ANALIZA SISTEMA U KOMPLEKSNOM DOMENU

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA (LT)

LT je moćan alat za analizu i sintezu linearnih stacionarnih sistema.

Vrste LT: dvostrana i jednostrana

DVOSTRANA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

Dvostrana LT = granice su i (obrada signala, telekomunikacije, elektroenergetski sistemi)

Jednostrana LT = granice su 0 i (analiza kauzalnih signala i sistema)

 f t original

 s j kompleksna promenljiva

F s kompleksni lik

Primer. Odrediti Laplasovu transformaciju sledeće kauzalne funkcije (funkcije koja traje za pozitivno vreme):

( ) ( )atf t e h t

t

1

t

1

0!!!!!

( ) ( )

)

0

(

0

00

1( ) ( ) ( )

1

t

at at st a s t a j t

t

t

t

j

t

a

t

t

F s e h t e h t e dt e dt ea s

e ea j

L

Ako je 0a onda je ( ) 0ae ,

( )0 1ae

01 1

( ) 11

F sa j a j s a

, 0a

Ako je 0a onda je ( )ae ,

( )0 1ae

11

( )F sa j

nedefinisano!!!

Oblast konvergencije LT: Re0a s aa

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA TIPIČNIH FUNKCIJA 1. Jedinična impulsna funkcija

0( ) ( ) ( ) ( ) 1,( ) sts t e dt t e dt t dt st

L

( ) ( ) ,1t s s

( ) ( ) ,st st s

tt t e dt e e s

( ) ,st e s

2. Jedinična odskočna funkcija

0 0

( ) ( ) , R1

( e 0)st

st st

s

eH s h t e dt eh t

sdt s

s

L

( ) ( ) 1 , Re 0/h H s st s

3. Jedinična nagibna funkcija

0 00

2 2

0 0

0 0

0 0

2

0, 0 0

2

, 0

22

( ) ( )

0 0

( )

1R

10 0 , e

tst st

st st

t

t t

t tst st t j t t j t

t t

t t

t t

te eR s th t e dt te dt dt

s s

te e t e e e e

s s s s

e e e e

s s

t

s

r

ss ss

L

0

2( ) ( ) 1 , Re 0/r t R s ss

4. Eksponencijalna funkcija (videti prethodni primer)

( )

0

1, R( e) at st s a tat e e dt ee h t

s adt s a

L

5. Sinusna (kosinusna) funkcija

0 0

0 0

0 0

0

0

0

0 0

0 0

2 2

0

( ) cos ( ) cos ( )

cos

1

2

1 1

2 2

1 1 1

2

, Re 0

st

st

j t j t st

s j t s j t

F s t h t t h t e dt

t e dt

e e e dt

e dt e dt

s j s j

ss

s

L

0 0

0

1cos

2

j t j tt e e

( )f t ( ) ( )f tF s h t L Oblast konvergencije

( )t 1 s

( )h t 1

s Re 0s

( )r t 2

1

s Re 0s

ate

1

s a Re s a

0cos( )t 2 2

0

s

s Re 0s

DIJAGRAM NULA I POLOVA KOMPLEKSNOG LIKA LT

Za većinu realnih kontinualnih funkcija ( )f t , njihovi kompleksni likovi ( )F s mogu se

predstavi u sledećoj formi:

1 0

1 0

(s)( )

( )

m

m m

n

n n

B b s b s bF s

A s a s a s a

Nule kompleksnog lika LT su koreni polinoma ( )mB s :

1 00 0 , 1,) 2,. ,( m

m m ib s b s b s z i mB s

Polovi kompleksnog lika LT su koreni polinoma ( )nA s

1 00 0 , 1,) 2,. ,( n

n n ia s a s a s p i nA s

Napomena. Ukoliko su koreni polinoma kompleksni oni se javljaju u parovima sa

jednakim realnim delovima (,i jz a jb ili

,i jp a jb )

( )mB s , ( )nA s - polinomi kompleksne

promenljive s ,

n, m - su redovi polinoma

Vrednost funkcije u nuli ( )iF z :

Neka je , ( ) 0, ( ) 0i j n i m iz p A z B p . Tada važi:

( ) 0( ) 0

( ) ( )

m ii

n i n i

B zF z

A z A z , Nule se mogu nalaziti u oblast konvergencije LT

Vrednost funkcije u polu ( )iF p :

( ) ( )( )

( ) 0

m i m ii

n i

B p B pF p

A p , Polovi leže van oblasti konvergencije LT

Faktorizovani zapis

1 0 1 1

1 0

1 1

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

m

n

i

m m

m

m m i i

n nn

m n

i

i

i

i

iz zs sB s b s b s b

p

F sA s a s a s a

b

s s p

Ka

Primer: 2

2 8 2( 4) ( 4)( ) 2

8 12 2 6 2 6

s s sF s

s s s s s s

Dijagram nula i polova

S-ravan je ravan koju određuju realni i imaginarni deo kompleksne promenljive.

