efektivne vrijednosti svih struja su jednake, samo se njihovi kutevi razlikuju.

Slika 1.1 Jednofazna shema trofaznog simetričnog sustava

Pošto se radi o sinusnoj struji za trenutnu vrijednost struje po fazama mogu se pisati

sljedeće formule (3.1):

𝑖𝑟 = 𝐼√2sin (𝜔𝑡 + 𝜓)

𝑖𝑠 = 𝐼√2sin (𝜔𝑡 + 𝜓 −2𝜋

3)

𝑖𝑡 = 𝐼√2 sin (𝜔𝑡 + 𝜓 −4𝜋

3) (3.1)

gdje je:

𝜔 kružna frekvencija min-1,

𝐼 efektivna vrijednosti struje A,

𝜓 položaj vektora IR, IS, IT u trenutku t=0 izražen u stupnjevima.

28

Slika 3.2 Struje u simetričnom trofaznom sustavu [26]

Struje se mogu još zapisati i na slijedeći način (3.2):

𝐼𝑅 = 𝐼𝑒𝑗𝜓 = 𝐼∟𝜓

𝐼𝑆 = 𝐼𝑒𝑗(𝜓−2𝜋3

) = 𝐼∟𝜓 −2𝜋

3

𝐼𝑇 = 𝐼𝑒𝑗(𝜓−

2𝜋3

)= 𝐼∟𝜓 −

4𝜋

3 (3.2)

Za struju faze R vrijedi da je φ=ψ, a za ostale dvije vidimo u jednadžbama 3.2. Ako se

uvede operator a koji ima vrijednost (3.3):

𝑎 = 1∟2𝜋

3

𝑎2 = 1∟4𝜋

3

𝑎3 = 1∟6𝜋

3= 1∟2𝜋 (3.3)

Struje se mogu pisati i u sljedećem obliku (3.4):

𝐼𝑅 = 𝐼𝑒𝑗𝜓

𝐼𝑆 = 𝑎2𝐼𝑅

𝐼𝑇 = 𝑎𝐼𝑅 (3.4)

U trofaznom sustavu vrijedi IR+IS+IT = 0 pa se uvrštavanjem prethodne formule 3.4 dobiva

IR(1+a+a2) = 0.

29

3.2. Nesimetrični trofazni sustav

Kod nesimetričnog trofaznog sustava opterećenja pojedinih faza se razlikuju, tj. razlikuju

se impedancije trošila po fazama ili su elektromotorne sile nejednake. Obično su u normalnom

pogonu sve tri faze jednako opterećene. U slučaju da dođe do kvara u mreži (KS između faza)

javlja se nesimetričnost, pa je potrebno poznavati metode proračuna nesimetričnih sustava.

Prilike u nesimetričnoj mreži nije moguće odrediti promatranjem jedne faze niti mrežu zamjeniti

jednofaznom shemom.

Nesimetrični sustav se najbolje može prikazati u tri simetrična trofazna sustava i oni se

prikazuju sa tri jednofazne sheme i tako se pojednostavljuje proračun. Ta tri simetrična sustava

se nazivaju direktni, inverzni i nulti sustav. Direktni sustav ima redoslijed faza (vektora) kao i

trofazni simetrični sustav, inverzni sustav ima redoslijed faza obrnut od simetričnog trofaznog

sustava. Nulti sistem ima tri vektora iste vrijednosti i istog smjera. [27]

3.3 Simetrične komponente nesimetričnog sustava [28]

Upotrebom operatora a mogu se prikazati veličine u direktnom, inverznom i nultom

sustavu slijedećim izrazima (3.5):

Direktni sustav

𝐼𝑅𝑑 = 𝐼𝑑

𝐼𝑆𝑑 = 𝑎2𝐼𝑑

𝐼𝑇𝑑 = 𝑎𝐼𝑑

30

Inverzni sustav

𝐼𝑅𝑖 = 𝐼𝑖

𝐼𝑆𝑖 = 𝑎𝐼𝑖

𝐼𝑇𝑖 = 𝑎2𝐼𝑖

Nulti sustav

𝐼𝑅0 = 𝐼𝑆0 = 𝐼𝑇0 = 𝐼0 (3.5)

Id, Ii, i I0 su struje direktnog, inverznog i nultog sustava u fazi R. Zbrajanjem tih

komponenata jedne faze i dodavanjem operatora a u jednadžbe, mogu se dobiti proračuni za sve

tri faze trofaznog sustava (3.6).

𝐼𝑅 = 𝐼𝑑 + 𝐼𝑖 + 𝐼0

𝐼𝑆 = 𝑎2𝐼𝑑 + 𝑎𝐼𝑖 + 𝐼0

𝐼𝑇 = 𝑎𝐼𝑑 + 𝑎2𝐼𝑖 + 𝐼0 (3.6)

Iz relacije 3.6 mogu se odrediti izrazi pomoću kojih je moguće za zadane struje i napone u

pojedinim fazama dobiti simetrične komponente struja (ili napona- umjesto struja I uvrstimo V)

(3.7):

𝐼𝑑 =1

3(𝐼𝑅 + 𝑎𝐼𝑆 + 𝑎2𝐼𝑇)

𝐼𝑖 =1

3(𝐼𝑅 + 𝑎2𝐼𝑆 + 𝑎𝐼𝑇)

𝐼0 =1

3(𝐼𝑅 + 𝐼𝑆 + 𝐼𝑇) (3.7) [38]

Iz svih ovih relacija i formula mogu se na kraju odrediti simetrične komponente

nesimetričnog sustava i struje u fazama pomoću simetričnih komponenti. Nulta komponenta se

pojavljuje samo onda kada je suma struja u fazama različita od nule, a to se događa kada se

zatvara strujni krug i preko četvrtog voda (nulvoda). Prikazan je i jedan primjer određivanja

simetričnih komponenti za dvofazno opterećenje, odnosno načina na koji su posloženi vektori u

dijagramu za slučaj dvofaznog opterećenja.

31

3.4 Određivanje simetričnih komponenti za slučaj dvofaznog opterećenja [29]

Prilike u nesimetričnom sustavu mogu se prikazati sa tri trofazna sustava. I onda možemo

definirati impedancije direktnog (Zd), inverznog (Zi) i nultog sustava (Z0). Za slučaj inverzne i

direktne impedancije potreban je trofazni simetrični napon, dok je za nultu impedanciju potreban

jednofazni napon kao što se može vidjeti iz slijedećih shema.

Slika 3.5 Sheme simetričnih komponenti trofaznog sustava

Umjesto trofaznih shema mogu koristiti i jednofazne ekvivalentne sheme koje su puno

pogodnije za izračunavanje i postavljanje naponskih jednadžbi.

Slika 3.6 Jednofazne sheme simetričnih komponenti

ZdR

S

T

Vd

Ed ZiR

S

T

Z0R

S

T

Id Ii

Vi V0

I0

E0

Ei

DIREKTNI INVERZNI NULTI

DIREKTNI INVERZNI NULTI

Zd Id

Ed Vd

Zi

Ei Vi

Ii Z0 I0

E0 V0

32

Pa će naponske jednadžbe za ove sheme glasiti (3.8):

𝐸𝑑 = 𝐼𝑑𝑍𝑑 + 𝑉𝑑

𝐸𝑖 = 𝐼𝑖𝑍𝑖 + 𝑉𝑖

𝐸0 = 𝐼0𝑍0 + 𝑉0 (3.8)

gdje je:

Ed, Ei, E0 naponi simetričnih komponenti na početku sustava V,

Id, Ii, I0 struje simetričnih komponenti kroz sustav A,

Zd, Zi, Z0 impedancije simetričnih komponenti Ω,

Vd, Vi, V0 fazni naponi simetričnih komponenti na kraju sustava V.

Ako na mrežu djeluje simetrični sustav elektromotornih sila (EMS), onda će naponi za

inverzni i nulti sustav iznositi nula (Ei = 0, E0 = 0), pa će fazni napon na kraju iznositi (3.9):

𝑉𝑑 = 𝐸𝑑−𝐼𝑑𝑍𝑑

𝑉𝑖 = −𝐼𝑖𝑍𝑖

𝑉0 = −𝐼0𝑍0 (3.9)

33

4. MJERENJE SNAGE TROFAZNOG SUSTAVA

Jedna od bitnijih veličina trofaznog sustava je snaga i to djelatna, jalova i prividna. U

ovom dijelu poglavlja će se razmotiriti načini mjerenje dvaju snaga, dok se prividna ne može

izmjeriti već se dobiva iz prethodno navedenih snaga, djelatne i jalove.

4.1. Mjerenje djelatne snage u trofaznom sustavu

Trofazni sustav može biti četverožični ili trožični (bez nulvodiča). Trožični sustavi se

uglavnom koriste u visokonaponskim mrežama i tada se prijenos električne energije vrši pomoću

tri vodiča bez nulvoda , dok se četverožični koristi u niskonaponskim mrežama.

Snaga simetrično opterećenog četverožičnog sustava se može mjeriti pomoću jednog

vatmetra spojenog jednim parom stezaljka na jednu fazu i na nulvodič (naponske stezaljke) i s

drugim parom stezaljki spojenim serijski na fazu (strujne stezaljke) pa se taj iznos dobivene

snage onda pomnoži sa 3 i dobije se ukupna snaga sustava. Rw je otpor vatmetra, nije ga

potrebno iskazivati u shemama ili u slučaju spajanja vatmetra u praksi dodavati dodatni otpor u

granu naponske stezaljke.

Slika 4.1 Mjerenje snage simetrično opterećenog trofaznog sustava s nulvodičem

Ako je trošilo nesimetrično potrebno je mjeriti snagu svake faze posebno, pri tome se

koriste tri vatmetra, svaki za po jednu fazu. Ukupna snaga se tada dobiva zbrojem snaga svih

watmetara. Također se može koristiti i jedan vatmetar, ali uz posebnu preklopku koja se može

prebacivati iz faze u fazu.

