ANALIZA SISTEMA U VREMENSKOM I KOMPLEKSNOM DOMENU

SISTEMI

AUTOMATSKOG

UPRAVLJANJA

ANALIZA SISTEMA U VREMENSKOM I

KOMPLEKSNOM DOMENU

1

Predmetni nastavnik: prof. dr Petar Spalević

e-mail: [email protected]

Udžbenici:

Željko Đurović, Branko Kovačević, Sistemi automatskog upravljanja, Akademska misao, Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Beogradu, ISBN 86-7466-263-3, Beograd, 2006.

Branko Kovačević, Željko Đurović, Sistemi automatskog upravljanja- Zbornik rešenih zadataka, Nauka, Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Beogradu, ISBN 86-7225-008-7, Beograd,1996.

Prof. Dr Petar Spalević

Postoje tri klase karakterističnih sistema koji nam mogu

okarakterisati opšta svojstva sistema:

Sistemi sa 2 konjugovano-kompleksna pola bez konačnih nula.

Ovom klasom su obuhvaćeno mnoštvo sistema koji su višeg

reda od dva. Kod njih postiji par izraženih dominantnih polova

koji skoro u potpunosti karakterišu sistem, te se isti može

aproksimirati sa ovim parom polova.

Sistemi koji imaju par konjugovano-kompleksnih polova i

konačnu nulu

Sistemi koji osim konjugovano komleksnih polova imaju i realan

pol.

Odzivi nekih

tipičnih sistema


2

Sistemi drugog reda

bez konačnih nula

Neka je dat sistem čija je funkcija prenosa:

(1)

Koeficijent u brojiocu funkcije prenosa definiše da statičko pojačanje G(0) bude jedinično. Dovešćemo na ulaz sistema jediničnu odskočnu funkciju h(t). Na izlazu dobijamo jedinični odskočni odziv j(t) čija je Laplasova transformacija:

(2)

Jednostavno se na dobijene članove primenjuje inverzna Laplasova transformacija u cilju dobijanje jediničnog odskočnog odziva u vremenskom doenu:

2

2 22

n

n n

G ss s

2

2 2

2 22 2 2 2

1

2

1

1 1

n

n n

n n

n n n n

J s G ss s s s

s

s s s


3

(3)

Imajući u vidu relacije:

(4) (5)

jedinični odskočni odziv se može definisati kao:

(6)

gde je . (7)

Na slici 1. su dati odzivi sistema za više vrednosti parametra ζ, dok je neprigušena prirodna učestanosti ista ωn=1. Na slici 2. dati su odskočni odzivi sistema sa različitim neprigušenim prirodnim učestanostim za faktor relativnog prigušenja ζ=0.5.

2 2

21 cos 1 sin 1

1

n nt t

n nj t h t e t e t

cos sin sinA B C

2 2 ; arctanC A B A B

2

2

11 sin 1

1

nt

nj t h t e t

21arctan


4

Sistemi drugog reda

bez konačnih nula

Slika 1: Odskočni odzivi sistema sa

neprigušenom učestanošću ωn=1 Prof. Dr Petar Spalević

5

Slika 2: Odskočni odzivi sa faktorom

relativnog prigušenja ζ=0.5

Sistemi drugog reda

bez konačnih nula

Uočava se da na vreme uspona, tj. brzinu reagovanja sistema utiču oba faktora. Sa povećanjem parametra ωn i smanjenjem parametra ζ vreme uspona opada. Učestanost prigušenih oscilacija raste sa povećanjem ωn i sa smanjenjem ζ. Na osnovu prikazanih odziva stiče se utisak koji se može i egzaktno dokazati da vrednost preskoka zavisi isključivo od faktora relativnog prigušenja. Ako želimo da odredimo trenutak nastajanja preskoka tπ potrebno je izraz (3) diferencirati i da dobijeni izvod izjednačiti sa nulom:

(8)

Daljim sređivanjem ovog izraza dobijamo uslov:

(9)

2 2 2

22 2

2

cos 1 1 sin 1

sin 1 cos 1 01

n

n

t

n n n

t nn n n

dj te t t

dt

e t t

Sistemi drugog reda

bez konačnih nula


6

2

2sin 1 0 ; 0,1,2,...

1n

n

kt t k

Dakle, postoji beskonačno mnogo tačaka u kojima je prvi izvod odskočnog odziva jednak nuli. Na osnovu prirode odziva datih na slikama 1. i 2., jasno je da se preskok dešava za k=1, jer je to prvi maksimum. Tada je vrednost trenutka preskoka:

(10)

Odziv u trenutku preskoka dobijamo zamenom izraza (10) u (3)

(11)

Na osnovu toga sračunavamo preskok:

(12)

Vrednost preskoka ne zavisi od neprigušene prirodne učestanosti, već samo od faktora relativnog prigušenja. Funkcionalna zavisnost preskoka od parametra ζ data je na slici 3.

21 n

t

21

1y t e


7

21% 100% 100%

y t ye

y

Sistemi drugog reda

bez konačnih nula

Slika 3: Zavisnost preskoka u

odskočnom odzivu sistema od

faktora relativnog prigušenja ζ


8

Odnos između preteka faze sistema i faktora relativnog prigušenja jeste vrlo važna zavisnost. Pretek faze sistema se definiše putem funkcije povratnog prenosa. Postavlja se pitanje kakva je funkcija povratnog prenosa W(s) kojoj bi odgovarala funkcija spregnutog prenosa (1) u izrazu 13: Da bi našli pretek faze prvo treba naći presečnu učestanost pojačanja iz (14):

2

1 1 2

n

n

W s G sG s W s

W s G s s s

Sistemi drugog reda

bez konačnih nula

24 2

1 12 2 2

1 1

1 1 1 4 24

nn

n

W j

Sada je jednostavno odrediti pretek

faze u jednačini 15:

Dakle očigledno je da pretek faze

sistema, tj. njegova relativna

stabilnost, zavisi samo od faktora

relativnog prigušenja.

