ANALÝZA ČASOVÝCH RADOV

ANALÝZA ČASOVÝCH RADOV

HydrológiaHydrológia

Financie a ekonómiaFinancie a ekonómiaNezamestnanosť Slovensko

0

5

10

15

20

25

I.93 I.95 I.97 I.99 I.01 I.03 I.05 I.07

mesiac

%

Inflácia Slovensko

0

5

10

15

20

25

30

I.93 I.95 I.97 I.99 I.01 I.03 I.05 I.07

mesiac

%

GeodéziaGeodézia

Množinu náhodných premenných

{X(, t), , t T }

kde je výberový priestor a T R+ je indexová množina nazývame stochastický processtochastický proces.

Mnohorozmerný stochastický proces je množina náhodných vektorov

{XX(, t), , t T }.

-1

4

9

14

19

24

29

34

39

44

49

Rok

Mie

ra i

nfl

áci

e

Česko Maďarsko Poľsko Slovensko

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Rok

Mie

ra

neza

mest

na

no

sti


0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

rok

HD

P v

miló

no

ch

Eu

ro


Pre každé t T je X(., t) náhodná premenná definovaná na výberovom priestore . Pre každé je X(, .) jedna realizácia stochastického procesu definovaná na indexovej množine T, t. j. usporiadaná postupnosť čísiel, z ktorých každé odpovedá jednej hodnote indexovej množiny.

V prípade, že T obsahuje len konečne, resp. spočitateľne veľa hodnôt, hovoríme o stochastickom procese s diskrétnym časomstochastickom procese s diskrétnym časom.

Diskrétny časový rad tvorí množina pozorovaní {x1,x2,…,xn}, získaných v rovnakých časových intervaloch. Je to jedna realizácia stochastického procesu {X1, X2, …, Xt, ...}. Počet pozorovaní sa nazýva dĺžka časového radu n.

Hlavnou úlohou analýzy časových radov je nájsť model dostatočne

priliehavo aproximujúci pozorované údaje a potom (podľa možnosti)

predpovedať budúce hodnoty.

Charakteristiky stochastického procesu {Xt, t 0}

Stredná hodnota:

Rozptyl (druhý centrálny moment):

Šikmosť (tretí centrálny moment):

Špicatosť (štvrtý centrálny moment):

Kovariančná funkcia (r, s):

Korelačná funkcia (r, s):

sr

srsr

ssrrsr

4tt

)4(t

3tt

)3(t

2ttt

2t

tt

XDXD

)X,Xcov(X,Xcorr

XXE)X,Xcov(

XE

XE

XEXD

XE

Stochastický proces je striktne stacionárny, ak sa jeho štatistické vlastnosti v čase nemenia (t. j. rozdelenia pravde-podobnosti sú invariantné v čase).

n

ttX 1

STACIONÁRNE STOCHASTICKÉ PROCESYSTACIONÁRNE STOCHASTICKÉ PROCESY

Stochastický proces je slabo (kovariančne) stacionárny,

ak:

1.t = E(Xt) = , 2t = D(Xt) =E(Xt - t )2 = 2

pre t = 1, ..., n

2. (s, r) = cov(Xs, Xr) = E[(Xs - s)(Xr - r)] je len funkciou (s – r), t. j. ako sú od seba Xs, Xr v čase vzdialené a nie od toho, na akom úseku časovej osi sa nachádzajú.

Rozdiel s – r nazývame posunutie a budeme ho označovať k

n

ttX 1

Stochastický proces je striktne stacionárny, ak pre každú podmnožinu (t1, t2, ..., tn) indexovej množiny T a každé reálne číslo h R také, že tj + h T, j = 1, 2, ..., n sú združené distribučné funkcie vektorov

rovnaké.

n

ttX 1

hththtttt n21n21X,,X,XX,,X,X a

Stacionárny proces s = 0 nazývame centrovaný.

