Upload
basil-nash
View
65
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Náhodný jav Náhodná veličina. Vlastnosti PopiS Zákon rozdelenia. Náhodný jav. Náhodný jav charakterizuje výsledok náhodného pokusu: kvalitatívne – slovne kvantitatívne – číselne Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu. Náhodná veličina. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
VLASTNOSTIPOPIS
ZÁKON ROZDELENIA
NÁHODNÝ JAVNÁHODNÁ VELIČINA
NÁHODNÝ JAV
• Náhodný jav charakterizuje výsledok náhodného pokusu:• kvalitatívne – slovne• kvantitatívne – číselne
• Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu
NÁHODNÁ VELIČINA
• Je určená výsledkom náhodného pokusu• Charakteristickým znakom je jej
premenlivosť pri opakovaní pokusu• Môže nadobúdať rôzne hodnoty alebo
hodnoty z rôznych intervalov
Diskrétna náhodná veličinaSpojitá náhodná veličina
DISKRÉTNA NÁHODNÁ VELIČINA
Môže nadobúdať konkrétnu hodnotu z otvoreného alebo uzatvoreného intervalu.Sú to izolované, väčšinou celočíselné hodnoty
Príklady:Počet narodených chlapcov zo 100 narodených detí je NV, ktorá nadobúda akúkoľvek náhodnú hodnotu od 0 po 100Počet chybných výrobkov v sklade (obmedzený počet, závisí od kapacity skladu)Počet zákazníkov, ktorý prídu do obchodu za jeden deň (je to vždy obmedzený počet)Odmeraný smer na stanoviskuAdičná konštanta
SPOJITÁ NÁHODNÁ VELIČINA
Hodnoty z konečného alebo nekonečného intervalu, ktorých počet je nekonečný
Príklady:Ak meriame dĺžku s presnosťou ±5 mm, potom chyba, ktorej sa pri meraní dopustíme je spojitá NV a môže nadobúdať akékoľvek hodnoty z intervalu ±5 mmDoba čakania na autobus na zastávke je spojitá NV, lebo môže nadobudnúť akékoľvek nezáporné hodnoty Časový interval medzi prichádzajúcimi vlakmi v metreDĺžka náhodne vybranej tetivy v kružnici (body A, B)
ZÁKON ROZDELENIA NV
• Je pravidlo, podľa ktorého sa priraďuje náhodnej veličine pravdepodobnosť P(x)
• Označenie náhodnej veličiny: X• Číselné hodnoty, ktoré nadobúda náhodná
veličina: xi (x)
POPIS ZÁKONA ROZDELENIA PRAVDEPODOBNOSTI NV
• Matematickým vzorcom • distribučná funkcia F(x) – u spojitej aj diskrétnej
NV
• Grafom• na osi x sú hodnoty náhodnej veličiny xi a na osi
y sú jej príslušné pravdepodobnosti P(xi)
• Pravdepodobnostnou tabuľkou• u diskrétnej náhodnej veličiny
DISTRIBUČNÁ FUNKCIA
• Slúži k popisu diskrétnej aj spojitej NV• Každému reálnemu číslu priraďuje
pravdepodobnosť, že náhodná veličina X nadobudne hodnotu menšiu než toto číslo
• Príklad distribučnej funkcie normálneho rozdelenia:
) ( )( xXPxF
dxexFx x
2
2
22
,N 2
1 )(
VLASTNOSTI DISTRIBUČNEJ FUNKCIE
• Distribučná funkcia nadobúda hodnoty od 0 do 1 vrátane
• Distribučná funkcia je neklesajúca
• Distribučná funkcia je spojitá zľava
• Každá distribučná funkcia spĺňa podmienky
)()0( xXPxF )()0( xFxF
1)(0 xF
0 )(F 1)(F
)()(x 2121 xFFxx
GRAF DISTRIBUČNEJ FUNKCIE
Zodpovedá v popisnej štatistike grafu kumulatívnych relatívnych početností
• Popisuje len diskrétnu náhodnú premennú• Je najjednoduchšou formou zákona rozdelenia
• Ku všetkým možným hodnotám diskrétnej veličiny priraďuje zodpovedajúce pravdepodobnosti
PRAVDEPODOBNOSTNÁ TABUĽKA
xi x1 x2 ,,, xn Suma
P(i) p(1) p(2) ,,, p(n) 1
VLASTNOSTI PRAVDEPODOBNOSTI DISKRÉTNEJ NV
Súčet pravdepodobností je rovný 1
Pravdepodobnosť je určená vzťahom
Pravdepodobnosť diskrétnej náhodnej veličiny v intervale je daná vzťahom
1)( xp
xx
i
i
xpxFxXP )()()(
)()()( 1221 xFxFxxxP
SPOJITÁ NÁHODNÁ VELIČINA
• Distribučná funkcia spojitej náhodnej veličiny
kde(x) je hustota pravdepodobnosti NV.