0

1

0 1

4 2

0

4 2

180 arg

90 arctan2

1 4 290 arctan

2

2arctan

1 4 2

pf

n

W j


9

Slika 4: Zavisnost preteka faze od

faktora relativnog prigušenja

Sistemi drugog reda

bez konačnih nula

Na slici 4. je pretek faze izražen u radijanima. Za male vrednosti

faktora relativnog prigušenja funkcija je skoro linearna, a za ζ<0.4

sa visokom preciznošću ova zavisnost može aproksimirati kao:

(16)

Ova funkcionalnu zavisnost nam govori da smanjenje faktora

prigušenja vrlo nepovoljno utiče na relativnu stabilnost sistema.

Zavisnost i propusnog opsega sistema i faktora prigušenja i

neprigušene prirodne učestanosti je važna veza parametara koji

karakterišu prelazni režim sistema. Potražimo propusni opseg

sistema čija je funkcija prenosa data relacijom (1):

(17)

2 ; 0.4pf rad

2

02 2 2 2 2

0 0

1 1 10

2 2 24

n

n n

G j G j


10

Sistemi drugog reda

bez konačnih nula

Rešavanjem jednačine 17, koja

se svodi na bikvadratnu, dobija

se da količnik propusnog

opsega i neprigušene prirodne

učestanosti zavisi od faktora

relativnog prigušenja:

(18)

Sa slike 5. vidi se da je ovo

opadajuća funkcija faktora ζ. U

slučaju ζ=1/sqrt(2) ovaj količnik

je jednak 1, tj. propusni opseg

sistema je jednak neprigušenoj

prirodnoj učestanosti.

2

2 20 1 2 1 1 2n


11

Sistemi drugog reda

bez konačnih nula

Slika 5: Zavisnost količnika ω0/ωn

od faktora relativnog prigušenuja

UVOD U

DISKRETNE SISTEME

Šezdesetih godina ovoga veka automatika se bazirala na analognoj računarskoj tehnici, jer je na tržištu računara dominirao analogni računar kao osnovno sredstvo za simulaciju, kao iširoki spektar analognih komponenti za projektovanje i kompenzaciju sistema.

Analogne komponente koje su učestvovale u oblasti upravljanja sistemima su bile mehaničke, pneumateske i elektronske.

Od tada, situacija se menja sa naglim razvojem digitalnih računara i mikroelektronike. Digitalni računari su se najpre koristili kao delovi u složenim sistemima za upravljanje procesima.

Zbog malih dimenzija i niske cene digitalni računari polako postaju regulatori u posebnim upravljačkim petljama, te su do danas digitalni računari u nekoliko oblasti potpuno potisnuli svoje analogne.


12

Digitalni računari su se istovremeno razvijali i kao alat za analizu i projektovanje sistema upravljanja. Pojavom VLSI tehnologije otvorile su se nove mogućnosti razvoja digitalnih računara, te se pristup analizi, projektovanju i primeni upravljačkih sistema se u korenu promenio.

U prvom trenutku se vršilo prosto prevođenje metoda i rezona iz analognog u digitalni domen. U proteklih trideset godina se teorija i praksa projektovanja digitalnih sistema u toj meri razvila da se potpuno otrgla okvirima u kojima je nekada postojala.

Kao potpuno nova tehnologija i nov način rada u početku je prihvaćena samo u avio industriji i nekim specifičnim procesima, da bi polako našla mesto i u ostalim granama industrije i tehnike.

Digitalni sistem predstavlja rednu vezu A/D konvertora, sistema koji realizuje algoritam, D/A konvertora i procesa, pri čemu su prva tri elementa pod sinhronizacijom jednog istog 'clock-a'.

UVOD U

DISKRETNE SISTEME


13

Povratna sprega se zatvara sa izlaza procesa na ulaz A/D konvertora. Digitalni sistem upravljanja u sebi sadrži 2 tipa signala, kontinualne i semplovane ili signale diskretne u vremenu. Ovaj sistem se naziva digitalni sistem upravljanja (computer controlled system) ili sistem sa semplovanim podacima (sampled data system).

Ideja da se digitalni računar uključi u upravljanje sistemima razvila se pedesetih godina i realizovala u sistemima za upravljanje raketama i vazduhoplovima. Brzo se uočilo da računar opšte namene nije pogodan, pa se pristuplilo projektovanju specijalizovanog digitalnog računara nazvanog 'digital differential analyzer' (DDA).

Najbrži razvoj digitalnog upravljanja je u procesnoj industriji. Američka firma za preradu polimera rafinerije TRW konsultovala proizvođača digitalnih računara Texaco u cilju projektovanja računarskog sistema1956. godine. Rezultat ove saradnje bio je digitalni upravljački sistem koji je jednovremeno regulisao 26 protoka tečnosti, 72 temperature, 3 pritiska i 3 koncentracije.

UVOD U

DISKRETNE SISTEME


14

Glavne funkcije sistema bile su minimizacija pritiska u reaktoru, optimalno raspored napajanja za 5 reaktora i upravljanje dotokom vrele vode na osnovu katalitičke aktivnosti. Osnovni problem je bio taj što su se računarski sistemi bazirali na elektronskim cevima. Standardno vreme sabiranja tih računara bilo je 1ms, množenja 20ms,

a srednje vreme između 2 otkaza centralnog procesora 50100 sati. Digitalni računar je štampao poruke operatoru na papirnatoj traci ili

ispisivao vrednosti veličina koje je treba podesiti. Ovi sistemi su se nazivali operatorski vođenim sistemima (operator guide control) ili sistemi sa upravljanjem radne tačke (set-point control ).

