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ANALYTISCHE GEOMETRIE

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Analytische Geometrie

Inhalt

Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt Seite 1 Geraden im Raum 1 1.1 Vektorielle Parameterform 1 1.2 Punkt auf Gerade 2 1.3 Der allgemeine Geradenpunkt 2 1.4 Punkteschar 2 1.5 Lage im Koordinatensystem 4 2 Ebenen im Raum 6 2.1 Aufstellen von Ebenengleichungen in Parameterform 6 2.2 Ebene in Normalenform und Koordinatenform 9 2.3 Ümwandlung der verschiedenen Darstellungsformen 10 2.4 Die Koordinatenebenen 12 2.5 Die Achsenabschnittsform mit Spurgeraden und Spurdreieck 13 3 Inzidenzen: Lage von Geraden und Ebenen zueinander 15 3.1 Zwei Geraden 15 3.1.1 Identische Geraden 15 3.1.2 Parallele Geraden 15 3.1.3 Sich schneidende Geraden mit Schnittwinkel 16 3.1.4 Windschiefe Geraden 17 3.2 Gerade und Ebene 18 3.2.1 Die Gerade liegt in der Ebene 18 3.2.2 Die Gerade liegt parallel zur Ebene 18 3.2.3 Die Gerade schneidet die Ebene mit Schnittwinkel 19 3.3 Zwei Ebenen 24 3.3.1 Identische Ebenen 24 3.3.2 Parallele Ebenen 24 3.3.3 Sich schneidende Ebenen mit Schnittwinkel 24 3.4 Drei Ebenen 27 4 Abstandsberechnungen 31 4.1 Abstand Punkt – Punkt 31 4.2 Abstand Punkt – Ebene 31 4.3 Abstand Punkt – Gerade 32 5 Besonderheiten 35 5.1 Die Projektionsgerade 35 5.2 Winkel halbieren, geometrischer Ort 36 5.2.1 Winkelhalbierende Vektoren 36 5.2.2 Winkelhalbierende Geraden 36 5.2.3 Winkelhalbierende Ebenen 38 5.3 Spiegelungen 40 5.3.1 Spiegelpunkt an einer Geraden im IR2 40 5.3.2 Spiegelpunkt an einer Geraden im IR3 41 5.3.2 Spiegelpunkt an einer Ebene im IR3 42

Graphiken erstellt mit Powerpoint

© April 2014

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Geraden im Raum

1

1 Geraden im Raum 1.1 Die vektorielle Parameterform Bestimmungsstücke: (1) Aufpunkt 1 2 3A(a / a / a ) und ein

Richtungsvektor 1

2

3

uu u

u

.

1 1

g 2 2

3 3

a ug: x OA u a u

a u

Beispiel

a) 2

A( 3 / 5) ; u ;1

g

3 2g: x

5 1

b) 1

A(5 /1/ 0) ; u 1 ;3

g

5 1g: x 1 1

0 3

Bemerkung

Die Parameterdarstellung von Geraden ist nicht eindeutig, da man als Aufpunkt jeden belie-

bigen Geradenpunkt und als Richtungsvektor auch jeden beliebigen zu u

parallelen Vektor verwenden kann. Bestimmungsstücke: (2) Zwei Punkte 1 2 3A(a / a / a ) und 1 2 3B(b / b / b )

1 1 1

g 2 2 2

3 3 3

a b ag: x OA AB a b a

a b a

u

A

A

AB

B

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Geraden im Raum

2

Beispiele

a) A(0,5 /1) ; B(4 / 2) ; g

3 2g: x

5 1

b) A( 2 /1/ 3) ; B(0 /1/ 5) ; g

2 0 ( 2) 2 2g: x 1 1 1 1 0

3 5 3 3 2

1.2 Punkt auf Gerade Beispiel

Liegen die Punkte P( 6 / 5 / 5) und Q(14 / 0 / 7) auf der Geraden g

2 4g : x 3 1

1 2

?

Lösung

6 2 4 6 2 4 25 3 1 5 3 2

5 1 2 5 1 2 2

also gilt: P g .

14 2 4 14 2 4 30 3 1 0 3 37 1 2 7 1 2 3

also gilt: Q g .

1.3 Der allgemeine Geradenpunkt

1 1 1 1

g 2 2 2 2

3 3 3 3

a u a ug : x a u a u

a u a u

g 1 1 2 2 3 3X a u / a u / a u

Beispiel

Gesucht ist ein Punkt P g mit 2 2

g : x 3 11 1

, welcher 5 LE über der x1x2-Ebene liegt.

3x 5 1 5 4 2 2 10

OP 3 4 1 1 P 10 /1/ 51 1 5

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Geraden im Raum

3

1.4 Punkteschar Beispiel Liegen die Punkte aP (3 a / 2a / 3 a) auf einer Geraden? Lösung:

a

3 a 3 1OP 2a 0 a 2

3 a 3 1

; Das ist die Gleichung einer Geraden.

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Geraden im Raum

4

1.5 Lage im Koordinatensystem

Gegeben ist eine Gerade 1 1 1

2 2 2

3 3 3

x a ug: x OA u g: x a u

x a u

Für das Zeichnen von Geraden im Koordinatensystem ist es gut zu wissen, wo die Gerade die Koordinatenebenen schneidet: Spurpunkte Si

Gerade 2 3g x x Ebene : S1



Lösung Man setzt die i-te Koordinate im allgemeinen Geradenpunkt gleich Null und berechnet dar-aus den zugehörigen Parameterwert, der dann in den allgemeinen Geradenpunkt eingesetzt wird.

31 21 1 1 1 1 1 2 1 3 1

1 1 1

ua ux 0 a u 0 S 0 / a a / a au u u

32 12 2 2 2 2 2 1 2 3 2

2 2 2

ua ux 0 a u 0 S a a / 0 / a au u u

3 1 23 3 3 3 3 3 1 3 3 3

3 3 3

a u ux 0 a u 0 S a a / a a / 0u u u

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Geraden im Raum

5

Beispiel

Bestimmung der Spurpunkte von

1 1g : x 4 2

4 1

.

