Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1 ANALIZA SISTEMA U VREMENSKOM DOMENU
PRELAZNO I STACIONARNO STANJE DINAMIČKIH SISTEMA
Posmatramo jedan stacionaran dinamički sistem na čijem ulazu deluje konstantna pobuda ( )u t U . Neka je izlaz sistema ( )y t na ovu pobudu prikazan na slici
Sa grafika uočavamo sledeća moguća ponašanja sistema:
ponašanje u prelaznom stanju definisano sa ( )y t , kada je t
ponašanje u stacionarnom stanju definisano sa ( ) lim ( ) .t
y y t const
Stacionarno stanje sistema određeno je vrednošću konstantne pobude ( )u t U koja
deluje na sistem i na njegovom izlazu, kad t , generiše konstantni izlaz ( )y .
Napomena: Neki sistemi ne poseduju stacionarno stanje. Za ove sisteme važi lim ( ) .
ty t const
ili lim ( )
ty t
stacionarno stanje
prelazno stanje
sistem
1.1 MODELOVANJE DINAMIČKIH SISTEMA
Dinamičko ponašanje sistema se može opisati pomoću operatora H koji preslikava ulazne veličine u t u izlazne veličine y t sistema.
Operator H nazivamo model sistema.
H se opisuje pomoću nekog tipa jednačina u zavisnosti od vrste sistema koji se modeluje.
Tip jednačina stacionarnog H operatora
Funkcionalna zavisnost jednačina Stanje sistema
algebarske jednačine ( , ) 0f u y stacionarno stanje
diferencijalne jednačine ( , , , ) 0dydu
dt dtf u y
stacionarno + prelazno stanje
integralne jednačine ( , , , ) 0f u udt y ydt stacionarno + prelazno stanje
diferencijalno-integralne jednačine
( , , , , , ) 0du dy
f u udt y ydtdt dt
stacionarno + prelazno stanje
H
gH
POSEBNI SLUČAJEVI DINAMIČKIH SISTEMA
Napomena. Osobina linearnosti sistema biće kasnije razmatrana.
H je opisan sistemom linearnih diferencijalnih jednačina (LDJ) sa konstantnim koeficijentima Linearni, stacionarani
dinamički sistem
Linearni, stacionarani dinamički sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom
H je opisan jednom linearnom diferencijalnom jednačinom (LDJ) sa konstantnim koeficijentima
SISTEM
u1(t)
ur(t)
y1(t)
ym(t)
SISTEM u(t) y(t)
1
1 1 01
1
1 0
( ) ( ) ( )... ( )
( ) ( )... ( )
n n
n nn n
m m
m mm
d y t d y t dy ta a a a y t
dt dt dt
d u t d u tb b b u t
dt dt
1.1.1 LINEARNI STACIONARNI DINAMIČKI SISTEMI SA JEDNIM ULAZOM I JEDNIM IZLAZOM
Linearni stacionarni dinamički sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom se može opisati jednom linearnom diferencijalnom jednačinom (LDJ) sa konstantnim koeficijentima
1
1 1 01
1
1 0
( ) ( ) ( )... ( )
( ) ( )... ( )
n n
n nn n
m m
m mm
d y t d y t dy ta a a a y t
dt dt dt
d u t d u tb b b u t
dt dt
Ulaz - pobuda sistema ( )u t
Izlaz - odziv sistema ( )y t
Koeficijenti diferencijalne jednačine 1 1 0 1 1 0, , , , ; , , , ,n n m ma a a a b b b b
Red modela (sistema) n Uslov fizičke ostvarljivosti sistema n m Početni uslovi (1) ( -1)(0), (0), , (0)ny y y
SISTEM
Primer. Mehanički sistem na koji deluje sila f(t) sadrži masu M, oprugu koeficijenta elastičnosti k i trenje koeficijenta .