A ako je riječ o trožičnom nesimetričnom sustavu, naponske stezaljke vatmetra se mogu

spojiti zajedno i tako stvoriti umjetnu nultočku sustava, ali je pri tome jako bitno da su otpori Rw

naponskih grana svih vatmetara jednaki.[30] U slučaju korištenja jednog vatmetra naponske

34

grane preostala dva se mogu zamijeniti dvama otpornicima otpora R jednakog otporu vatmetra

RW. 0` je umjetna nultočka.

Slika 4.2 Mjerenje snage trofaznog sustava bez nulvodiča u a) nesimetričnom opterećenju i

b) simetričnom opterećenju

4.1.1. Aronov spoj

Snaga trofaznog trošila sustava bez nulvodiča može se također mjeriti i Aronovim spojem

(metoda dva vatmetra) neovisno o tome da li je trošilo simetrično ili nesimetrično. Način

spajanja: Strujne grane watmetra XWM1 i XWM2 uključuju se u dvije od faza, prema slici 4.3

na R i T, a pripadajuće naponske grane se vežu između tih faza i treće faze u kojoj nema strujnih

grana vatmetra. Ulazne, lijeve strujne stezaljke oba vatmetra se vežu prema izvoru, a desne,

izlazne strujne stezaljke se vežu prema trošilu. Na vodič treće faze se spajaju desne, izlazne

naponske stezaljke oba vatmetra, a lijeve, ulazne naponske stezaljke se spajaju prema trošilu tj.

na izlazne stezaljke strujnih grana prema slici 4.3, a mogu se spojiti i na ulazne strujne stezaljke

tj. prema izvoru. Otpor Rw će se zanemariti u shemi.

Slika 4.3 Aronov spoj

R

S

T

XWM1

V I

XWM2

V I

XWM3

V I

WATMETAR

0`

XWM4

V I

R1

R2

R1=R2

a) b)

R1

R2

R3

R

S

T

XWM1

V I

XWM2VI

+ Vs -

+ Vt -

Ir

Vr-Vs

Vt-Vs

+ Vr -

Is

It

35

Da se mjerenje električne snage trofaznog sustava zbilja može izvršiti Aronovim spojem

može se pokazati analizom izraza za trenutni iznos ptr te snage (4.1):

𝑝𝑡𝑟 = 𝑢𝑅𝑖𝑅 + 𝑢𝑆𝑖𝑆 + 𝑢𝑇𝑖𝑇 (4.1)

gdje je:

ptr trenutni iznos snage

uR, uS, uT naponi po pojedinim fazama V,

iR, iS, iT struje kroz pojedine faze A.

Pošto nema nulvodiča prema Kirchoffovu zakonu vrijedi da je iR + iT + iS = 0 iz tog se

jasno vidi da je iS = -iR - iT iz čega se dolazi do sljedećeg oblika uvrštavanjem u izraz 4.1 (4.2):

𝑝𝑡𝑟 = 𝑖𝑅(𝑢𝑅 − 𝑢𝑆) + 𝑖𝑇(𝑢𝑇 − 𝑢𝑆) (4.2)

Iz slike 4.3 se vidi da prvi član na desnoj strani izraza 4.2 predstavlja umnožak struje

strujne grane i napona naponske grane vatmetra XWM1, a drugi član predstavlja umnožak struje

strujne grane i napona naponske grane vatmetra XWM2. To je trenutni iznos momenta koji

djeluje na pomični svitak prvog vatmetra razmjeran trenutnoj vrijednosti snage prvog

pribrojnika. Kako je otklon svitka razmjeran srednjoj vrijednosti tog momenta, to je on ujedno

razmjeran i srednjoj vrijednosti P1 snage prvog pribrojnika. Isto vrijedi i za drugi član odnosno

watmetar XWM2 [30]. Zato zbroj pokazivanja vatmetra predstavlja srednju vrijednost snage svih

triju faza (4.3):

𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2 (4.3)

gdje je:

P1 pokazivanje snage prvog vatmetra W,

P2 pokazivanje snage drugog vatmetra W,

P snaga svih triju faza W.

Iz vektorskog dijagrama simetrično opterećenog trofaznog sustava se može jasnije vidjeti

odnos napona i struja. Iz dijagrama možemo vidjeti da struje zaostaju za faznim naponima za kut

φ, a iz dijagram se vidi da između linijskog napona URS na koji je vezana naponska grana prvog

watmetra i struja IR koja teče njegovomn strujnom granom postoji fazni pomak (30º – φ), a

odgovarajući fazni pomak kod drugog watmetra (30º+φ). U električnoj mreži koja odgovara

36

propisima vrijedi da je URS = UTS = U , a zbog simetričnog opterećenja vrijedi jednakost IR = IS

= I.

Slika 4.4 Vektorski dijagram za Aronov spoj US [31]

Tako da otklonom α1 vatmetar XWM1 pokazuje snagu (4.4):

𝑃1 = 𝐼𝑅𝑈𝑅𝑆 cos(30º − 𝜑) = 𝑈𝐼𝑐𝑜𝑠(30º − 𝜑) = 𝑘1𝛼1

a vatmetar XWM2 otklonom α2 snagu:

𝑃2 = 𝐼𝑇𝑈𝑇𝑆 cos(30º + 𝜑) = 𝑈𝐼𝑐𝑜𝑠(30º + 𝜑) = 𝑘2𝛼2 (4.4)

gdje je:

UTS, URS linijski napon između pojedinih faza V,

k1, k2 konstante watmetra,

α otklon.

Može se zaključiti da otkloni vatmetra ovise o faktoru snage cosφ trošila i to posve

različito. Otkloni im mogu biti jednaki samo za djelatni otpor. Ako su vatmetri jednaki tada

vrijedi k1 = k2 = k . Sljedeći dijagram prikazuje otklone vatmetra u ovisnosti u o faznom kutu

trošila. Za izrazito jalova trošila gdje je fazni pomak |60º| < |𝜑| < |90º| jedan od vatmetra će

dati negativan otklon. Nakon zamjene naponskih stezaljki otklon mu postaje pozitivan tj.

mjerljiv, ali u proračunu mora biti sa negativnim predzankom. [32]

37

Slika 4.5 Otkloni vatmetra u Aronovom spoju ovisno o faznom kutu trošila [33]

Snaga P trofaznog sustava predstavljena je krivuljom zbroja otklona (α1 + α2). Ona je

jednaka ništici za posve jalova trošila, a maksimalnog je iznosa za posve radno trošilo. Iz otklona

vatmetra α1/α2 jednoznačno proizlazi faktor snage. trošila, a za to bi kod metode triju vatmetra

trebao voltmetar i ampermetar ili cosφ-metar. [34]

Trigonometrijskim razvojem slijedi (4.5):

𝑃1 − 𝑃2 = 𝑈𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑘(𝛼1−𝛼2)

𝑃1 + 𝑃2 = √3𝑈𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑘(𝛼1+𝛼2).

Izrazi se potom dijele i dobiva se:

𝑡𝑔𝜑 = √3(𝛼1 − 𝛼2)(𝛼1 + 𝛼2)

I na kraju slijedi:

𝑐𝑜𝑠𝜑 =1

√1 + 𝑡𝑔2𝜑

𝑐𝑜𝑠𝜑 =1

√1 + 3(𝛼1−𝛼2

𝛼1+𝛼2)2

(4.5)

38

4.2. Mjerenje jalove snage u trofaznom sustavu

Jalova snaga trofaznog trošila 𝑄 = √3𝑈𝐼𝑠𝑖𝑛𝜑 dobiti će se tako da se razlika snaga koja je

očitana sa vatmetra (P1 - P2) pomnoži sa √3 . Zbroj te dvije snage predstavlja djelatnu snagu

trošila.

Jalova snaga se može mjeriti vatmetrima na isti način na koji se spajaju vatmetri za

mjerenje djelatne snage. Primjer mjerenja jalove snage: strujna grana vatmetra se spaja isto kao i

kod mjerenja djelatne snage, a naponska grana vatmetra se spaja na napon pomaknut za 90º

prema onome pri mjerenju djelatne snage [35]. Znači ako će se mjeriti jalova snaga faze R, spaja

se strujna grana vatmetra u tu fazu, a naponske stezaljke treba spojiti na ostale dvije faze, tako da

izlazna naponska stezaljka bude spojena na T fazu, a ulazna stezaljka na S fazu. Sa dijagrama

slike 3.6 može se jasno vidjeti da je napon UST pomaknut za 90º stupnjeva tj. -90º stupnjeva.

Kako slika pokazuje mjerena je jalova snaga na fazi R. Vatmetar će tada pokazivati jalovu snagu

linijskog napona, pa je potrebno očitanje smanjiti za √3.

Ako neki vatmetar isključivo služi za mjerenje jalove snage u trofaznom sustavu tada

predotpor njegovom svitku treba povećati za √3 puta. Postojeći fazni pomak 𝜋

2 između napona

jedne faze i linijskog napona druge dvije koristi se pri mjerenju jalove snage trofaznog sustava, s

nulvodičem ili bez njega metodom triju vatmetra. [36]

Slika 4.6 Mjerenje jalove snage faze R i vektorski prikaz napona

Kada se radi o trofaznom sustavu bez nulvodiča može se koristiti i metoda dvaju vatmetra.

Tada se umjesto na linijski napon, naponska grana pojedinog vatmetra mora spojiti na njega

okomit fazni napon. U tom spoju naponske grane vatmetra pokazuju fazne vrijednosti, a ne

linijske pa se zbroj očitanja množi sa √3.