Dijagram nula i polova kompleksnog lika dobija se ucrtavanjem nula i polova u s-ravni pomoću simbola "o" i "x".

Leva poluravan s-ravni

Desna poluravan s-ravni

Imaginarna osa - granica između poluravni

„leva poluravan“

„desna poluravan“

x

x

x x

Primer. Odrediti Laplasovu transformaciju sledeće funkcije i nacrtati njene nule i polove

2 5t te h tf t e h t

Rešenje.

2 6( )

1 1,

2Re 2 Re

66

t tf t e h t e h t

s ss s

L L L

1

2

(s)2 8( ) ,

2 6Re max 2, 6

( )2

BsF s

s s A ss

nula: 1

1

(s) 2 8

4

0B s

z

polovi: 2

1 22 6

( ) ( ) 2 6 0

,

X s A s s s

p p

-2

-6

x x

Oblast konverg. LT

JEDNOSTRANA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

Jednostrana Laplasova transformacija

(donja granica je 0t )

1

0

( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt

L

Napomena. Donja granica 0t omogućava da se obuhvate i uzmu u obzir početni uslovi funkcija.

Napomena. Ako funkcija ( )f t ne sadrži impulsnu funkciju

( )t u početnom trenutku, onda se donja granica 0t ,

može zameniti sa 0t ili 0t .

1

0

( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt

L

t

t

t

OSOBINE JEDNOSTRANE LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

Redni broj

f t , 0t F s

1. ( )af t ( )aF s

2. 1 2 3( ) ( ) ( ) ...f t f t f t 1 2 3( ) ( ) ( ) ...F s F s F s

3. ( )df t

dt 0 )( ()s fF s

Napomena. Uokvireni član ne postoji kod dvostrane LT.

4. 2

2

( )d f t

dt

2 )( )(0 )

(0sd

Ff

f sdt

s

5. ( )n

n

d f t

dt

1

11

(( )

0 )knn k

k

n

ks s

d fsF

dt

6. 0 0

( )

t t

nf t dt ( )n

F s

s, 0,1,2,...n

7. ( ) atf t e ( )F s a

8. ( )f t a ( )ase F s

9. ( )nt f t ( )

( 1)n

n

n

d F s

ds

10. 1 2 1 2

0

( ) ( )

t

f f f f t d 1 2( ) ( )F s F s Konvolucija funkcija 1f i 2f .

11. lim ( )t

f t

0

lim ( )s

sF s

Ograničenje: funkcija ( )sF s ne

sme imati polove u desnoj poluravni i na imaginarnoj osi.

12. 0

lim ( )t

f t

lim ( )s

sF s

Nema ograničenja u primeni.

TABILCA LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

Redni broj

f t , 0t F s

1. ( )t 1

2. ( )h t 1

s

3. ( )h t , zakašnjanjena ( )h t 1 ses

4. ( ) ( )s t th t 2

1

s

5. 1

( 1)!

nt

n

, n je prirodan broj

1ns

6. ( ) ( )h t h t , pravougaoni impuls 1

(1 )se ss

7. ate , eksponencijalna funkcija 1

s a

8. 1

(1 )atea

1

( )s s a

9. atte 2

1

( )s a

10. 1

( 1)!

n att e

n

, n je prirodan broj

1

( )ns a

11. sin t 2 2s

12. cos t 2 2

s

s

13. 2

1(1 cos )t

2 2

1

( )s s

14. sinate t 2 2( )s a

15. cosate t 2 2( )

s a

s a

INVERZNA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA (ILT)

( ) ( )f t F s direktna Laplasova transformacija

0

( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt

L

( ) ( )F s f t inverzna Laplasova transformacija

-1 1( ) ( ) ( )

2

j

st

j

f t F s F s e dsj

L

Zahteva integraciju kompleksne funkcije.

ILT se teško određuje na osnovu definicije.

METODE ZA IZRAČUNAVANJE INVERZNE JEDNOSTRANE LAPLASOVE TRANSFORMACIJA

Za praktično određivanje inverzne Laplasove transformacija koristimo METODU RAZVOJA KOMPLEKSNOG LIKA FUNKCIJE NA PARCIJALNE RAZLOMKE.

Ova metoda može se primeniti samo kod signala čiji je kompleksni lik striktno racionalna funkcija, tj. predstavlja količnik dva polinoma sa realnim koeficijentima:

1 0 1

1 0

1

( )( )

( )( )

( )

m

m

m i

nn

n

i

i

isb

Ks b s bB s

F sA s a s a s a

s p

z

i to takva da je red polinoma u brojiocu striktno manji od reda polinoma u

imeniocu, m n .

U slučaju kada je m n potrebno je najpre podeliti polinome u brojiocu i

imeniocu.