1 1 1x 0 1 0 1

1 1

1 1 0OS 4 ( 1) 2 6 S 0 / 6 / 5

4 1 5

2 2 2x 0 4 2 0 2

2 2

1 1 3OS 4 2 2 0 S 3 / 0 / 2

4 1 2

3 3 3x 0 4 0 4

2 3

1 1 5OS 4 4 2 4 S 5 / 4 / 0

4 1 0

Spezialfälle

Kommt im Richtungsvektor u

eine Null vor, so ist die Gerade parallel zu einer Koordinaten-ebene. Nur 1u 0 : Gerade ist parallel zur x2x3-Ebene. Nur 2u 0 : Gerade ist parallel zur x1x3-Ebene. Nur 3u 0 : Gerade ist parallel zur x1x2-Ebene.

1 2u 0 u 0 : Gerade ist parallel zur x3-Achse, Gerade ist parallel zur x2x3-Ebene und zur x1x3-Ebene.



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Ebenen im Raum

6

2 Ebenen im Raum

2.1 Aufstellen von Ebenengleichungen in Parameterform Beispiel 1

Geg.: Punkt 1 2 3A(a / a / a ) und zwei linear unab-

hängigen Richtungsvektoren u

und v

. Lösung: Wahl eines Punktes als Aufpunkt. Wahl zweier linear unabhängiger Verbindungsvek-toren als Richtungsvektoren.

E : x a u v

Beispiel 2

Geg.: Drei Punkte 1 2 3A(a / a / a ) , 1 2 3B(b / b / b ) und

1 2 3C(c / c / c ) , die nicht auf einer Geraden liegen. Lösung: Wahl eines Punktes als Aufpunkt. Wahl zweier linear unabhängiger Verbindungsvek-toren als Richtungsvektoren.

E : x a AB AC

Beispiel 3

Geg.: Gerade g : x OA u

und ein Punkt

1 2 3P(p / p / p ) mit P g . Lösung: Aufpunkt und Richtungsvektor der Geraden g, Verbindungsvektor AP

als zweiter Richtungsvek-

tor.

E : x OA u AP

Beispiel 4

Geg.: Zwei parallele Geraden g und h: g : x OA u

, h : x OB v

mit v u

. Lösung: Aufpunkt und Richtungsvektor der Geraden g, Verbindungsvektor AB

als zweiter Richtungsvek-

tor.

E : x OA u AB

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Ebenen im Raum

7

Bemerkung

Die Parameterdarstellung einer Ebene ist nicht eindeutig, die Richtungsvektoren der ver-schiedenen Darstellungen müssen jedoch komplanar sein.

Das sieht man normalerweise nicht auf den ersten Blick wie bei den Geraden, sondern man muss nachrechnen: Beispiele

a) Gesucht: Gleichung der Ebene E1 durch die Punkte A(2 / 3 / 4) , B(7 / 5 / 2) , C( 2 / 0 /1) .

b) Gesucht: Gleichung der Ebene E2 durch den Punkt D(3 / 0 / 1) und die Richtungen

2

u 11

und

2v 3

2

.

c) Liegt der Punkt P(5 / 7 / 2) in der Ebene E1 bzw. E2?

d) Gegeben ist die Ebene

3 3

3

u v

5 4 0E : x 7 2 4

2 3 1

. Welche Lage hat E3 bzgl. E2?

Lösung von a)

1

2 5 4E : x 3 2 3

4 6 3

Lösung von b)

2 2

2

u v

3 2 2E : x 0 1 3

1 1 2

Lösung von c)

5 2 5 47 3 2 32 4 6 3

5 (II) 2 (I)5 (III) 6 (I) 7 (III) 39 (II)

5 4 3 5 4 3 5 4 32 3 4 0 7 14 0 7 146 3 2 0 39 8 0 0 492

also gilt: 1P E

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Ebenen im Raum

8

5 3 2 27 0 1 32 1 1 2

2 (II) (I)2 (III) (I) 4 (III) (II)

2 2 2 1 1 1 1 1 11 3 7 0 8 16 0 8 16

1 2 3 0 2 4 0 0 0

also gilt: 2P E

Lösung von d)

Es wird geprüft, ob die Richtungsvektoren der Ebene E3 linear abhängig sind von den Rich-tungsvektoren der Ebene E2.

1 2 2 2 3u v u ;

1 2 2 2 3u v v ;

2 (II) (I)2 (III) (I) 4 (III) (II)

2 2 4 0 2 2 4 0 1 1 2 01 3 2 4 0 8 8 8 0 1 1 1

1 2 3 1 0 2 2 2 0 0 0 0

2 1 2 11; 1; 1; 1; die Vektoren sind linear abhängig, also E2 parallel E3.

Da 2P E der Aufpunkt von E3 ist, sind E2 und E3 identisch.

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Ebenen im Raum

9

2.2 Ebene in Normalenform und Koordinatenform

Gegeben ist die Parameterform der Ebene: E : x OA u v

Die Ebene soll in eine parameterfreie Form umgewandelt werden.

Skalar-Multiplikation mit dem Normalenvektor n u v

.

Er steht senkrecht auf der von u

und v

aufgespannten Ebene E.

n x n OA n u n x

Vereinfachung liefert die Normalenform E: n (x OA) 0

Mit der Normierung des Normalenvektors 0 nnn

folgt die

Hesse’sche Normalenform (HNF): 0n (x OA) 0

Aber nun zur Normalenform in Komponenten: 1 1 1

2 2 2

3 3 3

n x an x a 0n x a

.

Konkrete Berechnung des Skalarprodukts: 1 1 1 2 2 2 3 3 3n (x a ) n (x a ) n (x a ) 0

Umformung: 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3n x n x n x ( n a n a n a ) 0

Vereinfachung liefert die Koordinatenform 1 1 2 2 3 3 0E: n x n x n x n 0

Beispiel

Gegeben ist die Ebene E: 1 5 7

x 2 4 23 0 1

Bestimmen Sie die Normalenform und die Koordinatenform.

