FRAKTÁLY A NELINEÁRNA

ANALÝZA ČASOVÝCH RADOV

Mária Markošová

Fraktály

Problém: Meranie dĺžky čínskeho múra

Rôzne atlasy dávajú rôzne údaje , v rozpatí 2 - 8 tisíc km. Prečo? (Podobný problém je s pobrežím Nórska)

- múr je nesúvislý, niektorí nezahrnuli medzery

- niektorí nezahrnuli rozpadnuté časti

- ……možné iné vysvetlenia

Najpravdepodobnejšia odpoveď: Čínsky múr je fraktál

Problém merania “objemu” veľmi zložitých objektov

Letecký pohľad na múr

Pohľad zboku

rôzne meradlá

“Objemom” 1-d objektu je jeho dĺžka

LlN , - počet 1-d “kociek” o dĺžke l pokrývajúcich objekt, ktorý možno vnoriť do 1-d priestoru o veľkosti L

Ll /

11,

l

LNLlN

“Objemom” 2-d objektu je jeho plocha

L

l

22

2

l

LN

D- dimenzionálny objekt

DN

Ak D je celé číslo, máme normálny objekt, ak D nie je celé číslo, máme fraktálny objekt,

je fraktálna dimenzia objektu. FDD

/1log

log NDF

Príklady

Kochova krivka

lLLlN

NDF

/log/,log

/1log/log

n

n

LlN

l

L

4,

3/1

1

n- iteračný krok

1n

2n

Čo vyjadruje fraktálna dimenzia?

Fraktálna dimenzia vystihuje rozloženie objektu do priestoru:

- ak je medzi 0 a 1, objekt sa sklada z “bodov” rozložených do línie (Cantorov prach)

-ak je medzi 1 a 2, objekt sa skladá z 1-d štruktúr rozložených do plochy ( Kochova krivka)

-ak je medzi 2 a 3, objekt sa skladá z plošných štruktúr rozložených do priestoru

Charakteristiky fraktálu (príklad: Kochova krivka)

1. Sebepodobnosť (aj štatistická)

2. Štruktúra na veľkom rozsahu škál

3. Objem rastie so zjemňovaním merania cez niekoľko rádov. Nech L je konšt. A d dimenzia priestoru vnorenia, potom

lDdlV

lNV

F

d

/1loglog

Ak ,potom V(l)=konšt. Ak potom FDd FDd

log V(l)

log 1/l

Typy fraktálov

1. Deterministické fraktály - tvorené determinist. pravidlom

- jednoškálové (Kochova krivka, snehová vločka)

- multiškálové (Dvojškálový Cantorov prach)

- fraktálne funkcie (Weierstrass - Mandelbrotova)

2. Náhodné fraktály - tvorené nedeterminist. pravidlom

3. Zložené fraktály - zjednotenie viacerých podfraktálov

4. Multifraktály

Multifraktály

Procesy, prebiehajúce na fraktálnych a nefraktálnych podložkách, vytvárajú stacionárne pravdepodobnostné distribúcie.

Príklad: Koral je prírodný fraktál. Jeho rast je pravdepodobnejší na špičkách vetiev ako v pazuchách distribúcia pravdepodobnosti rastu

Netriviálnu, zložitú pravdepodobnostnú distribúciu nazývame multifraktálom

Príklad - multifraktál na intervale (0,1)

1

3

2

6

0 1

21 pp

1. iteračný krok

2. Iteračný krok

Ako charakterizovať multifraktál?

Ktoré oblasti najviacej prispievajú k celkovej pravdepodobnosti ak zjemňujeme meranie (teda zvyšujeme počet iteračných krokov n)?

- stredná oblasť: ale je len jedna

-oblastí s pravdepod. je mnoho, ale ich pravdepod. sa blíži k nule

- najviac prispievajú oblasti, pre ktoré platí:

je ich a tvoria subfraktál o

fraktálnej dimenzii

npP 20 n

n pP 1

111mm PN

1

1

fmN

1f

q-ty moment pravdepodobnosti oblastí

Ku q-tej mocnine pravdepodobnosti jednotlivých oblastí Cantorovej množiny rozhodujúco prispievajú oblasti , ktorých je

a tvoria subfraktál o fraktálnej dimenzii .

spektrum je jednou z charakteristík

multifraktálu

q

q

fmN

qf

qfq,

Najpoužívanejšia charakteristika - Renyiho zovšeobecnené dimenzie

/1log

log

1

1

i

qi

q

P

qD iP - pravdepod.

i-tej oblasti0 q

FDD 0

1q IDD 1

2q kDD 2

- fraktálna dimenzia

- informačná dimenzia

- korelačná dimenzia

Nelineárna analýza časových radov

Dynamický systém:

Je to systém, ktorého stav sa s časom mení. Je popísaný dynamickými rovnicami:

- spojitý

-diskrétny

txFdt

xd,,

,1 nn xFx

- vektor parametrov

Nelineárny dynamický systém: Ak sa na pravej strane dynamických rovníc vyskytujú aj nelineárne členy.