R

S

T

XWM1

V I WATMETAR

Ut

-Ut

Ur

Us

Ust

90º

39

Slika 2.7 Aronov spoj dvaju vatmetra za mjerenje jalove snage trofaznog sustava

4.3. Poluizravna i posredna mjerenja snage

Kod svih spojeva dosada, za mjerenje snage trofaznog sustava između strujnog i

naponskog svitka elektrodinamskog instrumenta javlja se puni linijski napon. Opasnost od

proboja između svitaka ograničava izravnu uporabu prethodnih spojeva samo na niže napone.

Pošto se kod viših struja može desiti proboj između svitaka, strujni dovodi i stezaljke pa i

sami vatmetri za veće struje su posebne izvedbe. Gornja granica izravnog opterećenja strujne

grane elektrodinamskih vatmetara je oko 50 A. Za veće struje je gornja granica uvijek veća iznad

20 A, pa se rabe strujni mjerni transformatori kako bi se struja trošila transformirala na iznos

prikladan za mjerenje [36]. Na jednak se način spajaju vatmetri preko strujnih mjernih

transformatora pri mjerenju snage trofaznih sustava. Takva se mjerenja nazivaju poluizravnima i

koriste se kod nižih napona.

R

S

T

XWM1

V I

XWM3

V I

WATMETAR

0`R1

40

Slika 4.8 Posredno mjerenje snage trofaznog sustava pomoću strujnih i naponskih mjernih

transformatora

Pojašnjenje slike:

Prva tri transformatora U1, U2 i U3 predstavljaju strujne transformatore koji su sa

primarom povezani svaki na jednu fazu, tako da je lijeva stezaljka primara povezana na fazni

vodič prema izvoru, a desna stezaljka povezana je prema trošilu te faze. Sekundari strujnih

transformatora vežu se tako da je lijeva stezaljka spojena na zemlju i na – pol vatmetra, a desna

na + pol strujnih stezaljka vatmetra.

Naponski transformatori U4, U5 i U6 vezani su za faze tako da su primari tih

transformatora lijevom stezaljkom vezani za pojedinu fazu, a desnom na nul-vodič. Dok su

sekundari transformatora povezani sa naponskim stezaljkama vatmetra i na zemlju.

Pri mjerenjima snage u mrežama viših napona iznad 600 V koriste se mjerni naponski i

mjerni strujni transformatori bez obzira na iznos struje trošila. To su posredna mjerenja snage u

jednofaznim, odnosno trofaznim sustavima. U trofaznim sustavima bez nulvodiča moguća su

poluizravna, izravna i posredna mjerenja snage Aronovim spojem. Ako se primjenjuju mjerni

transformatori, posebnu pozornost treba obratiti na uzemljivanje. Uzemljuje se lijeva stezaljka

sekundara strujnog transfomratora i lijeva stezaljka naponskog mjernog transformatora. U praksi

mogu biti označeni sa k (lijeva stezaljka sekundara strunog trafo.) i u (lijeva stezaljka sekundara

naponskog trafo). [37]

R

S

T

U4

2

U5

2

U6

2

U1

2

U2

2

U3

2

XWM1

V I

XWM2

V I

XWM3

V I

0

41

Ako se ovakav spoj ispravno ne napravi, mogu se pojaviti opasni naponi. Između

primarnog i sekundarnog namota može doći do proboja izolacije i javlja se visoki napon na

sekundaru. Ako nema uzemljena visoki napon se unatoč izolaciji pojavljuje u sekundaru zbog

kapacitivne veze između primarnog i sekundarnog namota. Ti kapaciteti čine djelitelj napona

koji drži sekundarni namot na visokom potencijalu.

42

5. ANALIZA ELEKTRIČNIH VELIČINA ZA NESIMETRIČNA TROŠILA

Ovo poglavlje je namjenjeno za praktični dio rada. Napraviti će se usporedba računskog

dijela električnih veličina s dobivenim veličinama u simulaciji napravljenoj u programu Multisim

12.0.0. I na kraju će se računski i simulacijski dio usporediti s mjerenjima u laboratoriju. Dobiti

će se uvid na razliku između sve tri vrste analize jednog trofaznog sustava. Pošto nismo u

mogućnosti bili u laboratoriju provesti mjerenja sa RLC spojem, ali i cijeli spoj je onda

kompliciraniji i za računanje. Provela se potpuna analiza (s računskim, simulacijskim i

laboratorijskim mjerenjima) za čisto djelatno trošilo. Tokom mjerenja u laboratoriju na fazu S i T

spojene su dekade koje su bile konstantne na 3kΩ i u fazu R je spojena promjenjiva dekada od 0

do 3,3 kΩ. S time je dokazano da razlike između triju analiza nisu velike i da se slažu u

mjerenim veličinama.

5.1. Računski dio

U računskom dijelu prikazat će se izračuni za pojedine vrijednosti otpora. Ostale

vrijednosti dobivene istim načinom će samo biti upisane u tablicu. Izračuni su izvršeni pomoću

prethodno navedenih formula za spojeve zvijezde. Dobiveni računski izračuni su izvršeni za

spoj Y-Y. Jedna shema spoja je sastavljena od trofaznog izvora i trofaznog trošila sa samo čistim

djelatnim otporom s promjenom otpora u fazi R, dok je druga shema spoja sastavljena od

trofaznog izvora i trošila RLC spoja u svim fazama s promjenom otpora u fazi R. Od najveće

koristi služi nam formula za Millmanov teorem, jer bez njega se ne bi mogle dobiti ostale

vrijednosti ovih spojeva.

5.1.1. Promjena otpora u fazi R od 0 do ∞ za čisti djelatni otpor (Y-Y)

Slika 5.1 Simetrično trošilo u slučaju 3 kΩ, bez nulvoda, čisti djelatni otpor

V1

230 V 50 Hz

3PHS

3kΩ

T

3kΩ

R

1000kΩKey=A100 %

0 0`

43

Slika 5.2 Shema prikaza električnih veličina za lakši proračun

Za početak proračuna potrebno je odrediti napon između zvjezdišta trošila i izvora. Tu od

koristi dolazi Millmanov teorem kojeg se može dobiti pomoću napona čvorova. Tako da se točka

0 uzme kao referentna točka, a 0` iskoristi kao točku za dobivanje napona čvora U0´0 (5.1). Zatim

je na redu određivanje napona po fazama trošila (otporima) koji se dobije tako da se napon U0´0

oduzme od faznog napona izvora (5.2). Dobivenim faznim naponom može se odrediti struja kroz

pojedine faze trošila (5.3). I na kraju kako bi se dobila prividna snaga množe se struje pojedinih

faza sa naponima pojedinih faza trošila. Ukupna prividna snaga se dobiva zbrojem svih snaga po

fazama trošila (5.4). Formule:

𝑈0´0 (1

𝑍𝑅+

1

𝑍𝑆+

1

𝑍𝑇) −

𝑈𝑅

𝑍𝑅−

𝑈𝑆

𝑍𝑆−

𝑈𝑇

𝑍𝑇= 0

𝑈0´0(𝑍𝑅) =

𝑈𝑅

𝑍𝑅+

𝑈𝑆

𝑍𝑆+

𝑈𝑇

𝑍𝑇

(1

𝑍𝑅+

1𝑍𝑆

+1

𝑍𝑇)

(5.1)

𝑈𝑍𝑅(𝑍𝑅) = 𝑈𝑅 − 𝑈0´0(𝑍𝑅)

𝑈𝑍𝑆 = 𝑈𝑆 − 𝑈0´0(𝑍𝑅)

𝑈𝑍𝑇 = 𝑈𝑇 − 𝑈0´0(𝑍𝑅) (5.2)

𝐼𝑅(𝑍𝑅) =𝑈𝑍𝑅

𝑍𝑅

𝐼𝑆 =𝑈𝑍𝑆

𝑍𝑆

𝐼𝑇 =𝑈𝑍𝑇

𝑍𝑇 (5.3)

UR

230 Vrms 50 Hz 0°

US

230 Vrms 50 Hz 120°

UT

230 Vrms 50 Hz 240°

R

1000kΩKey=A

100 %

S

3kΩ

T

3kΩ

IS

IR

IT

0`0

U0`0

Uzr

Uzs

Uzt

44

𝑆𝑅(𝑍𝑅) = 𝑃𝑅 = 𝑈𝑍𝑅 ∗ 𝐼𝑅∗

𝑆𝑆 = 𝑃𝑆 = 𝑈𝑍𝑆 ∗ 𝐼𝑆∗

𝑆𝑇 = 𝑃𝑇 = 𝑈𝑍𝑇 ∗ 𝐼𝑇∗

𝑆𝑈𝐾 = 𝑆𝑅 + 𝑆𝑆 + 𝑆𝑇 (5.4)

Za 𝑍𝑅 = 0 𝛺:

𝑈0´0(0) − 230∟0° = 0

𝑈0´0(0) = 230∟0° 𝑉

𝑈𝑍𝑅(0) = 𝑈𝑅 − 𝑈0´0(0)

𝑈𝑍𝑅(0) = 230∟0° − 230∟0° = 0 𝑉

𝑈𝑍𝑆 = 𝑈𝑆 − 𝑈0´0(0)

𝑈𝑍𝑆(0) = 230∟120° − 230∟0° = −345 + 𝑗199,18 = 398,37∟ − 30° 𝑉

𝑈𝑍𝑇(0) = 𝑈𝑇 − 𝑈0´0(0)

𝑈𝑍𝑇(0) = 230∟240° − 230∟0° = −345 − 𝑗199,18 = 398,37∟30° 𝑉

𝐼𝑅(0) = 0 A

𝐼𝑆(0) =𝑈𝑍𝑆(0)

𝑍𝑆=

398,37∟ − 30°

3 ∗ 103= 0,133∟ − 30° 𝐴

𝐼𝑇(0) =𝑈𝑍𝑇(0)