Rešenje.
sila inercije: 2
2( )i
d xf t M
dt ,
sila viskoznog trenja: ( )tdx
f tdt
sila elastičnosti opruge: ef kx .
RAVNOTEŽA: ( ) ( ) ( )ei tf t f t f f t
2
2
( ) ( )( ) ( )
d x t dx tM kx t f t
dt dt
Karakteristike sistema:
- red izvoda diferencijalne jednačine:
2n , 0m - red sistema: 2n - parametri sistema:
0 1
2 0
, ,
, 1
a k a
a M b
1.2 STANDARDNE ULAZNE VELIČINE
Namena standardnih ulaznih veličina:
- Za izvođenje teorijskih rezultata
- Za poređenje osobina različitih klasa sistema
- Za definisanje karakterističnih odziva sistema
Vrste standardnih ulaznih veličina:
- jedinična odskočna funkcija
- jedinična nagibna funkcija
- jedinična impulsna funkcija
- prostoperiodična funkcija
sistem
1.2.1 JEDINIČNA ODSKOČNA FUNKCIJA (HEVISAJDOVA FUNKCIJA)
Jedinična odskočna funkcija - ( )h t
0 0( )
1 0
th t
t
Odskočna funkcija
0 0( )
0
tKh t
K t
t
h(t)
1
t
Kh(t)
K
Zakašnjena jedinična odskočna funkcija
0( )
1
th t
t
Zakašnjena odskočna funkcija
0( )
tKh t
K t
t
1
t
K
Realna odskočna funkcija
Nagla promena vrednosti odskočne funkcije se ne može realizovati u praksi.
Zbog toga u praksi koristimo funkciju sa postepenom, ali brzom promenom u posmatranom trenutku vremena
Osobine odskočne funkcije:
modeluje idelani prekidač.
permanentno pobuđuje sistem nakon uključivanja.
t
h(t)
1
0( ) ( )a ah t h t
t
ha(t)
1
-a/2 a/2
1.2.2 JEDINIČNA NAGIBNA FUNKCIJA
Jedinična nagibna funkcija
0, 0( )
, 0
tr t
t t
( ) ( )r t t h t
t
1
f(t) = t
t
1
45o
t
45o
Nagibna funkcija
ar t ath t
Zakašnjena nagibna funkcija
ar t
t
a
t
1.2.3 JEDINIČNA IMPULSNA FUNKCIJA (DELTA FUNKCIJA)
Jedinična impulsna funkcija ( )t
2
1
1 2
( ) 0, 0
( ) 1, 0
t
t
t t
t dt t t
Za 0t , (0) , strelica „gleda“ u .
Površina ispod krive jedinične impulsne funkcije iznosi 1!
Impulsna funkcija ( )K t
2
1
1 2
( ) 0, 0
( ) , 0
t
t
t t
K t dt K t t
K - površina ispod krive t
Kδ (t)
K
0
t
δ (t)
1
0
Zakašnjena jedinična impulsna funkcija
2
1
1 2
( ) 0,
( ) 1,
t
t
t t
t dt t t
Zakašnjena impulsna funkcija
2
1
1 2
( ) 0,
( ) ,
t
t
K t t
K t dt K t t
t
1
0
t
K
0
Realna impulsna funkcija
Kod impulsne funkcije imamo nagli beskonačni skok sa nultim trajanjem koji se ne može realizovati u praksi.
Impulsnu funkciju aproksimirmo funkcijom ( )T t sa pravougaonim skokom.