Pri tome se dobija konstanta i ostatak deljenja, koji kada se podeli imeniocem, daje količnik u obliku striktne racionalne funkcije.

Za ovako dobijeni količnik se potom primenjuje metoda razvoja kompleksnog lika.

Nadalje pretpostavljamo da je kompleksni lik ( )F s striktno racionalna funkcija.

Razlikujemo četiri karakteristična slučaja:

1. Svi polovi ( )F s su realni i prosti

2. Postoje konjugovano kompleksni polovi, dok su ostali realni i prosti

3. Funkcija ( )F s ima višestruke realne polove

4. Funkcija ( )F s ima višestruke konjugovano kompleksne polove (ne radi se).

1. Svi polovi funkcije ( )F s su realni i prosti

Pretpostavka: 1 0 1

n

n na s a s a s p s p

Razvoj funkcije

1 0 1

1 1

( )( )

( )

m

m n

n n

b s b s b KKB sF s

A s s p s p s p s p

Koeficijenti

( )

, 1,2, ,( )

i

i i

s p

B sK s p i n

A s

Inverzija

-1

1

( ) ( ) i

np t

i

i

F s f t K e

L

Primer. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

23 4 7( )

1 5 8

s sF s

s s s

realni i prosti polovi: 1 2 31, 5, 8p p p

Rešenje: 31 2( )1 5 8

KK KF s

s s s

2

1 1

1

3 4 7 31 ( )

5 8 14s

s

s sK s F s

s s

2

2 5

5

3 4 7 315 ( )

1 8 6s

s

s sK s F s

s s

2

3 8

8

3 4 7 1678 ( )

1 5 21s

s

s sK s F s

s s

5 83 31 167( )

14 6 21

t t tf t e e e

2. Postoje konjugovano kompleksni polovi, dok su ostali realni i prosti

Pretpostavka:

*

1 0 1 1 3

n

n n

konjugovani

a s a s a s p s p s p s p

1p j , *

2 1p p j konjugovano kompleksni polovi,

43 , , ..., npp p su realni i prosti

I NAČIN (preko sinusa i kosinusa)

Razvoj funkcije

1 0

*

1 1 3

3

3

*

1 1

*

3

1

3

1

( )( )

( )

m

m

n

n

n

n

n

b s b s bB sF

K K

s p s p

a

sA s s p s p

Kjb a jb

s j s

s p s p

K K

s p s p

K

pj s s p

1

*

2 1

1

*

2 1

,

,

,

p j

p p j

K a jb

K K a jb

Koeficijenti 1

1 1 2 1

),

(

( )s p

a b a bB s

K s p j K K jA s

,

( )

, 3,4, ,( )

i

i i

s p

B sK s p i n

A s

Kompleksna funkcija

2 2

3 3

2 2( )

n ni i

i ii i

a s bK Ka jb a jbF s

s j s j s s s ss

2 22 2

3

( ) 2 2n

i

i i

s KF s a b

s ss s

Inverzija:

-1

3

( ) ( ) 2 cos 2 sin i

ns tt t

i

i

F s f t e t e eb t Ka

L

II NAČIN (preko jednog kosinusa)

*

1

*

1

3

3

1

1

( )( )

( )

n

n

K KB sF

K K

s pp ss

A s sp s p

*1 1 1 1 1

1 1

1

* -1 *

1 1 1 1 1

arg (arg )( )

1 1

(arg )

1

1 1

*

1 1

*

1 1

2Re

2Re 2Re

2 Re

2 cos arg

p t p t p t p t p t

j K j K tj t t

j K tt

t

K e K e K e K e K e

K e

e

K K

s p

e K e e

K e

K e K

s

t

p

L

2 2

1 1, arg argb

K a jb a b K a jb arctga

Inverzija:

-1

1 1

3

( ) 2 cos arg i

ns tt

i

i

F s K e t K K e

L

* 2Re{ }z z z

Primer. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

2

3 7)

32 32(

s sF

ss

ss

Rešenje:

2

2

1,3 32 2 1 10s j jss ps ,

3 3p , 4 3p

* 31 41

31 1 4( )( ) ( ) ( 3) ( 3 )1 1

pp pp

KK K KF

sjs

s s sj

, *

2 1K K

1

1

3 7( 1 )

( 1 ) ( 1 ) 3 3

19 42

1

19 42

17 70 1700

s j

sK s j

s j s j s s

jj a jb

19

170

42

170

a

b

1

1

2 1

19 42

170 170K K a jb j

3 3 2

3

3 7 13 ( )

152 2 3s

s

sK s F s

s s s

4 3 2

3

3 7 83 ( )