Výberové charakteristiky stacionárneho Výberové charakteristiky stacionárneho stochastického procesu stochastického procesu {X{Xt, t, t t 0} 0}

Výberový priemer (odhad strednej hodnoty):

Výberový rozptyl (odhad disperzie 2):

Výberová šikmosť (odhad šikmosti (3)):

Výberová špicatosť (odhad špicatosti (4)):

n

1ttx

n

1x

n

1t

3t

s

xx

n

1

n

1t

4t

s

xx

n

1

Príkazy na výpočet vPríkazy na výpočet výberovýberovýchých charakterist charakteristíík k

v systv systéémeme MathematicaMathematica

Výberový priemer (odhad strednej hodnoty): MeanMean[rad][rad]

Výberový rozptyl (odhad disperzie 2): Variance[rad]Variance[rad]

Štandardná odchýlka (odhad ): StandardDeviationStandardDeviation[[radrad]]

Výberová šikmosť (odhad šikmosti (3)): Skewness[rad]Skewness[rad]

Výberová špicatosť (odhad špicatosti (4)): Kurtosis[rad]Kurtosis[rad]

Ako prvé nahráme súbory na analýzu časových radov:

<<timeseri\\datasmoo.m <<timeseri\\datasmoo.m

<<timeseri\\timeseri.m <<timeseri\\timeseri.m

<<timeseri\\userfunc.m<<timeseri\\userfunc.m

V systéme Mathematica počítame autokorelačnú funkciu až do k-teho stupňa príkazom: CorrelationFunction[rad, k]CorrelationFunction[rad, k]Výberová autokorelačná funkcia rk =

n

1t

2t

kn

1tktt

xx

xxxx

0

k

Graf autokorelačnej funkcie pre k ≥ 0 sa nazýva korelogram.

Vlastnosti (k) a rk

1. r0 = 1

2. | (k) | (0); | rk | 1

3. (k) = (-k); rk = r-k k Z

V systéme Mathematica počítame autokovariančnú funkciu až do k-teho stupňa príkazom: CovarianceFunctionCovarianceFunction [rad, k][rad, k]

Výberová autokovariančná funkcia (k)

kn

1tktt xxxx

Tvar autokorelačnej funkcie je veľmi dôležitý, pretože identifikuje príslušný lineárny model. Významná je predovšetkým hodnota k0, po ktorej už môžeme autokorelačnú funkciu považovať za nulovú. Ak existuje také k0, že pre všetky k > k0 je (k) = 0, potom je rozptyl výberovej autokorelačnej funkcie rk pre k > k0 daný Bartlettovou aproximáciou (za predpokladu normality uvažovaného procesu):

D(rk) =

n

r2r21 2k

21 0

Rozptyly autokorelácií r1, r2, ..., rk, ...

n

rr 21rD,,

n

r21rD ,

n

1rD

21k

21

k

21

21

Parciálna autokorelačná funkciaParciálna autokorelačná funkcia

Koreláciu premenných Xt a Xt-k očistenú o vplyv premenných medzi nimi Xt-1, …, Xt-k+1 nazývame parciálna autokorelačná funkcia. Počítame ju ako podmienenú strednú hodnotu :

k, k = E[ (Xt - ) (Xt-k - ) | Xt-1, …, Xt-k+1 ]

Výberová parciálna autokorelačná funkcia rk,k s posunutím k vyjadruje parciálny regresný koeficient k, k v autoregresii k-teho rádu:

Xt = k, 1 Xt-1 + … + k, k Xt-k + et

kde et je premenná nekorelovaná s náhodnými premennými Xt-j, j 1.

V systéme Mathematica počítame parciálnu autokorelačnú funkciu až do k-teho stupňa príkazom:

PartialCorrelationFunction[rad, k]PartialCorrelationFunction[rad, k]

Náhodný proces {Zt, t Z} tvorený nekorelovanými náhodnými premennými rovnakého pravdepodobnostného rozdelenia s konštantnou strednou hodnotou E(Zt) = (obyčajne = 0) a konštantným rozptylom D(Zt) = 2 sa nazýva proces bieleho

šumu.