Lösung:

E

5 7 4n 4 2 5

0 1 38

; Normalenform:

1

2

3

4 x 1E: 5 x 2 0

38 x 3

Koordinatenform: 1 2 3E: 4 x 1 5 x 2 38 x 3 0

Vereinfachen: 1 2 3E: 4 x 5 x 38 x 100 0

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Ebenen im Raum

10

2.3 Überführung der verschiedenen Darstellungsformen ineinander 2.3.1 Koordinatenform in Normalenform

Gegeben Koordinatenform: 1 1 2 2 3 3 0E: n x n x n x n 0

Ablesen des Normalenvektors: 1

2

3

nn n

n

. Der Ortsvektor

1

2

3

aOA a

a

zum Punkt A wird be-

rechnet, indem man zwei Werte für die Unbekannten xi und xj vorgibt und dann die 3. be-rechnet:

Z. B.: 1 1a x 0 ; 2 2a x 0 03 3

3

na xn

0

3

0OA 0

nn

Beispiel

Gegeben ist die Ebene in Koordinatenform: 1 2 3E : 4 x 5 x 38 x 100 0 Bestimmen Sie die Normalenform. Lösung:

Aufpunkt: A 0 / 20 / 0 ; Normalenvektor: 4

n 538

Normalenform: E : n x OA 0 ; Konkret:

1

2

3

4 x 0E: 5 x 20 0

38 x 0

2.3.2 Normalenform in Parameterform Gegeben Normalenform: E: n (x a) 0

Gesucht ist die Parameterform, das heißt, gesucht sind zwei Richtungsvektoren u

und v

von E. Man weiß jedoch, dass u n

und v n

.

Bestimmung zweier Vektoren, die zum Normalenvektor senkrecht sind: (1) Tauschen zweier Zeilenwerte von n

.

(2) Wechseln eines der Vorzeichen

(3) Die 3. Koordinate gleich Null setzen.

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Ebenen im Raum

11

Beispiel

Gegeben ist die Ebene in Normalenform: 4 1

E : 5 x 2 038 3

Bestimmen Sie die Parameterform von E. Lösung:

Richtungsvektoren: 5 38

u 4 ; v 00 4

; Konkrete Ebene:

1 5 38E: x 2 4 0

3 0 4

;

2.3.3 Koordinatenform in Parameterform

Gegeben Koordinatenform: 1 1 2 2 3 3 0E: n x n x n x n 0

Gesucht ist die Parameterform.

Wahl dreier Punkte, z. B. 0

3

nA 0 / 0 /

n

, 0

2

nB 0 / / 0

n

und 0

1

nB / 0 / 0

n

Bestimmung der Richtungsvektoren jeweils als Verbindungsvektor zweier Punkte.

E : x OB AB AC

Beispiel

Gegeben ist die Ebene in Koordinatenform: 1 2 3E : 4 x 5 x 38 x 100 0 Bestimmen Sie die Parameterform. Lösung:

1. Punkt: 100A 0 / 0 /38

; 2. Punkt: B 0 / 20 / 0 ; 3. Punkt: C 25 / 0 / 0 ;

0 0 25E : x 20 20 0

0 100 10038 38

0 0 19E : x 20 38 0

0 5 2

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Ebenen im Raum

12

2.4 Die Koordinatenebenen 2.4.1 Parameterform

x1x2-Ebene: 12

0 1 0E : x 0 0 1

0 0 0

x1x3-Ebene: 13

0 1 0E : x 0 0 0

0 0 1

x2x3-Ebene: 23

0 0 0E : x 0 1 0

0 0 1

2.4.2 Koordinatenform x1x2-Ebene: 12 3E : x 0

x1x3-Ebene: 13 2E : x 0

x2x3-Ebene: 23 1E : x 0

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Ebenen im Raum

13

2.5 Die Achsenabschnittsform mit Spurgeraden und Spurdreieck Bezeichnung

Die Schnittpunkte der Ebene mit einer der Koordinatenachsen heißen Achsenpunkte (Ach-senabschnitte) einer Ebene.

1 2 3E: a x b x c x d 0

Schnitt mit der x1-Achse: 2 3x 0 x 0

1 1da x d 0 x sa

Schnitt mit der x2-Achse:

1 3x 0 x 0

2 2db x d 0 x tb

Schnitt mit der x3-Achse:

1 2x 0 x 0

3 3dc x d 0 x uc

Spurpunkte auf den Achsen:

S(s / 0 / 0)

T(0 / t / 0)

U(0 / 0 / u)

Achsenabschnittsform: 31 2 xx xE: 1

s t u vgl. Merkhilfe

Bezeichnung

Die Schnittgeraden der Ebene und der Koordinatenachsen heißen Spurgeraden der Ebene. Spurgerade von E in der x2x3-Ebene: Gerade g1 durch die Punkte T und U. Spurgerade von E in der x1x3-Ebene : Gerade g2 durch die Punkte S und U. Spurgerade von E in der x1x2-Ebene: Gerade g3 durch die Punkte S und T. Die Spurgeraden bilden das Spurdreieck STU.

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Ebenen im Raum

14

Beispiel

Gegeben ist die Ebene 1 2 3E: 10 x 5 x 4 x 20 0 .

a) Bestimmen Sie die Achsenabschnittsform.

b) Bestimmen Sie die Spurpunkte und die Spurgeraden. Lösung von a) Koordinatengleichung: 1 2 3E: 10 x 5 x 4 x 20 : 20

Umformung: 31 2 4 x10 x 5 xE: 120 20 20

Achsenabschnittsform: 31 2 xx xE: 12 4 5

Lösung von b) Schnitt mit der x1-Achse: 2 3x 0 x 0 1 110 x 20 x 2 s Schnitt mit der x2-Achse: 1 3x 0 x 0 2 25 x 20 x 4 t Schnitt mit der x3-Achse: 1 2x 0 x 0 3 34 x 20 x 5 u Spurpunkte: S(2 / 0 / 0) ; T(0 / 4 / 0) ; U(0 / 0 / 5)

Spurgerade in der x2x3-Ebene: 1

0 0g : x 4 4

0 5


2 2g : x 0 0

0 5


2 2g : x 0 4

0 0

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Lage von Geraden und Ebenen zueinander

15

3 Inzidenzen: Lage von Geraden und Ebenen zueinander 3.1 Zwei Geraden

Gegeben sind die Geraden 1g : x OA u

und 2g : x OB v

. 3.1.1 Identische Geraden

Kennzeichen:

1 2g g u v AB

kein Schnittwinkel kein Abstand unendlich viele Schnittpunkte

Beispiel 1

1

3 2g : x 8 2

7 3

und 2

5 4g : x 6 4

4 6

Richtungsvektoren sind parallel: 4 2

4 2 26 3

Verbindungsvektor: !