Stavové veličiny dynamického systému: Menia sa s časom a

určujú stav systému v danom okamihu:

Stavový priestor: Priestor určený nezávislými stavovými veličinami.

x

Príklad

tmgdt

ddt

d

sin

Dynamické rovnice nelin. kyvadla

stavový (fázový) priestor

1t

2t

3t

Ak meriame len ako sa mení jedna veličina dynamického systému s časom, dostaneme časový rad, ktorý má pri nelin. dyn. systémoch komplikovanú (fraktálnu) štruktúru.

t

Fázový (stavový) priestor nelineárneho dynamického systému

Pod analýzou nelin. dyn. systému rozumieme analýzu jeho stavového priestoru:

-aká je jeho dimenzionalita

-fixné body

-periodické trajektórie

-kváziperiodické trajektórie

-chaotické, podivné atraktory

Fixné body

atraktor repulzor

Periodické trajektórie

periodický atraktor

periodický repulzor

Chaotický atraktor: má vo fázovom priestore multifraktálny charakter a dá sa popísať pomocou spektra zovšeobecnených dimenzií

Typ atraktora je invariantný voči zmene súradníc

Vlastnosti chaotického atraktora

Statické: Multifraktálna štruktúra

Dynamické:

1.Všetky trajektórie vo fázovom (stavovom) priestore ) v okolí atraktora k nemu konvergujú.

2. Vnútri atraktora sa pamäť o počiatočnom stave systému rýchlo stráca (Lyapunove exponenty)

Nelineárna analýza časových radov

Cieľ:

-Zrekonštruovať atraktor z merania jednej jeho komponenty v čase (Takensova veta)

-Analyzovať dynamický systém: nájsť spektrum zovšeobecnených dimenzií, napr.

Čo hovorí Takensova veta?

V podstate to, že z časového priebehu jednej komponenty deterministického dynamického systému možno tento systém zrekonštruovať.

Príklad: Pohyb bodu po kružnici

tAdt

dy

tAdt

dx

sin

cosdynamické rovnice

x

y

A Stavový (fázový) priestor a atraktor

Stav systému v čase t je určený bodom

tytx ,

tytx ,

Nech z merania poznáme len časový priebeh x(t)

x

t

- časový rad

ttx ,

ttx ,

Ako z časového radu zrekonštruovať pôvodný atraktor?

- stav systému v čase t ts

iiii

iiiii

txtxtt

tttytxts

,2/sin,sin

cos,sin,

Pôvodný atraktor zrekonštruujeme s využitím časovo posunutej x – ovej komponenty

podstata Takensovej vety

Čo urobí plot ? txtx ,

x(t)

tx

Problémy: voľba posunu

skreslenie atraktora

dim. priestoru vnorenia m

a m : parametre rekonštrukcie

m=2

Problém priestoru vnorenia –pojem typickosti

1. Máme v rovine dve priamky

V typickom prípade sa pretínaju vjednom bode. Ak sa dve priamky typicky nemajú pretínať, musia byť vnorené do 3d priestoru.

Máme 1d objekt v 3d priestore, nech nemá žiaden priesek samého so sebou.

Je možné ho v typickom prípade vnoriť do 2d priestoru a zachovať jeho topologické vlastnosti (t.j. žiaden priesek samého so sebou)?

Nie! Aby sme dostali topologicky ekvivalentný výsledok, priestor vnorenia musí byť minimálne 2d+1, ak d je dimenziou objektu.

Čo to znamená pre rekonštrukciu atraktora ?

-volíme 2d+1 časovo posunutých súradníc v časovom rade:

, , , …, tx tx 2tx )2( dtx

-skonštruujeme 2d+1 rozmerný stavový priestor

- zrekonštruujeme atraktor z časového radu

- spočítame jeho spektrum zovšeobecnených dimenzií

Ako hľadať dimenziu priestoru vnorenia?

Metóda falošných susedov:

1. Predpokladáme, že je minimálna dimenzia priestoru vnorenia.

2. Teda susedia bodu v skutočnom atraktore sa namapujú do susedných bodov tohto bodu v zrekonštruovanom atraktore a topologická štruktúra sa zachová.

3. Susedia susedov sa opať mapujú do ich blízkosti.4. Ak , potom sa k bodu mapujú aj falošní

susedia. 5. Algoritmus: -zvolíme m a zrekonštruujeme atraktor - pre každý bod nájdeme najbližšieho suseda a

spočítame vzdialenosť -iterujeme oba body v a počítame pomer ich

novej a povodnej vzdialenosti

0m

0mm

ix

1m

-ak je zlomok bodov, pre ktorý je tento pomer veľký, musíme zvoliť ešte vačšie m

-tento zlomok by mal klesať s rastúcim mZ

lom

ok f

aloš

ných

sus

edov

d1 2 3 4

m=2

Problém voľby posunu v čase

je velmi malé – lineárna závislosť a , atraktor sa nerozvinie

tx tx

je veľmi veľké – skreslenie, zašumenie atraktora

tx

tx

tx

tx

Ako zvoliť správny časový posun?

-existuje množstvo metód voľby časového posunu

-najčastejšie používaná metóda: interval poklesu autokorelačnej funkcie na polovicu

tN

jtjj xx

tNtC

1

1limN

12

1)( CtC

Ak

potom t

Iné metódy hľadania

1. Vzájomná informácia

ji

ij

ijij pp

tptpS ln

tpijPravdepodobnosť, že pozorovaná hodnota je v i-tom intervale a pozorovaná hodnota o vzdialená je v j-tom intervale.

Pravdepodobnosť, že hodnota časového radu je v i-tom intervale.

Ak S má minimum, t=

t

ip

Lorenzov dynamický systém

tbztytxdt

tdz

tytrxtztxdt

tdy

tytxdt

tdx

, r, b sú parametre

t

x(t)zl

omok

fal

. sus

edov

1

0.5

1 2 3 dimenzia vnorenia