Proces bieleho šumu (White Noise)Proces bieleho šumu (White Noise)

Z definície vyplýva, že proces bieleho šumu je stacionárny s autokorelačnou funkciou

a parciálnou autokorelačnou funkciou

0k0

0k1k

0k0

0k1k,k

PoznámkaPoznámka: Často budeme používať pojem postupnosť nezávislých postupnosť nezávislých

rovnako rozdelených náhodných premennýchrovnako rozdelených náhodných premenných (i. i. di. i. d), čo nie je

ekvivalentné procesu bieleho šumu.

Proces bieleho šumu sa nazýva Gaussovský, ak je jeho združené

rozdelenie pravdepodobnosti normálne rozdelenie. Pokiaľ nepovieme

ináč, budeme vždy uvažovať gaussovský biely šum.

Ak chceme rozhodnúť, či je (k) = 0, k 0, porovnáme hodnotu |rk| s

číslom . Využíva sa pritom asymptotická normalita odhadu rk a

pravidlo, že normálna náhodná premenná s nulovou strednou

hodnotou prekročí v absolútnej hodnote dvojnásobok svojej

smerodajnej odchýlky s približne 5%-nou pravdepodobnosťou. .

n

2

Nech Zt je proces bieleho šumu s nulovou strednou hodnotou, t. j.

(k) = 0, k 0. Potom sú rozptyly výberovej autokorelácie

aproximované hodnotami . n

1

DEKOMPOZÍCIA ČASOVÉHO DEKOMPOZÍCIA ČASOVÉHO RADURADU

Trend TTrend Ttt

Sezónna zložka SSezónna zložka Stt

Cyklická zložka CCyklická zložka Ctt

Reziduálna zložka eReziduálna zložka ett

Trend zachycuje dlhodobé zmeny v priemernom správaní sa časového radu (napr. dlhodobý rast alebo dlhodobý pokles). Vzniká ako dôsledok síl, ktoré systematicky pôsobia v rovnakom smere.

TrendTrendTrendTrend

a)a) Izolovanie trendu - vyrovnávanie (smoothing) časového radu Izolovanie trendu - vyrovnávanie (smoothing) časového radu

1) Subjektívne metódy: pre dlhé časové rady môžeme tvar trendu určiť z grafického zná- zornenia časového radu. Tieto metódy sú nedostačujúce, pretože nedávajú postačujúci základ pre konštrukciu predpovedí. Mali by sa však použiť pri predbežnej analýze časového radu, kedy je nutné rozhodnúť o výbere nejakej inej, objektívnejšej metódy

2) opis trendu matematickými funkciami (analytický popis trendu) : Pri takto odhadnutom trende môžeme ľahko vypočítať jeho budúce hodnoty (t. j. konštruovať predpovede budúcich hodnôt trendovej zložky, ak sa jej charakter v čase nezmení). Výber vhodnej funkcie závisí predovšetkým od grafického priebehu pôvodných empirických hodnôt časového radu a od výsledkov rozboru prvých, druhých, resp. ďalších diferencií v časovom rade.

TrendTrend- pokra- pokračovaniečovanieTrendTrend- pokra- pokračovaniečovanie

b) Mechanické vyrovnávanie časových radov:b) Mechanické vyrovnávanie časových radov:

Používame adaptívny prístup k trendovej zložke. Vo všeobecnosti ho používame pri takých trendoch, ktoré menia v čase globálne svoj charakter, takže pre ich opis nemôžeme použiť žiadnu matematickú funkciu s nemennými parametrami. Na druhej strane sa však predpokladá, že v krátkych časových úsekoch časového radu je vyrovnanie pomocou matematických kriviek možné, aj keď tieto krivky majú obyčajne v rôznych časových úsekoch odlišné parametre.

Výhodou adaptívnych metód je, že proces eliminácie trendovej zložky sa adaptuje na okamžitý lokálny priebeh radu, konštrukcia predpovede pružne reaguje na časové zmeny v charaktere radu a v neposlednom rade je výhodou adaptívnych metód aj výpočtová jednoduchosť.