Smanjivanjem parametra T postepeno se dobija oštrija impulsna promena
0
( ) lim ( )TT
t t
T0
t
δT (t)
T/2 -T/2
1/T
t
δT (t)
T/2 -T/2
1/T
t
δT (t)
T/2 -T/2
1/T
t
δ (t)
1
Veza između funkcija h, r i δ
Veza preko ( )r t Veza preko ( )t
( )r t ( )t
( )( )
dr th t
dt ( ) ( )
t
h t d
( )( )
dh tt
dt
( ) ( )
t
r t h d
ili
( ) ( )r t t h t
1.2.4 SINUSNA FUNKCIJA
2
sin sin 2 siny t A A ft A tT
Prigušena sinusna funkcija
2
sin sin 2 sint t tAe Aey t t ft tT
Ae
T – period oscilacija
f – učestanost oscilacija [Hz]
( 1/f T )
- kružna učestanost [rad/s]
( 2 f )
– koeficijent prigušenja [1/s]
1.3 KARAKTERISTIČNI VREMENSKI ODZIVI
Pobudna funkcija Odziv sistema
Odskočna funkcija h(t) Odskočni odziv s(t)
Nagibna funkcija r(t) Nagibni odziv
Impulsna funkcija (t) Impulsni odziv g(t)
Sinusna funkcija Sinusni odziv
1.4 ODZIV SISTEMA NA PROIZVOLJNU POBUDU
Posmatramo sistem opisan pomoću impulsnog odziva ( )g t .
Cilj je da odredimo izlaz sistema ( )y t na poznatu pobudu ( )u t .
Može se pokazati da važi sledeća veza između ovih veličina:
( ) ( ) ( )y t u g t d
)( )) ((u ty t g t Simbolički zapis integrala konvolucije
Zaključak: 1. g(t) se može koristiti kao model sistema bez početnih uslova.
2. g(t) se može veoma lako eksperimentalno dobiti.
integral konvolucije ulaza sistema ( )u t i impulsnog odziva sistema ( )g t
1.5 NEKE BITNE OSOBINE SISTEMA
1.5.1 SISTEMI BEZ MEMORIJE - STATIČKI SISTEMI
Izlaz sistema u proizvoljnom trenutku zavisi samo od vrednosti pobude u tom trenutku.
Primer: ( ) ( )Ru t Ri t
1.5.2 SISTEMI SA MEMORIJOM - DINAMIČKI SISTEMI
Izlaz sistema u proizvoljnom trenutku zavisi od vrednosti pobude u tom trenutku kao vrednosti u prethodnim trenucima vremena.
Primer:
1( ) ( )
t
Cu t i dC
1.5.3 LINEARNOST
Sistem je linearan ukoliko poseduje osobine
aditivnosti i princip superpozicije
homogenosti
Sistem je aditivan ukoliko je njegov odziv na zbir ulaznih signala jednak zbiru odziva na pojedinačne ulazne signale, odnosno ako važi
1 1
1 2 1 2
2 2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
H
H
H
u t y tu t u t y t y t
u t y t
Sistem je homogen ukoliko je njegov odziv na multipliciranu pobudu jednak multipliciranom odzivu na originalnu pobudu:
( ) ( ) ( ) ( )H Hu t y t au t a y t
Princip superpozicije = aditivnost + homognost
, ( ) ( ) ( ) ( )H Hk k k k k kk k
k u t y t a u t a y t
1.5.4 KAUZALNOST – FIZIČKA OSTVARLJIVOST SISTEMA
t
y(t)
t
u(t)
Sistem je kauzalan ako njegov odziv u nekom trenutku vremena zavisi isključivo od pobude koja je na njega delovala do tog trenutka.
Svi realni fizički sistemi su kauzalni !
Uslov kauzalnosti kod diferencijalnih jednačina:
n m
???
t
y(t)
t
u(t)
Nekauzalan sistem – odziv se javlja i pre dejstva pobude
Kauzalan sistem – odziv se ne može javiti pre dejstva pobude
1.5.5 STACIONARNOST – VREMENSKA INVARIJANTNOST
Sistem je stacionaran ukoliko je njegov odziv na vremenski pomerenu pobudu takođe vremenski pomeren u istom iznosu
Odziv stacionarnog sistema je neosetljiv na trenutak dejstva pobude.
