Upload
mirnesa-cehajic
View
246
Download
17
Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZITET U ZENICIPEDAGOŠKI FAKULTETOdsjek: Matematika i informatika
SEMINARSKI RAD IZ ANALIZE IITema:
Redovi. Kriterij konvergencije redova. Redovi funkcija. Uniformna konvergencija
STUDENTČehajić Mirnesa Zenica, 2011.
SADRŽAJ
Pojam i konvergencija brojnog reda.......................................................................................3Kriterij konvergencije redova.................................................................................................4Redovi funkcija.......................................................................................................................7Ispitivanje konvergencije........................................................................................................8Uniformna konvergencija funkcionalnih redova..................................................................11Kriterij za uniformnu konvergenciju....................................................................................12LITERATURA.....................................................................................................................13
2
Pojam i konvergencija brojnog reda
Definicija: Neka je dat niz realnih brojeva , tada izraz oblika
, ili kraće , zovemo brojni red. Broj , naziva se opštim
članom reda. Sumu prvih n-članova reda, tj. zovemo n-tom
parcijalnom sumom reda, a predstavlja n-ti ostatak reda.
Definicija: Brojni red = (*)
je konvergentan ako i samo ako njegov niz parcijalnih suma konvergira.
U tome slučaju zovemo sumom reda.
Za red koji ne konvergira (limes parcijalnih suma ne postoji ili je ),
kažemo da divergira.Paralelno sa redom (*), zgodno je posmatrati i red
Koji zovemo m-tim ostatkom reda (*), poslije m-tog člana i sa označavamo njegovu sumu.
Primjer: Brojni red , je konvergentan.
Opšti član datog reda možemo napisati u obliku , pa
niz parcijalnih suma reda ima opšti član
odakle je
3
Kriterij konvergencije redova
Teorem1: Ako red konvergira, onda niz konvergira ka nulu, tj. vrijedi
Dokaz: Ako red konvergira ka broju s, onda vrijedi
Obrnuta tvrdnja ne vrijedi, što se vidi iz primjera harmonijskog reda .
Ovaj red divergira ka .
Teorem2: Red = je konvergentan ako i samo ako je red
(m-ti ostatak reda ) konvergentan.
Teorem3: (Cauchy-Bolzano princip konvergencije za redove)
Red konvergira ako i samo ako za svako postoji , tako da iz
slijedi
Dokaz: Cauchyev kriterij za konvergenciju niza realnih brojeva može se
primjeniti na niz parcijalnih suma reda i dobiti:
red je konvergentan, ako i samo ako je Cauchyev niz u R, tj. ako i samo ako vrijedi da, za svako postoji , tako da iz slijedi
,Čime je teorem dokazan.
Pod pozitivnim redom se podrazumjevared čiji su članovi , .
Teorem4: ( D'Alambert-ov kriterij) Ako za brojni red >0, postoji i
realan broj q, tako da je <1 za svako , tada je dati red konvergentan.
Ako postoji sa svojstvom , za , onda je taj red divergentan.
Još više, ako postoji , tada za red konvergira, a za red
divergira.
4
Dokaz: Iz nejednakosti , , slijedi i budući da red
konvergira, to će konvergirati i red , na osnovu teorema 2. Sa druge
strane, ako je za , onda je red divergentan, jer njegov opšti član ne
teži nuli.
Pretpostavimo sada da je i . Neka je dalje, ,
tada postoji tako da za svako .
Drugim riječima, ako stavimo , imamo <1 za tj., dati red
konvergira na osnovu prvog dijela teorema. Ako je ipak , tada
počev od nekog prirodnog broja , pa opšti član polaznog reda ne teži
nuli, te je on divergentan. Dokaz je završen.
Teorem5: (Cauchyev kriterij)
Ako za pozitivni brojni red postoji i , tako da je za
svako , onda red konvergira. Ako pak postoji tako da je za
svako , onda je dati red divergentan. Osim toga, ako postoji ,
tada za red konvergira, a za red divergira.
Dokaz: Neka postoji tako da iz pretpostavke slijedi , za k=1,
2, 3,...; odavde na osnovu konvergencije geometrijskog reda slijedi i
konvergencija reda . Ako je za , tada je i za svako .
Pošto nije nula-niz, red divergira.
Neka je <1. Možemo odabrati , tako da je .
Jasno je da postoji (za dato ) , tako da je , za svako .
Ako sada primjenimo prvi dio ovog teorema, zaključujemo da red
konvergira. Slučaj , dokazuje se ns isti način kao u prvom dijelu dokaza ove teoreme. Može se dati i opštiji kriterij ove teoreme:
5
Ako je , tada red konvergira, a ako je isti red divergira.
Primjer: Ispitati konvergenciju reda
primjenom poopštenog Cauchyev kriterija!
Prema tome dati red je konvergentan.
6
Redovi funkcija
Neka je na skupu definisana funkcija . Tada možemo formirati
(1)
Ako u (1) stavimo , gdje je prozvoljan, ali fiksiran elemenat skupa ,
onda dobijemo red brojeva .
Definicija: Za red (1) kažemo da je konvergentan u tački ako
konvergira numerički red .
Skup tačaka D u kojima red (1) konvergira naziva se oblast knvergencije funkcionalnog reda.
Definicija: funkcionalni red (1) je konvergentan na D ako za postoji
prirodan broj koji zavisi od x i od , takav da je za svako .
Granica niza parcijalnih suma za naziva se suma funkcionalnog reda i
označava sa . Dakle, suma
,
je funkcija definisana na skupu D.