𝑍𝑇=

398,37∟30°

3 ∗ 103= 0,133∟30° 𝐴

𝑆𝑅(0) = 𝑈𝑍𝑅 ∗ 𝐼𝑅∗ = 0 𝑉𝐴

𝑆𝑆(0) = 𝑈𝑍𝑆 ∗ 𝐼𝑆∗ = 53 < 0° 𝑉𝐴

𝑆𝑇(0) = 𝑈𝑍𝑇 ∗ 𝐼𝑇∗ = 53 < 0° 𝑉𝐴

𝑆𝑈𝐾(0) = 𝑆𝑅 + 𝑆𝑆 + 𝑆𝑇 = 106 𝑉𝐴

Za 𝑍𝑅 = 400 𝛺:

𝑈0´0(400) =

230∟0°400 +

230∟120°3 ∗ 103 +

230∟240°3 ∗ 103

(1

400 +1

3 ∗ 103 +1

3 ∗ 103)=

0,575 − 0,076

0,00316= 158,22 𝑉

𝑈𝑍𝑅(1 ∗ 103) = 230∟0° − 191,78 = 71,78 𝑉

𝑈𝑍𝑆(400) = 230∟120° − 191,78 = −273,22 + 𝑗199,18 = 338,11∟ − 36° 𝑉

𝑈𝑍𝑇(400) = 230∟240° − 191,78 = −273,22 − 𝑗199,18 = 338,11∟ + 36° 𝑉

𝐼𝑅(400 ) =71,78

400= 0,18 𝐴

𝐼𝑆(400 ) =338,11∟ − 36°

3 ∗ 103= 0,113∟ − 36° 𝐴

45

𝐼𝑇(400) =338,11∟ + 36°

3 ∗ 103= 0,113∟ + 36° 𝐴

𝑆𝑅(400) = 𝑈𝑍𝑅 ∗ 𝐼𝑅∗ = 12,92 𝑉𝐴

𝑆𝑇 = 𝑆𝑆(400) = 𝑈𝑍𝑆 ∗ 𝐼𝑆∗ = 38,2𝑉𝐴

𝑆𝑈𝐾(400) = 𝑆𝑅 + 𝑆𝑆 + 𝑆𝑇 = 89,33 𝑉𝐴

Za 𝑍𝑅 = 3 𝑘𝛺:

𝑈0´0(3 ∗ 103) =

230∟0°3 ∗ 103 +

230∟120°3 ∗ 103 +

230∟240°3 ∗ 103

(1

3 ∗ 103 +1

3 ∗ 103 +1

3 ∗ 103)=

0,076 − 0,076

0,001= 0

𝑈𝑍𝑅(3 ∗ 103) = 230∟0° − 0 = 230 𝑉

𝑈𝑍𝑆(3 ∗ 103) = 230∟120° − 0 = 230∟120° 𝑉

𝑈𝑍𝑇(3 ∗ 103) = 230∟240° − 0 = 230∟240° 𝑉

𝐼𝑅(3 ∗ 103) =230∟0°

3 ∗ 103= 0,076 𝐴

𝐼𝑆(3 ∗ 103) =230∟120°

3 ∗ 103= 0,076∟120° 𝐴

𝐼𝑇(3 ∗ 103) =230∟240°

3 ∗ 103= 0,076∟240° 𝐴

𝑆𝑅(3 ∗ 103) = 𝑈𝑍𝑅 ∗ 𝐼𝑅∗ = 17,48 𝑉𝐴

𝑆𝑇 = 𝑆𝑆(3 ∗ 103) = 𝑈𝑍𝑆 ∗ 𝐼𝑆∗ = 17,48 𝑉𝐴

𝑆𝑈𝐾(3 ∗ 103) = 52,44 𝑉𝐴

Za 𝑍𝑅 = 300 𝑘𝛺:

𝑈0´0(300 ∗ 103) =

230∟0°300 ∗ 103 +

230∟120°3 ∗ 103 +

230∟240°3 ∗ 103

(1

300 ∗ 103 +1

3 ∗ 103 +1

3 ∗ 103)=

0,00076 − 0,076

0,00067

= 112,3∟180° 𝑉

𝑈𝑍𝑅(300 ∗ 103) = 230∟0° + 112,3 = 342,3 𝑉

𝑈𝑍𝑆(300 ∗ 103) = 230∟120° + 112,3 = −2,7 + 𝑗199,18 = 199,2∟ − 89,22° 𝑉

𝑈𝑍𝑇(300 ∗ 103) = 230∟240° + 112,3 = −2,7 − 𝑗199,18 = 199,2∟ + 89,22° 𝑉

𝐼𝑅(300 ∗ 103) =342,3

300 ∗ 103= 0,00114 𝐴

𝐼𝑆(300 ∗ 103) =199,2∟ − 89,22°

3 ∗ 103= 0,066∟ − 89,22° 𝐴

𝐼𝑇(300 ∗ 103) =199,2∟ + 89,22°

3 ∗ 103= 0,066∟ + 89,22° 𝐴

46

𝑆𝑅(300 ∗ 103) = 𝑈𝑍𝑅 ∗ 𝐼𝑅∗ = 0,4𝑉𝐴

𝑆𝑇 = 𝑆𝑆(300 ∗ 103) = 𝑈𝑍𝑆 ∗ 𝐼𝑆∗ = 13,14 𝑉𝐴

𝑆𝑈𝐾(300 ∗ 103) = 26,68 𝑉𝐴

Poslije 300 kΩ napon U0'0 će biti konstantan i iznositi će oko -114 V. Pošto za 0 Ω formula

za struju kroz fazu R daje veličinu neodređenog oblika, uračunata je tolerancija potenciometra od

1000 kΩ koji za 0 Ω ustvari daje 0,125 Ω.

Tablica 5.1. Električne veličine za djelatno trošilo dobivene računskim putem

R (kΩ) 0 0,2 0,4 0,8 1 2 3 10 50 300(∞)

U0´0/V 230 191,78 158 110,73 92,77 33,62 0 69,73<180° 105<180° 112,3< 180°

UZR/V 0 38,22 71,78 119,27 137,23 196,23 230 299,73 335 342,3

UZS/V 398,37<30° 365,76<33° 338,11<36° 301<41,4° 284,32<43,8° 248,51<53,2° 230<120° 204,2<-77,2° 190,4<-

87,1°

200<-

90°

UZT/V 398,37<30° 365,76<33° 338,11<36° 301<41,4° 284,32<43,8° 248,51<53,2° 230<240° 204,2<77,2° 190,4<87,1° 200<90°

IR/A 0,2 0,191 0,18 0,15 0,137 0,098 0,076 0,029 0,0067 0,00114

IS/A 0,13<-30° 0,121<-33° 0,113<-36° 0,1<41,4° 0,095<-43,8° 0,083<-53,2° 0,076<120° 0,068<-77,2° 0,066<-

87,1°

0,066<-

90°

IT/A 0,13<30° 0,121<33° 0,113<36° 0,1<41,4° 0,095<43,8° 0,083<53,2° 0,076<240° 0,068<77,2 ° 0,066<87,1° 0,066<

90°

SR/VA 0 7,3 12,92 17,9 18,8 19,23 17,48 8,7 2,24 0,4

SS/VA 53 44,256 38,22 30,1 27 20,62 17,48 13,9 13,9 13,14

ST/VA 53 44,256 38,22 30,1 27 20,62 17,48 13,9 13,9 13,14

SUK/VA 106 95,812 89,33 78,1 72,8 60,47 52,44 36,5 30,4 26,68

Slika 5.3. Ovisnost napona i snage o promjeni otpora u fazi R

U grafu se linija napona U0'0 kreće ispod nulte linije zbog toga jer se želi naglasiti

promjena polariteta. Računskim putem U0'0 dobiva negativne vrijednosti, ali u kompleksnom

smislu. To znači da on ustvari nije negativan već se desila promjena polariteta napona zbog

daljnjeg povećanja otpora nakon 3 kΩ (nakon simetričnosti sustava) i iznosi 115∟180°. To se

može dokazati i formulom za jednostavniji primjer tako da imamo otpor od 1 Ω za S i T fazu i 2

-200

-100

0

100

200

300

400

500

V,V

A

R (kΩ)

U0´0/V

UZR/V

UZS/V

SUK/VA

47

Ω za R fazu (povećanje otpora nakon postizanja simetričnosti sustava). Primjenom Millmanova

teorema vrijedi (5.8):

𝑈0′0 =

𝑈𝑅

2 +𝑈𝑆

1 +𝑈𝑇

112 +

11 +

11

=

2302 +

230∟120°1 +

230∟240°1

12 + 1 + 1

=115 − 115 + 𝑗199 − 115 − 𝑗199

2,5

𝑈0′0 = −46 + 𝑗0 = 46∟180° 𝑉 (5.8)

Kao što se može i vidjeti napon nije postao negativan već je samo promijenio polaritet.

Također možemo vidjeti da napon U0'0 povećanjem otpora u fazi R do beskonačnosti ne ide dalje

od 112 - 115V, odnosno od polovice faznog napona. To je zbog prekida faze R jer je otpor u

beskonačnosti, a prema Millmanovom teoremu i uz jednake otpore u fazi S i T dobiva se točno

pola od faznog napona. Računskim putem možemo uočiti negativnu vrijednost napona U0'0 u

kompleksnom smislu (-115 + j0), odnosno sam napon i struja ne mogu biti negativnih vrijednosti

već su te veličine pozitivne. Jedino mogu promijeniti polaritet (napon), odnosno smjer (struja) u

strujnom krugu. Može se na kraju zaključiti da je negativna vrijednost napona posljedica

nesimetrije trošila, u slučaju kada je RR manji od RS = RT napon je pozitivan, a kad je veći napon

je negativan.