512 2 3s

s

sK s F s

s s s

I način

4

3

3 3

3

1 1

3

( ) 2 cos 2 sin

1 82 cos 2 sin

15 51

19 42 1 8c

1

o

19 42

170 7

s sin85 85 15 51

01 1

is tt t

i

i

t t t t

t t t t

f t e t e t K ea b

e t e t e e

e t e t e e

II način:

4

-1

1 1

3

( ) 2 cos arg is tt

i

i

F s K e t K K e

L

2 2

1 1, arg argb

K a jb a b K a jb arctga

1, 1 , 0

,19 42

170 17a b ,

2 2

1

19 42

170 170K

1

19

19 19170arg arg42 42 42

170

K a jb arctg arctg arctg

2 2

-1 3 319 42 19 1 8( ) ( ) 2 cos

170 170 42 15 51

t t tf t F s e t arctg e e

L

3. Funkcija ( )F s ima višestruke realne korene

Pretpostavka: 3

1 10 4n n

n sa s ps a a sp ps

1 2 3p p p - realan pol višestrukosti 3

4p , … , np - realni i jednostruki polovi

Razvoj funkcije

1

1

1311 12

3 2

11

0

4

1

3

4

4

( )

n

n

n

m

m

s p ss p

KK K

s ps p s p

p

KK

s p s p

b s b s bF s

Pravilo: 1

-1 1{ }

( ) ( 1)!

n at

n

t e

s a n

L

1 1 1

11 12 13

4

21( )

2i

np tp t p t p t

i

i

f t K e K e K e K et t

Koeficijenti (za višestrukost 3)

1

11 1

31 ( )

0! ( )s p

B sK s p

A s

,

1

12 1

31 ( )

1! ( )s p

d B sK s p

ds A s

1

2

1 1

3

3 2

1 ( )

2! ( )s p

d B sK s p

ds A s

Opšta formula (za višestrukost )

1

1

1 ( ), 1,2, ,

1 ! ( )i

j

ij ij

s p

d B sK s p j

j ds A s

Inverzija

1 1 1

11 12 13

4

21( )

2i

np tp t p t p t

i

i

f t K e K e K e K et t

Primer. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

3

4 9( )

2 3

sF s

s s

Rešenje:

1311 12 4

3 2( )

2 32 2

KK K KF s

s ss s

3

112

2

4 92 ( ) 1

3ss

sK s F s

s

3

12 2

22

32 ( ) 3

3ss

dK s F s

ds s

2

3

13 2

2

12 ( ) 3

2s

dK s F s

ds

4 33

3

4 93 ( ) 3

2s

s

sK s F s

s

3 2

1 3 3 3( )

2 32 2F s

s ss s

2 2 2 2 31( ) 3 3 3

2

t t t tf t t e te e e

PRIMENA JEDNOSTRANE LAPLASOVE TRANSFORMACIJE NA REŠAVANJE LINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA

Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine

0 0

( ) ( )k kn m

k kk kk k

d y t d u ta b

dt dt

Rešenje: Primenjujemo jednostranu Laplasovu transformaciju.

0 0

( ) ( )/

k kn m

k kk kk k

d y t d u ta b

dt dt

L

Pravilo:

1 2 (1) ( 2) ( 1)(0 ) (0( ) (0 ) (0 )(

))k

k

k kk k kd f ts f s f sfs F

ts f

d

Dobija se algebarska jednačina

(n 1)POLINOM KOJI ZAVISI OD POČETNIH

USLOVA (0 )

1

0

(

0

, , 0 )

( ) ( ) ( )n m

k k

k n k

k k

f f

a s Y s R s b s U s

1

0 0

( (( )) )n m

k k

nk k

k k

UY s a s b s ss R

0

00

0 0

1( ) ( ) ( )( )( )

P

mk

k

kPn n

k k

k k

k k

Y Y

b s

Y Rs Y s Y s

a s s

sU s

a

0( ) ( ) ( )PY s Y s Y s

1

0 0( ) ( )P Py t Y s Y s y t y t L

( )PY s - rešenje usled pobude

0 ( )Y s - rešenje usled početnih

uslova

OPŠTI POSTUPAK ODREĐIVANJA ODZIVA SISTEMA PRIMENOM LT

Diferencijalna jednačina

ODZIV y(t)

Algebarska jednačina

Rešenje Y(s)

Primer. Odrediti odziv sistema

2

2

( ) ( )7 12 ( ) ( ), (0) 2, (0) 4

d y t dy ty t u t y y

dt dt

( ) 2 ( )tu t e h t

Rešenje.