Britanska hemijska industrija Imperial Chemical Industries je 1962. kompletnu analognu instrumentaciju za upravljanje procesom zamenila digitalnim računarom koji je merio 224 promenljive i upravljao sa 129 ventila istovremeno. Iste godine računar je sabirao dva broja za 100μs, a množio ih za 1ms. Srednje vreme između dva otkaza centralnog procesora iznosilo je 1000 sati. Cena i fleksibilnost su 2 osnovne prednosti digitalne tehnologije.


15

UVOD U

DISKRETNE SISTEME

U analognoj tehnologiji cena se povećavala linearno sa povećanjem broja upravljačkih petlji, a u digitalnoj tehnologiji visoka cena se plaćala samo u početku prilikom kupovine digitalnog računara, dok se sa povećanjem broja petlji cena plaćala jedino u slučaju kupovine merne opreme.

Fleksibilnost je bila druga značajna prednost digitalne tehnologije nad analognom. Jednom kupljen digitalni računar i instaliran za upravljanje jednog industrijskog procesa se u svakom trenutku mogao prebaciti i reprogramirati za upravljanje drugim procesom.

Dalji razvoj je bio uslovljen pojavom mini i mikro-kompjutera koji su osim malih dimenzija bili okarakterisani velikom brzinom rada (množenje i sabiranje su reda mikrosekunda), velikom pouzdanošću (srednje vreme otkaza se meri desetinama hiljada sati), visokim grafičkim mogućnostima (CGA, EGA, VGA grafički adapteri )...

Paralelno sa razvojem tehnike koja će se iskoristiti u digitalnim sistemima upravljanja razvijala se i teorija.

UVOD U

DISKRETNE SISTEME


16

Prva teoretska razmatranja obavila su se tokom i posle drugog svetskog rata u oblasti radarske tehnike. Ovi sistemi su prirodno diskretni u vremenu s obzirom na rotaciju radarske antene.

Sva teorija vezana za transformaciju signala bila je namenjena kontinualnim signalima, te je bilo neophodno razviti sličnu teoriju koja će tretirati signale diskretne u vremenu. Hurewicz je 1947. godine uveo transformaciju nad sekvencom. Ova transformacija je 1952. nazvana zed transformacijom od strane Ragazzini-ja i Zadeh-a.

Transformacija je nezavisno izvedena u SAD, Velikoj Britaniji i SSSR. Tsypkin je 1950. ovu transformaciju nazvao diskretnom Laplasovom transformacijom i uveo kao alat za analizu takozvanih impuslnih sistema, a Barker je 1952. godine u UK došao do sličnih rezultata.

Ista je razvijena i detaljno okarakterisana u doktroskoj disertaciji Eliohe Jury-ja na Univerzitetu Columbia u SAD. Jury je razvio alat za analizu i projektovanje i pokazao da digitalni sistem poseduje bolje osobine od kontinualnog ekvivalenta.


17

UVOD U

DISKRETNE SISTEME

Stacionarno stanje se kod kontinaulaniih sistema dostiže u beskonačnosti, dok se kod digitalnih ono može ostvariti posle konačnog broja perioda odabiranja. U svojim radovima on je pokazao da odabiranje može izazvati skraćivanje nula i polova i doprineo je razjašnjavanju pojmova opservabilnosti i dohvatljivosti.

Zed transformacija daje informacije o signalu isključivo u trenucima odabiranja. Ponašanje signala i sistema između ovih trenutaka je bitno, jer sistemi često ukazuju na postojanje skrivenih oscilacija. Ove oscilacije u trenucima odabiranja imaju vrednost nula, te ih zed transformacija ne vidi.

Linvill je 1951. godine sledeću ideju MacColl-a posmatrao odabiranje kao amplitudsku modulaciju. Tsypkin 1950. godine uveo takozvanu zakašnjenu ili modifikovanu zed transformaciju, čime je poboljšao sagledavanje ponašanja signala između trenutaka odabiranja . Do sličnih rezultata došli su Barker 1951. godine i Jury 1956. godine.


18

UVOD U

DISKRETNE SISTEME

Dalja izučavanja ove oblasti se može podeliti u nekoliko celina.

Prva od njih je teorija analize i sinteze digitalnih sistema u prostoru stanja (Pontryagin, Bellman i Kalman).

Druga celina se odnosi na optimalno i stohastičko upravljanje. Belman, 1957. i Pontryagin 1962. su pokazali da se mnogi problemi projektovanja mogu predstaviti kao optimizacioni problemi.

Za nelinearne sisteme se ovaj problem prevodi u domen varijacionog računa. Belman je dao eksplicitno rešenje u svom radu 1958. godine za linearan sistem i kvadratnu kriterijumsku funkciju. Početkom šezdesetih pod pretpostavkom poremećaja koji su slučajni procesi formulisan je stohastički varijacioni problem. Takođe je nađeno eksplicitno rešenje za linearne sisteme i kvadratnu kriterijumsku funkciju. Tako je nastala oblast stohastičkog upravljanja, usled čega se razvila i linearna kvadratna Gausovska teorija (LQG), kojom je definisan glavni alat za projektovanje multivarijabilnih sistema.


19

UVOD U

DISKRETNE SISTEME

Problem upravljanja digitalnim sistemima je sedamdesetih godina posmatran i kao čist algebarski problem. U ovom načinu razmatranja osim Kalmana treba pomenuti Rosebrock-a (1970) i Kučeru (1979).