5 prvkov12 prvkov

Využívajú sa pri nej kĺzavé priemery, čo sú priemery počítané vždy z obdobia určitej dĺžky (z určitého počtu hodnôt), pričom toto obdobie sa posunuje (“kĺže”). Pri vhodnej voľbe dĺžky kĺzavého obdobia sa dá ich aplikáciou odstrániť sezónnosť. Použitím kĺzavých priemerov strácame časť hodnôt na začiatku a na konci časového radu, pretože pre krajné pozorovania nemáme z čoho počítať priemery. Pri voľbe dĺžky kĺzavého obdobia treba brať do úvahy periódu sezónnych alebo cyklických fluktuácií, ktoré chceme z radu vyhladiť. Teda pri mesačných pozorovaniach sa odporúča dĺžka kĺzavého obdobia 12, pri kvartálnych 4 a pod.

3 prvky

1) Metóda kĺzavých priemerov


Postup pre výpočet exponenciálneho vyrovnania je nasledovný:Zvolíme váhu w (0, 1). Táto voľba je veľmi dôležitá. Obyčajne sa volí w 0.7, 1). Pri menšom w metóda rýchlo reaguje na zmeny v charaktere časového radu, pri väčšom w sa zosilní vyrovnávacia schopnosť metódy.Exponenciálne vyrovnaný časový rad Ft vypočítame z pôvodného časového Yt nasledovne:

F1 = Y1; F2 = (1 - w) * Y2 + w * F1;

.

.

.Ft = (1 - w) * Yt + w * Ft-1.

2) Exponenciálne vyrovnávanie


Dĺžka kĺzavých priemerov podstatne ovplyvňuje trendovú zložku, určuje sa však väčšinou subjektívne. Metóda exponenciálneho vyrovnávania tento problém odstraňuje - výpočet každej vyrovnanej hodnoty je založený na všetkých dostupných minulých pozorovaniach časového radu. Každá staršia hodnota sa pritom berie s menšou váhou, pričom hodnoty váh smerom do minulosti exponenciálne klesajú.

W = 0,2

W = 0,8


Budeme používa analytickýanalytický popis trendu (t. j. matematickými funkciami).

Pri tomto prístupe sa obyčajne predpokladá, že analyzovaný časový má tvar

Xt = Tt + et

alebo bol na tento tvar upravený (predovšetkým sezónnym očistením). Tento predpoklad nám umožní použiť na odhad parametrov trendovej krivky lineárnu, resp. nelineárnu regresiu.

V ďalšom nech n je dĺžka časového radu.

a) Konštantný trend:

Trend - pokraTrend - pokračovaniečovanieTrend - pokraTrend - pokračovaniečovanie

Pre tento trend typuTt = 0, t = 1, …, n

dostávame jednoduchý odhad b0 parametra 0 pomocou vzťahu:

n

1t

t0 n

xxb

.

Konštantný trend používame, ak xt+1 - xt 0.

b) Lineárny trend:

Tt = 0 + 1 t, t = 1, …, n

kde odhady koeficientov 0, 1 dostaneme použitím lineárnej regresie. Lineárny trend používame, ak sú prvé diferencie xt+1 - xt približne konštantné.

.


100 200 300 400 500 600 700time Day

15

10

5

5

10

15

mm

suradnica sever juh n

c) Kvadratický trend:

Tt = 0 + 1 t + 2 t2 , t = 1, …, n

Odhady koeficientov 0, 1, 2 dostaneme opäť použitím lineárnej

regresie. Kvadratický trend používame, ak sú druhé diferencie, t. j.

xt+2 - 2 xt+1 + xt

približne konštantné. .