( ) 7 ( ) 12 ( ) 2 ( ) /ty t y t y t e h t L

2 2 1( ) (0 ) (0 ) 7 ( ) (0 ) 12 ( )

1s Y s sy y sY s y Y s

s s

2 3 2

( ) 7 ( ) 12 ( ) (0 ) 7 (0 ) (0 )1

ss Y s sY s Y s sy y y

s s

1

2

( )

3 27 12) ( ) (0 ) 7 (0 ) (0 )

1R s

ss s Y s sy y y

s s

2 2

ODZIVUSLED POBUDE ODZIV USLED POČETNIH USL A

0

OV

3 2( )

2 10( )

3 2

1 2 7 2 4( )

7

1 3 34

1 1

4

2 7 2

P

sY s

s

s s sY s

sY s

s s s

s s

s

s s

ss

Ukupni odziv:

0

3 22 12 13 2( )( )

1 3 4( )P

B ss s sY s

s s s s A sY sY s

1 2 3 40 0, 1, 3, 4,B s p p p p

( )1 3 4

A B C DY s

s s s s

3 2

0

2 12 13 2 1

1 3 4 6s

s s sA s

s s s s

3 2

1

2 12 13 2 11

1 3 4 6s

s s sB s

s s s s

3 2

3

2 12 13 2 173

1 3 4 6s

s s sC s

s s s s

3 2

4

2 12 13 2 74

1 3 4 6s

s s sD s

s s s s

3 41( ) 1 17 7 ( )

6

t t ty t e e e h t

FUNKCIJA PRENOSA LINEARNIH STACIONARNIH SISTEMA

DEFINICIJA FUNKCIJE PRENOSA PREKO IMPULSNOG ODZIVA SISTEMA

( )( ) ( )( ) ( )g t g tu uy d tt

/ L

( ) (( ) ( ) )() ) ( )( Uu g tt u G sy g t tt s L LL L

( ) ( ) ( )Y s G s U s

( )G s - Laplasova transformacija jediničnog impulsnog odziva sistema.

Lineran, kontinualan, stacionarn SISO sistem sa impulsnim odzivom ( )g t

Definicija. Funkcija prenosa linearnog, stacionarnog sistema definiše se kao Laplasov lik impulsnog odziva ( )g t sistema

( ) ( ) stG s g t e dt

Ukoliko je sistem kauzalan onda se prethodna definicija funkcije prenosa može zameniti sa

0

( ) ( ) stG s g t e dt

Funkcija prenosa predstavlja model sistema u kompleksnom domenu.

Poznajući funkciju prenosa možemo jednostavno odrediti odziv sistema na proizvoljnu pobudu:

( ) ( ) ( )Y s G s U s

DEFINICIJA FUNKCIJE PRENOSA PREKO ULAZNO-IZLAZNIH VELIČINA SISTEMA

Primenom LT na diferencijalnu jednačinu sistema sa nultim početnim uslovima:

-1

-1 1 0-1

-1

-1 0

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

n n

nn n

m m

m mm

d y t d y t dy ta a a y t

dt dt dt

d u t d u tb b b u t

dt dt

/ L

dobija se algebarska jednačina:

1 1

1 1 0 1 1 0( ) ( )n n m m

n m ms a s a s a Y s b s b s b s b U s

Definišimo loličnik:

1

1 1 0

1

1 1 0

( ),

( )

m m

m m

n n

n

b s b s b s bY sG s n m

U s s a s a s a

Definicija. Funkcija prenosa linearnog, stacionarnog sistema definiše se kao odnos Laplasove transformacije izlazne i ulazne veličine, uz pretpostavku da su svi početni uslovi jednaki nuli.

KARAKTERISTIČNI POLINOM SISTEMA. RED SISTEMA

Funkcija prenosa sistema:

1

1 1 0

1

1 1 0

( )

( )

m m

m m m

n n

n n

b s b s b s b B sG s

s a s a s a A s

Karakteristični polinom sistema:

1

1 1 0

0

( ) ( ) , 1n

n n k

n n k n

k

f s A s s a s a s a a s a

Red sistema = n

NULE I POLOVI FUNKCIJE PRENOSA

1

1 1 0 0 1

1

1 1 0

0 1

( )

( )

( )

mms

m m k

m m k i

n nn nsn

ik

k i

isb sb s b s b s b

G ss a s a s a

pa s s

K

z

K - faktor pojačanja sistema

is z i is p - faktori polinoma u brojiocu i imeniocu funkcije prenosa

Nule prenosne funkcije ( iz ) odgovaraju korenima polinoma u brojiocu funkcije

prenosa.

1

1 1 0

0 1

( ) 0mm

m m s

m m k

k i

ib s b s b s b b s s z

Polovi funkcije prenosa ( ip ) odgovaraju korenima polinoma u imeniocu funkcije

prenosa.

1

1 1 0

0 1

( )i

nnn n s

n k

k i

s a s a s a a s ps

UTICAJ SKRAĆIVANJA NULA I POLOVA SISTEMA NA NJEGOVO PONAŠANJE

Skraćivanje parova jednakih nula i polova je moguće ukoliko su oni locirani u levoj poluravni s-ravni.

Primer.