Identifikacija sistema je prisutna aktivnost kako u oblasti projektovanja kontinualnih sistema, tako i kod projektovanja digitalnim sistemima. Značajne radove iz ove oblasti za digitalne sisteme dali su Astrom, Eykhoff i Goodwin.

Razvoj računara omogućio je da se u cilju kvalitetnog upravljanja sistemima implementiraju vrlo komplikovani upravljački algoritmi. Na taj način su se otvorilia vrata oblasti adaptivnog upravljanja (Astrom i Wittenmark).


20

UVOD U

DISKRETNE SISTEME

Osnovna struktura računarski upravljanih sistema

Na slici 6. je prikazana osnovna struktura diskretnog, računarski

upravljanog sistema u zatvorenoj povratnoj sprezi.

Slika 6: Struktura računarski upravljanog sistema


21

Na slici 6. je prikazana struktura računarski upravljanog sistema koji za razliku od struktura sa zatvorenom povratnom spregom, ima tu osobenost da se zbog prirode računara koji se nalazi u konturi upravljanja pojavljuju signali različitih priroda.

Signali sa kojima operiše računar su po svojoj prirodi diskretni, dok kontinualni proces na svom ulazu i izlazu mora imati kontinualne signale. Zbog prisustva signala različitih priroda, često se za ovakve sisteme koristi termin hibridni sistemi.

Usled toga, nacrtana struktura mora posedovati blok koji vrši prilagođenje kontinualnog signala e(t) u formu prihvatljivu za računar i bloka koji vrši prilagođenje diskretnog signala m*(t) u formu kakva je prihvatljiva za proces (A/D i D/A konvertor).

Na slici 6. oznaka '*' označava diskretnu prirodu signala. A/D konvertor, D/A konvertor i digitalni računar su sinhronizovani i stoga je na slici označen zajednički 'clock' za sinhronizaciju.


22

Osnovna struktura računarski upravljanih sistema

Analogno-Digitalni

(A/D) konvertor

A/D konvertor je prekidač koji se zatvara periodično sa izvesnom

vremenskom periodom T i koji se u zatvorenom (donjem) položaju

zadržava beskonačno kratko vreme. Ukoliko je na ulazu u A/D

konvertor signal kao na slici 7.a, na njegovom izlazu će se pojaviti

signal e*(t) koji je dat na slici 7.b.

Slika 7. a) Kontinualni signal; b) Signal dobijen diskretizacijom sa periodom

odabiranja T Prof. Dr Petar Spalević

23

Između ova dva signala može se uspostaviti sledeća veza:

(19)

Na slici 7. je pretpostavljeno da je signal e(t) kauzalan. Dalje izvođenje ćemo proširiti i na signale koji postoje i za negativnu vrednost argumenta t ne umanjujući opštost rezultata. U cilju modelovanja A/D kovnertora, možemo uvesti signal i(t) koji će predstavljati beskonačno dugačku povorku Dirakovih impulsa:

(20)

Tada se diskretni signal e*(t) jednostavno može napisati kao proizvod kontinualnog signala e(t) i signala i(t):

(21)

Poznato je da proizvod 2 signala u vremenskom domenu dovodi konvolucije njihovih Furierovih transformacija:

*

; , 0,1,2,...

0;

e t t kT ke t

inače

k

i t t kT

*e t e t i t


24

Analogno-Digitalni

(A/D) konvertor

(22)

Da bi utvrdili kako odabirač utiče na signal, nađimo prvo Furierovu transformaciju beskonačne povorke odbiraka. Kako je signal i(t) periodičan njemu se kao transformacioni par pridružuje Furierov red:

(23)

(24)

Ako želimo da periodičan signal predstavimo pomoću Fourier-ove transformacije, moramo se pozvati na:

(25)

što znači da je I(j) dat beskonačnom povorkom Dirakovih impulsa intenziteta 2π/T=ω0 koji su ekvidistantni na odstojanju ω0.

* 1

2E j E j I j

0

2

0

2

2 1 1; ; , 0, 1, 2,...

T

jk t

k k

k T

i t a e a i t dt kT T T

01 jk t

k

i t eT


25

0 0

22 k

k k

I j a k kT

Analogno-Digitalni

(A/D) konvertor

Tada na osnovu rezultata (22) dobijamo rezultat: (26)

Ako u izrazu 26. integral i suma zamene mesta i ako se upotrebi

rezultat o integralu funkcije koja u sebi ima Dirakov impuls, dobijamo:

(27)

Frekvencijski spektar diskretizovanog signala može se dobiti kao beskonačni zbir frekvencijskih spektara kontinualnog signala koji su po ω osi pomereni za ω0, k=0,±1,±2,…, uz multiplikativnu konstantu 1/T. Na slici 8.a je dat pretpostavljeni spektar kontinualnog signala e(t), a na slici 8.b diskretizovanog signala.

*

0

1 1

2 2

1 2

2 k

E j E j I j E j I j d

E j k dT


26

*

0 0

1 1

k k

E j E j k d E j kT T

Analogno-Digitalni

(A/D) konvertor

Slika 8: a) Frekvencijski spektar kontinualnog signala, b) Frekvencijski spektar

signala dobijenog diskretizacijom Prof. Dr Petar Spalević

27

Analogno-Digitalni

(A/D) konvertor

Na osnovu prikazanih spektara, dolazi se zaključka koji je poznat kao Šenonova ili Nikvistova teorema o odabiranju. Označimo sa ωg graničnu učestanost u spektru kontinualnog signala, koja predstavlja učestanost iza koje je snaga signala zanemarljiva. Ako želimo da spektar diskretizovanog signala ostane verodostojan spektru originalnog kontinualnog signala, bez značajnog preklapanja koje se javlja zbog periodičnosti ovog drugog spektra, učestanost odabiranja ω0 mora zadovoljiti sledeću nejednakost:

(28)

tj.perioda odabiranja pri diskretizaciji mora zadovoljiti uslov:

(29)

U protivnom efekat preklapanja, tj. 'aliasing' postaje značajan i on utiče na gubitak informacija o signalu koji se dobija odabiranjem.