5 3 2AB 6 8 2 u

4 7 3

1 2AB u g g

3.1.2 Parallele Geraden

Kennzeichen:

1 2g g u v AB

kein Schnittwinkel Abstand d keine Schnittpunkte

d

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16

Beispiel 2

1

5 10g : x 7 4

2 0

und 2

0 5g : x 5 2

3 0

Richtungsvektoren sind parallel: 10 5

4 2 20 0

Verbindungsvektor: 0 5 5

AB 5 7 23 2 1

1 2AB u g g

3.1.3 Sich schneidende Geraden

Kennzeichen:

1 2 1 2 3g g S(s / s / s )

u v u v AB 0

Schnittwinkel kein Abstand ein Schnittpunkt S

Schnittwinkel (spitzer Winkel): u v

arccosu v

Beispiel 3

1

9 7g : x 1 5

1 4

und 2

2 3g : x 4 4

3 5

Richtungsvektoren sind nicht parallel, d. h. die Geraden schneiden sich oder sind windschief.

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17

1 2g g 9 7 2 31 5 4 41 4 3 5

Gaußmatrix für die Komponentengleichungen:

7 II 5 I7 III 4 I 43 III 23 II

7 3 7 7 3 7 7 3 75 4 5 0 43 0 0 1 04 5 4 0 23 0 0 0 0

Lösung: 1; 0;

Schnittpunkt: in g2 einsetzen: 2 3 2

OS 4 0 4 43 5 3

S 2 / 4 / 3

Schnittwinkel:

7 35 44 5 21 20 20 7 5arccos arccos arccos 71,8

5049 25 16 9 16 25 90 50

3.1.4 Windschiefe Geraden

Kennzeichen:

u v u v AB 0

kein Schnittwinkel kein Schnittpunkt

Beispiel 4

1

4 3g : x 1 1

7 4

und 2

4 8g : x 1 6

0 4

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18

3 8u 1 ; v 6 ; u v

4 4

, d. h. die Richtungsvektoren sind nicht parallel,


AB 1 1 00 7 7

3 8 8 28 81 6 0 44 0 224 70 154

4 4 7 10 7

,

ungleich Null g1 und g2 sind windschief

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19

3.2 Gerade und Ebene Es gibt 3 Möglichkeiten der gegenseitigen Lage einer Geraden und einer Ebene. Die Gerade ist in der Ebene enthalten, parallel zur Ebene oder schneidet die Ebene. g E , g E , 1 2 3g E S(s / s / s ) Die Gerade muss in Parameterform angegeben werden, für die Ebene gibt es die Parame-terform, die Normalenform und die Koordinatenform.

Gerade: g : x OA u

und Ebene E : x OB v w

bzw. EE : n x OB 0

bzw. 1 2 3E : a x b x c x d 0 3.2.1 Die Gerade liegt in der Ebene

E in der Parameterform:

g E v w u 0 A E

E in Normalenform oder Koordinatenform:

Eg E n u A E

unendlich viele Schnittpunkte keinen Schnittwinkel kein Abstand

3.2.1 Die Gerade liegt parallel zur Ebene

Ebene E in Koordinatenform

Eg E u n A E

kein Schnittpunkt kein Schnittwinkel konstanter Abstand d

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20

3.2.3 Die Gerade schneidet die Ebene

E in Parameterform:

1 2 3

g E E

g E S(s / s / s )

det u ; v ; w 0

E in Koordinatenform:

1 2 3

g E

g E S(s / s / s )

u n 0

kein Abstand Schnittpunkt S Schnittwinkel

Schnittwinkel: g E

g E

u narcsin

u n

Beispiel 1

Zeigen Sie, dass die Gerade g in Ebene E bzw. Ebene F liegt.

a) Gerade 3 1

g : x 2 13 2

; Ebene 1 0 2

E : x 0 2 02 1 3

.

b) Gerade 3 1

g : x 2 13 2

; Ebene 3 2

F : 1 x 1 02 3

?

Lösung von a)

1u 1

2

; 0 2

v 2 ; w 0 ;1 3

0 2 1 6 12 0 1 2 1 6 2 8 01 3 2 4 2

u, v , w

sind linear abhängig.

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21

A in Ebenengleichung E einsetzen: 3 1 0 22 0 2 0

3 2 1 3

Gleichungssystem der Koordinatengleichungen lösen:

(1) 3 1 2 2(2) 2 2 1(3) 3 2 1 6 (Pr obe)

A E Lösung von b)

1 31 1 3 1 4 02 2

Eu n

A in Ebenengleichung F einsetzen:

3 3 21 2 1 3 ( 3 2) 1 ( 2 1) 2 (3 3) 3 3 0 0

2 3 3

A F Beispiel 2

Zeigen Sie, dass die Gerade g parallel zur Ebene E bzw. F liegt.

a) Gerade 3 6

g : x 1 75 2

; Ebene 1 1 0

E : x 2 1 13 0 2

.

b) Gerade 3 6

g : x 1 75 2

; Ebene 1 2 3F : 2 x 2 x x 5 0 .

Lösung von a)

E

1 0 2n 1 1 2

0 2 1

; 6

u 72

; E

2 6n u 2 7 12 14 2 0

1 2

Aufpunkt von g in E einsetzen: 3 1 1 01 2 1 1

5 3 0 2

Gleichungssystem der Koordinatengleichungen lösen:

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22

(1) 3 1 2(2) 1 2 5(3) 5 3 2 1 (Widerspruch)

A E g E

Lösung von b)

Richtungsvektor Gerade: 6

u 72

; Normalenvektor Ebene F: F

2n 2

1

F

6 2u n 7 2 12 14 2 0

2 1

g F

Aufpunkt von g in F einsetzen: 2 3 2 1 5 5 8 0 A E g F

Beispiel 3

Zeigen Sie, dass die Gerade g die Ebene E bzw. F schneidet und bestimmen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel.

a) Gerade 5 1

g : x 7 33 0

; Ebene 2 0 3

E : x 0 0 10 1 0

.

b) Gerade 5 1

g : x 7 33 0

; Ebene F: 1 2 32 x x 3 x 5 0

Lösung zu a)

5 1 2 0 3g E: 7 3 0 0 1

3 0 0 1 0

Gaußmatrix für die Komponentengleichungen:

II 3 I

1 0 3 7 1 0 3 73 0 1 7 0 0 10 28

0 1 0 3 0 1 0 3

3.Zeile: 3 ; 2.Zeile: 145

; 1. Zeile: 14 77 3 7 35 5

in Geradengleichung einsetzen:

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23

3255 1

7 14OS 7 35 5

3 0 3

Schnittpunkt 32 14S / / 3

5 5

Normalenvektor von E: E

0 3 1n 0 1 3

1 0 0

Schnittwinkel:

2 2

1 13 3

0 0 1 9 10arc sin arcsin arcsin arcsin(1) 901010 101 ( 3) ( 1) 9

Lösung von b)

Allgemeinen Geradenpunkt in F einsetzen und nach auflösen:

12 5 7 3 3 3 5 0 5 1 05

Einsetzen in Geradengleichung:

655 1

1 32OS 7 35 5

3 0 3

Schnittpunkt 26 32S / / 3

5 5

Schnittwinkel:

2 2 2 2

1 23 1

0 3 2 3 5arc sin arcsin arcsin 2510 14 1401 ( 3) 2 ( 1) ( 3)

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24

3.3 Zwei Ebenen Die Lage von zwei Ebenen zueinander wird wegen der Eindeutigkeit der Darstellung meis-tens über die Koordinatenform untersucht. Gegeben sind zwei Ebenen E und F in Koordinatenform und jeweils ein Punkt der Ebene:

E 1 E 2 E 3 EE : a x b x c x d 0 und Punkt A E bzw.

F 1 F 2 F 3 FF : a x b x c x d 0 und Punkt B F .


E E

E

an b

c

; Normalenvektor von F: F

F F

F

an b

c

3.3.1 Identische Ebenen

E FE F n n A F

oder

E FE F n n B E

kein Schnittwinkel, kein Abstand, unendlich viele Schnittpunkte

3.3.2 Parallele Ebenen

E FE F n n A F

oder

E FE F n n B E

kein Schnittwinkel, keine Schnittpunkte, konstanter Abstand d

3.3.3 Sich schneidende Ebenen

EE F n

Fn

keinen Abstand, Schnittgerade gs

Schnittwinkel E F

E F

n narccos

n n

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25

Beispiel 1

4 4 0E : x 5 2 2

3 1 4

und 8 4 0

F: x 4 1,5 24 0 4

Lösung

E

4 0 6n 2 2 16

1 4 8

; F

4 0 6n 1,5 2 16

0 4 8

; E Fn n

Aufpunkt von E in F einsetzen: 4 8 4 05 4 1,5 23 4 0 4

Koordinatengleichungen:

(1) 4 8 4 1(2) 5 4 1,5 2

1(3) 3 4 44

Probe: 1(2) 5 4 1,5 1 2 4 1,5 0,5 54

E F

Beispiel 2

1 2 3E: x x 2 x 3 0 und 1 2 3F: x x 2 x 1 0 Lösung

E

1n 1

2

; F

1n 1

2

; E Fn n

Wahl von 1 1 1A(x / 0 / 0) E: x 3 0 x 3

A in F einsetzen: F: 3 1 2 0 A F E F Oder:

(II) (I)

1 1 2 3 1 1 2 31 1 2 1 0 0 0 2

Rangbetrachtung: erwRg(A) 2; Rg(A ) 3

keine Lösung

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26

Beispiel 3

1 2 3E: 4 x 5 x 7 x 112 0 und 1 2 3F: x 2 x x 21 0

E

4n 5

7

; F

1n 2

1

; E Fn n

Ebenen E und F eintragen in eine Gauß-Matrix und diagonalisieren:

4 (II) (I)

4 5 7 112 4 5 7 1121 2 1 21 0 3 3 24

Rangbetrachtung: erwRg(A) Rg(A ) 2

unendlich viele Lösungen mit einem freien Parameter

Wähle: 3x ;

2. Zeile: 21x 24 3 83

;

1. Zeile: 11 1x 112 5 8 7 152 12 38 34 4

Lösung ist eine Schnittgerade: s

38 3 38 3g : x 8 8 1

0 1

Schnittwinkel:

E

1n 1

2

; F

1n 1

2

; E Fn n

E

4n 5

7

; F

1n 2

1

;

4 15 27 1 4 10 7arccos arccos arccos 0,904 25,35

16 25 49 1 4 1 90 6

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27

3.4 Drei Ebenen

Gegeben sind drei Ebenen in Koordinatenform:

E 1 E 2 E 3 EE: a x b x c x d 0 ;

F 1 F 2 F 3 FF: a x b x c x d 0

H 1 H 2 H 3 HH: a x b x c x d 0

Gleichungssystem als Systemmatrix schreiben: E E E E

F F F F

H H H H

a b c dM a b c d

a b c d

Mittels Gauß-Algorithmus in Diagonalform bringen liefert:

Systemmatrix 11 12 13 1

erw 22 23 2

33 3

a a a bA 0 a a b

0 0 a b

und Koeffizientenmatrix11 12 13

22 23

33

a a aA 0 a a

0 0 a

.

- Rangbetrachtung über die Lösbarkeit des Gleichungssystems - Auflösen aus der Dreiecksform

Beispiele

a) 1 2 3E: 3 x 8 x 4 x 40 0 ; 1 2 3F: x 6 x 3 x 20 0 ; 1 2 3H: x 2 x x 4 0 ; b) 1 2 3E: 3 x x x 13 0 ; 1 2 3F: 9 x 10 x 3 x 26 0 ; 1 2 3H: 6 x 5 x 2 x 19 0 ; c) 1 2 3E: 2 x 3 x x 2 0 ; 1 2 3F: 4 x 6 x 2 x 4 0 ; 1 2 3H: 8 x 12 x 4 x 8 0 ; d) 1 2 3E: 3 x 22 x 2 x 65 0 ; 1 2 3F: 3 x 11x x 10 0 1 2 3H: 3 x 22 x 2 x 13 0 ; ; e) 1 2 3E: x x x 4 0 ; 1 2 3F: x x x 3 0 ; 1 2 3H: x 5 x 5 x 0 ;

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28

Lösung zu Beispiel a)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(I) 3 x 8 x 4 x 40(II) x 6 x 3 x 20(III) x 2 x x 4

3 (II) (I) 10 (III) 14 (II)3 (III) (I)

3 8 4 40 3 8 4 40 3 8 4 401 6 3 20 0 10 13 20 0 10 13 201 2 1 4 0 14 1 28 0 0 192 0

erwRg(A) 3; Rg(A ) 3; genau eine Lösung

3. Zeile: 3 3192 x 0 x 0 ; 2. Zeile: 2 210 x 13 0 20 x 2 ; 1. Zeile: 1 13 x 8 2 4 0 40 x 8 ;

Lösung: 8

x 20

Punkt: P 8 / 2 / 0

Lösung zu Beispiel b)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(I) 3 x x x 13(II) 9 x 10 x 3 x 26(III) 6 x 5 x 2 x 19