dxxxFx
)(
HUSTOTA PRAVDEPODOBNOSTI
• zobrazuje sa frekvenčnou krivkou• popisuje rozdelenie spojitej NV• má podobné vlastnosti ako
pravdepodobnosť pri diskrétnej veličine
x
xFxxF
dx
xdFxFx
x
)()(lim
)(0
VLASTNOSTI HUSTOTY PRAVDEPODOBNOSTI
1. Je nezáporná
2. Spĺňa vzťah
3. Pravdepodobnosť, že NV nadobudne hodnoty z intervalu <x1,x2>
0x
1
dxx
dxxxxxPx
x
2
1
21
DISTRIBUČNÁ FUNKCIA A HUSTOTA
PRAVDEPODOBNOSTI
CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČÍN
Číselné hodnoty, ktoré popisujú rozdelenie náhodných veličín
Popisujú hlavné vlastnosti náhodnej veličiny
• Charakteristiky polohy• Charakteristiky premenlivosti• Charakteristiky šikmosti • Charakteristiky špicatosti• Momentové charakteristiky
CHARAKTERISTIKY POLOHY
• Stredná hodnota• Medián• Modus• Harmonický priemer• Geometrický priemer• Aritmetický priemer• Kvadratický priemer• ...
STREDNÁ HODNOTA
Popisuje polohu náhodnej veličiny, teda stred celého rozdeleniaStredná hodnota diskrétnej náhodnej veličiny
Stredná hodnota spojitej náhodnej veličiny
ix
ii xpxxE )(.)(
dxxxxE )(.)(
VLASTNOSTI STREDNEJ HODNOTY
• Súčin konštanty a náhodnej veličiny
• Súčet dvoch náhodných veličín x a y
• Súčin dvoch nezávislých náhodných veličín
)(.).( xEkxkE
)()()( yExEyxE
)().().( yExEyxE
MEDIÁN
5,0)()( medmed xxPxxP
Medián je hodnota, ktorá delí súbor náhodnej veličiny na dve rovnako pravdepodobné polovice
MODUS
Modus u diskrétnej náhodnej veličiny je hodnota s najväčšou početnosťou
ARITMETICKÝ PRIEMER
• je to zvláštny prípad strednej hodnoty
• Všeobecný aritmetický priemer (vážený aritmetický priemer)
n
xxxx
nx i
nAP 21
1
i
iinn
iVAP p
xpxpxpxp
px 2211
1
• je to zvláštny prípad strednej hodnoty recipročných hodnôt
• Príklad: priemerná rýchlosť
HARMONICKÝ PRIEMER
nHP xxxnx11111
21
GEOMETRICKÝ PRIEMER
• Príklad: finančný prírastok
nnGP xxxx .. 21
KVADRATICKÝ PRIEMER
• Príklad: priemerná hodnoty výroby elektrickej energie
nxxx
x nQ
222
21
MOMENTOVÉ CHARAKTERISTIKY
• Počiatočný moment k-teho rádu
• Centrálny moment k- teho rádu
kk xE
kkk xExExE 1
MOMENTY DISKRÉTNEJ NÁHODNEJ VELIČINY
x
kk xPxEx )(
)(xPxkk
MOMENTY SPOJITEJ NÁHODNEJ VELIČINY
dxxxkk )(