0 0 2g g g

1

2g g

Tf


28

Analogno-Digitalni

(A/D) konvertor

Pretpostavimo da smo prilikom izbora periode odabiranja o tome

vodili računa i da je spektar našeg diskretizovanog signala e*(t) u

opsegu učestanosti [-ω0/2,ω0/2], koji se naziva Nikvistov opseg

učestanosti, gotovo identičan spektru kontinualnog signala e(t).

Prema tome, spektar diskretnog signala periodična funkcija

učestanosti, sa periodom ponavljanja ω0=2π/T. Sa pravilnim

izborom periode odabiranja T, kompletna informacija o signalu

može se sačuvati bez obzira na A/D konverziju.

Pođimo od relacije 21. koja kaže da se diskretizovani signal e*(t) može dobiti kao proizvod originalnog kontinualnog signala e(t) i povorke odbiraka i(t). U teoriji sistema upravljanja uglavnom operišemo sa kauzalnim signalima, i u želji da na signale primenimo jednostranu Laplasovu transformaciju, bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da su i signal e(t) i signal i(t) kauzalni:


29

Analogno-Digitalni

(A/D) konvertor

(30)

Kako se ova 2 signala množe u vremenskom domenu, u kompleksnom će njihove Laplasove predstave ući u konvoluciju:

(31)

(32)

Poslednji izraz predstavlja geometrijsku progresiju sa koeficijentom progresije e-sT i ako je on po modulu manji od 1, imamo:

(33)

Smenom u (31) dobija se Laplasova transformacija diskretnog signala: (34)

0

0, , 0,k

e t za t i t t kT

* 1

2E s E s I s

j


30

Analogno-Digitalni

(A/D) konvertor

0 00 0

st st skT

k k

I s i t e t kT e dt e

1

; 1 Re 01

sT

sTI s e s

e

* 1 1

2 1

j

s p T

j

E s E p dpj e

Integracija vrši po pravoj čiji je realni deo konstantan i iznosi γ i koja razdvaja singularitete tipa polova podintegralnih funkcija. Polovi funkcije E(p) su dati vremenskim oblikom originalnog kontinualnog signala e(t) i ako pretpostavimo da taj signal nije divergentan, ovi će se polovi nalaziti u levoj poluravni s ravni. Polovi druge podintegralne funkcije se odrđuju na osnovu:

(35)

Ova podintegralna funkcija ima beskonačno mnogo polova koji svi imaju jednak realni deo, jednak realnom delu kompleksne promenljive s. Kako smo već pretpostavili da je kompleksna promenljiva s sa pozitivnim realnim delom, te da bi funkcija I(s) konvergirala, ovi polovi će se nalaze u desnoj poluravni p ravni.

21 0 1 2

2 2, 0, 1, 2,...

s p T s p T k j

k

e e e s p T k j

k j ks p p s j k

T T

Analogno-Digitalni

(A/D) konvertor


31

Ako su polovi kompleksne funkcije E(p) u levoj poluravni s ravni, ili čak na imaginarnoj osi, tada postoji realna pozitivna konstanta γ, pa je integral definisan izrazom 34. moguće sračunati.

Teorija kompleksnih funkcija nam daje mogućnost da ovakvu vrstu integrala sračunamo primenom računa ostataka.

Laplasovu transformaciju diskretizovanog signala e*(t) možemo

sračunati kao:

(36)

pri čemu se reziduali računaju u tačkama p=pk koje predstavljaju polove jedne ili druge podintegralne funkcije.

Kako funkcija E(p) uobičajeno ima konačan broj polova, praktičnije je reziduale računati na osnovu polova ove funkcije.

*

1ks p Tp p

k

E pE s RES

e


32

Analogno-Digitalni

(A/D) konvertor

Primer 6.1: Neka je kontinualni kauzalni signal e(t) definisan kao:

(37)

Potražimo Laplasovu transformaciju diskretnog signala e*(t) koji se dobija odabiranjem sa periodom T=ln2 [sec]. Odredimo prvo Laplasovu transformaciju kontinualnog signala:

Primenom relacije (36) dobija se Laplasova transformacija diskretizovanog signala na sledeći način: (38)

2( ) 2 t te t e e h t

0

3 12 1

1 2 1 2

sts

E s e t e dts s s s


33

*

1 2

2 1

1 2 1 2

1

1

3 1 3 1 1

1 2 1 1 2 1 1

6 9 3 6 9

1 1 1 1

kT s pp p

k

T s p T s p T s pp p

T s T s

T s T s T s T s

E s RESE pe

p pRES RES

p p e p p e e

e e

e e e e

Analogno-Digitalni

(A/D) konvertor

Zanimljivo je detektovati da orginalna funkcija E(s) ima dva pola i jednu nulu. Polovi su u tačkama -1 i -2 a nula je u tački +1. Funkcija E*(s) ima beskonačno mnogo polova i beskonačno mnogo nula. Vrednosti polova su:

(39)

Početni pol u tački -1 se multiplicirao u beskonačno mnogo polova čiji su svi realni delovi -1, a imaginarni delovi su celobrojni umnošci učestanosti odabiranja 2π/T. Analogno tome početni pol u tački -2 se multiplicirao u beskonačni skup polova, sa realnim delom -2 i imaginarnim delovima koji su celobrojni umnošci učestanosti odabiranja signala. Nula novodobijene funkcije E*(s) ima beskonačno mnogo, ali su njihove pozicije definisane rešavanjem transcedentne jednačine iz brojioca u izrazu 38.