15 ( 10)( )

sG s

( 1) ( 10)s s 1

15( )

( 1)( 20)( 20)G s

s ss

- Nakon izvršenog skraćivanja nule i pola, broj polova redukovanog modela sistema

1( )G s je umanjen za 1 u odnosu na originalnog modela sistema ( )G s .

- Red modela redukovanog sistema 1( )G s je smanjen za 1 (smanjuje se i broj početnih

uslova redukovanog modela).

- Odziv originalnog i redukovanog sistema na istu pobudu je isti.

- Međutim, odzive usled početnih uslova nema smisla porediti, pošto početni uslovi originalnog i redukovanog sistema više nisu isti.

PREDSTAVLJANJE POLOVA U KOMPLEKSNOJ RAVNI

Par konjugovano kompleksnih korena:

1,2

j

np j e ,

2 2

1,2

1,2arg ( / )

np

p arctg

1,2

1

jj

n n

j j j

n n

p e e

e e e

identitet: cos( ) sin( )je j

1,2 cos( ) sin( )

cos sin

n

n n

p j

j

smena: cos

2

1,2 1n np j

X

X

„s-ravan“

Položaja polova (X) u kompleksnoj ravni u zavisnosti od za konstantno n

X

X

X

X X

X

X

X X X X X

Smer porasta

Smer porasta

Smer opadanja X

X

X

X

X

X

X X

X

X

Smer opadanja

X

X

X

X

X

X X X X X X X

za 0 ( / 2 ) polovi su levo od Im-ose za 0 ( / 2 ) - polovi su desno od Im –ose

za 0 ( 0 ) polovi se nalaze na Im-osi

FUNKCIJE PRENOSA NEKIH SISTEMA Čisto transportno kašnjenje

( ) ( ) ( ) ( ) ,( )s sy t u t Y s U s G s see

Diferencijator

( )( ) ( ) ( ) ( ,)

dy ty t Y s sU G ss s

dts

m > n ne može se fizički realizovati !

( )1

sG s

Ts

realni diferencijator n = m

Integrator

1

( ) ( ) ( ) ( ) , Re 01

( )

t

y t u t dt GY s Us

ss

s s

ULOGA PRENOSNE FUNKCIJE U ODREĐIVANJU ODZIVA SISTEMA

1. Odrediti Laplasov lik ulaznog signala

( )U s u t L

2. Odrediti odziv sistema u obliku

Y s G s U s

3. Naći inverznu Laplasovu transformaciju

1 1( ) ( ) ( ) ( )y t Y s G s U s L L

POVEZIVANJE SISTEMA

ELEMENTARNE TRANSFORMACIJE BLOKOVA

1. Paralelna veza dva sistema

1 1

1 2

1 2 1

( )

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) )(

U U G s

Y Y

Y S G s U s G G ss U s U sG s

2. Redna veza dva sistema

1

2

2

12 1

( )

2( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ))

U G s

U

Y Y

Y S G s G s U s U sG s G s

( )y t

3. Povratna sprega

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( )

( )

1 ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

G s

E s R s H s Y s

Y S G s E s G s R s G s H s Y s

Y S

G s

G s H s

G s H s G s R s

Y s R s

Funkcija spregnutog prenosa

( )

( )1 ( ) ( )

S

G sW s

G s H s

Funkcija povratnog prenosa

( ) ( )W s G s H s

PRAVILA ALGEBRE FUNKCIJA PRENOSA

Redna veza

Paralelna veza

Povratna

sprega

Premeštanje

bloka H iz

povratne

grane

Premeštanje

bloka H iz

direktne

grane

Premeštanje

tačke

račvanja

ispred

bloka G1

Premeštanje

tačke

račvanja

iza

bloka G2

Premeštanje

diskrimina-tora

ispred bloka

G1

Premeštanje

diskrimina-tora

iza bloka G2

Primer. Odrediti funkciju prenosa sistema sa slike:

a) primenom algebre blok dijagrama,

b) analitički

Rešenje. a) Čvor između blokova G3 i G4 može se premestiti iza bloka G4

Funkcija prenosa sistema iznosi

1 2 3 4

3 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3

( )( )

( ) 1

G G G GY sG s

U s G G H G G H G G G G H

b) Analitički

4 3 2 1 3 2 4 1

1 2 3 4 3 2 3 4

( ) /Y s G G G G U H Y H Y G H Y

G G G G U H Y G G G

2

4

YH

G3 4 1

1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 3 2 3 4 1

G G H Y

G G G G U G G G G H Y G G H Y G G H Y

3 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3

1 2 3 4

( ) 1Y s G G H G G H G G G G H

G G G G U

1 2 3 4

3 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3

( )( )

( )

1

Y sG s

U s

G G G G

G G H G G H G G G G H

FUNKCIJA PRENOSA MULTIVARIJABILNIH SISTEMA

Posmatra se linearan, stacionaran sistem sa r ulaza i m izlaza, prikazan na slici