dxxxEx kk )()(
CHARAKTERISTIKY PREMELIVOSTI
• Variancia• Smerodajná odchýlka (stredná kvadratická
odchýlka)• Priemerná odchýlka• Pravdepodobná odchýlka
VARIANCIA (ROZPTYL, DISPERZIA)
je mierou variability náhodnej premennej
je definovaná ako druhý centrálny moment
222 )()()()( xExExExExV
n
iii xPxExxV
1
2 )(.)()(
dxxxExxV i )()()( 2
VLASTNOSTI VARIANCIE
• Variancia konštanty
• Variancia súčinu konštanty a náhodnej veličiny
• Variancia súčtu alebo rozdielu dvoch nezávislých NV
0)( kV
)().( 2 xVkxkV
)()()( yVxVyxV
SMERODAJNÁ ODCHÝLKA
• Základná charakteristika premenlivosti
• Štandardná odchýlka
)(xV
PRIEMERNÁ LINEÁRNA ODCHÝLKA
• Prvý absolútny centrálny moment
)(1 xExE
PRAVDEPODOBNÁ ODCHÝLKA
• medián absolútnych odchýliek od strednej hodnoty
5,0)()( xExrPxExrP
NORMOVANÁ NÁHODNÁ VELIČINA
• Normovaná (štandardizovaná) veličina
• Stredná hodnota normovanej veličiny
• Variancia normovanej veličiny
)(xEx
u
0)( uE
1)( uV
CHARAKTERISTIKY ŠIKMOSTI
• Tretí normovaný moment • Koeficient šikmosti
• Symetrické rozdelenie:
33
3
3
3
)()(
xExEuA
0)(3 u
CHARAKTERISTIKY ŠPICATOSTI
• Štvrtý normovaný moment
• Koeficient špicatosti
• Pre normálne rozdelenie je rovný 0• Pre E>0 je rozdelenie špicatejšie ako normálne • Pre E<0 je rozdelenie menej špicaté ako
normálne
44
4
4
4
)()(
xExEu
33)(44
4 uE
DVOJROZMERNÁ NÁHODNÁ VELIČINA
yx,x
• Charakteristika polohy veličiny x alebo y za podmienky, že druhá veličina nadobudla určitej hodnoty
• Diskrétna Spojitá
PODMIENENÁ STREDNÁ HODNOTA
x
jyxPxyxE )( dxyxxyxE
y
ixyPyxyE )( dyxyyxyE
•Charakteristika polohy veličiny x alebo y za podmienky, že druhá veličina nadobudla určitej hodnoty•Diskrétna
•Spojitá
PODMIENENÁ VARIANCIA
x
jjj yxPyxExyxV )(2
dxyxyxExyxVx
jjj
)(2
KOVARIANCIA
• Meria intenzitu vzťahu medzi obidvomi veličinami
• Stredná hodnota súčinu odchýliek obidvoch veličín od ich stredných hodnôt
)()(),( yEyxExEyxC
)()()( yExExyE
)()()()( yExExyEyxExyE
)()()()()()()( yExEyExEyExExyE
VIACROZMERNÁ NÁHODNÁ VELIČINA
Tkxxx ,, 21x
KOVARIANČNÁ MATICA
•Stredná hodnota vektora
•Variancie i2
•Kovariančná matica
TkxExExEE )(),(),()( 21 x
221
2222221
1122111
kkkkk
k
k
CCC
CCC
CCC
C