5 10 15 20 25

0 .0 2

0 .0 4

0 .0 6

0 .0 8

0 .1 0

= 0.1, = 0.8

d) Exponenciálny trend:

Ak je 0, potom pre 1 dochádza k rastu, zatiaľ čo pre 0 1

nastáva pokles. Parametre a odhadneme pomocou nelineárnej

regresie. Exponenciálny trend používame, ak sú podiely po sebe

idúcich členov časového radu xt+1 / xt približne konštantné.

.


Tento typ trendu sa používa na opísanie modelu rastu nových produktov, spoločností alebo priemyslu. Model trendu je rozdelený do troch častí: začiatok, rast, stav nasýtenia. Čas je reprezentovaný od dní cez mesiace až do rokov, v závislosti od stavu trhu. Je zrejmé, že tento model nemôžeme opísať ani lineárnym ani kvadratickým trendom. Vtedy používame exponenciálny trend, ktorý je opísaný funkciou:

.0 n, , 1, t ,T tt

5 10 15 20 25

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1 .0

= 0.1, = 1.1

e) Logistický trend:

.


Tento trojparametrový trend je opísaný funkciou:

0β n, , 1, t ,βα1

Ttt

Kritérium pre jeho použitie je, aby podiely

(1/xt+2 - 1/xt+1) / (1/xt+1 - 1/xt)

boli približne konštantné.

Schematicky je znázornený (pre = 1, = 30, = 0.95) Logistický trend má inflexný bod (t. j. zmenu konvexného priebehu na konkávny) v bode

t = - log / log a je asymptoticky ohraničený hodnotou .

1983 1984 1985 1986 1987 1988time Year200

400

600

800

1000

počet 1000

Sezónna zložkaSezónna zložkaSezónna zložkaSezónna zložka

KORELOGRAM

Sezónna zložka opisuje periodické zmeny v časovom rade, ktorých perióda sa rovná určitej štandardnej jednotke času alebo jej konštantnému násobku (zachycuje zmeny, ktoré sa pravidelne opakujú). Dĺžka periódy sa určuje z korelogramu.

Rozbor eliminovanej sezónnej zložky môže podstatne rozšíriť naše vedomosti o zákonitostiach správania sa určitého javu a prispieť ku konštrukcii dokonalejších predpovedí u uvažovaného časového radu. Ďalším dôležitým cieľom je tiež získanie sezónne očisteného časového radu, z ktorého bola sezónna zložka odstránená alebo aspoň potlačená na maximálne možnú mieru. Sezónne očistený časový rad zbavený sezónnych a náhodných fluktuácií umožňuje efektívnejšie štúdium dlhodobých tendencií, ktorým je priebeh časového radu podriadený.

Sezónna zložka - pokračovanieSezónna zložka - pokračovanieSezónna zložka - pokračovanieSezónna zložka - pokračovanie

Na určenie sezónnej zložky budeme používať regresné metódy založené na teórii lineárneho regresného modelu.

1. Metóda kvalitatívnych premenných. Ak na každý rok pripadne L pozorovaní (sezón) príslušného časového radu (napr. pri mesačných časových radoch L = 12, pri kvartálnych L = 4), potom pri tejto metóde vyjadrujeme sezónnu zložku v tvare:

St = 2 Y2t + 3 Y3t + … + L YL t

kde Y2t, Y3t, …, YL t sú kvalitatívne premenné, ktoré sú definované

nasledujúcim spôsobom:

pre i = 2, 3, …, L.

roku v období inom v0

roku v obdobiu vému- 1)-(i odpovedá t časak 1Yt


V systéme Mathematica realizujeme model sezónnej zložky s periódou L (a počtom opakovaní M) metódou kvalitatívnych premenných nasledujúcou postupnosťou príkazov:

f[i_, k_, t_] := If [(i – 1 + k*L) t < (i + k*L), 1, 0]

x[i_, t_] := Sum[f[i, k, t], {k, 0, M - 1}]

funkcie = Table[ x[i, t], {i, 2, L}];

regkp = Regress[dáta, funkcie, t]


2. Pomocou vhodne zvolenej matematickej funkcie. Najčastejšie sa používajú goniometrické funkcie s dĺžkou periódy L : sin(2 t/L), cos(2 t/L). Sezónna zložka môže byť napr. vyjadrená v tvare:

St = 0 + 1 sin(2 t/L) + 2 cos(2 t/L).