Slika 5.4. Ovisnost struja kroz faze o promjeni otpora u fazi R

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

A

R (kΩ)

IR/A

IS/A

48

Slika 5.5. Ovisnost snage po fazama o promjeni otpora u fazi R

U dijagramima koje opisuje tablica su prikazani odnosi napona U0´0 i napona po fazama

trošila, struje kroz faze IR, IS = IT, te ponašanje snage u fazi R i S i ukupnu snagu u ovisnosti o

promjeni otpora, odnosno potenciometra u fazi R. UZR, UZS,UZT – naponi po fazama trošila SR,SS

= ST – snage po fazama trošila, Suk - ukupna snaga.

Povećanjem otpora u fazi R povećava se pad napona na toj fazi trošila, dok se napon

trošila na druge dvije faze smanjuje, jako mala struja prolazi kroz fazu R, odnosno nikakva i tada

trošilo praktički radi na samo dvije faze. Znači pomicanje otpora trošila u jednoj fazi od 0 do ∞

pretvorili smo trofazno trošilo u dvofazno trošilo. To možemo vidjeti i na temelju prividne snage

jer koristi puno manje snage nego kod trofaznog.

5.1.2. Promjena otpora u fazi R od 0 do ∞ za RLC spoj (Y-Y)

Slika 5.6. RLC spoj trošila, simetrično u slučaju 100 Ω u fazi R

Za RLC spoj trošila je računski dio kompliciraniji nego za trošilo od čistog djelatnog

otpora pa su električne veličine izračunate za samo 3 situacije, za 0, 500 i 10000 Ω. Postupak

proračuna sličan kao i za prethodni spoj, samo što je za RLC spoj potrebno izračunati prividni

0

10

20

30

40

50

60

0

0,2

0,4

0,8 1 2 3

10

50

30

0(∞

)

VA

R (kΩ)

SR/VA

SS/VA

V1

230 V 50 Hz

3PH

S

100Ω

T

100Ω

0`0

R1

10kΩKey=A

100 %

C2

25µF

L2

0.5H

L3

0.5H

C3

25µF

L1

0.5H

C1

25µF

49

induktivni i kapacitivni otpor kako bi dobili ukupnu impedanciju po fazi u ovisnosti o

frekvenciji. Zbog kapaciteta i induktiviteta zavojnice mijenja se i faktor snage i ne iznosi više 1

kao kod čistog djelatnog trošila pa se prividna snaga dobiva pomoću prethodno objašnjenog

trokuta snaga.

Formule (5.5) :

𝑋𝐿 = 𝜔𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 = 𝑗157, 𝑋𝐶 =1

𝜔𝐶 = −𝑗127,4

𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋𝐿 − 𝑗𝑋𝐶 = √𝑅2 + 𝑋2∟𝑡𝑔𝑋

𝑅°

𝑈0´0(𝑍𝑅) =

𝑈𝑅

𝑍𝑅+

𝑈𝑆

𝑍𝑆+

𝑈𝑇

𝑍𝑇

(1

𝑍𝑅+

1𝑍𝑆

+1

𝑍𝑇)

𝑈𝑍𝑛 = 𝑈𝑛 − 𝑈0´0(𝑍𝑅)

𝐼𝑛 =𝑈𝑍𝑛

𝑍𝑛

𝑃𝑛 = 𝑈 ∗ 𝐼 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑆𝑛 =𝑃𝑛

𝑐𝑜𝑠𝜑𝑛

𝑆𝑈𝐾 = 𝑆𝑅 + 𝑆𝑆 + 𝑆𝑇 (5.5)

Za 0 Ω (cosφR = 0, cosφS = cosφT = 0,95):

𝑈0´0(0) =

230𝑗29,6 +

230 < 120°100 + 𝑗29,6 +

230 < 240°100 + 𝑗29,6

(1

𝑗29,6 +1

104,28 < 16,5°+

1104,28 < 16,5°

)=

−𝑗7,77 − 2,11 + 𝑗0,64

1𝑗29,6 + 0,0182 − 𝑗0,0054

= 171,2∟ − 41,28° 𝑉

𝑈𝑍𝑅(0) = 𝑈𝑅 − 𝑈0´0 = 101,35 + 𝑗112,95 = 151,75∟48,1° 𝑉

𝑈𝑍𝑠(0) = 𝑈𝑆 − 𝑈0´0 = −243,65 + 𝑗312,3 = 395,6∟ − 52° 𝑉

𝑈𝑍𝑇(0) = 𝑈𝑇 − 𝑈0´0 = −243,65 − 𝑗86,23 = 258,46∟200° 𝑉

𝐼𝑅(0) =𝑈𝑍𝑅

𝑍𝑅=

151,75 < 48,1°

29,6 < 90°= 5,12∟ − 41,9° 𝐴

𝐼𝑆(0) =𝑈𝑍𝑆

𝑍𝑆=

395,96 < −52°

104,28 < 16,5°= 3,8∟ − 68,5° 𝐴

𝐼𝑇(0) =𝑈𝑍𝑇

𝑍𝑇=

258,46 < 48,1°

104,28 < 16,5°= 2,47∟183,5° 𝐴

50

𝑃𝑆(0) = 𝑈𝑍𝑆 ∗ 𝐼𝑆 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑆 = 1442,16 𝑊

𝑃𝑇(0) = 𝑈𝑍𝑇 ∗ 𝐼𝑇 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑇 = 606,476 𝑊

𝑆𝑅 = 0

𝑆𝑆(0) =𝑃𝑆

𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠= 1518∟18,19° 𝑉𝐴

𝑆𝑇(0) =𝑃𝑇

𝑐𝑜𝑠𝜑𝑇= 638,4∟18,19° 𝑉𝐴

𝑆𝑈𝐾(0) = 𝑆𝑅 + 𝑆𝑆 + 𝑆𝑇 = 2156,4∟18,19° 𝑉𝐴

Za 500 Ω (cosφR =0,99 , cosφS = cosφT = 0,95):

𝑈0´0(500 ) =0,46 − 𝑗0,027 − 2,11 + 𝑗0,64

0,002 − 𝑗0,00012 + 0,0182 − 𝑗0,0054= 84,86∟ − 4,6° 𝑉

𝑈𝑍𝑅(500) = 𝑈𝑅 − 𝑈0´0 = 314,6 − 𝑗6,8 = 315∟ − 1,24° 𝑉

𝑈𝑍𝑆(500) = 𝑈𝑆 − 𝑈0´0 = −30,4 + 𝑗192,38 = 195∟ − 80° 𝑉

𝑈𝑍𝑇(500) = 𝑈𝑇 − 𝑈0´0 = −30,4 − 𝑗206 = 206∟261,6° 𝑉

𝐼𝑅(500) =𝑈𝑍𝑅

𝑍𝑅=

315 < −1,24°

500,87 < 3,38°= 0,63∟ − 4,62° 𝐴

𝐼𝑆(500) =𝑈𝑍𝑆

𝑍𝑆= 1,87∟ − 96,5° 𝐴

𝐼𝑇(500) =𝑈𝑍𝑇

𝑍𝑇= 1,996∟245,1° 𝐴

𝑃𝑅(500) = 𝑈𝑍𝑅 ∗ 𝐼𝑅 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑅 = 196,46 𝑊

𝑃𝑆(500) = 𝑈𝑍𝑆 ∗ 𝐼𝑆 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑆 = 346,41 𝑊

𝑃𝑇(500) = 𝑈𝑍𝑇 ∗ 𝐼𝑇 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑇 = 394,84 𝑊

𝑆𝑅(500) =𝑃𝑅

𝑐𝑜𝑠𝜑𝑅= 198,4∟8° 𝑉𝐴

𝑆𝑆(500) =𝑃𝑆

𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠= 364,64∟18,19° 𝑉𝐴

𝑆𝑇(500) =𝑃𝑇

𝑐𝑜𝑠𝜑𝑇= 415,62∟18,19° 𝑉𝐴

𝑆𝑈𝐾(500) = 𝑆𝑅 + 𝑆𝑆 + 𝑆𝑇 = 978,87∟16,84° 𝑉𝐴

Za 10000 Ω (cosφR = 1 , cosφS = cosφT = 0,95):

𝑈0´0(10000 ) =−2,087 + 𝑗0,64

0,0183 − 𝑗0,0054= 115∟180° 𝑉

51

𝑈𝑍𝑅(10000 ) = 𝑈𝑅 − 𝑈0´0 = 345 𝑉

𝑈𝑍𝑆(10000 ) = 𝑈𝑆 − 𝑈0´0 = 199,18∟90° 𝑉

𝑈𝑍𝑇(10000 ) = 𝑈𝑇 − 𝑈0´0 = 199,18∟ − 90° 𝑉

𝐼𝑅(10000 ) =𝑈𝑍𝑅

𝑍𝑅= 0,0345 𝐴

𝐼𝑆(10000 ) =𝑈𝑍𝑆

𝑍𝑆= 1,91∟73,5° 𝐴

𝐼𝑇(10000 ) =𝑈𝑍𝑇

𝑍𝑇= 1,91∟ − 106,5° 𝐴

𝑃𝑅(10000 ) = 𝑈𝑍𝑅 ∗ 𝐼𝑅 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑅 = 11,9 𝑊

𝑃𝑆(10000 ) = 𝑈𝑍𝑆 ∗ 𝐼𝑆 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑆 = 361,41𝑊

𝑃𝑇(10000 ) = 𝑈𝑍𝑇 ∗ 𝐼𝑇 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑇 = 361,84 𝑊

𝑆𝑅(10000 ) =𝑃𝑅

𝑐𝑜𝑠𝜑𝑅= 11,9 𝑉𝐴

𝑆𝑆(10000 ) =𝑃𝑆

𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠= 380,67∟18,19° 𝑉𝐴

𝑆𝑇(10000 ) =𝑃𝑇

𝑐𝑜𝑠𝜑𝑇= 380,67∟18,19° 𝑉𝐴

𝑆𝑈𝐾(10000 ) = 𝑆𝑅 + 𝑆𝑆 + 𝑆𝑇 = 773,5∟18,1° 𝑉𝐴

Tablica 5.2 Električne veličine RLC spoja dobivene računskim putem

RR/kΩ 0 0,5 10

L/H 0,5 0,5 0,5

C/μF 25 25 25

XL/Ω 157 157 157

XC/Ω 127,4 127,4 127,4

U0´0/V 171,2∟-41,28º 84,86∟-4,6º 115∟180º

UZR/V 151,75∟48,1º 315∟-1,24º 345

UZS/V 395,96∟-52º 195∟-80º 199,18∟90º

UZT/V 258,46∟200º 208,23∟261,2º 199,18∟-90º

IR/A 5,12∟-41,9º 0,63∟-4,62º 0,0345

IS/A 3,8∟-68,5º 1,87∟-96,5º 1,91∟73,5º

IT/A 2,47∟183,5º 1,996∟245,1º 1,91∟-106,5º

SR/VA 0 198,4∟8º 11,90

SS/VA 1518∟18,19º 364,64∟18,19º 380,67∟18,19º

ST/VA 638,4∟18,19º 415,62∟18,19º 380,67∟18,19º

SUK/VA 2156,4∟18,19º 947,87∟16,84º 772,76∟18,1º

cosϕR 0 0,99 1

cosϕ (S,T) 0,95 0,95 0,95

52

Induktivitet i kapacitet u svim fazama ostaju nepromjenjivi. Mijenja se samo otpor na prvoj

fazi. Može se iz tablice vidjeti da prevladava induktivni otpor, što govori da je trošilo induktivno.