Kod stacionarnih sistema najčešće se usvaja da pobuda počinje da deluje u trenutku t = 0. Napomena. Model stacionarnih sistema se ne menja tokom vremena.
t
y(t)
t
u(t)
t
y(t)
t
u(t)
1.6 OSNOVNI POKAZATELJI KVALITETA PONAŠANJA SISTEMA U VREMENSKOM DOMENU
Pokazatelji su definisani koristeći odskočni odziv sistema drugog reda:
SISTEM: 2
2 1 0 02
( ) ( )( ) ( )
d y t dy ta a a y t b u t
dt dt
Specijalni izbor parametara:
2 11, 2 na a ,
2
0 0 na b - da bi odskočni odziv u stacionarnom stanju bio jedan ( ) 1y
SISTEM:
2
2
2 2( ) ( )2 ( ) ( )n n nd y t dy t
y t u tdt dt
(sistem drugog reda)
–koeficijent relativnog prigušenja (0 1 )
n – sopstvena neprigušena učestanost (0 n )
Odskočni odziv ( )s t sistema drugog reda:
ODSKOČNI ODZIV:
2
21( ) 1 ( )1
ar 1
s
c
i
o
n
c s , 0
1n nt
s htt te
Vremenska konstanta sistema: 1
n
T
n
tt
T n
tt Te e
Stacionarno stanje: 2( ) 1 1 / 1s e
02sin 1 1 0 1n t
t
h(t)
1
s(t)
t
Stacionarno stanje odskočnog odziva s(t):
Odskočni odziv s(t) sistema drugog reda
1.6.1 VREME KAŠNJENJA
kT – vreme kašnjenja je vreme
potrebno da se vrednost odskočnog
odziva s t promeni od 0 do 50% vrednosti u stacionarnom stanju.
Sistem II reda:
0.7 1n kT
Linearna aproksimacija: ( ) 0.7 1lf
Vreme kašnjenja
0.7 1k
n
T
Vreme kašnjenja pokazuje sa kolikim se zakašnjenjem od trenutka dejstva pobude na izlazu sistema pojavljuje primetan signal.
1.6.2 VREME USPONA
uT - vreme uspona je vreme potrebno da
se vrednost signala s(t) promeni od 10% do 90% vrednosti u stacionarnom stanju.
Sistem II reda:
21 1.1 1.4n uT
Kvadratna aproksimacija:
2( ) 1 1.1 1.4kf
Vreme uspona
21 1.1 1.4u
n
T
Definiše brzinu reagovanja sistema.
Većem vremenu uspona odgovaraju veća izobličenja u prenosu signala.
1.6.3 VREME PRESKOKA I PRESKOK
PT – vreme preskoka je trenutak kada signal
s(t) dostiže svoju maksimalnu vrednost smax.
Sistem II reda:
Vreme preskoka: 21
p
n
T
% - preskok definiše se u procentima:
max ( )% 100%( )
s s
s
21% 100%e
Preskok mera relativne stabilnosti sistema, karakteriše tačnosti rada sistema.
1.6.4 VREME SMIRENJA
ST – vreme smirenja je vreme potrebno da
amplituda signala y t uđe u pojas širine 2 oko vrednosti ( )s , odnosno u pojas
( ) (1 )s .
Za se najčešće usvaja 2% ili 5% od ( )s .
Posle isteka vremena smirenja prelazni proces se može zanemariti. Sistem II reda:
44S
n
T T
( za 2%)
33S
n
T T
(za 5%)
Vremenska konstanta sistema: 1
n
T
Za 2%
1.6.5 UČESTANOST (PERIOD) OSCILACIJA
Period oscilacija definiše razmak između dva susedna maksimuma u odskočnom odzivu.
2
2
1( ) 1 sin 1
1
nt
ns t e t
Učestanost
oscilacija odziva:
21n
Perioda oscilacija: 2
2 2
1n
Broj perioda
tokom vremena
smirenja
22 1STN