1985 1990 1995 2000 2005time Month

5

10

15

f low m3sKvalitatívne premenné

1985 1990 1995 2000 2005time Month

5

10

15

f low m3sGoniometrické funkcie

Cyklická zložka je periodická zložka, ktorej perióda nezodpovedá kalendárnym jednotkám. Je to nepravidelná fluktuácia okolo trendu, v ktorej sa strieda fáza rastu s fázou poklesu. Odhaduje sa metódami spektrálnej analýzy. .

Cyklická zložkaCyklická zložkaCyklická zložkaCyklická zložka

PERIODOGRAM

6

2

3

2000

4000

6000

8000

10 000

f

Časové rady spravidla obsahujú reziduálnu zložku. Okrem nej môžu (ale nemusia) obsahovať aj jednu, dve alebo všetky tri systematické zložky.

Aditívna dekompozícia:Aditívna dekompozícia:

Xt = Tt + St + Ct + et

Multiplikatívna dekompozícia:Multiplikatívna dekompozícia:

Xt = Tt . St . Ct . et

Reziduálna zložka ostane v časovom rade po odstránení systematických zložiek. Je tvorená fluktuáciami v priebehu časového radu, ktoré nemajú rozpoznateľný systematický charakter.

Postup pri analýze časových radovPostup pri analýze časových radov

V prípade, že časový rad obsahuje trend, určíme ho regresnou analýzou.

Spektrálnou analýzou určíme významné frekvencie pre cyklickú zložku, ktorú potom vypočítame regresnou analýzou ako súčet sínusov a cosínusov.

Z reziduí vypočítame autokorelačnú funkciu a z nej odčítame periódu sezónnej zložky (ak existuje). Sezónnu zložku potom určíme regresnou analýzou.

Vykreslíme dáta, tvoriace časový rad. Takto získame základ-nú predstavu o charaktere časového radu. V prípade nejas-ných časových radov testami náhodnosti určíme, či časový rad obsahuje trend, resp. periodické zložky.

Testovaním nulovosti autokorelačnej funkcie rk overíme, či môžeme reziduálnu zložku považovať za proces bieleho šumu.

Ak reziduálnu zložku tvoria navzájom korelované náhodné premenné, použijeme na jej modelovanie Box – Jenkinsovu metodológiu (lineárne modely ARMA v stacionárnom prípade), integrované modely ARIMA, resp. modely s dlhou pamäťou ARFIMA (v nestacionárnom prípade) alebo moderné nelineárne modely (modely s premenlivými režimami a pod.).

Výsledný model môžeme použiť na popisné účely, resp. na predpovedanie budúcich hodnôt časového radu - prognózo-vanie.

Postup pri analýze časových radovPostup pri analýze časových radov

LITERATÚRA

HIPEL, K. W. - McLEOD A. I. (1992) Time Series Modelling of Water Resources and Enviromental Systems. In: Handbook of Hydrology (D. R. Maidment, editor), Elsevier

SALAS, J. D. - DELLEUR, J. W. - YEVJEVICH, V. - W. L. LANE (1980) Applied modelling of hydrological time series. Water Resources Publications, Littleton, Colorado

CIPRA, T. (1986) Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii. SNTL, ALFA Praha

ARTL, J. (1999) Moderní metody modelování ekonomických časových řad. GRADA Publ.

ARTL, J. – ARTLOVÁ, M. (2003) Finanční časové řady – Vlastnosti, metody modelování, příklady a aplikace, GRADA Publ.

FRANSES, P. H. (1998) Time series models for business and economic forecasting. Cambridge University Press.

FRANSES, P. H. – VAN DIJK, D. (2000) Non – linear time series models in empirical finance. Cambridge Univ. Press

Documents

ANALÝZA ČASOVÝCH RADOV