Povećanjem otpora u fazi R od 0 do 10 kΩ , napon (U0'0) između zvjezdišta trošila i izvora naglo

opada. U simulacijskom dijelu će se vidjeti kada otpor dođe do 100 Ω, javlja se simetričnost. I

napon između dva zvjezdišta je jednak nuli. Daljnjim povećanjem otpora taj napon se povećava i

u proračunu postiže maksimalnu vrijednost od 115 V, ali drugačijeg polariteta. Naponi i struje

UZS, UZT, IR, IS i IT kao i kod čistog djelatnog trošila opadaju s porastom otpora u fazi R, ali

kutevi su vidno različiti zbog utjecaja kondenzatora i zavojnice. UZR će porasti do napona od 345

V u slučaju beskonačnog otpora pa je vod faze R praktički u prekidu, njime teče jako mala struja

i voltmetar u biti mjeri najveći mogući napon te faze u slučaju ovog spoja. Kao i za prethodni

proračun čistog djelatnog trošila, može se reći da i ovaj spoj radi na samo dva fazna vodiča,

odnosno dvofazno ako je otpor jedne faze u beskonačnoj vrijednosti. Snaga opada i ona će ovisiti

od faktoru snage. Prividna snaga jedne faze je proporcionalna djelatnoj snazi te faze, a obrnuto

proporcionalna faktoru snage iste te faze.

5.2. Simulacijski dio

U simulacijskom dijelu uspoređena je samo prva simulacija (5.2.1) s računskim dijelom i

mjerenjima u laboratoriju, jer je njime potvrđeno da funkcioniraju i ostale sheme izvedene u

zadanom programu (Multisim 12.0.0). Simulacija 5.2.3 nije proračunski prikazana, ali zbog

mogućnosti u laboratoriju, prikazana je podacima mjerenim u laboratoriju. Ostale simulacije su

za uvid i prikaz ponašanja trofaznog sustava u drugim vrstama spojeva. Simulacijskim dijelom

se pokazalo da se vrijednosti podudaraju s proračunima i mjerenjima u laboratoriju, što nam

govori da program zbilja pokazuje realne vrijednosti.

53

5.2.1. Promjena otpora u fazi R od 0 do ∞ za čisti djelatni otpor (Y-Y)

Slika 5.6. Prikaz simulacije s voltmetrima i ampermetrima

Tablica 5.2. Električne veličine za čisto djelatno trošilo, dobivene simulacijom

Slika 5.7. Ovisnost napona i ukupne snage o promjeni otpora u fazi R

V1

230 V 50 Hz

3PH

S

3kΩ

T

3kΩ

R

1000kΩKey=A100 %

0 0`

U1

AC 1e-009Ohm

0.230 A

+ -

U3

AC 1e-009Ohm

0.133 A

+ -

U4

AC 10MOhm

0.029 V

+ -

U5

AC 10MOhm

398.378 V

+ -

U6

AC 10MOhm

398.378 V

+ -

U2

AC 1e-009Ohm

0.133 A

+ -

050

100150200250300350400450

V,V

A

R (kΩ)

U0´0/V

SUK /VA

UZR/V

UZS/V

UZT/V

54

Slika 5.8. Ovisnost struje o promjeni otpora u fazi R

Slika 5.9. Ovisnost snage po fazama o promjeni otpora u fazi R

5.2.2. Promjena otpora u fazi R od 0 do ∞ za RLC spoj (Y-Y)

Slika 5.10. Prikaz simulacije s watmetrima

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

A

R (kΩ)

IR/A

IS/A

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5

10

50

10

0

30

0

50

0

80

0

10

00

(∞)

VA

R (kΩ)

SR/VA

SS/VA

55

Tablica 5.3 Električne veličine za RLC spoj trošila, dobivene simulacijom

Slika 5.10. Ovisnost napona o promjeni otpora u fazi R

Slika 5.11. Ovisnost struje o promjeni otpora u fazi R

050

100150200250300350400450

0

0,0

1

0,0

5

0,1

0,3

0,5 1 2 5 8

10

V

R(kΩ)

U0´0/V

UZR/V

UZS/V

UZT/V

0

1

2

3

4

5

6

0

0,0

1

0,0

5

0,1

0,3

0,5 1 2 5 8

10

A

R(kΩ)

IS/A

IR/A

IT/A

56

Slika 5.12. Ovisnost snage o promjeni otpora u fazi R

Slika 5.13. Ovisnost faktora snage o promjeni otpora u fazi R

5.2.3. Promjena otpora u fazi R od 1,5 kΩ do 3 kΩ za čisti djelatni otpor (Y-Δ)

U spoju trokut - zvijezda nema nekih velikih promjena, jedino se mijenja fazna struja IRS

zbog promjene otpora u toj fazi. Fazni naponi na trošilu su jednaki linijskim naponima izvora jer

za trokut spoj trošila vrijedi UL = UF, stoga je napon na svakom otporu trošila jednak 400 V, dok

su fazne struje kroz svaki otpor √3 puta manje od linijske struje jer vrijedi IF = 𝐼𝐿

√3 . Povećanjem

otpora između R i S faze, struja IRS se smanjuje, dok struje IST i ITR ostaju nepromijenjene.

Linijska struja ILR se također smanjuje i jednaka je po promjeni linijskoj struji ILS, dok linijska

struja ILT uvijek ostaje nepromijenjena i iznosa 0,23 A. Komponente linijske struje ILT neće ni na

koji način doći do doticaja sa promjenjivim otporom RRS, pa ona ostaje ista bez obzira na

promjenu tog otpora, uvećana za √3 od fazne struje IST ili ITR. Komponente linijskih struja ILR i

ILS dolaze u doticaj sa promjenom otpora RRS, pa se njihova vrijednost mijenja.

0.00

500.00

1000.00

1500.00

2000.00

2500.00

3000.00

0

0,0

1

0,0

5

0,1

0,3

0,5 1 2 5 8

10

VA

R(kΩ)

SUK/VA

SR/VA

SS/VA

ST/VA

00.20.40.60.8

11.2

0

0,0

1

0,0

5

0,1

0,3

0,5 1 2 5 8

10

R(kΩ)

cosϕR

cosϕR

57

Slika 5.14. Prikaz simulacije za (Y-Δ)

Tablica 5.4. Električne veličine za spoj (Y-Δ) dobivene simulacijom

RR/kΩ 1,5 1,8 2 2,5 2,8 3

UZR/V 398 398 398 398 398 398

UZS/V 398 398 398 398 398 398

UZT/V 398 398 398 398 398 398

ILR/A 0,351 0,31 0,289 0,252 0,239 0,23

IRS/A 0,266 0,221 0,198 0,158 0,143 0,133

IST/A 0,133 0,133 0,133 0,133 0,133 0,133

ITR /A 0,133 0,133 0,133 0,133 0,133 0,133

SR/VA 105,868 87,958 78,804 62,884 56,914 52,934

SS/VA 52,934 52,934 52,934 52,934 52,934 52,934

ST/VA 52,934 52,934 52,934 52,934 52,934 52,934

SUK /VA 211,736 193,826 184,672 168,752 162,782 158,802

Slika 5.15 Ovisnost napona i snage o promjeni otpora u Y – Δ spoju

R1

3kΩKey=A

42 %

R2

3kΩ

R3

3kΩV1

230 V 50 Hz

3PH

U1

AC 1e-009Ohm

0.317 A

+ -

U2

AC 1e-009Ohm

0.133 A

+ -

U5

AC 1e-009Ohm

0.133 A

+ -

U3

AC 10MOhm

398

.403

V

+-

U4

AC 1e-009Ohm

0.229 A

+

-

R

S

T

050

100150200250300350400450

1.5 1.8 2 2.5 2.8 3

V

R(kΩ)