Sistem je linearan teorema superpozicije

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i ir rY s G s U s G s U s G s U s

0,

( )( )

( )

iij

j U k jk

Y sG s

U s

1 11 1 1

1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

r

m m mr r

Y s G s G s U s

Y s G s G s U s

( ) ( ) ( )Y s G s U s

Matrica G s - matrica funkcija prenosa multivarijabilnog sistema

dim G s r p

broj vrsta G s = broj izlaza sistema

broj kolona G s = broj ulaza sistema

Primer. Odrediti matricu funkcija prenosa multivarijabilnog sistema prikazanog na slici pomoću: a) algebre blok dijagrama, b) analitički.

a) Algebra blok dijagrama

Prema definiciji matrica funkcija prenosa će biti u obliku

1

1 11 12

2

( )( ) ( ) ( )

( )

U sY s W s W s

U s

,

0,

( )( )

( )

iij

j U k jk

Y sW s

U s

11 3 411

21 2 3 4 1 2 3 4

( )( ) ( ) ( )( )

( )1 1

U sG s G s G sG sY

U sG G G G G G G G

2

1

111

1

112

2

0

0

( )( )

( )

( )( )

( )

U

U

Y sW s

U s

Y sW s

U s

b) Analitički

1 1 1 3 Y G U G X

4 2 2 1 X G U G Y - pomoćni signal

1 1 1 3 4 2 2 1Y G U G G U G Y

1 1 1 1 3 4 2 1 2 3 4 1Y GU G G G U G G G G Y

1 1 2 3 4 1 1 1 3 4 21Y G G G G GU G G G U

1 3 411 1 2 11 1 12 2

1 2 3 4 1 2 3 41 1

G G GGY U U W U W U

G G G G G G G G

ZAVISNOST ODZIVA SISTEMA OD RASPOREDA POLOVA I NULA SISTEMA

SISTEMA II REDA BEZ KONAČNIH NULA

Funkcija prenosa sistema II reda:

2

2 2( )

2 n

n

n

G ss s

Polovi funkcije prenosa:

2

1,2 1n np j

Nule funkcije prenosa:

ne postoje

X

X

Odskočni odziv sistema II reda sa konjugovano kompleksnim polovima:

-1 2

2

1( ) ( ) 1 sin 1 ( ), cos

1

nt

n

es t G s h t

s

L

UTICAJ NULE NA ODSKOČNI ODZIV SISTEMA

Sistemu drugog reda dodajemo jednu nulu –z:

2

2

2( ) ( ) ( )(

1)

2

n

n

z

n

Gs z

Gss s

ss z

sz

sz z

G G s

1 1 11 1 1( ) ( ) ( ) () )

1(

1z z

ds

zG s G s s ts t G

s st

s z ds

t

L L L

dodavanje nule ( ) ( ) ( )1

( )Z

zsd

t s ts sd

tt

tz

1. Uticaj izvoda /d dt

( ) / 0ds t dt )( ) (zs st t

2. Uticaj nule z :

1

zz

)( ) (zs st t

Uticaj nule je zanemarljiv u stacionarnom stanju!

Nula utiče na rad sistema samo u prelaznom režim tako što:

- ubrzava rad sistema, - povećava njegov preskok.

Uticaj nule postaje manji ukoliko je ona

udaljenija od imaginarne ose.

Uticaj nule bliske imaginarnoj osi se ne može zanemariti

Primer. Na slici su prikazani odskočni odzivi tri različita sistema, bez nule i sa konačnim nulama 1, 5z z .

2

4( )

2 4W s

s s

,

2

14( )

2 4W s

s

s

s

,

2

0.8( )

2 4

5W

ss

s s

Bez nule

Sa nulom

Sa nulom

-1 -5

Odskočni odziv sistema

vreme

Dodatna nula:

1. ubrzava odziv sistema

2. povećava preskok

SISTEM NEMINIMALNE FAZE

To su sistemi koji imaju nulu u desnoj poluravni s-ravni.

Posledica: javlja se PODBAČAJ u odskočnom odzivu. Primer. Na slici su prikazani odskočni odzivi sistema funkcije prenosa:

2

4 1( )

2 4

sG s

s s

1 0z (leva poluravan)

i sistem neminimalne faze funkcije prenosa:

2

4 1( )

2 4

sG s

s s

1 0z (desna poluravan)

Sistem neminimalne faze (podbačaj)

Odskočni odziv sistema

vreme

UTICAJ POLA NA ODSKOČNI ODZIV SISTEMA

Sistemu drugog reda dodajemo jedan –p:

1 2

4( )

2 4G s

s s

2 2

4( )

2( ) 4s ps

s s

pG

.