Na primjer, red funkcija možemo zapisati i kao
Ako ovako dobijen red konvergira, onda se kaže da red (1) konvergira u tački Ako red (1) konvergira u svakoj tački , onda se kaže da red (1) konvergira na .
Pretpostavimo da red (1) konvergira na . To znači da za svako fiksno red
brojeva konvergira, tj. ima konačnu sumu. Ako promjenimo onda se
promjeni, uopšte uzev, i taj red pa će se promjeniti i njegova suma. Drugim riječima, ta suma zavisi od . Označimo je sa , . Pišemo
.
7
Ako red (1) konvergira za sve onda se često kaže da on na konvergira po tačkama.Šta znači da red konvergira po tačkama?Označimo sa n-tu parcijalnu sumu reda (1):
Da red (1) konvergira po tačkama znači da niz konvergira na po tačkama ka funkciji koja je suma reda (1). Ovo pak znači da za postoji koji zavisi od i od , takav da vrijedi
, čim je .
Ispitivanje konvergencije
Ispitati konvergenciju reda funkcija znači naći područje, odnosno sve vrijednosti , za koje dani red konvergira. Često ispitujemo područje apsolutne
konvergencije koristeći kriterije konvergencije za redove realnih brojeva.
Definicija: Za red (1) kažemo da je apsolutno konvergentan na D ako za svako
red konvergira.
Postupak ćemo objasniti na primjeru.
Zadan je red funkcija
Na osnovu Cauchyjev-og kriterija imamo
Dakle, red konvergira apsolutno za sve tačke \ za koje je ,
odnosno za . U tački Cauchyjev kriterij ne daje odluku pa
ćemo taj slučaj razmotriti posebno:
8
Ako svi članovi reda imaju neku osobinu, onda se pitamo da li i suma tog reda ima tu osobinu, tj. da li se osobina sa članova reda prenosi i na sumu reda. Da bi ispitali pod kojim uslovima se osobine, naprimjer neprekidnost, diferencijabilnost, sa članova reda prenose i na sumu tog reda uvodi se pojam ravnomjerne (uniformne) konvergencije.
Definicija: Neka je na skupu definisan red funkcija
. Za ovaj red kažemo da ravnomjerno konvergira na ka sumi ako
niz parcijalnih suma tog reda konvergira ravnomjerno na , ka funkciji .
Za niz vrijedi: niz ravnomjerno konvergira na ako i samo ako za postoji , , koji zavisi samo od , i takav da i
vrijedi .Ako ovdje smatramo da je m=n+p, p=0, 1, 2, ..., ovaj princip možemo iskazati ovako. Niz konvergira ravnomjerno na ako za postoji ,
takav da za i vrijedi . (*)
Neka je niz parcijalnih suma reda (1). Red (1) po definiciji konvergira ravnomjerno na ako i samo ako niz konvergira ravnomjerno na . To znači da za postoji takav da i p=0, 1, 2, ..., i vrijedi (*).Kako je
i to je , Ovo možemo formulisati u vidu teorema koji je poznat kao opšti Koši-Bolcanov kriterij za ravnomjernu konvergenciju redova funkcija.
Teorem: Neka je na skupu definisan red funkcija (1)
.
Ovaj red konvergira ravnomjerno na ako i samo ako za postoji , takav da za i i vrijedi
ili što je isto
, , ,
9
10
Uniformna konvergencija funkcionalnih redova
Definicija: funkcionalni red uniformno konvergira na D ako za postoji prirodan broj , nezavisan od x, takav da je za i .
Za uniformnu konvergenciju funkcionalnog reda na segmentu može se dati slijedeća geometrijska interpretacija.Pretpostavimo da je red (1) konvergentan na . Tada se uslov
Može izraziti u obliku
Što geometrijski znači da za svako (zavisno samo od ) parcijalne sume , tj. svi grafici krivih y= nalaze se u traci širine 2 koja je opisana oko
krive y= za svako , (slika 1).
11
Kriterij za uniformnu konvergenciju
Vaještrasov kriterij: Neka je dat red , pri čemu su svi članovi reda
funkcije definisane na segmentu . Pretpostavimo da za n=1, 2, ... postoji broj takav da vrijedi , .
Ako brojni red konvergira, tada i red konvergira ravnomjerno na
.
Dokaz: pretpostavimo da je red . Uzmimo po volji . Na osnovu principa
konvergencije za redove sa konstantnim članovima zaključujemo da postoji
, , takav da vrijedi , i
No, tada će vrijediti i
za i ,
Dakle, za možemo naći priprodan broj , koji zavisi samo od , takav da , i vrijedi
. Odavde po principu ravnomjerne konvergencije za
redove funkcija zaključujemo da red ravnomjerno konvergira na ,
š.t.d.
Abelov kriterij za ravnomjernu konvergenciju: Neka je dat red
gdje su funkcije , definisane na . Pretpostavimo da su zadovoljeni slijedeći uslovi:
1. konvergira ravnomjerno na ,
2. za svaki niz je monoton, tj. za svaki fiksiran je ili za sve ili za sve
3. sve funkcije niza ograničene su na jednim istim brojem, tj. postoji konstanta M takva da za i vrijedi .
Pod ovim pretpostavkama red ravnomjerno konvergira na
12
LITERATURA
1. Prof. dr. F. Dedagić, Matematička analiza , Univerzitetska knjiga, Tuzla, 2005.
2. F. Vajzović i M. Malenica: Diferencijalni račun funkcija više promjenljivih, Univerzitetska knjiga, Sarajevo, 2002.
3. http://web.math.hr/~guljas/skripte/MATANALuR.pdf
13