1 1 2

1

2 2 2

2

21 0 1 1 , 0, 1, 2,...

21 0 1 2 , 0, 1, 2,...

T s T s k j

k

T s T s k j

k

ke e e s j k

T

ke e e s j k

T


34

Analogno-Digitalni

(A/D) konvertor

Digitalno-Analogni

(D/A) konvertor

Uloga D/A konvertora jeste da diskretne signale koji se dovode na ulaz konvertora pretvori u kontinualne signale.

Najčešće korišćeni D/A konvertori su takozvani 'sample and hold circuit of zero type' čiji je način rada prikazan na slici 9.

Ako signal na ulazu konvertora označimo sa m*(t), dakle u pitanju je diskretni signal, a signal na izlazu iz konvertora označimo sa mh(t) (indeks h potiče od engleske reči hold), tada važi sledeća relacija:

(40)

Ovakav konvertor se naziva kolom zadrške nultog tipa, jer se signal između dve periode odabiranja aproksimira polinomom nultog stepena, konstantom.

* , , , , 0,1,2,...h hm t m kT m kT za t kT kT T k


35

Slika 4.9: Ilustracija rada D/A konvertora

Za modelovanje rada D/A konvertora nultog tipa najjednostavnije

je da se na ulaz konvertora dovede Dirakov impuls i da se generiše

impulsni odziv. Nalaženjem Laplasove transformacije impulsnog

odziva možemo dobiti funkciju prenosa D/A konvertora. Na slici 10.

je dat impulsni odziv kola zadrške nultog reda, označen kao gh0(t).


36

Digitalno-Analogni

(D/A) konvertor

Slika 10: Impulsni odziv kola

zadrške nultog reda

Impulsni odziv kola zadrške nultog reda može se modelirati kao:

(41)

Odgovarajuća funkcija prenosa je:

(42)

Korisno je sagledati kako izgledaju oblici frekvencijskih karakteristika kola zadrške nultog reda.

(43) (44)

0hg t h t h t T

0

1 Ts

h

eG s

s

2 2

2

0

sin1 2

2 sin2

j T j T j Tj T

h

T

e e e TG j e T c

j j

2

0

sin 2arg arg 2 arg sin

2 2

j T

h

T T TG j e

Digitalno-Analogni

(D/A) konvertor


37

Posmatrajmo isključivo Nikvistovo područje učestanosti, ω∈[0,π/T], tj. ω∈[0, ω0/2]. Amplitudska karakteristika bi u cilju što manjeg izobličenja signala, trebalo da bude ravna u ovom opsegu učestanosti.Ona to nije I to je veliki nedostatak kola zadrške. Sa stanovišta fazne karakteristike, ona bi trebalo da bude linearna u Nikvistovom području učestanosti, što i jeste.

Slika 11: Frekvencijske karakteristike kola zadrške nultog reda

Digitalno-Analogni

(D/A) konvertor


38

Zbog prilično nepovoljne amplitudske karakteristike kola zadrške nultog reda ponekada se koriste i složenije strukture, kao što je npr. kolo zadrške prvog reda.

Kolo zadrške prvog reda vreme između dva odbirka popunjava polinomima prvog reda (konstantan nagib), pri čemu se vrednost tog nagiba određuje na osnovu prethodna dva odbrika iz diskretnog signala:

(45)

Ovakvo kolo zadrške popravlja amplitudsku karakteristiku i ona postaje ravnija u Nikvistovom području učestanosti. Međutim, fazna karakteristika se izobličava i odstupa od linearne.

Zato se kolo zadrške nultog reda najčešće koristi, bez obzira na nedostatke u amplitudskoj karakteristici.

* * *

1 ; , , 0,1,2,...h

t kTm t m kT m kT T m kT t kT kT T k

T

Digitalno-Analogni

(D/A) konvertor


39

Digitalni računar

Uloga digitalnog računara u strukturi kakva je prikazana na slici

6. je da na osnovu odbiraka signala greške e*(t) generiše

upravljački signal m*(t) koji je takođe diskretan.

Rad digitalnog računara i njegovu funkcionalnost u sistemu

određuje programer, koji u odgovarajućem programskom jeziku

definiše zavisnost upravljačkog signala od signala greške.

Pošto su signali diskretni, u ovom kontekstu digitalni računar

predstavlja jedan digitalni sistem.

Ako se veza između ulaznih i izlaznih signala može opisati

linearnom diferencnom jednačinom, ceo digitalni računar se

ekvivalentno može zameniti jednom funkcijom diskretnog

prenosa D(z):

(46)

M zD z

E z


40

M(z) i E(z) su zed transformacije diskretnih signala i m*(t) i e*(t). Diskretni signali se obeležavaju uglastim zagradama kako bi se razlikovali od kontinualnih (umesto e*(t) možemo koristiti oznaku e[kT] i umesto oznake m*(t) oznaku m[kT] ili samo e[k] i m[k]).

Jednostrana zed transformacija nad kauzalnim diskretnim signalom definišese na sledeći način:

(47)

pri čemu ovako definisanu zed transformaciju karakteriše: 1. pomeranje u vremenskom domenu:

(48)

(49)

2. pomeranje u kompleksnom domenu:

(50)

0

k

k

M z Z m k m k z

nZ m k n z M z

10 1 ... 1n n nZ m k n z M z z m z m zm n


41

k zZ a m k M

a

Digitalni računar

3. prva granična teorema zed transformacije (51)

4. druga granična teorema zed transformacije (52)

Druga granična teorema važi samo pod uslovom da su svi singulariteti tipa polova funkcije M(z) unutar jediničnog krug.