(II) 3 (I) 13 (III) 7 (II)(III) 2 (I)

3 1 1 13 3 1 1 13 3 1 1 139 10 3 26 0 13 0 13 0 13 0 13

6 5 2 19 0 7 0 7 0 0 0 0

erwRg(A) 2; Rg(A ) 2; unendlich viele Lösungen mit einem freien Parameter

2. Zeile: 2 213 x 13 x 1 ; 1. Zeile: Wähle 3x λ

1. Zeile: 1 113 x 1 λ 13 x 4 λ3

;

Lösung:

14 λ3

x 1λ

Schnittgerade: g

4 1x 1 λ 0

0 3

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29

Lösung zu Beispiel c)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(I) 2 x 3 x x 2(II) 4 x 6 x 2 x 4(III) 8 x 12 x 4 x 8

(II) 2 (I)(III) 4 (I)

2 3 1 2 2 3 1 24 6 2 4 0 0 0 0

8 12 4 8 0 0 0 0

erwRg(A) 1; Rg(A ) 1; unendlich viele Lösungen mit zwei freien Parametern 1. Zeile: Wähle 3 2x λ ; x μ;

1. Zeile: 1 11 32 x 3μ λ 2 x 1 λ μ2 2

;

Lösung:

1 31 λ μ2 2

x μλ

Schnittebene: E

1 1 3x 0 λ 0 μ 2

0 2 0

Lösung zu Beispiel d)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(I) 3 x 22 x 2 x 65(II) 3 x 11x x 10(III) 3 x 22 x 2 x 13

(II) (I)(III) (I)

3 22 2 65 3 22 2 653 11 1 10 0 33 1 553 22 2 13 0 0 0 78

erwRg(A) 2; Rg(A ) 3; keine Lösung Lösung zu Beispiel e)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(I) x x x 4(II) x x x 3(III) x 5 x 5 x 0

(II) (I)(III) (I) (III) 3 (II)

1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 41 1 1 3 0 2 2 7 0 2 2 71 5 5 0 0 6 6 4 0 0 0 18

erwRg(A) 2; Rg(A ) 3; keine Lösung

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30

Zusammenfassung

Systemmatrix Rg(A) Rg(B) Lösung geometrische Interpretation

11 12 13 1

22 23 2

33 3

a a a b0 a a b0 0 a b

33a 0

3 3 Genau eine

Punkt

11 12 13 1

22 23 2

3

a a a b0 a a b0 0 0 b

3b 0

2 3 Keine

Zwei parallele Schnittgeraden

11 12 13 1

22 23 2

3

a a a b0 a a b0 0 0 b

3b 0

2 3 keine

Drei parallele Schnittgeraden

11 12 13 1

22 23 2

a a a b0 a a b0 0 0 0

nicht alle 2ka 0

2 2 Einfach unendli-che Men-ge von Lösungen

Genau eine Schnittgerade

11 12 13 1

22 23 2

a a a b0 a a b0 0 0 0

nicht alle 2ka 0

2 2 Einfach unendli-che Men-ge von Lösungen

Genau eine Schnittgerade

11 12 13 1

2

a a a b0 0 0 b0 0 0 0

2b 0

1 2 keine Drei parallele Ebenen

11 12 13 1

2

a a a b0 0 0 b0 0 0 0

2b 0

1 2 keine Zwei identische Ebenen und eine parallele Ebene

11 12 13 1a a a b0 0 0 00 0 0 0

nicht alle ika 0

1 1 Zweifach unendli-che Men-ge von Lösungen

Eine ganze Ebene

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Abstandsberechnungen

31

4 Abstandsberechnungen 4.1 Abstand Punkt – Punkt

Gegeben: 1 2 3A a / a / a ; 1 2 3B b / b / b Gesucht: Abstand der Punkte A und B. Lösung: Betrag des Verbindungsvektors AB

:

2 2 21 1 2 2 3 3

d AB OB OA

(b a ) (b a ) (b a )

4.2 Abstand Punkt – Ebene

Gegeben: Punkt 1 2 3P p / p / p und Ebene 1 2 3E : a x b x c x d 0 . Gesucht: Abstand Punkt P zur Ebene E. Lösung: Aufstellen der Lotgeraden h senkrecht zu E.

durch P: Eh : x OP n

Bestimmung des Lotfußpunktes F als Schnitt-punkt: 1 2 2h E F f / f / f

Betrag des Verbindungsvektors PF

: d PF

Beispiel Berechnen Sie den Abstand von P(0 / 7 / 3) zur Ebene 1 2 3E : 6 x 2 x 3 x 2 0 . Lösung:


6n 2

3

; Lotgerade h durch P: 0 6

x 7 23 3

;

1 13E h : 6 6 2 7 2 3 3 3 2 0 49 21 07

Lotfußpunkt: 1 1

0 6 183 1 18 43 15OF 7 2 43 F / /7 7 7 7 7

3 3 15

Verbindungsvektor: 2 2 21 1

18 0 181 1 1PF 43 7 6 PF 18 6 7 2,897 7 7

15 3 7

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32

4.3 Abstand Punkt – Gerade

4.3.1 Methode Dreiecksfläche

Gegeben:

Punkt 1 2 3P p / p / p , Gerade gg: x OA u

. Gesucht: Abstand Punkt P zur Geraden g Lösung: (1) Wähle zwei beliebige Punkte A, B g . (2) Berechne die Fläche ABP auf zwei verschiedene Arten:

1A AB d2 1 1AB d PA PB

2 21A PA PB2

PA PB

dAB

Beispiel

Abstand des Punktes P(1/ 4 / 5) von der Geraden 3 1

g : x 1 12 0

.