UZR/V

SUK /VA

58

Slika 5.16 Ovisnost struje o promjeni otpora u Y – Δ spoju

5.3. Mjerenja u laboratoriju

Zbog nemogućnosti korištenja kapacitivnih i induktivnih dekada zbog premalih vrijednosti

kapaciteta i induktiviteta na tim dekadama (došlo bi do oštećenja dekada zbog prevelike

vrijednosti napona trofaznog sustava), za mjerenje u laboratoriju su se mogli koristiti jedino

klizni otpornici od 0 do 3300 (3500) Ω koji su mogli podnijeti struje do 0,31 A, pa je zbog toga

bilo nemoguće za spojeve staviti manje od 200 Ω (Y-Y) na fazi R i 1500 Ω (Y-Δ) između R i S

faze. Za mjerenje su se koristila 4 analogna voltmetra i 3 digitalna ampermetra. Da bi uopće

počeli mjeriti bilo je potrebno ispitati sve instrumente, žice i elemente ispitati. Potrebno je bilo

utvrditi da žice nisu odspojene tako da smo podesili rotirajući dio multimetara na zvučni test

provodljivosti. Test je proveden za 14 žica. Sljedeće je bilo ispitivanje digitalnih i analognih

instrumenata, da li uopće pravilno mjere izmjeničnu struju i napon. Tri digitalna instrumenta su

normalno mjerila struju, jedan instrument uopće nije mjerio struju. Od analognih instrumenata

koji su bili ispitani da li mjere točan napon svi su bili ispravni. Analogni uopće nisu mjerili

struju, pa su bili iskorišteni samo za mjerenje napona. Posljednje je bilo utvrđivanje otpora na 3

klizna otpornika (3300 Ω) od kojih je jedna pokazivao 3,3 kΩ krajnje vrijednosti i ostala dva 3,5

kΩ , ali mjerenje je bilo izvršeno samo do 3 kΩ. Dva otpora su odmah podešena na 3 kΩ i

njihova vrijednost je konstantna, dok je treći bio iskorišten kao pomični i na njemu smo označili

potrebne vrijednosti otpora. Prvi spoj na kojem su mjerene vrijednosti je bio Y – Y, a drugi je

bio Δ – Y. Pomicanjem kliznog otpora mijenjale su se vrijednosti na instrumentima i potom

upisivale u tablicu. Klizni otpornik nije bilo dopušteno tokom mjerenja postavljati na 0, jer bi

tada jedna faza bila u kratkom spoju, struja bi prešla dozvoljenih 0,31 A otpornika i došlo bi do

velikog pregrijavanja i naposlijetku kvara otpornika (otpornik bi izgorio).

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

1.5 1.8 2 2.5 2.8 3

A

R(kΩ)

IRS/A

ILR/A

IST/A

59

Električne veličine dobivene mjerenjem u laboratoriju se poklapaju s računskim dijelom i

simulacijama i jako je mala razlika u brojkama pa je stoga bilo nepotrebno još jedanput crtati

dijagrame. Predočene su samo tablice. Digitalni instrumeni za mjerenje struje su imali

međusobnu grešku od otprilike ±6 % A.

5.3.1. Promjena otpora u fazi R za čisti djelatni otpor (Y-Y)

Tablica 5.5. Električne veličine dobivene mjerenjem u laboratoriju Y-Y

RR/kΩ 0,2 0,4 0,8 1 2 3

U0'0/V 190 160 110 90 38 0

UZR/V 40 80 115 200 230 230

UZS/V 360 335 310 300 240 230

UZT/V 360 335 310 300 240 230

IR/A 0,205 0,18 0,15 0,138 0,099 0,078

IS/A 0,127 0,117 0,104 0,1 0,087 0,08

IT /A 0,123 0,113 0,101 0,095 0,084 0,078

SR/VA 8,2 14,4 17,25 27,6 22,77 17,94

SS/VA 45,72 39,195 32,24 30 20,88 18,4

ST/VA 44,28 37,855 31,31 28,5 20,16 17,94

SUK /VA 98,2 91,45 80,8 86,1 63,81 54,28

Iz tablice se može uočiti da se povećanjem otpora u fazi R trošila smanjuje napon sa 230 V

na 0 (postignuta simetričnost). Daljnim povećavanjem otpora do beskonačno (što u ovom slučaju

nismo mogli na mjerenjima), kao što smo dokazali računski i u simulacijama, napon između

zvjezdišta izvora i trošila bi se popeo najviše do 115 V. To je zbog toga jer dolazi do prekida

faze R i za Millmanov teorem tada vrijedi (5.6) :

𝑈0′0 =

𝑈𝑍𝑆

𝑍 +𝑈𝑍𝑇

𝑍1𝑍 +

1𝑍

= −115 𝑉 (5.6)

Izraz vrijedi u slučaju ako su otpori u fazi S i T jednaki. Napon na fazi R raste i dostiže

maksimalnu vrijednost od 344 V na beskonačnom otporu jer sada vrijedi izraz (5.7):

𝑈𝑍𝑅 = 𝑈𝑅 − 𝑈0′0 (5.7)

Isto vrijedi i za ostale dvije faze, ali zbog njihovih faznih pomaka i negativnog predznaka

napona 𝑈0′0, krate se realni djelovi i ostaje imaginarni dio (j200) napona, instrument to mjeri kao

60

200 V. U polarnom obliku 200∟90° V za UZS, odnosno 200∟-90° V za UZT. Naponi faza S i T

opadaju pomičući klizni otpornik, dostižu minimalnu vrijednost 200 V na beskonačnom otporu.

Struje opadaju, najviša promjena struje se dešava kroz otpornik u fazi R.

5.3.2. Promjena otpora u fazi R za čisti djelatni otpor (Y-Δ)

Tablica 5.6. Električne veličine dobivene mjerenjem u laboratoriju Y-Δ

RR/kΩ 1,5 1,8 2 2,5 2,8 3

UZR/V 400 400 400 400 400 400

UZS/V 400 400 400 400 400 400

UZT/V 400 400 400 400 400 400

ILR/A 0,354 0,312 0,291 0,25 0,24 0,232

IRS/A 0,27 0,233 0,198 0,16 0,14 0,14

IST/A 0,14 0,141 0,14 0,14 0,14 0,134

ITR /A 0,13 0,13 0,131 0,131 0,131 0,13

SR/VA 108 93,2 79,2 64 56 56

SS/VA 56 56,4 56 56 56 53,6

ST/VA 52 52 52,4 52,4 52,4 52

SUK /VA 216 201,6 187,6 172,4 164,4 161,6

Svi fazni naponi trošila u zvijezda - trokut spoju su jednaki linijskim naponima izvora (UFT

= ULI) i iznose 400 V pa oni ostaju konstantni promjenom otpora u jednoj fazi kao i struje kroz

faze otpore trošila RST i RTR, jedino se mijenja linijska struja ILR i ILS i struja kroz otpor RRS tj.

ona opada. Fazne struje koje teku kroz otpore za √3 puta su manje od linijske struje (𝐼𝐹𝑡𝑟𝑜š𝑖𝑙𝑎 =

𝐼𝐿𝑖𝑧𝑣

√3). ILT ostaje konstantna linijska struja i iznosi 0,23 A.

5.3.3. Usporedba računskog dijela, simulacije i mjerenja u laboratoriju za U0'0

Kao najinteresantnija veličina, za usporedbu se uzima napon između zvjezdišta trošila i

izvora, tj. napon U0'0. Ova veličina je uzeta zbog toga jer ima najzanimljiviju promjenu u

trofaznom sustavu. Za sva tri načina U0'0 će se usporediti za promjenu otpora u fazi R za čisti

djelatni otpor (Y-Y spoj). Usporedba je prikazana jednom tablicom i dijagramom.

61

Tablica 5.7. Usporedba U0'0 za sva tri načina analize

Slika 5.17 Usporedba U0'0 za sve tri analize

Kao što se može vidjeti iz tablice i dijagrama sve tri vrste analize se slažu u brojevima. Na

grafu su prikazane i uspoređene efektivne vrijednosti sve tri metode analize. Najveće odstupanje

se može zamijetiti kod mjerenja u laboratoriju. Plava linija s točkicama (simulacijski dio)

prikazuje napon U0'0 za sve vrijednosti otpora jer simulacija dozvoljava uzimanje bilo koje

vrijednosti otpora pa time i 1000 kΩ, dok u realnim mjerenjima u laboratoriju postoje

ograničenja i raspolaže se sa onime čega ima. Zato za zelenu liniju napona U0'0 (mjerenja u

laboratoriju) nije prikazan napon za sve vrijednosti otpora. Zbog podudaranja i jako malih

odstupanja crvena linija (računski dio) se nalazi iza zelene i plave linije.

0

50

100

150

200

250

0

0,2

0,4

0,8 1 2 3

10

50

30

0

50

0

80

0

10

00

(∞)

U0

'0

R(kΩ)

Usporedba

RAČUNSKI DIO

SIMULACIJSKIDIO

MJERENJA ULABORATORIJU

62

6. ZAKLJUČAK

Teslinim otkrićem rotirajućeg magnetskog polja razriješeni su mnogi problemi

elektroenergetskog sutava i omogućeno je korištenje višefaznih sustava, posebice trofaznog.

Trofazni sustav je danas jedan od najčešće korištenih višefaznih sustava i na njemu se temelji

čitav elektroenergetski sustav. Trofazni sustavi nisu ništa više nego spoj nekoliko jednofaznih

sustava, u ovom slučaju tri jednofazna sutava čije su struje jednake frekvencije i međusobno

fazno pomaknute za određeni kut (120°). Puno je učinkovitiji od jednofaznih sustava i njegove

prednosti su povećani prijenos ukupne snage, smanjenje struje po provodniku, prijenos iste snage

sa manjim brojem provodnika. Trofazne struje se obično upotrebljavaju za trošila većih snaga

(>1 do 2 kW) i ona su ekonomičnija od trošila manjih snaga [44]. Zbog okretnog magnetsko

polja u trofaznim sustavima, lakša je i izrada električnih motora. Primjeri trofaznih trošila su

trofazne peći, trofazne friteze, trofazni elektromotori. Jedan primjer iz prakse: trofazna friteza će

puno brže zagrijati ulje nego obična jednofazna. Prednost je i ta da se na trofazne generatore

mogu spajati i jednofazna i trofazna trošila, prijenos energije se može vršiti na veće udaljenosti,

snaga je u vremenu konstantna. Jednofazna trošila se spajaju na jednu od triju faza i na neutralni

vodič.