5. Zed transformacije tipičnih, često korišćenih signala su: (53) (54) (55) (56) (57)

0 limz

m M z

1

1lim 1z

m z M z


42

1Z k

1

1

1 1

zZ h k

z z

1

1

1

k zZ a h k

az z a

1

1 2 2

sin sinsin

1 2cos 2cos 1

z zZ k h k

z z z z

1 1

1 2 2

1 cos coscos

1 2cos 2cos 1

z z z zZ k h k

z z z z

Digitalni računar

Kontinualni proces

U strukturi kakva je data na slici 6, proces je jedini kontinualni

podsistem. Njegov rad se može opisati ili odgovarajućom

diferencijalnom jednačinom, ili ukoliko je proces linearan i

vremenski nepromenljiv, odgovarajućom funkcijom prenosa

Gp(s). Ceo sistem u zatvorenoj sprezi je hibridni sistem, što znači

da se u njemu pojavljuju i kontinualni i diskretni signali, te je

neophodno izabrati domen u kome ćemo sistem posmatrati.

Odlukom da upravljanje sistemom vršimo pomoću digitalnog

računara, koji je po svojoj prirodi diskretan, koji na svom ulazu i

izlazu generiše samo diskretne signale, lišavamo se mogućnosti i

privilegije da imamo uvid u stanje sistema u svakom trenutku

vremena. Pri tome, moramo se zadovoljiti time da imamo

informaciju o sistemu i signalima samo u trenucima koji

predstavljaju celobrojne umnoške periode odabiranja T.


43

Pravilnim izborom periode odabiranja koja je proistekla iz Šenonove

teoreme o odabiranju, uz poštovanje iskustvene preporuke da

periodu odabiranja treba birati na način:

(58)

ovakva vrsta žrtve i nije tako velika. Izborom dovoljno male

periode odabiranja količina informacija o sistemu i signalima je

gotovo identična kao da opserviramo odgovarajuće kontinualne

sisteme i njihove reprezente.

Neohodno je napomenuti da nije dobro periodu odabiranja

neograničeno smanjivati. Podsetimo se da usled diskretizacije,

frekvencijski spektri signala postaju periodične funkcije i da je

nama od interesa opseg učestanosti, koji nazivamo Nikvistovim

područjem učestanosti [0,π/T] ili [0,ω0/2], gde je sa ω0=2π/T

označena učestanost odabiranja.

1

5 10 g

Tf


44

Kontinualni proces

Podsetimo se da je usled aliasing efekta u ovo područje učestanosti

diskretnog signala preslikan sadržaj na svim učestanostima [0,∞)

koji je postojao u spektru kontinualnog signala. Da bi se ovaj efekat

'prljanja' u Nikvistovom području učestanosti izbegao, vrlo često

se pre diskretizacije signala vrši njegovo filtriranje putem prefiltra.

Prefiltar je filtar propusnik niskih učestanosti koji očekuje da se tu

nalazi korisni signal, a potiskuje sadržaj na visokim učestanostima,

jer se tu očekuje prisustvo neželjenih šumova i smetnji.

Propusni opseg prefiltra se mahom vezuje za učestanost odabiranja

ω0. Ako bismo insistirali na vrlo maloj periodi odabiranja, imali bi

vrlo veliku učestanost odabiranja i široki propusni opseg prefiltra,

što bi značilo da je omogućena nesmetana propagacija šumovima

u sistemu. To je razlog zbog koga ni preterano mala vrednost

periode odabiranja nije preporučljiva.

Kontinualni proces


45

Sagledajmo deo sistema sa slike 6. koji se sastoji od redne veze

D/A konvertora i kontinualnog procesa. Kako je signal koji ulazi u

D/A konvertor po svojoj prirodi diskretan, na slici 12. je isti

predstavljen kao rezultat diskretizacije, tj. nalazi se iza odabirača

koji odabira sa periodom odabiranja T.

Slika 12: Redna veza D/A konvertora i kontinualnog procesa funkcije

prenosa Gp(s)

Kako je već pokazan način modelovanja ponašanja D/A konvertora i

kako je već izvedena njegova funkcija prenosa Gh0(s), prvi korak u

modelovanju ovakve redne veze je da se D/A konvertor i kontinualni

proces predstave jednim blokom čija je funkcija prenosa jednaka

proizvodu funkcija prenosa. Prof. Dr Petar Spalević

46

Kontinualni proces

Ovakva struktura je data na slici 13. Kada se u nekim složenijim

sistemima na ulaz kontinualnog sistema dovodi diskretni signal,

često se podrazumeva da postoji D/A konvertor čiju funkciju

prenosa treba pomnožiti sa funkcijom prenosa procesa.

Slika 13: Ekvivalentna struktura redne veze D/A konvertora i

kontinualnog procesa.

Došli smo do tačke da je jedino blok čija je funkcija prenosa

Gh0(s)Gp(s) kontinualan. Svi ostali elementi sistema su diskretni i

sada treba odlučiti na koji način ovaj kontinualni blok predstaviti

njegovim diskretnim ekvivalentom, kako bi mogli ceo sistem da

posmatramo kao diskretni sistem i da ga jednostavno analiziramo. Prof. Dr Petar Spalević

47

Kontinualni proces

Postoji veliki broj načina da se ova struktura, prikazana na slici 13.

diskretizuje. Numeričke metode diskretizacije će se kasnije opisati.