Wahl der Punkte auf der Geraden: 3

OA 12

;

3 1 4OB 1 1 2

2 0 2

Verbindungsvektoren: 3 1 2

PA 1 4 32 5 3

;

4 1 3PB 2 4 2

2 5 3

;

4 3 1AB 2 1 1

2 2 0

;

2 3 33 2 33 3 5 9 9 25 43d 4,6421 1 2 2

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33

4.3.2 Methode Lotgerade

Gegeben:

Punkt 1 2 3P p / p / p , Gerade gg: x OA u

. Gesucht: Abstand Punkt P zur Geraden g Lösung: (1) Fußpunkt F liegt auf der Geraden g:

1 2 3F f / f / f g : f gOF OA u

(2) Verbindungsvektor PF

Richtungsvektor gu

g gPF u OF OP u 0

(1) in (2): f g gOA u OP u 0

f berechnen und einsetzen in (1)

OF

berechnen 1 2 3F f / f / f

Abstand d PF

Beispiel


g : x 1 12 0

.

(1) F g : 3

OF 12

; Verbindungsvektor:

3 1 2PF 1 4 3

2 5 3

(2) Skalarprodukt: 2 1

13 1 0 2 3 0 2 12

3 0

(2) in (1): 3 0,5 1 2,5

PF 1 0,5 4 2,52 5 3

; 2 2 43d PF 2,5 2,5 9 4,64

2

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34

4.3.3 Methode zweifaches Vektorprodukt

Gegeben: Punkt 1 2 3P p / p / p , Gerade

gg: x OA u

. Gesucht: Abstand Punkt P zur Geraden g Lösung: (1) Erstellen einer Hilfsgeraden h durch P, wobei Gerade h senkrecht Gerade g:

hh : x OP v

mit

h g gv AP u u

(2) Berechnung des Fußpunktes F als Schnittpunkt von g und h und Länge des Verbindungsvektors d PF

Beispiel


g : x 1 12 0

.

(1) Verbindungsvektor:

1 3 2

AP 4 1 35 2 3

Richtungsvektor:

h

1 1 3 1 5v 1 1 3 1 5

0 0 5 0 6

233

Hilfsgerade: 1 5

h : x 4 55 6

(2) Berechnung des Schnittpunktes g h : 1 54 55

1

6

31 12 0

Gaußmatrix: (II) (I)10 (III) 6 (II)

1 5 2 1 5 2 1 5 211 5 3 0 10 5 0 2 12

0 6 3 0 6 3 0 0 0

1 5 7

1 1OF 4 5 32 2

5 6 4

;

3,5 1 2,5PF 1,5 4 2,5

2 5 3

;

2 2 43d PF 2,5 2,5 9 4,642

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Besonderheiten

35

5 Besonderheiten 5.1 Die Projektionsgerade Gegeben sind die Ebene E und die Gerade g.

1 2 3E : x x x 2 0

4 1g : x 5 5 IR

1 2

Bestimmen Sie die Gleichung der Projektionsgeraden gp (d. h. die senkrechte Projektion der Geraden g in die Ebene E).

Lösung Bestimmung des Schnittpunktes der Geraden g und Ebene E: g E S

g in E : 4 5 1 2 2 0 2 0 0 S 4 / 5 /1

Wahl eines beliebigen Punktes P auf g und Bestimmung des zugehörigen Lotfußpunktes: Sei k=1: P 5 / 10 / 1

Lotgerade h durch P senkrecht zu E:

E

5 1h : x OP n h : x 10 1

1 1

Bestimmung des Schnittpunktes der Geraden h und mit der Ebene E: 1 2 3h E F f / f / f

2h in E : 5 10 1 2 0 2 3 03

5 12 17 28 5OF 10 1 F / /3 3 3 3

1 1

17328353

Gerade durch die Punkte S und F:

pg : x OS ' SF

5313

p 383

4 4 51g : x 5 ' 5 ' 133

1 1 8

p

4 5g : x 5 13

1 8

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Besonderheiten

36

5.2 Winkel halbieren, geometrischer Ort 5.2.1 Winkelhalbierende Vektoren

Methode Raute

(Die Raute ist ein Viereck, dessen gegenü-berliegende Seiten parallel und gleich lang sind. Die Diagonale ist Symmetrieachse, d. h. sie halbiert den Winkel.)

Über die geschlossene Vektorkette:

1w b a

und 2w b a

Wenn die beiden Vektoren nicht gleich lang sind, wird über die Einheitsvektoren (Vek-tor, dessen Länge 1 beträgt) gearbeitet:

1

2

w b a

w b a

Bemerkung: Winkelhalbierende Vektoren stehen senk-recht aufeinander.

5.2.2 Winkelhalbierende Geraden

Gegeben sind die Geraden g: x OA u

und h: x OB v

.

Gesucht sind die Winkelhalbierenden Geraden. Lösung:

a) Bestimmen der Winkelhalbierenden Vektoren der beiden Richtungsvektoren nach der Methode Raute:

1/ 2u uw u vu u

b) Bestimmen des Schnittpunkts S der Geraden g und h. c) Die Winkelhalbierenden Geraden haben die Gleichungen

W1 1g : x OS w

und.

W 2 2g : x OS w

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Besonderheiten

37

Beispiel

Gegeben sind die Geraden g und h mit 1 1

g : x 9 116 1

und 1 1

h : x 7 12 5

, , IR .

Bestimmen Sie die Menge aller Punkte, die von beiden Geraden denselben Abstand haben. Lösung:

Die Menge aller Punkte mit gleichem Ab-stand von g und h sind die Winkelhalbieren-den Geraden.

Bestimmung des Schnittpunktes:

1 1 1 1g h: 9 1 7 1

16 1 2 5

Lösung über den Gauß-Algorithmus:

(II) (I)(III) (I)

1 1 2 1 1 2 11 1 2 0 0 01 5 14 0 4 12 3

Schnittpunkt:

1 1 2OS 7 3 1 10

2 5 17

10OS 1 S 10 /1/1

1

Winkelhalbierende Vektoren:

1

1 1 2 11 1 1 2w 1 1 2 13 27 27 271 5 2 1

;

2

1 1 4 11 1 1 4w 1 1 4 13 27 27 271 5 8 2

Winkelhalbierende Geraden:

W1

10 1g : x 1 1

1 1

und W2

10 1g : x 1 1

1 2

.

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Besonderheiten

38

5.2.2 Winkelhalbierende Ebenen

Gegeben sind die Ebenen E und H mit E 1 E 2 E 3 EE : a x b x c x d 0 und H 1 H 2 H 3 HH : a x b x c x d 0 .

Gesucht sind die Winkelhalbierenden Ebenen. Lösung:

Bestimmen der Normalenvektoren 1n

und 2n

der Winkelhalbierenden Ebenen, das sind die

Winkelhalbierenden Vektoren der Normalenvektoren En

und Hn

(Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind gleich groß). Bestimmen der Schnittgeraden gs der Ebenen E und H.