Odskočni odzivi ovih sistema:

1 1 2 2

1 4 1 2( ) ( )

( 2 4) 2 4

sS s G s

s s s s s s s

2 2 22

1 4 1( ) ( )

2 4s 2( ) 4

As BS s G s

s s s ss s ps s

p C

p

2 2

2 22

2 2, ,

2 4 2 4

4

2 4

p p pC

p pA B

p p p p

Kada p

2

2

21

2 4p

p pA

p p

2

2

22

2 4p

pB

p p

2

40

2 4p

Cp p

2 12

1 2( ) ( )

2 4

0sS s S s

s s s s p

1 2

1 2( )

2 4

sS s

s s s

Uticaj polova koji su jako udaljeni od imaginarne ose na ponašanje sistema se može zanemariti.

Pol blizak imaginarnoj osi značajno utiče na ponašanje sistema.

Primer.

1 2

2 25

( )

4( )

2 4

4( ) , 1,

2 4

G

p

s

s

s s

G s ps s

p

Sa dodatnim polom -1

Sa dodatnim polom -5

Bez dodatnog pola

-1 -5

Odskočni odziv sistema

vreme

Dodatni pol:

1. usporava odziv sistema,

2. smanjuje vrednost preskoka.

UTICAJ POLOŽAJA POLOVA SISTEMA II REDA NA NJEGOV IMPULSNI ODZIV Impulsni odziv sistema II reda

2

2

2

-1 -1 2

2 2 2 2

2

2

11

( ) sin 12 ( ) (1 ) 1

nn

t

n

n

n n

n

n

n

n

eg t t

s s s

L L

IMPULSNI ODZIVI ( )g t SISTEMA II REDA ZA RAZLIČITE POLOŽAJE POLOVA SISTEMA

Oscilacije sa

rastućim amplitudama

X X X X

X X X X

X X X X

Oscilacije sa opadajućim

amplitudama

Aperiodični opadajući odziv

Aperiodični rastući odziv

Konstantni odziv

Oscilacije sa konstantnim amplitudama

21n

POLOVI I NULE ČIJI SE UTICAJ NA PRELAZNI PROCES MOŽE ZANEMARITI

Dominantni polovi - par konjugovano kompleksnih polova *,d ds s koji su najbliži

imaginarnoj osi u s-ravni sa realnim delom:

Re d ds

Polovi koji se mogu zanemariti – polovi is sa velikom negativnim realnim delom

koji je bar 6 puta veći po modulu od realnog dela dominantnih polova d :

Re 6i ds

Dominantni polovi

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Polovi koji se mogu zanemariti

Dipol – Predstavlja jedan par koga čine pol i nula čije su vrednosti jednake.

- Uticaj dipola na odziv je neznatan ukoliko se oni nalaze u levoj poluravni s-ravni.

- Dipoli u funkciji prenosa se mogu „skratiti“ samo ako se nalaze u levoj poluravni.

- Pol i nula sa približno jednakim vrednostima mogu se smatrati približnim dipolom.

X X

Dipol: skraćivanje pola i nule

X

Približni dipol: približno skraćivanje pola i nule

X X

X

Primer.

214

(2

)4

s sG s

,

1,2 1 3p j , (0) 1G

2

418( )

4G s

s

4.5s 12

)2 4

(s

G ss

1,2 1 3p j , 3 4.5p , 1 4z , (0) 1G

2

3

38( )

10

04 1G

ss

s

2 4 9.5s s 1

2)

2 4(

sG s

s

(0) 1G

*

*

o

*

Približno skraćivanje pola i nule

Odskočni odziv sistema za G1, G2 i G3

vreme

Napomena. Skraćivanje pola i nule može se izvesti samo ukoliko su prethodno ispunjeni sledeći uslovi:

1. Skraćeni pol mora biti lociran u levoj poluravni.

2. Za određivanje odziva usled pobude sasvim je svejedno da li je izvršeno skraćivanje pola i nule u funkciji prenosa.

3. Za određivanje odziva usled početnih uslova treba koristiti „neskraćenu“ funkciju prenosa iz koje se može rekonstruisati diferencijalna jednačina na osnovu koje se može odrediti odziv usled početnih uslova.

PREDNOSTI I OGRANIČENJA FUNKCIJE PRENOSA KAO MODELA SISTEMA

Prednosti:

1. Ne zavisi od oblika ulaznog signala.

2. U potpunosti opisuje U/I transformacije linearnih stacionarnih sistema.

3. Pogodne su za opisivanje složenih sistema koji sadrže podsisteme.

4. Iz funkcije prenosa mogu se dobiti tzv. frekventni modeli sistema.

Ograničenja:

1. Definiše se samo za linearne stacionarne sisteme.

2. Daje ulazno/izlaznu zavisnost i ne pruža nikakvu informaciju o unutrašnjoj strukturi i ponašanju sistema.

3. Funkcija prenosa ne uzima u obzir početne uslove sistema.