Posmatrajmo sada sledeći način. Ako bismo kontinualnu

funkciju prenosa Gh0(s)Gp(s) predstavili nekim diskretnim

ekvivalentom G(z) na njegovom izlazu bi dobili neki diskretni

signal c*(t), odnosno c[k]. Taj diskretni ekvivalent G(z) treba

izabrati tako da odbirci signala c[k] budu identični odbircima

kontinualnog signala c(t) koji se dobija na izlazu kontinualnog

procesa, a u vremenskim trenucima koji odgovaraju

celobrojnim umnošcima periode odabiranja. Prema tome,

Laplasova transformacija kontinualnog signala c(t) jednaka je

na osnovu slike 13:

(59) *

0h pC s G s G s M s


48

Kontinualni proces

Pretpostavimo da smo ovaj kontinualni signal diskretizovali i dobili

signal c*(t) i da su nam poznati njegovi odbirci c(kT), k=0,1,2,...

Tada je njegova Laplasova transformacija, na osnovu relacije 27.

koja je napisana u frekvencijskom domenu, ali se jednako može

napisati i u kompleksnom Laplasovom domenu oblika:

(60)

Zamenom (59) u poslednju relaciju dobija se:

(61)

Signal m*(t) je već diskretan signal, pa je njegova Laplasova

transformacija periodična sa periodom ponavljanja jω0, te se član

M*(s+jkω0) može izvući kao konstantan član ispred sumatora:

(62)

*

0

1

k

C s C s kjT

* *

0 0 0 0

1h p

k

C s G s kj G s kj M s kjT


49

* *

0 0 0

1h p

k

C s M G s kj G s kjT

Kontinualni proces

Poslednja relacija nam govori da se naš kontinualni proces može

predstaviti svojim diskretnim ekvivalentom:

(63)

Uvodeći oznaku G(s)=Gh0(s)Gp(s), naš digitalni ekvivalent jednak je:

(64)

Digitalni ekvivalent je predstavljen diskretizovanim impulsnim

odzivom čija je Laplasova transformacija. Na osnovu relacije 36,

ovaj ekvivalent možemo sračunati kao:

(65)

Funkcija diskretnog prenosa kontinualnog procesa je prema tome:

(66)

*

0 0 0*

1h p

k

C sG s kj G s kj

M s T

*

0

1

k

G s G s kjT


50

* Re1k

s p Tp pk

G pG s s

e

1Re Re

1k kpT pTp p p p

k k

G p zG z s sG p

e z z e

Kontinualni proces

Time se, umesto hibridnog sistema prikazanog na slici 6, može kao diskretni ekvivalent formirati sistem prikazan na slici 14, pri čemu je osnovna razlika u tome da u sistemu na slici 14. ne postoje kontinualni signali i iz njega se ne može saznati šta se sa kontinualnim signalima dešava u trenucima između dva perioda odabiranja.

Slika 14: Diskretni ekvivalent sistema sa slike 6

Primer 6.2: Posmatrajmo proces čija je funkcija prenosa

(67)

Ukoliko u hibridnom sistemu on stoji u rednoj vezi sa kolom zadrške nultog reda (D/A konvertorom) odgovarajuća funkcija diskretnog prenosa G(z), uz pretpostavku o periodi odabiranja T=ln2 [sec] je:

10

1 2pG s

s s


51

Kontinualni proces

(68)

U poslednjem izrazu se usled prisustva D/A konvertora pojavljuje

član . Kako je zed transformacija linearna transformacija, lako se može pokazati da se ovaj član može izvući ispred znaka reziduala i sume kao . Otuda se za funkciju G(z) dobija:

(68)

Od kontinualnog procesa drugog reda Gp(s) dobili smo diskretni ekvivalent drugog reda. Zanimljivo je posmatrati u kojoj meri odzivi kontinualnog i diskretnog sistema liče jedan na drugog i da li je zadovoljen kriterijum da su odbirci kontinualnih signala jednaki u trenucima odabiranja jednaki vrednosti diskretnih signala.

0Re Re

1 10Re

1 2

k k

k

h ppT pTp p p pk k

pT

pTp pk

z zG z sG p sG p G p

z e z e

es

p p p z e

Kontinualni proces

1 Tpe

11 z

1

1

2

101 Re

1 2

0.625 2 15 10 51

1 0.5 0.25

kpT Tpp p

k

T T

zG z z s

p p z e z e

zz

z z e z e z z


52

Na slici 15.a su prikazani odziv kontinualnog sistema i diskretnog

ekvivalenta na step pobudu (jedinični odskočni odzivi), a na slici 15.b

dati odzivi ova dva sistema na pobudni signal trougaonog oblika.

Slika 15: Odzivi kontinualnog sistema i njegovog diskretnog ekvivalenta a) na jediničnu odskočnu pobudu; b) na pobudni signal trougaonog oblika


53

Kontinualni proces

Uočimo da su na slici 15.a dati odskočni odzivi kontinualnog sistema i njegovog diskretnog ekvivalenta i da su u trenucima odabiranja ova dva odziva identična. Na slici 15.b gde je pobuda bila trougaoni signal, uočava se da su odzivi slični, ali čak ni u trenucima odabiranja nisu jednaki. Razlog za to je uticaj D/A konvertora, koga smo uzeli u obzir prilikom računanja diskretnog ekvivalenta i čija amplitudska frekvencijska karakteristika, prikazana na slici 11. nije onakva kakvu želimo.

Jedino odskočna funkcija (ili linearna kombinacija odskočnih funkcija) kada prođe kroz kolo zadrške nultog reda ne menja svoj oblik i zato jedino za takvu vrstu pobude odzivi kontinualnog procesa i diskretnog ekvivalenta imaju identične odzive u trenucima odabiranja. Zato se ovakva vrsta diskretizacije kontinualnih sistema, koja uzima u obzir kolo zadrške nultog reda, naziva metod step invarijantnosti.


54

Kontinualni proces

Documents

ANALIZA SISTEMA U VREMENSKOM I KOMPLEKSNOM DOMENU