Wahl eines Punktes 1 2 3 sP p / p / p g als Aufpunkt der Winkelhalbierenden Ebenen. Winkelhalbierende Ebenen in Normalenform angeben:

1 1

w1 1 2 2

3 3

x pE : n x p 0

x p

und 1 1

w2 2 2 2

3 3

x pE : n x p 0

x p

Beispiel Bestimmen Sie die Winkelhalbierenden Ebenen zu:

1 2 3E : 2 x x 2 x 3 0 und 1 2 3H : 2 x 2 x x 8 0 Lösung

Normalenvektoren:

E

2n 1

2

; H

2n 2

1

;

Winkelhalbierende Vektoren:

1

2 2 41 1 1w 1 2 13 3 3

2 1 3

; 2

2 2 01 1 1w 1 2 33 3 3

2 1 1

;

Ebenenschnitt E H :

(II) (I)

2 1 2 3 2 1 2 32 2 1 8 0 3 1 5

Wähle: 3x ;

21 5 1x 53 3 3

;

11 5 1 7 5x 3 22 3 3 3 6

;

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Besonderheiten

39

Schnittgerade:

7 5 73 6 3 55 1 5g: x g: x 23 3 3

60

;

Wahl eines Aufpunkts P g :

735OP3

0

1

w1 2

3

734 x5E : 1 x 03

3 x 0

w1 1 2 3E : 4 x x 3 x 11 0

1

w2 2

3

730 x5E : 3 x 03

1 x 0

w2 2 3E : 3 x x 5 0

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Besonderheiten

40

5.3 Spiegelungen 5.3.1 Spiegelpunkt an einer Geraden im IR2

Gegeben sind die Gerade g in Koordinatenform:

1 1 2 2 0g : n x n x n 0 und der Punkt 1 2P(p / p ) g . Gesucht: Spiegelpunkt P Lösung: a) Senkrechte Gerade h zu g durch P. b) Bestimmung des Lotfußpunktes F durch Geradenschnitt g mit h c) Geschlossene Vektorkette:

OP 2 PF OP' 0 OP' OP 2 PF

Beispiel

a) Bestimmen Sie den Spiegelpunkt von P( 2 / 4) bzgl. der Geraden 1 2g : x x 2 0 durch Konstruktion. b) Bestimmen Sie den Spiegelpunkt durch Rechnung.

Lösung

Normalenvektor der Geraden g: g

1n

1

Hilfsgerade h senkrecht zu g durch P: g

2 1 2h : x OP n

4 1 4

Bestimmung des Lotfußpunktes F: 1 2g h F(f / f )

Allgemeinen Geradenpunkt X(x1 / x2 / x3) von h in Koordinatenform von g (gibt es nur im IR2) einsetzen und nach auflösen: F( 2 ) (4 ) 2 0 2 8 4

F 4 in h einsetzen: 2 1 2

OF 44 1 0

Berechnung des Spiegelpunktes P ' über die geschlossene Vektorkette:

2 2 ( 2) 6OP' OP 2 PF OP 2 OF OP 2 OF OP P (6 / 4)

0 4 4

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Besonderheiten

41

5.3.2 Spiegelpunkt an einer Geraden im IR3

Gegeben sind die Gerade g in Parameterform: 1 1

2 2

3 3

a ug : x a u

a u

und der Punkt 1 2 3P(p / p / p ) g .

Gesucht: Spiegelpunkt P ' Lösung: a) Senkrechte Gerade h zu g durch P. b) Bestimmung des Lotfußpunktes F durch Geradenschnitt g mit h c) Geschlossene Vektorkette:


Beispiel

Bestimmen Sie den Spiegelpunkt von P(2 / 4 / 6) bezüglich der Geraden 1 1

g : x 1 22 1

.

Lösung:

a) Bestimmung der Hilfsgeraden:

g

1 2 1OX OP u 0 1 2 4 2 0 ( 1 ) ( 3 2 ) 2 ( 4 ) 0

2 6 1

116 11 06

Bestimmung des Lotfußpunktes F:

1 1 17

2311 1 17 14OF 1 2 28 F / /6 6 6 3 62 1 23


1 1PF 28 4 46 623 6 13

Berechnung des Spiegelpunktes OP' OP 2 PF

über die geschlossene Vektorkette:

2 21 8 5OP' OP 2 PF 4 4 P' / /3

5 5 12 1 14 4 86 3 3

133

36 6 53

1

Spiegelunkt: 1 8 5P' / /3 3 3

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Besonderheiten

42

5.3.3 Spiegelpunkt an einer Ebene im IR3

Gegeben sind die Ebene E in Koordinatenform 1 2 3E : a x b x c x d 0 : und der Punkt

1 2 3P(p / p / p ) E . Gesucht: Spiegelpunkt P ' Lösung: a) Senkrechte Gerade h zu E durch P. b) Bestimmung des Lotfußpunktes F durch Schnitt Gerade h mit Ebene E. c) Geschlossene Vektorkette:


Beispiel: Berechne den Spiegelpunkt von P( 2 / 7 / 5) bzgl. der Ebene 1 3E : 3 x 4 x 24 0 Ergebnis: P (0,4 / 7 / 8,2) Lösung:

Normalenvektor der Ebene E: E

3n 0

4

Hilfsgerade h senkrecht zu E durch P: E

2 3 2 3h : x OP n 7 0 7

5 4 5 4

Bestimmung des Lotfußpunktes F: 1 2 3g E F(f / f / f )

Allgemeinen Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzen und nach dem Parameter auf-lösen.

F23 2 3 4 ( 5 4 ) 24 05

F25

in h einsetzen: 2 3 4

2 1 4 33OF 7 0 7 F / 7 /5 5 5 5

5 4 33

Berechnung des Spiegelpunktes P ' über die geschlossene Vektorkette:

4 2 22 1 2 41OP' OP 2 PF 2 OF OP 7 7 21 P' / 7 /5 5 5 5

33 5 31

Ergebnis: P '(0,4 / 7 / 8,2)

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ANALYTISCHE GEOMETRIE - mathphys-online.de€¦ · Analytische Geometrie Ebenen im Raum 9 2.2 Ebene in Normalenform und Koordinatenform Gegeben ist die Parameterform der Ebene: E:x