U slučaju određenog kvara u trofaznim sustavima mogu se koristiti akumulatorske baterije

iz kojih se mogu dobiti trofazni naponi i struje korištenjem suvremenih elektroničkih prevarača

koji istosmjerni napon pretvaraju u trofazni. Ovakvi uređaji se u biti koriste kao rezervni izvori u

bolnicama, zračnim lukama, bankama itd.

Uređaji za ovakav sustav su puno manji, lakši i mnogo učinkovitiji i prenosi im se više

snage. Ali neki trofazni uređaji su složeniji i skuplji za izradu. U distributivnim trofaznim

sustavima se koristi puno manje bakrene ili aluminijske žice za prijenos snage, nego u

jednofaznim sustavima. Višefazni, odnosno trofazni sustavi su danas od velike koristi

čovječanstvu i imaju veliku primjenu u svim djelatnostima čovjekova života, ekonomičniji su i

potrebno je manje vodljivog materijala za prijenos električne energije. Trofazni sustavi su 150%

učinkovitiji od jednofaznih sustava.

Iz napravljene analize električnih veličina u ovom radu može se zaključiti da se spoj trokut

(Δ) može koristiti za postizanje većih brzina kod motora, jer svaka faza dobiva puni linijski

napon. Naponi svih faza ostaju konstantni bez obzira na promjenu otpora u jednoj od faza. Pošto

je u trokut spoju fazni napon jednak linijskom potreban je veći broj namotaja, a time je taj spoj

skuplji, jer tada treba više bakrene žice. Također je potrebna i bolja izolacija zbog punog

linijskog napona. Spoj trokut se obično koristi kod distribucije i u industrijama. Dok to nije

63

slučaj u spoju zvijezda (Y). Za spoj zvijezda brzina motora je puno sporija, jer motor dobiva

samo 1/√3 linijskog napona. Pošto je fazni napon 1/√3 linijskog napona, potrebno je manje

namotaja, a time se štedi na bakru. Također je potrebno manje izolacije. Zvijezda spoj se obično

koristi u prijenosu električne energije.

Na kraju se ovakvom analizom električnih veličina može zaključiti da se sve tri analize

(računska, simulacijska i mjerenja u laboratoriju) podudaraju u brojevima, ali da je uvijek

potrebno obaviti veći broj različitih analiza kako bi se vidjelo da se promatrane veličine zaista

podudaraju uz neka mala odstupanja i da bi uvidjeli na neke različitosti koje se mogu desiti kod

pojedinačne analize. Ako se za primjer uzme simulacija u zadanom programu, može se vidjeti da

se kod simulacije smije jedna faza kratko spojiti, a da se to na realnim mjerenjima ne smije

raditi, jer bi došlo do kvara i opasnosti po ljudski život. Simulacija nam u ovom slučaju daje veće

mogućnosti u odnosu na realna mjerenja, ali se mjerenjima u laboratoriju za određene veličine

dokazalo da simulacija zbilja funkcionira kako treba. A računski dio je još samo jedna potvrda

da je s ostale dvije analize sve uredu i da se u računskom dijelu može uočiti što se kod drugih

metoda analize ne može. Ove analize u biti na kraju pomažu da se osigura i dokaže na više

načina da neki sustav zbilja funkcionira onako kako bi i trebao funkcionirati.

64

LITERATURA

[1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 15, 16, 17, 21, 22, 23] Pinter, V.: „Osnove elektrotehnike 2“, s Interneta,

Scribd,

https://www.scribd.com/doc/83932427/Viktor-Pinter-Osnove-Elektrotehnike-2#scribd,

8.listopada 2015.

[5, 8, 9, 10, 11, 14, 18, 19, 20] Komen, V .: „Trofazni sustav izmjenične struje“, s Interneta,

Veleučilište u Rijeci,

http://www.veleri.hr/files/datoteke/nastavni_materijali/k_sigurnost_1/ELEK_POG_06.pdf,

7. listopad 2015.

[25, 26, 27, 28, 29] Požar, H.: „Visokonaponska rasklopna postrojenja“, Tehnička knjiga,

Zagreb, 1973.

[30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37] Vujović, D.; Ferković, B.: “Osnove elektrotehničkih mjerenja 2“.,

Školska knjiga, Zagreb, 1996.

[38] Pavić, I.: „Trofazni proračun tokova snaga“, s Interneta, FER,

https://www.fer.unizg.hr/_download/repository/Trofazni_proracun_tokova_snaga.pdf, 8. listopad

2015.

[39] „Trofazni sustavi“, s Inetrneta, FER, http://hertz.cc.fer.hr/3f_sustavi.pdf, 7. listopad 2015.

[40]„Trofazni naizmenični sistemi“, s Interneta,

http://www.rgf.bg.ac.rs/predmet/RO/III%20semestar/Elektrotehnika%20u%20rudarstvu/Predava

nja/08%20Trofazni%20sistemi,%20masine%20naizmenicne%20struje.pdf, 8. listopad 2015.

[41] Krajcar, S.; Marušić A.: „Električna postrojenja, Trofazni izmjenični sustavi“, s Interneta,

FER,

https://www.fer.unizg.hr/_download/repository/ElPos_predavanje_3_MSK_201516_za_web.pdf,

9. listopad 2015.

[42] „Trofazni sustav“, s Interneta, Riteh,

http://www.riteh.uniri.hr/zav_katd_sluz/zee/nastava/stel/oe2/download/11TrofazniSustav.ppt

7.listopad 2015.

[43] Shenkman Arieh L.: „Transient Analysis of Electric Power Circuits Handbook“ , s

Interneta, Google books,

https://books.google.hr/books?id=ghWik1CC6roC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summ

ary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false, 7.listopad 2015.

[44] Aldmour I.: „ Usage of 3 phase line“, s Interneta, ResearchGate,

65

https://www.researchgate.net/post/Why_do_we_use_only_3_phase_line_and_no_higher_phases

_and_how_can_i_manipulate_3_phase_line_to_higher_phase_line, 11. veljača 2016.

[45] Csanyi E.: „Single-Phase Power vs Three-Phase Power“, s Interneta, Electrical engineering

portal, http://electrical-engineering-portal.com/single-phase-power-vs-three-phase-power, 11.

veljača 2016.

SAŽETAK

U uvodu je objašnjeno općenito djelovanje trofaznih sustava, neke njihove prednosti.

Razmotrena su i djelovanja nekih višefaznih sustava. Iznesen je opis daljnjeg razmatranja

trofaznog sustava.

Sljedeće poglavlje, tj. poglavlje 2 opisuje djelovanje trofaznih sustava, nastanak struja i

napona i njihov odnos u različitim spojevima takvog sustava. Objašnjene su različite vrste

spojeva, bilo samog generatora i trošila ili njihovog međusobnog spoja. Poglavlje je je ujedno

potkrijepljeno i mnoštvom slika, skicama, formulama i shemama za bolje razumijevanje

višefaznog sustava. Općenito su objašnjeni pojmovi vezano za snagu trofaznog sustava.

U 3. poglavlju se govori o simetričnim komponentama simetričnog i nesimetričnog

trofaznog sustava. Detaljnije se govori o direktnom, inverznom i nultom sustavu kod

nesimetričnog sustava, te zavisnost struja i napona po fazama od sva tri sustava.

4. poglavlje je namjenjeno za detaljniji opis mjerenja snage trofaznih sustava. Prikazan je

način na koji možemo mjeriti djelatnu i jalovu snagu pomoću različitih vrsta spojeva kao što su

Aronov spoj i spojevi transformatora (poluizravna i posredna mjerenja) za mjerenje većih snaga.

Računski dio za dobivanje prividne snage iz jalove i djelatne je objašnjen u 2. poglavlju, dok se u

ovom poglavlju uglavnom opisuju načini spajanja vatmerta i izračunavanje njihovih otklona.

5. poglavlje je bazirano na vlastitim proračunima, simulacijama i mjerenjima u trofaznom

sustavu.

66

PRILOZI

Popis slika (shema) napravljenih u programu Multisim

Slike, odnosno sheme koje nisu referencirane izrađene su u programu NI Multisim 12.0.0

(Multisim Power Pro Edition 2012.). Program se koristi za simulaciju i analizu električnih

krugova.

1. Slika 2.6. Smjerovi unutarnjeg i vanjskog napona

2. Slika 2.12. Obrnuto okrenuti svitak faze S i odgovarajući dijagram

3. Slika 2.16. Priključak jednofaznih i trofaznih trošila na četverovodnu trofaznu mrežu

4. Slika 2.19. Simulacija miješanog spoja (zvijezda-trokut)

5. Slika 2.20. Simulacija mješanog spoja (trokut- zvijezda)

6. Slika 2.22. Određivanje napona na priključenim otporima pomoću Millmana

7. Slika 2.23. Shema indikatora redoslijeda faza

8. Slika 2.24. Shema umjetne nultočke i odgovarajući vektorski dijagram

9. Slika 3.1 Jednofazna shema trofaznog simetričnog sustava

10. Slika 3.5 Sheme simetričnih komponenti trofaznog sustava

11. Slika 3.6 Jednofazne sheme simetričnih komponenti

12. Slika 4.1 Mjerenje snage simetrično opterećenog trofaznog sustava s nulvodičem

13. Slika 4.2 Mjerenje snage trofaznog sustava bez nulvodiča u a) nesimetričnom opterećenju i

b) simetričnom opterećenju

14. Slika 4.3 Aronov spoj

15. Slika 4.6 Mjerenje jalove snage faze R i vektorski prikaz napona

16. Slika 4.7 Aronov spoj dvaju watmetra za mjerenje jalove snage trofaznog sustava

17. Slika 4.8 Posredno mjerenje snage trofaznog sustava pomoću strujnih i naponskih mjernih

transformatora

Slika nacrtana u programu Paint

1. Slika 2.21 Trokut snaga